Introduce el lado de la base y la altura de la pirámide cuadrangular (una pirámide con la base cuadrada). Obtendrás el volumen (lado × lado × altura ÷ 3) y la conversión entre cm³, m³ y L.
Introduce el lado de la base y la altura en la misma unidad y solo con números, sin la unidad (para 5 cm, escribe «5»). La altura es la distancia vertical desde la base hasta el vértice.
Resultado y figura
Introduce el lado de la base y la altura en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado y la figura en 3D aparecerán aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y dibujos
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Introduce el lado de la base y la altura y obtienes al instante el volumen de la pirámide cuadrangular (lado × lado × altura ÷ 3)
- La pirámide que has introducido se muestra en 3D (puedes girarla arrastrándola)
- También muestra el área de la base y los pasos, para que veas no solo el resultado, sino también cómo se calcula
- La conversión de unidades del volumen se muestra a la vez (a litros y m³ si introduces cm, y a cm³ si introduces m)
- En esta misma página también encontrarás una explicación sencilla de por qué se divide entre 3 y fórmulas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Introduce el lado de la base y la altura en la misma unidad (los dos en cm o los dos en m). La altura es la distancia vertical desde la base hasta el vértice (no la longitud de una arista inclinada). El volumen de otros cuerpos, como el cono o la pirámide triangular, tiene su propia página.
¿Para qué sirve este cálculo?
Hacerse una idea del tamaño de las pirámides de Egipto (historia y turismo)
La Gran Pirámide de Guiza (la pirámide de Keops) es casi una pirámide cuadrangular regular de unos 230 m de lado de la base y unos 147 m de altura cuando se construyó (146,6 m según las fuentes). Su volumen es de unos \(230 \times 230 \times 147 \div 3 = 2.592.100\,\mathrm{m^3}\), es decir, unos 2,6 millones de m³. Equivale al volumen de unas mil piscinas olímpicas (una piscina de 50 × 25 × 2 m tiene 2500 m³ y \(2.592.100 \div 2500 \approx 1037\)).
La pirámide real tiene pasadizos y cámaras en el interior, y su superficie no es del todo lisa, así que es una aproximación, pero con una sola fórmula, la del volumen de la pirámide cuadrangular, puedes captar con números la escala de un Patrimonio de la Humanidad.
Estimar el aire que hay dentro de una tienda tipi (acampada)
Una tienda tipi (de un solo mástil central) con la base cuadrada tiene casi forma de pirámide cuadrangular. Con una base de 3 m × 3 m y un mástil de 2 m, el espacio interior es de unos \(3 \times 3 \times 2 \div 3 = 6\,\mathrm{m^3}\).
Saber el volumen de aire de la tienda ayuda a hacerse una idea de cuánto se puede calentar en una acampada de invierno o de lo fácil que es que se forme condensación (muchas tiendas reales tienen las paredes levantadas en la base, así que es una aproximación).
Calcular el volumen del desván de un tejado con forma de pirámide (construcción)
Una cubierta a cuatro aguas sobre un edificio de planta cuadrada, como la de un quiosco, un templete o una torre, tiene justo forma de pirámide cuadrangular. Con una cubierta de 6 m × 6 m de base y 2 m de altura, el espacio del desván (bajo cubierta) es de unos \(6 \times 6 \times 2 \div 3 = 24\,\mathrm{m^3}\).
El volumen del desván es un dato que se usa para planificar el tamaño de los huecos de ventilación y para estudiar el aislamiento. Muchos de los «tejados puntiagudos» de la vida diaria se pueden estimar con esta fórmula.
Calcular la capacidad de una tolva, una pirámide invertida (industria y agricultura)
En fábricas y explotaciones agrícolas, las tolvas, los depósitos en forma de embudo donde se almacenan cereales, gránulos de plástico o polvos y de donde se sacan poco a poco por abajo, suelen tener la forma de una pirámide cuadrangular invertida. Con 2 m de lado en la parte de arriba y 1,5 m de profundidad, la capacidad es de \(2 \times 2 \times 1{,}5 \div 3 = 2\,\mathrm{m^3}\) (2000 L).
Decisiones como «¿cuántas toneladas caben todavía?» o «¿cabe el material de un día?» parten de este cálculo del volumen (las instalaciones reales suelen tener el extremo inferior cortado, es decir, son un tronco de pirámide; en ese caso se calcula como la diferencia entre dos pirámides, una grande y otra pequeña).
Resolver los problemas típicos de los exámenes de matemáticas (estudios)
El volumen de las pirámides y de los conos se estudia en la ESO y es un clásico de los exámenes de matemáticas. Por ejemplo, para «¿cuál es el volumen de una pirámide cuadrangular regular de 6 cm de lado de la base y 8 cm de altura?», se obtiene \(6 \times 6 \times 8 \div 3 = 96\,\mathrm{cm^3}\).
Olvidarse de dividir entre 3 es el error más frecuente, así que conviene recordar a la vez que «un cuerpo que acaba en punta (pirámide o cono) es la tercera parte de un prisma o de un cilindro con la misma base y la misma altura».
Fórmulas y dibujos
Fórmula del volumen de una pirámide cuadrangular
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(V\)
\(=\)
\(a\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\(V\): volumen de la pirámide
\(=\)
①
\(a\): lado de la base
②
al cuadrado (la longitud multiplicada dos veces)
\(\times\)
③
\(h\): altura
\(\div\)
④
\(3\): el número entre el que se divide
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(a\): lado de la base
②
elévalo
al cuadrado (la longitud multiplicada dos veces)
para obtener el área de la base,
③
multiplícala por la
\(h\): altura
,
④
divídelo entre
\(3\): el número entre el que se divide
y obtienes el
⑤
\(V\): volumen de la pirámide
Un ejemplo sencillo
El volumen de una pirámide cuadrangular de 5 cm de lado de la base y 12 cm de altura es
\(V\): volumen de la pirámide
\(=\)
lado de la base (5 cm)
al cuadrado
\(\times\)
altura (12 cm)
\(\div\)
el número entre el que se divide (3)
\(5 \times 5 = 25\)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
La idea clave
¿Por qué se divide entre 3? Un cubo (la forma de un dado) se puede cortar, a partir de uno de sus vértices, en 3 «pirámides inclinadas» cuadrangulares idénticas que encajan exactamente. Es decir, el volumen de una pirámide cuadrangular es exactamente \(\dfrac{1}{3}\) del volumen del prisma (la caja) que tiene la misma base y la misma altura. Esta fórmula es ese «\(\times \dfrac{1}{3}\)» escrito como «\(\div 3\)».
Ten en cuenta que la altura \(h\) es la distancia vertical desde la base hasta el vértice, y no la longitud de una arista inclinada. Además, incluso en una «pirámide inclinada», cuyo vértice no está justo encima del centro de la base, el volumen es el mismo si el área de la base y la altura son las mismas.
Fórmula del volumen común a las pirámides y a los conos (a partir del área de la base)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(V\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(V\): volumen de la pirámide o del cono
\(=\)
①
\(S\): área de la base
\(\times\)
②
\(h\): altura
\(\div\)
③
\(3\): el número entre el que se divide
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(S\): área de la base
,
②
multiplícala por la
\(h\): altura
,
③
divídelo entre
\(3\): el número entre el que se divide
y obtienes el
④
\(V\): volumen de la pirámide o del cono
Un ejemplo sencillo
El volumen de una pirámide con un área de la base de 25 cm² y 12 cm de altura es
\(V\): volumen de la pirámide o del cono
\(=\)
área de la base (25 cm²)
\(\times\)
altura (12 cm)
\(\div\)
el número entre el que se divide (3)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
La idea clave
Esta fórmula no es solo de la pirámide cuadrangular: sirve para todas las pirámides (triangulares, pentagonales…) y también para los conos (todos los cuerpos que acaban en punta cumplen «área de la base × altura ÷ 3»).
En la pirámide cuadrangular la base es un cuadrado, así que el área de la base es \(S = a \times a\). Al sustituirlo se obtiene la primera fórmula, \(V = \dfrac{1}{3} a^{2} h\). En un cono, el área de la base es el área de un círculo, \(S = \pi r^{2}\).
Volumen: conversión de unidades (cm³ → L)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): volumen en litros
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volumen en cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ en 1 litro
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volumen en cm³
②
divídelo entre
\(1000\): cm³ en 1 litro
③
y obtienes el
\(V_{\mathrm{L}}\): volumen en litros
Un ejemplo sencillo
El volumen de una pirámide cuadrangular de 5 cm de lado de la base y 12 cm de altura, 100 cm³, en litros es
volumen en litros
\(=\)
volumen en cm³ (100)
\(\div\)
cm³ en 1 litro (1000)
\(100 \div 1000 = 0{,}1\,\mathrm{L}\)
La idea clave
1 L es el volumen de un cubo de 10 cm de arista, \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\). Un brik de leche de 1 litro tiene justo 1 L = 1000 cm³.
Para pasar a m³ la idea es la misma: como \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\), se cumple \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\). El factor de conversión del volumen es el cubo del factor de conversión de la longitud (el del área es el cuadrado y el del volumen, el cubo; es fácil confundirlo con «100 veces»).
El volumen de una pirámide cuadrangular es «área de la base (lado × lado) × altura ÷ 3». Se divide entre 3 porque el volumen de una pirámide (o de un cono) es exactamente la tercera parte del de un prisma (una caja) con la misma base y la misma altura. Se usa la distancia vertical desde la base hasta el vértice como altura, y el resultado sale en la unidad de longitud al cubo (cm³ si usas cm).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(V\) | uve | Una letra que se usa a menudo para el volumen, por la inicial de «volumen». En esta página es el volumen de la pirámide cuadrangular. |
| \(a\) | a | La longitud del lado del cuadrado de la base. Como el largo y el ancho de la base son iguales, basta un símbolo. |
| \(a^2\) | a al cuadrado | El número \(a\) multiplicado por sí mismo (\(a \times a\)). El pequeño 2 de arriba a la derecha es un exponente que indica cuántas veces aparece el número como factor. En esta página es el área de la base (el área de un cuadrado). |
| \(h\) | hache | La altura. La letra h viene del inglés «height», y es la que se usa en los libros de texto. Es la distancia medida en línea recta (en vertical) desde la base hasta el vértice, no la longitud de una arista inclinada. |
| \(S\) | ese | Una letra que se usa a menudo para el área de la base. En la pirámide cuadrangular es \(S = a \times a\). En muchos libros de texto se escribe \(A_b\). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centímetro cúbico | Una unidad de volumen. Un cubo de 1 cm de arista tiene un volumen de 1 cm³. No lo confundas con el cm² (centímetro cuadrado), que es una unidad de área. |
| \(\mathrm{m^3}\) | metro cúbico | Una unidad de volumen. Un cubo de 1 m de arista tiene un volumen de 1 m³, y se cumple \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\). |
| \(\mathrm{L}\) | litro | Una unidad de volumen (capacidad). Un cubo de 10 cm de arista tiene un volumen de 1 L, y se cumple \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\). La conoces de los briks y las botellas de bebida. (Se escribe l o L; aquí se usa la L mayúscula porque la l minúscula se confunde fácilmente con un 1.) |
Términos
| pirámide cuadrangular | Un cuerpo con una base cuadrilátera y cuatro caras triangulares que acaban en un único vértice. En esta página se trata la que tiene la base cuadrada (con forma de pirámide). |
| pirámide cuadrangular regular | La pirámide cuadrangular cuya base es un cuadrado y cuyo vértice está justo encima del centro de la base. Las pirámides de Egipto tienen esta forma. Aunque el vértice no esté justo encima, el volumen no cambia si el área de la base y la altura son las mismas. |
| pirámide | El nombre general de los cuerpos con una base poligonal (triángulo, cuadrilátero, pentágono…) y caras triangulares que acaban en un único vértice. Si la base es un triángulo, se llama pirámide triangular, y si es un cuadrilátero, pirámide cuadrangular. |
| cono | El cuerpo con una base circular que acaba en un único vértice. Junto con las pirámides, todos los cuerpos que acaban en punta tienen un volumen de «área de la base × altura ÷ 3». |
| área de la base | El área de la cara de abajo (la base) de un cuerpo. En la pirámide cuadrangular es el área del cuadrado de la base (lado × lado). |
| volumen | El tamaño de un cuerpo (el espacio que ocupa), expresado con un número. Se mide contando cuántos cubos unidad (por ejemplo, de 1 cm³) caben dentro. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que conviene saber para usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
| Multiplicación y división (3.º–4.º de Primaria, 8-10 años) |
|
| Área de un cuadrado (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
| Qué es el volumen y sus unidades (5.º de Primaria, 10-11 años) |
|
| La pirámide como cuerpo geométrico (6.º de Primaria–2.º de ESO, 11-14 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el volumen de una pirámide cuadrangular
| Lado de la base | 5 |
| Altura | 12 |
| Volumen de la pirámide | =B1^2*B2/3 |
Tabla para calcular el volumen común a pirámides y conos (a partir del área de la base)
| Área de la base | 25 |
| Altura | 12 |
| Volumen de la pirámide o del cono | =B1*B2/3 |
Tabla para convertir cm³ a litros
| Volumen en cm³ | 100 |
| Volumen en litros | =B1/1000 |
Al pegarla, la columna A contiene los nombres y la columna B los números. Las filas de arriba son tus datos, y la fórmula de la última fila calcula el resultado automáticamente con esos valores.
«B1» y «B2» de una fórmula significan «usa el número de esa celda», «*» es la multiplicación, «/» la división y «^» la potencia (cuántas veces se multiplica).
En la primera tabla, por ejemplo, B3 muestra 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100 (en cm³, porque has introducido cm). La segunda tabla muestra 100 en B3 y la tercera muestra 0,1 en B2. Solo tienes que cambiar los datos por tus propias longitudes.
«B1» y «B2» de una fórmula significan «usa el número de esa celda», «*» es la multiplicación, «/» la división y «^» la potencia (cuántas veces se multiplica).
En la primera tabla, por ejemplo, B3 muestra 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100 (en cm³, porque has introducido cm). La segunda tabla muestra 100 en B3 y la tercera muestra 0,1 en B2. Solo tienes que cambiar los datos por tus propias longitudes.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el volumen de una pirámide cuadrangular
| Lado de la base | 5 |
| Altura | 12 |
| Volumen de la pirámide | =B1^2*B2/3 |
Tabla para calcular el volumen común a pirámides y conos (a partir del área de la base)
| Área de la base | 25 |
| Altura | 12 |
| Volumen de la pirámide o del cono | =B1*B2/3 |
Tabla para convertir cm³ a litros
| Volumen en cm³ | 100 |
| Volumen en litros | =B1/1000 |
Funcionan las mismas fórmulas que en Excel. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los datos por tus propias longitudes.
Cómo calcularlo con Python
a = 5 # lado de la base (en este ejemplo, en cm)
h = 12 # altura (distancia vertical de la base al vértice; en la misma unidad que a)
base_area = a ** 2 # área de la base (el área de un cuadrado)
volume = base_area * h / 3 # volumen de la pirámide (la unidad introducida al cubo; aquí cm3)
volume_l = volume / 1000 # si introduces cm, el volumen en litros
print(f"Área de la base: {base_area} cm2")
print(f"Volumen de la pirámide: {volume} cm3")
print(f"En litros: {volume_l} L")
Funciona solo con la biblioteca estándar. «**» es la potencia (al cuadrado, en este caso), «*» la multiplicación y «/» la división. Cambia arriba el valor del lado y de la altura y ejecuta el código (el ejemplo corresponde a una entrada en cm; si introduces m, para pasar a cm³ hay que multiplicar por 1.000.000).
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Fórmula del volumen de una pirámide cuadrangular
V = a² × h ÷ 3
V = \dfrac{a^{2} h}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (a^2 h)/3
a^2*h/3
V := a^2*h/3;
V = a^2*h/3;
V = (a^2 h)/3
Fórmula del volumen común a las pirámides y a los conos (a partir del área de la base)
V = S × h ÷ 3
V = \dfrac{S h}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (S h)/3
S*h/3
V := S*h/3;
V = S*h/3;
V = (S h)/3
Volumen: conversión de unidades (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi>L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi>cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_L = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo matemático. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no calcules de cabeza ni estimes). Una pirámide cuadrangular tiene como base un cuadrado de 5 cm de lado y 12 cm de altura. Calcula: 1. El área de la base de esta pirámide en cm² 2. El volumen de esta pirámide en cm³ (volumen = área de la base × altura ÷ 3) 3. Ese volumen en litros Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
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