Conversor de grados a radianes y de radianes a grados (valores exactos en función de π, con circunferencia goniométrica)
Elige «de grados a radianes» o «de radianes a grados» e introduce el valor. El resultado incluye un diagrama de la circunferencia goniométrica.
Los ángulos negativos y los de más de 360° (2π) también valen. Para los radianes puedes introducir valores con π, como «π/6», «2π/3» o «1,5π» (también vale escribir pi), y decimales como «1,5».
Resultado y figura
Introduce un ángulo en grados (o un valor en radianes) en los campos de la izquierda y pulsa «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y un diagrama de la circunferencia goniométrica.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y figuras
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Convierte grados en radianes. La respuesta se muestra a la vez como valor exacto en función de \(\pi\), como en \(30^\circ \to \dfrac{\pi}{6}\), y como decimal (12 cifras significativas)
- También convierte radianes en grados. Puedes introducir valores con \(\pi\), como «π/6», «2π/3» o «1,5π» (también vale escribir pi), y decimales como «1,5»
- También funciona con ángulos negativos (como −45°) y con ángulos de más de \(360^\circ\) (\(2\pi\))
- El resultado incluye un diagrama de la circunferencia goniométrica, para que veas que la longitud del arco en una circunferencia de radio \(1\) es el valor en radianes
- En esta misma página encontrarás también una tabla de ángulos notables (de \(0^\circ\) a \(360^\circ\)), una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
\(\pi\) es el número pi (\(\approx 3{,}14159\)). En el paso de grados a radianes, el resultado se muestra como \(\dfrac{\text{grados}}{180}\) reducido a fracción irreducible y multiplicado por \(\pi\).
¿Para qué sirve este cálculo?
Mantener sencillas las derivadas e integrales de las funciones trigonométricas (matemáticas y física)
La regla tan limpia de que «la derivada de \(\sin x\) es \(\cos x\)» solo es cierta cuando el ángulo \(x\) se mide en radianes. Si derivas con grados, aparece cada vez un factor extra de \(\dfrac{\pi}{180}\) (aproximadamente 0,01745) y las fórmulas se vuelven cada vez más complicadas.
El cálculo de Bachillerato y la física y la ingeniería de la universidad escriben todos los ángulos en radianes porque es la medida con la que las fórmulas quedan más sencillas. Pasar de grados a radianes es la puerta de entrada a ese mundo.
Hallar rápidamente la longitud de un arco y el área de un sector (diseño y fabricación)
Con el ángulo central en radianes, la longitud del arco es simplemente radio × ángulo (\(s = r\theta\)) y el área de un sector es \(A = \dfrac{1}{2}r^2\theta\). Por ejemplo, una curva de 2 m de radio y un ángulo central de \(\dfrac{\pi}{3}\) (\(60^\circ\)) mide \(2 \times \dfrac{\pi}{3} \approx 2{,}09\) m.
Con grados, la fórmula se alarga, como en \(2\pi r \times \dfrac{a}{360}\). Por eso, al diseñar las curvas de una carretera o piezas curvas, lo habitual es pasar primero a radianes.
Expresar la velocidad de giro de motores y turbinas (ingeniería mecánica y eléctrica)
En ingeniería, la velocidad de una máquina que gira se expresa como el ángulo que recorre por segundo, la velocidad angular \(\omega\) (en rad/s). Por ejemplo, un motor que gira a 3000 rpm (revoluciones por minuto) recorre \(3000 \times 2\pi \div 60 = 100\pi \approx 314\) rad/s, ya que una vuelta son \(2\pi\) radianes.
Con la velocidad angular en radianes, la velocidad en el extremo es simplemente radio × velocidad angular (\(v = r\omega\)), así que todos los cálculos de rotación son solo multiplicaciones. La \(\omega\) de las fichas técnicas de los motores y de los libros de física está en esta unidad.
Usar bien las funciones trigonométricas al programar (videojuegos y gráficos)
En casi todos los entornos de programación, incluidos Python, JavaScript y Excel, sin y cos (SENO y COS en Excel en español) reciben radianes. Un error clásico de principiante es escribir sin(30) esperando \(\sin 30^\circ = 0{,}5\) y obtener −0,988. Lo correcto es pasar primero los grados a radianes: sin(30 × π/180).
Cuando un videojuego mueve un personaje según un ángulo, o cuando dibujas una gráfica, esta conversión de «las personas pensamos en grados y los programas reciben radianes» ocurre constantemente.
Calcular a ojo distancias a partir de la latitud y la longitud (mapas y GPS)
La relación entre un ángulo en el centro de la Tierra y el arco en su superficie es también longitud del arco = radio × ángulo en radianes. El radio de la Tierra es de unos 6371 km, así que un grado de latitud de norte a sur son unos \(6371 \times \dfrac{\pi}{180} \approx 111\) km.
El dato de geografía «un grado de latitud son unos 111 km» sale directamente de un cambio de grados a radianes, y los cálculos de distancias del GPS y de las aplicaciones de mapas usan la misma idea.
Fórmulas y figuras
Definición de la medida en radianes (180° = π radianes)
Figura (medida en radianes: en una circunferencia de radio 1, la longitud del arco es el tamaño del ángulo)
Notación matemática
(la notación habitual)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
\(180^\circ\)
\(=\)
\(\pi\)
①
\(180^\circ\): media vuelta en grados
\(=\)
②
\(\pi\): lo mismo en radianes (la longitud del arco de una semicircunferencia de radio \(1\))
La fórmula en palabras
①
En el sistema sexagesimal,
\(180^\circ\) (media vuelta)
②
equivale, en la medida en radianes, a
\(\pi\) radianes (la longitud del arco de una semicircunferencia de radio \(1\))
Un ejemplo sencillo
De la misma manera, un cuarto de vuelta (\(90^\circ\)) es la mitad del arco de la semicircunferencia, así que
\(90^\circ\)
\(=\)
\(\dfrac{\pi}{2}\) radianes
\(90^\circ = \dfrac{\pi}{2} \approx 1{,}5708\)
La idea clave
La medida en radianes da el tamaño de un ángulo como la longitud del arco que corta en una circunferencia de radio \(1\). La longitud de una circunferencia de radio \(1\) es \(2\pi \times 1 = 2\pi\) (longitud = diámetro × pi), así que una vuelta completa de \(360^\circ\) son \(2\pi\) y media vuelta, \(180^\circ\), es la mitad, \(\pi\).
«\(1\) radián» es el ángulo cuyo arco mide exactamente lo mismo que el radio. En grados es aproximadamente \(57{,}3^\circ\). Puede parecer un número raro, pero medir los ángulos con una longitud hace que las fórmulas del cálculo y de la física sean lo más sencillas posible. Por eso, a partir de 1.º de Bachillerato (16-17 años), los radianes pasan a ser la unidad principal.
De grados a radianes (se multiplica por π/180)
Tabla de ángulos notables (grados y radianes de 0° a 360°)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(\dfrac{\pi}{180}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(\theta\): ángulo en radianes
\(=\)
①
\(a\): ángulo en grados (el número sin °)
\(\times\)
②
\(\dfrac{\pi}{180}\): radianes que hay en \(1^\circ\)
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(a\): ángulo en grados (el número sin °)
②
multiplícalo por
\(\dfrac{\pi}{180}\) (los radianes que hay en \(1^\circ\), que sale de \(180^\circ = \pi\))
③
y obtienes el
\(\theta\): ángulo en radianes
Un ejemplo sencillo
Pasemos \(30^\circ\) a radianes:
\(30^\circ\) en radianes
\(=\)
\(30\)
\(\times\)
\(\dfrac{\pi}{180}\)
\(30 \times \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{30\pi}{180} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}5236\)
La idea clave
El truco es dejar \(\pi\) tal cual y simplificar solo la fracción \(\dfrac{a}{180}\). Para \(30^\circ\), \(\dfrac{30}{180} = \dfrac{1}{6}\), así que la respuesta es \(\dfrac{\pi}{6}\). Para \(120^\circ\), \(\dfrac{120}{180} = \dfrac{2}{3}\), así que es \(\dfrac{2\pi}{3}\).
En el Bachillerato, la respuesta se suele dejar en función de \(\pi\) y no como decimal (para poder seguir trabajando con el valor exacto). Sustituye \(\pi \approx 3{,}14159\) solo al final, cuando necesites un decimal.
De radianes a grados (se multiplica por 180/π)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a\)
\(=\)
\(\theta\)
\(\times\)
\(\dfrac{180}{\pi}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(a\): ángulo en grados
\(=\)
①
\(\theta\): ángulo en radianes
\(\times\)
②
\(\dfrac{180}{\pi}\): grados que hay en \(1\) radián
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(\theta\): ángulo en radianes
②
multiplícalo por
\(\dfrac{180}{\pi}\) (los grados que hay en \(1\) radián, que sale de \(180^\circ = \pi\))
③
y obtienes el
\(a\): ángulo en grados
Un ejemplo sencillo
Pasemos \(\dfrac{2\pi}{3}\) a grados:
\(\dfrac{2\pi}{3}\) en grados
\(=\)
\(\dfrac{2\pi}{3}\)
\(\times\)
\(\dfrac{180}{\pi}\)
\(\dfrac{2\pi}{3} \times \dfrac{180}{\pi} = \dfrac{2 \times 180}{3} = 120\)
La idea clave
Con un valor que lleva \(\pi\) (como \(\dfrac{\pi}{6}\) o \(\dfrac{2\pi}{3}\)), al multiplicar por \(\dfrac{180}{\pi}\) el \(\pi\) se cancela. Así que, en la práctica, solo hay que sustituir \(\pi\) por \(180^\circ\). Por ejemplo, \(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2 \times 180^\circ}{3} = 120^\circ\).
Un valor decimal en radianes sin \(\pi\) (como \(1{,}5\)) casi nunca da un número exacto de grados. Multiplica por \(\dfrac{180}{\pi} \approx 57{,}2958\) y da la respuesta como decimal (\(1{,}5\) radianes \(\approx 85{,}94^\circ\)).
Los grados y los radianes se relacionan mediante \(180^\circ = \pi\) radianes. Para pasar de grados a radianes, multiplica por \(\dfrac{\pi}{180}\) y simplifica (\(30^\circ = \dfrac{\pi}{6}\)). Para pasar de radianes a grados, basta sustituir \(\pi\) por \(180^\circ\) (\(\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{2 \times 180^\circ}{3} = 120^\circ\)).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(^\circ\) (grados) | grados | La unidad de ángulo del sistema sexagesimal. Una vuelta completa son \(360^\circ\). Es la forma más conocida de expresar ángulos, también en la vida diaria. |
| rad (radianes) | radianes | La unidad de ángulo de la medida en radianes. La palabra «radián» viene de «radio», y mide un ángulo por la longitud del arco en una circunferencia de radio \(1\). En matemáticas se suele omitir la unidad y escribir solo el número, como en \(\dfrac{\pi}{6}\). |
| \(\pi\) | pi | El número pi (\(\approx 3{,}14159\)), el valor de longitud de la circunferencia ÷ diámetro. Se dice que la letra viene de la inicial de la palabra griega para «perímetro». Como \(180^\circ = \pi\) radianes, las fracciones de \(\pi\) aparecen a menudo en los valores en radianes. |
| \(\theta\) | theta | Una letra griega que se usa mucho para los ángulos. En esta página es el tamaño de un ángulo medido en radianes. |
| \(a\) | a | En esta página, el ángulo en grados (el número sin °). Es la \(a\) de \(a^\circ\). |
| \(\approx\) | aproximadamente igual a | El símbolo de «aproximadamente» (una aproximación). Un valor exacto con \(\pi\) tiene infinitas cifras decimales, por eso se usa este símbolo en los decimales. |
Términos
| sistema sexagesimal | Medir los ángulos tomando una vuelta completa como 360°. El número 360 tiene muchos divisores (su mitad, su tercera parte, su cuarta parte… son todas números enteros) y se usa desde la antigüedad. Es la medida que se aprende primero, en Primaria. |
| medida en radianes | Medir un ángulo por la longitud del arco en una circunferencia de radio 1. La unidad es el radián. 180° = π radianes, y los ángulos se escriben como fracciones de π, como 60° = π/3. Los radianes se usan a partir de la trigonometría de Bachillerato y son la unidad principal en el cálculo. |
| arco | Una parte de la circunferencia. La medida en radianes da el tamaño de un ángulo como la longitud del arco que corta. |
| ángulo central | El ángulo que forman dos radios en el centro de una circunferencia. La longitud del arco es proporcional al ángulo central (si el ángulo se duplica, el arco también). Esta proporcionalidad es la base de la medida en radianes. |
| circunferencia goniométrica | La circunferencia de radio 1 con centro en el origen (también se llama circunferencia unidad). El lado final de un ángulo corta esta circunferencia en el extremo del arco. Como el radio es 1, la longitud del arco es exactamente el ángulo central en radianes. También se usa para definir las funciones trigonométricas, por lo que es una herramienta importante en las matemáticas de Bachillerato. |
| lado final | La semirrecta que sale del origen y que se obtiene al girar el ángulo \(\theta\) desde el semieje \(x\) positivo (el lado inicial). En el diagrama muestra el tamaño del ángulo. Si el ángulo es negativo, el giro es en el sentido de las agujas del reloj. |
| ángulo notable | Un ángulo como 30°, 45°, 60°, 90° o 120° cuyas razones trigonométricas se pueden escribir como valores exactos. En radianes son π/6, π/4, π/3, π/2, 2π/3…, fracciones de π con denominadores 6, 4, 3 y 2. |
| simplificar | Dividir el numerador y el denominador de una fracción entre el mismo número para hacerla más sencilla. Al pasar de grados a radianes, se simplifica la fracción grados/180 entre el máximo común divisor y después se añade π (30/180 → 1/6 → π/6). |
| fracción irreducible | Una fracción que ya no se puede simplificar más. Los resultados de esta página muestran el coeficiente de π como fracción irreducible. |
| número pi | El valor de longitud de la circunferencia ÷ diámetro (π ≈ 3,14159). Es el mismo para una circunferencia de cualquier tamaño. Una circunferencia de radio 1 mide 2π porque su diámetro es 2 y 2 × π = 2π. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, volver a estos temas es el camino más rápido para avanzar.
| Ángulos (4.º–5.º de Primaria, 9-11 años) |
|
| La circunferencia y el número pi (6.º de Primaria y 1.º de ESO, 11-13 años) |
|
| Multiplicación y simplificación de fracciones (5.º–6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
| Proporcionalidad (1.º–2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Expresiones algebraicas (1.º–3.º de ESO, 12-15 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para pasar de grados a radianes (decimal)
| Ángulo (grados) | 30 |
| Radianes | =RADIANES(B1) |
Tabla para pasar de radianes a grados
| Radianes | =PI()/6 |
| Ángulo (grados) | =GRADOS(B1) |
Tabla para pasar de grados a una fracción de π (numerador y denominador simplificados)
| Ángulo (grados enteros) | 30 |
| Numerador del coeficiente de π | =B1/M.C.D(B1;180) |
| Denominador del coeficiente de π | =180/M.C.D(B1;180) |
La función RADIANES de Excel pasa grados a radianes y GRADOS pasa radianes a grados. La primera tabla usa 30° y la respuesta es 0,523598776 (el valor decimal de π/6).
La segunda tabla pone «=PI()/6» (π ÷ 6) en la celda de radianes y la respuesta es 30. Para un valor decimal en radianes como 1,5, basta escribir 1,5 en B1 (la respuesta es 85,94366927).
La tercera tabla halla la forma exacta como fracción de π. La función M.C.D (máximo común divisor) simplifica grados/180. El numerador es 1 y el denominador es 6, así que se lee «30° = π/6» (esta tabla solo funciona con grados enteros).
La segunda tabla pone «=PI()/6» (π ÷ 6) en la celda de radianes y la respuesta es 30. Para un valor decimal en radianes como 1,5, basta escribir 1,5 en B1 (la respuesta es 85,94366927).
La tercera tabla halla la forma exacta como fracción de π. La función M.C.D (máximo común divisor) simplifica grados/180. El numerador es 1 y el denominador es 6, así que se lee «30° = π/6» (esta tabla solo funciona con grados enteros).
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para pasar de grados a radianes (decimal)
| Ángulo (grados) | 30 |
| Radianes | =RADIANES(B1) |
Tabla para pasar de radianes a grados
| Radianes | =PI()/6 |
| Ángulo (grados) | =GRADOS(B1) |
Tabla para pasar de grados a una fracción de π (numerador y denominador simplificados)
| Ángulo (grados enteros) | 30 |
| Numerador del coeficiente de π | =B1/M.C.D(B1;180) |
| Denominador del coeficiente de π | =180/M.C.D(B1;180) |
Las mismas fórmulas de Excel funcionan tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye el ángulo o el valor en radianes por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
import math
from fractions import Fraction
# De grados a radianes (decimal)
angle_degree = 30
angle_radian = math.radians(angle_degree)
print(f"{angle_degree}° = {angle_radian} radianes")
# De grados a radianes (forma exacta como fracción de π)
pi_coefficient = Fraction(angle_degree, 180) # simplifica automáticamente grados/180
print(f"{angle_degree}° = π × {pi_coefficient}")
# De radianes a grados
radian_value = 1.5
print(f"{radian_value} radianes = {math.degrees(radian_value)}°")
Funciona solo con la biblioteca estándar. math.radians() pasa grados a radianes y math.degrees() pasa radianes a grados. La forma exacta como fracción de π sale de Fraction(grados, 180) del módulo fractions (simplifica automáticamente). Al ejecutar el ejemplo se imprimen el valor decimal de 30° en radianes, la forma exacta «30° = π × 1/6» (es decir, π/6) y el valor de 1,5 radianes en grados (Python escribe los decimales con punto).
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Definición de la medida en radianes (180° = π radianes)
180° = π rad
180^\circ = \pi\ \mathrm{rad}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>180</mn><mo>°</mo>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi><mspace width="0.2em"/><mi>rad</mi>
</mrow>
</math>
180^@ = pi " rad"
180 Degree == Pi
convert(180*degrees, radians);
deg2rad(180)
180° = π rad
De grados a radianes (se multiplica por π/180)
θ = a × π/180
\theta = a \times \dfrac{\pi}{180}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mi>π</mi><mn>180</mn></mfrac>
</mrow>
</math>
theta = a xx pi/180
N[30 Degree]
convert(30*degrees, radians);
deg2rad(30)
θ = a × π/180
De radianes a grados (se multiplica por 180/π)
a = θ × 180/π
a = \theta \times \dfrac{180}{\pi}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mi>θ</mi>
<mo>×</mo>
<mfrac><mn>180</mn><mi>π</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
a = theta xx 180/pi
(2 Pi/3)/Degree
convert(2*Pi/3, degrees);
rad2deg(2*pi/3)
a = θ × 180/π
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de matemáticas para la medida en radianes. Haz las siguientes conversiones ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones). 1. Pasa 45° y 17,5° a radianes. Da cada uno como fracción exacta de π (simplificada con el módulo fractions) y como decimal. 2. Pasa 2π/3 radianes y 1,5 radianes a grados. En Python, usa el módulo math (radians, degrees) y el módulo fractions. Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
Fácil y gratis
Conversiones gratis e ilimitadas
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin registro
Disponible nada más entrar
Sin necesidad de dar datos personales
Sin necesidad de dar datos personales
Seguro y protegido
Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Alta velocidad
Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora de seno, coseno y tangente (razones trigonométricas y ángulos con circunferencia goniométrica)
Halla el seno, el coseno y la tangente de un ángulo θ en valores exactos y decimales, y el ángulo a partir de un valor. Muestra grados y radianes a la vez
Calculadora del área de un sector circular (a partir del radio y el ángulo central)
Halla el área y la longitud del arco de un sector circular a partir del radio y del ángulo central. El ángulo puede estar en grados o en radianes
Calculadora del círculo (radio, diámetro, longitud de la circunferencia y área)
Introduce uno de estos datos del círculo, el radio, el diámetro, la longitud de la circunferencia o el área, y obtén todos los demás, con los pasos
Calculadora de composición de funciones trigonométricas (a sen θ + b cos θ como R sen(θ + α), con máximo y mínimo)
Reúne a sen θ + b cos θ en una sola onda seno R sen(θ + α), con la amplitud exacta R = √(a² + b²), α como fracción de π y el máximo y el mínimo
Calculadora de la forma polar de un número complejo (módulo, argumento y pasos con el cuadrante, con plano complejo)
Pasa a + bi a forma polar r(cos θ + i sen θ), con el módulo exacto y el argumento como fracción de π. También convierte la forma polar en forma binómica
