Calculadora de valor esperado, varianza y desviación típica

Siguiendo tu tabla de distribución de probabilidad, escribe cada valor posible x y su probabilidad p, una fila cada vez. El ejemplo en gris claro es el premio de un boleto de rifa (0 € con un 70 %, 1 € con un 20 %, 5 € con un 9 % y 100 € con un 1 %).

Número de filas (pares de valor y probabilidad)

Valor x₁

Probabilidad p₁

Valor x₂

Probabilidad p₂

Valor x₃

Probabilidad p₃

Valor x₄

Probabilidad p₄

Valor x₅

Probabilidad p₅

Valor x₆

Probabilidad p₆

Valor x₇

Probabilidad p₇

Valor x₈

Probabilidad p₈

Valor x₉

Probabilidad p₉

Valor x₁₀

Probabilidad p₁₀

Escribe solo números. Una probabilidad se puede escribir como 0,2, 20 % o 1/5, y las probabilidades de todas las filas deben sumar 1. Los valores también pueden ser negativos (una pérdida). Deja «valor» y «probabilidad» en blanco en las filas que no uses.

Resultado y gráfico

Escribe pares de valores y probabilidades en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado y un gráfico aparecerán aquí.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y gráfico
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Escribe una tabla de distribución de probabilidad (pares de un valor posible \(x\) y su probabilidad \(p\), de 2 a 10 filas) y obtendrás al instante el valor esperado \(E(X)\), la varianza \(\mathrm{Var}(X)\) y la desviación típica \(\sigma(X)\)
Las respuestas se muestran tanto como fracción irreducible (el valor exacto), como \(\dfrac{7}{2}\), y como decimal. También puedes ver los pasos, con tus números en \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots\)
Comprueba automáticamente que las probabilidades suman exactamente 1. Si no es así, te dice cuál es la suma actual
Puedes escribir una probabilidad como 0,2, 20 % o 1/5. Los valores también pueden ser negativos (una pérdida)
El resultado incluye un diagrama de barras de la distribución de probabilidad, con el valor esperado \(E(X)\) marcado con una línea discontinua vertical

Esta página trata variables aleatorias con un número finito de valores posibles (variables aleatorias discretas). No trata variables aleatorias que toman valores continuos, como la estatura.

¿Para qué sirve este cálculo?

Poner un número a «lo que recibes por boleto» en loterías y cajas de botín

El valor esperado, «premio × probabilidad de ganarlo» sumado para todos los premios, es exactamente la ganancia media por boleto. En juegos como La Primitiva, en España el 55 % de la recaudación de cada sorteo se destina a premios, así que el valor esperado de un boleto es bastante menor que su precio.
Puedes hacer el mismo cálculo con las cajas de botín de los videojuegos. Con las probabilidades de obtención publicadas, es la base para estimar «cuánto costará aproximadamente conseguir el objeto que quieres».

Fijar las primas de los seguros (la base de cómo las aseguradoras ponen precio)

Las primas de los seguros de vida y de coche parten del importe esperado que se paga: «cada pago por siniestro × la probabilidad de ese accidente o enfermedad», sumado todo. Después se añaden los costes de funcionamiento y otros importes. Hay toda una profesión, la de actuario, que se especializa en este tipo de cálculo.
Desde el punto de vista del cliente, un seguro es un trato en el que pagas más de lo que recibes de media (por valor esperado). Lo que compras es tranquilidad frente a una pérdida poco frecuente pero grande.

Comparar la rentabilidad y el riesgo de una inversión con la misma vara de medir

En las inversiones es habitual tratar el valor esperado de la rentabilidad como «la ganancia que puedes esperar» y la desviación típica como «el riesgo (el tamaño de las oscilaciones)». Si dos inversiones tienen la misma rentabilidad esperada, la que tiene menor desviación típica sube y baja con más suavidad.
La idea de esta página, mirar «lo alto que es el valor esperado» y «lo grande que es la dispersión» como dos números distintos, se traslada directamente a las finanzas reales.

Equilibrar juegos (diseñar recompensas y daño)

Quienes diseñan juegos de mesa y videojuegos calculan valores esperados, como «la suma de dos dados», «el daño por ataque» y «el valor de un objeto de un cofre del tesoro», para equilibrar la fuerza y las recompensas.
Por ejemplo, «100 de daño con un 50 % de probabilidad» y «siempre 50 de daño» tienen ambos un valor esperado de 50, pero sus varianzas son distintas, así que los dos ataques se sienten diferentes al jugar. Quienes diseñan ajustan tanto el valor esperado como la dispersión para crear la experiencia que quieren.

Fórmulas y gráfico

Valor esperado (media de una variable aleatoria)

Gráfico

Notación matemática (la notación habitual)

\(E(X)\) \(=\) \(x_1\) \(\times\) \(p_1\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\) \(\times\) \(p_n\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(E(X)\): valor esperado \(=\) ① \(x_1\): primer valor \(\times\) ② \(p_1\): su probabilidad \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\): último valor \(\times\) \(p_n\): su probabilidad

La fórmula en palabras

① Toma cada uno de los \(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\): valores posibles

② multiplica cada uno por \(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\): la probabilidad de cada valor y súmalo todo

③ y obtendrás el \(E(X)\): valor esperado

Un ejemplo sencillo

El valor esperado del número \(X\) que sale al lanzar un dado una vez (cada número tiene probabilidad \(\dfrac{1}{6}\)) es

\(E(X)\): resultado esperado del dado \(=\) sale 1 \(\times\) probabilidad \(\frac{1}{6}\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) sale 6 \(\times\) probabilidad \(\frac{1}{6}\)

\(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + 3 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{1}{6} + 5 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\)

La idea clave

El valor esperado indica «cuánto obtienes de media por intento». Es una media ponderada por la probabilidad (la suma de cada valor × lo probable que es). Si lanzas un dado miles o decenas de miles de veces y haces la media de los números que salen, esa media se acerca cada vez más a este 3,5 (la ley de los grandes números). En realidad nunca puedes sacar un 3,5. La clave es pensar en el valor esperado no como «una predicción del próximo resultado» sino como «la media por intento cuando repites muchas veces». Como muestra el gráfico de arriba, si imaginas la distribución de probabilidad como pesos colocados a lo largo de una recta, el valor esperado es el punto de equilibrio.

Varianza (cuánto se dispersan los valores)

Notación matemática (la notación habitual)

\(\mathrm{Var}(X)\) \(=\) \(E(X^{2})\) \(-\) \([E(X)]^{2}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(\mathrm{Var}(X)\): varianza \(=\) ① \(E(X^2)\): media de los cuadrados \(-\) ② \([E(X)]^2\): cuadrado del valor esperado

La fórmula en palabras

① Toma \(E(X^2)\): elevar al cuadrado primero y promediar después

② réstale \([E(X)]^2\): promediar primero y elevar al cuadrado después

③ y obtendrás la \(\mathrm{Var}(X)\): varianza

Un ejemplo sencillo

La varianza del número \(X\) que sale al lanzar un dado (valor esperado \(E(X) = \dfrac{7}{2}\)) es

\(\mathrm{Var}(X)\): varianza del resultado \(=\) \(E(X^2)\): media de los cuadrados de los resultados \(-\) cuadrado del valor esperado \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\)

\(E(X^{2}) = 1^{2} \times \dfrac{1}{6} + 2^{2} \times \dfrac{1}{6} + 3^{2} \times \dfrac{1}{6} + 4^{2} \times \dfrac{1}{6} + 5^{2} \times \dfrac{1}{6} + 6^{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{91}{6}\)

\(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^{2} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12}\)

La idea clave

La varianza indica cuánto se dispersan los valores alrededor del valor esperado. Su definición original eleva al cuadrado la distancia de cada valor al valor esperado \(\mu = E(X)\) (la desviación) y hace la media: \(\mathrm{Var}(X) = (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n\). En esta fórmula se lee directamente el significado, «la media de las desviaciones al cuadrado». Sin embargo, la definición necesita una resta de \(\mu\) en cada fila, y eso da mucho trabajo. Reordenándola se obtiene la forma más sencilla de arriba, \(\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) («la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media»), que suele llamarse fórmula abreviada. Los libros de texto la usan en casi todos los cálculos, y esta calculadora también muestra sus pasos con esta fórmula. Aunque el valor esperado sea el mismo, una varianza mayor significa una distribución con oscilaciones más grandes entre ganar y perder. Por ejemplo, «un boleto que paga siempre 100 €» y «un boleto que paga 0 € o 200 € con la misma probabilidad» tienen ambos un valor esperado de 100 €, pero el segundo tiene una varianza mayor.

Desviación típica

Notación matemática (la notación habitual)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

\(\sigma(X)\) \(=\) \(\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)

② \(\sigma(X)\): desviación típica \(=\) ① raíz cuadrada positiva de la varianza \(\mathrm{Var}(X)\)

La fórmula en palabras

① Toma la raíz cuadrada positiva de la \(\mathrm{Var}(X)\): varianza

② y obtendrás la \(\sigma(X)\): desviación típica

Un ejemplo sencillo

La desviación típica del número \(X\) que sale al lanzar un dado (varianza \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{35}{12}\)) es

\(\sigma(X)\): desviación típica del resultado \(=\) raíz cuadrada positiva de la varianza \(\frac{35}{12}\)

\(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}71\)

La idea clave

La varianza es la media de las «desviaciones al cuadrado», así que sus unidades también están al cuadrado (si el premio está en euros, la varianza está en euros × euros). Eso dificulta hacerse una idea del tamaño de la dispersión, así que se calcula la raíz cuadrada para volver a las unidades originales. Eso es la desviación típica. Si la miras junto con el valor esperado, como en «un boleto de rifa con un valor esperado de 1,65 € y una desviación típica de unos 9,99 €», puedes comparar «cuán grandes son las oscilaciones alrededor de la media» en las mismas unidades.

El valor esperado \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\) es una media ponderada por la probabilidad: se suma «cada valor × su probabilidad». La dispersión se mide con la varianza \(\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) y su raíz cuadrada, la desviación típica \(\sigma(X)\).

Símbolos y términos

Símbolos

\(X\)	X mayúscula	Una variable aleatoria es una variable cuyo valor lo decide el resultado de una prueba, como el número que sale al lanzar un dado. Como es un «recipiente para un resultado» cuyo contenido aún no está decidido, se escribe con mayúscula para distinguirla de las variables normales.
\(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\)	x sub uno, x sub dos, …, x sub n	Cada uno de los valores posibles de la variable aleatoria \(X\). El número pequeño de abajo a la derecha (el subíndice) solo indica qué valor es de la lista; no tiene nada que ver con el valor en sí.
\(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\)	p sub uno, p sub dos, …, p sub n	La probabilidad de cada valor. \(p\) es la inicial de «probabilidad». Siempre suman 1.
\(n\)	n	El número de valores posibles (el número de filas de la tabla de distribución de probabilidad). Para un recuento suele usarse la letra \(n\), de «número».
\(E(X)\)	E de X	El valor esperado de la variable aleatoria \(X\). \(E\) es la inicial de «esperanza» (esperanza matemática). Representa un único número, «el valor esperado de \(X\)»; no es \(E\) por \(X\).
\(\mu\)	mi	La letra griega que suele usarse para el valor esperado (la media). Corresponde a la «m» de «media». Los libros de texto escriben \(\mu = E(X)\) para expresar más brevemente la definición de la varianza.
\(\mathrm{Var}(X)\)	varianza de X	La varianza de la variable aleatoria \(X\). Es la media de los cuadrados de las distancias al valor esperado (las desviaciones) e indica cuánto se dispersan los valores. Algunos libros la escriben \(V(X)\) o \(\sigma^2\).
\(\sigma(X)\)	sigma de X	La desviación típica de la variable aleatoria \(X\). \(\sigma\) es la letra griega sigma minúscula, la «s» griega de «desviación típica». Es la raíz cuadrada positiva de la varianza. También se llama desviación estándar.
\(X^2\)	X al cuadrado	Una nueva variable aleatoria que se obtiene elevando al cuadrado el valor de \(X\). \(E(X^2)\) es «eleva al cuadrado cada valor posible y después haz la media ponderada por la probabilidad».
\(\sqrt{\phantom{0}}\)	raíz cuadrada (signo radical)	El símbolo del número (0 o más) que, elevado al cuadrado, da el número de dentro, la raíz cuadrada positiva. Por ejemplo, \(\sqrt{9} = 3\). La desviación típica se halla poniendo la varianza bajo este símbolo.

Términos

variable aleatoria	Una variable cuyo valor lo decide el resultado de una prueba (un experimento o una observación cuyo resultado depende del azar), como el número que sale al lanzar un dado o el premio de un boleto de rifa. Suele escribirse con una \(X\) mayúscula.
distribución de probabilidad	La lista que asocia cada valor posible de una variable aleatoria con su probabilidad. Escrita como tabla, es una tabla de distribución de probabilidad, y los campos de esta página admiten esa tabla tal cual.
prueba (experimento aleatorio)	Un experimento u observación que se puede repetir en las mismas condiciones y cuyo resultado depende del azar, como lanzar un dado o sacar una papeleta de una rifa.
valor esperado (esperanza matemática)	La media de una variable aleatoria. Es cada valor por su probabilidad, sumado todo, y se acerca a «la media por intento» cuando la prueba se repite muchas veces. El símbolo es \(E(X)\) o \(\mu\).
media ponderada	Una media en la que cada valor se multiplica por un «peso» antes de sumar, en lugar de sumar sin más y dividir entre el número de datos. El valor esperado es una media ponderada con las probabilidades como pesos.
varianza	Una medida de cuánto se dispersan los valores. Eleva al cuadrado las distancias al valor esperado (las desviaciones) y hace la media ponderada por la probabilidad. El símbolo es \(\mathrm{Var}(X)\).
desviación típica	La raíz cuadrada positiva de la varianza. A diferencia de la varianza, está en las mismas unidades que los valores originales, así que es más fácil comparar cuánto se dispersan los datos. El símbolo es \(\sigma(X)\).
desviación	La distancia de un valor al valor esperado, \(x - \mu\). Las desviaciones son una mezcla de números positivos y negativos, y su media simple siempre es 0, por eso la varianza las eleva al cuadrado antes de hacer la media.
ley de los grandes números	La regla según la cual, cuantas más veces repites una prueba, más se acerca la media de los resultados reales al valor esperado. Es la base para leer el valor esperado como «la media por intento tras muchas repeticiones».
variable aleatoria discreta	Una variable aleatoria cuyos valores posibles son puntos separados (un número finito de valores, o números enteros), como los números de un dado (del 1 al 6). Esta página trata este tipo. Una variable aleatoria que toma valores continuos, como la estatura, se llama variable aleatoria continua, y su valor esperado se halla con una integral.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar los temas de esta lista es el camino más rápido.

Probabilidad básica (de 3.º de ESO a Bachillerato, 14-18 años)	Saber que una probabilidad es un número de 0 a 1 que indica lo probable que es algo (probabilidad \(\dfrac{1}{6}\) = ocurre más o menos 1 de cada 6 veces) Saber hallar probabilidades enumerando los resultados posibles, en situaciones como dados, monedas y rifas Saber que las probabilidades de todos los resultados posibles suman siempre 1
Operaciones con fracciones y decimales (de 5.º de Primaria a 1.º de ESO, 10-13 años)	Saber multiplicar y sumar fracciones (con denominador común), por ejemplo \(1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) Saber pasar de fracciones a decimales y porcentajes y al revés (\(\dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\))
La media (de 6.º de Primaria a Bachillerato, 11-18 años)	Saber que media = total ÷ número de datos Saber imaginar la diferencia entre una media simple, como la nota media de una clase, y una media ponderada, en la que los valores más probables cuentan más
Cuadrados y raíces cuadradas (2.º de ESO, 13-14 años)	Saber qué significan elevar al cuadrado (multiplicar un número por sí mismo) y su operación contraria, la raíz cuadrada \(\sqrt{\phantom{0}}\) (por ejemplo, \(\sqrt{9} = 3\)) Saber que el cuadrado de un número negativo es positivo (\((-2)^{2} = 4\))
Estadística descriptiva (4.º de ESO y Bachillerato, 15-18 años)	Haber calculado la media, la varianza y la desviación típica de un conjunto de datos (esta página es la «versión de distribución de probabilidad» de eso, que se estudia en Bachillerato) Saber que la varianza y la desviación típica miden lo dispersos que están los valores

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para calcular el valor esperado E(X) (ejemplo de la rifa)

Valor x₁ (boleto sin premio, 0 €)	0
Probabilidad p₁	0,7
Valor x₂ (premio de 1 €)	1
Probabilidad p₂	0,2
Valor x₃ (premio de 5 €)	5
Probabilidad p₃	0,09
Valor x₄ (premio de 100 €)	100
Probabilidad p₄	0,01
Suma de las probabilidades (comprueba que es 1)	=B2+B4+B6+B8
Valor esperado E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabla para calcular la varianza Var(X) (ejemplo de la rifa)

Valor x₁	0
Probabilidad p₁	0,7
Valor x₂	1
Probabilidad p₂	0,2
Valor x₃	5
Probabilidad p₃	0,09
Valor x₄	100
Probabilidad p₄	0,01
Valor esperado E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Media de los cuadrados E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Varianza Var(X) = E(X²) − [E(X)]²	=B10-B9^2

Tabla para calcular la desviación típica σ(X)

Varianza Var(X)	99,7275
Desviación típica σ(X) = √Var(X)	=RAIZ(B1)

Al pegar la tabla, las filas de arriba (valores y probabilidades) son tus datos y las filas de abajo se calculan automáticamente. «*» es la multiplicación, «^2» significa al cuadrado y RAIZ es la función de la raíz cuadrada.
La primera tabla es el ejemplo de la rifa (0 € con un 70 %, 1 € con un 20 %, 5 € con un 9 % y 100 € con un 1 %). La suma de las probabilidades es 1 y el valor esperado es 1,65 (euros).
La segunda tabla es la varianza de la misma rifa: la media de los cuadrados, 102,45, menos el cuadrado del valor esperado, 2,7225, que da 99,7275.
La tercera tabla halla la desviación típica a partir de esa varianza, unos 9,99 (euros). Para añadir filas, añade más pares de valor y probabilidad y amplía la parte «B1*B2+…» de las fórmulas con el mismo patrón.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para calcular el valor esperado E(X) (ejemplo de la rifa)

Valor x₁ (boleto sin premio, 0 €)	0
Probabilidad p₁	0,7
Valor x₂ (premio de 1 €)	1
Probabilidad p₂	0,2
Valor x₃ (premio de 5 €)	5
Probabilidad p₃	0,09
Valor x₄ (premio de 100 €)	100
Probabilidad p₄	0,01
Suma de las probabilidades (comprueba que es 1)	=B2+B4+B6+B8
Valor esperado E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabla para calcular la varianza Var(X) (ejemplo de la rifa)

Valor x₁	0
Probabilidad p₁	0,7
Valor x₂	1
Probabilidad p₂	0,2
Valor x₃	5
Probabilidad p₃	0,09
Valor x₄	100
Probabilidad p₄	0,01
Valor esperado E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Media de los cuadrados E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Varianza Var(X) = E(X²) − [E(X)]²	=B10-B9^2

Tabla para calcular la desviación típica σ(X)

Varianza Var(X)	99,7275
Desviación típica σ(X) = √Var(X)	=RAIZ(B1)

Puedes usar las mismas fórmulas que en Excel. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los valores y las probabilidades por tus propios números.

Cómo calcularlo con Python

from fractions import Fraction

# Tabla de distribución de probabilidad (pares de valor y probabilidad). Ejemplo de la rifa: el premio y la probabilidad de ganarlo
# Una probabilidad fraccionaria se puede escribir como Fraction(1, 6)
values = [Fraction(0), Fraction(1), Fraction(5), Fraction(100)]
probabilities = [Fraction("0.7"), Fraction("0.2"), Fraction("0.09"), Fraction("0.01")]

# Comprobación de que las probabilidades suman 1
total = sum(probabilities)
if total != 1:
    raise ValueError(f"Las probabilidades no suman 1 (suma: {total})")

# Valor esperado E(X) = Σ x_i p_i
mean = sum(x * p for x, p in zip(values, probabilities))
# Media de los cuadrados E(X²) y varianza Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
mean_of_squares = sum(x * x * p for x, p in zip(values, probabilities))
variance = mean_of_squares - mean * mean
# Desviación típica σ(X) = √Var(X)
std_dev = float(variance) ** 0.5

print(f"Valor esperado E(X): {mean} = {float(mean)}")
print(f"Varianza Var(X): {variance} = {float(variance)}")
print(f"Desviación típica σ(X): {std_dev}")

Con el módulo fractions de la biblioteca estándar, puedes calcular con fracciones exactas y sin errores de redondeo decimal. Este ejemplo es la rifa (0 € con un 70 %, 1 € con un 20 %, 5 € con un 9 % y 100 € con un 1 %). Al ejecutarlo, muestra el valor esperado 33/20 = 1,65, la varianza 39891/400 = 99,7275 y la desviación típica de unos 9,9864. Cambia los valores y las probabilidades y ejecútalo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Valor esperado (media de una variable aleatoria)

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>+</mo><mo>&#x22EF;</mo><mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub>
  </mrow>
</math>

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + cdots + x_n p_n

Total[x*p]

EX := add(x[i]*p[i], i = 1..n);

EX = sum(x .* p);

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_n

Varianza (cuánto se dispersan los valores)

Var(X) = E(X²) − [E(X)]²

\mathrm{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup><mrow><mo>[</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Total[x^2*p] - Total[x*p]^2

VX := add(x[i]^2*p[i], i = 1..n) - EX^2;

VX = sum(x.^2 .* p) - EX^2;

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Desviación típica

σ(X) = √Var(X)

\sigma(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma(X) = sqrt(Var(X))

Sqrt[Total[x^2*p] - Total[x*p]^2]

sigmaX := sqrt(VX);

sigmaX = sqrt(VX);

σ(X) = √(Var(X))

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de matemáticas (probabilidad y estadística). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni suposiciones).

La distribución de probabilidad de una variable aleatoria X viene dada por esta tabla.
Valor x: 0 ; 1 ; 5 ; 100
Probabilidad p: 0,7 ; 0,2 ; 0,09 ; 0,01

Muestra cada uno de los siguientes puntos:
1. Una comprobación de que las probabilidades suman 1
2. El valor esperado E(X) (como fracción irreducible o número entero, y como decimal)
3. La varianza Var(X) (usa la fórmula E(X²) − [E(X)]², y muestra también el valor de E(X²))
4. La desviación típica σ(X) (como decimal)

En Python, usa el módulo fractions de la biblioteca estándar para calcular con exactitud, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula