Introduce el primer término (el primer número de la sucesión), la diferencia (lo que aumenta cada término) y el número de términos (hasta dónde quieres llegar) y haz clic en «Calcular». Obtienes de una vez los primeros términos, el término n y la suma de los n primeros términos. La fórmula de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes cambiar el primer término, la diferencia y el número de términos directamente dentro de la fórmula.
El primer término y la diferencia pueden ser decimales o negativos. Escribe el número de términos n como un número entero positivo (de 1 a 100.000).
Resultado y gráfico
Introduce el primer término, la diferencia y el número de términos en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y un gráfico.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y gráficos
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Introduce solo tres datos, el primer término, la diferencia (lo que aumenta cada término) y el número de términos, y obtén de una vez el término \(n\)-ésimo y la suma de los \(n\) primeros términos
- Sirve directamente para problemas como «La sucesión 2, 7, 12, 17, … aumenta de 5 en 5. ¿Cuál es el término número 20? ¿Cuánto suman los 20 primeros?»
- El primer término y la diferencia pueden ser decimales o negativos (si la sucesión decrece, la diferencia es negativa)
- Junto al resultado, un gráfico muestra cómo se alinean los términos sobre una recta (la diferencia indica lo deprisa que suben)
- En esta misma página también tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página solo sirve para progresiones aritméticas (sucesiones en las que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma). No sirve para las sucesiones que crecen multiplicando por el mismo número, como 2, 6, 18, … (progresiones geométricas).
¿Para qué sirve este cálculo?
Calcular el total de un plan de ahorro creciente (planificar el dinero)
Un plan de ahorro de «ahorra 50 € el primer mes y cada mes 25 € más» es una progresión aritmética de primer término 50 y diferencia 25. En el mes 12 ahorras \(50 + 11 \times 25 = 325\) euros y el total del año es \(12 \times (50 + 325) \div 2 = 2250\) euros. Con solo dos fórmulas puedes calcular todo el plan por adelantado.
Cualquier plan que sube (o baja) lo mismo cada vez, y las preguntas «¿cuánto es la vez número k?» y «¿cuál es el total?», son cálculos de progresión aritmética.
Contar las butacas de un teatro o un estadio (diseño y organización de eventos)
En las salas con butacas en abanico es habitual que las filas sean del tipo «20 butacas en la fila 1 y 2 más en cada fila de detrás». Con 30 filas, la última tiene \(20 + 29 \times 2 = 78\) butacas y la sala entera tiene \(30 \times (20 + 78) \div 2 = 1470\) butacas.
Sin contar fila por fila, la fórmula de la suma da enseguida el total de butacas y el máximo de entradas que se pueden vender.
Sumar números consecutivos al instante (la anécdota del joven Gauss)
«¿Cuánto da la suma de todos los números enteros del 1 al 100?» Según la famosa anécdota, el matemático Gauss, siendo niño, respondió al momento: \(100 \times (1 + 100) \div 2 = 5050\). Es justo la suma de la progresión aritmética de primer término 1, diferencia 1 y 100 términos.
Los totales de números consecutivos, como sumar los números de una serie de facturas o apilar «1 el día 1, 2 el día 2, …», salen al instante con esta fórmula.
Planificar un entrenamiento o un estudio que aumenta poco a poco (entrenamiento)
Si planificas tus carreras como «2 km la semana 1 y 0,5 km más cada semana», en la semana 12 corres \(2 + 11 \times 0{,}5 = 7{,}5\) km y el total de las 12 semanas es \(12 \times (2 + 7{,}5) \div 2 = 57\) km.
Antes de empezar, puedes comprobar con números adónde te lleva un plan de «un poco más cada vez» y cuánto suma en total.
Interés simple (nociones básicas de finanzas)
Con interés simple, en el que solo se pagan intereses sobre la cantidad original (el capital), el saldo crece lo mismo cada año y forma una progresión aritmética. Con 10.000 € al 3 % de interés simple anual, crece 300 € al año y a los 5 años el saldo es \(10.000 + 5 \times 300 = 11.500\) euros.
Con interés compuesto, en el que los intereses también generan intereses, el saldo forma una progresión geométrica (una sucesión que crece multiplicando). La diferencia entre el interés simple y el compuesto es «crecer sumando o crecer multiplicando». Verlo con sucesiones ayuda mucho a entender los productos financieros.
Fórmulas y gráficos
Fórmula del término \(n\)-ésimo (término general)
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)\)
\(\times\)
\(d\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(a_n\): \(n\)-ésimo término
\(=\)
①
\(a_1\): primer término
\(+\)
②
\((n-1)\): número de pasos
\(\times\)
③
\(d\): diferencia
La fórmula en palabras
①
Empieza con el
\(a_1\): primer término
, suma
②
\((n-1)\): número de pasos
veces la
③
\(d\): diferencia
(es decir, suma la diferencia \(n-1\) veces)
④
y obtienes el
\(a_n\): \(n\)-ésimo término
Un ejemplo sencillo
En la progresión aritmética de primer término 2 y diferencia 5 (2, 7, 12, 17, …), el término 20 es
\(a_{20}\): término 20
\(=\)
primer término (2)
\(+\)
pasos (20 − 1 = 19)
\(\times\)
diferencia (5)
\(2 + (20 - 1) \times 5 = 2 + 95 = 97\)
La idea clave
El error más común es multiplicar por \(n\) en vez de por \(n-1\). Para ir del término 1 al término \(n\) se suma la diferencia una vez por cada paso, y hay \(n-1\) pasos, uno menos que \(n\). Por ejemplo, del término 1 al término 3 solo se suma dos veces (\(3-1\) veces).
La fórmula sirve tal cual cuando la diferencia \(d\) es negativa. En ese caso, los valores disminuyen en cada paso.
Fórmula de la suma de los \(n\) primeros términos
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(S_n\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\((\)
\(a_1\)
\(+\)
\(a_n\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\(S_n\): suma de los \(n\) primeros términos
\(=\)
③
\(n\): número de términos
\(\times\)
\((\)
①
\(a_1\): primer término
\(+\)
②
\(a_n\): \(n\)-ésimo término (último término)
\()\)
\(\div\)
④
\(2\): tomar la mitad
La fórmula en palabras
①
Suma el
\(a_1\): primer término
y el
②
\(a_n\): \(n\)-ésimo término (último término)
,
③
multiplica por el
\(n\): número de términos
,
④
divide entre
\(2\): tomar la mitad
,
⑤
y obtienes la
\(S_n\): suma de los \(n\) primeros términos
Un ejemplo sencillo
En la progresión aritmética de primer término 2 y diferencia 5, la suma de los términos del 1 al 20 (el término 20 es 97) es
\(S_{20}\): suma hasta el término 20
\(=\)
número de términos (20)
\(\times\)
\((\)
primer término (2)
\(+\)
término 20 (97)
\()\)
\(\div\)
tomar la mitad (2)
\(20 \times (2 + 97) = 20 \times 99 = 1980\)
\(1980 \div 2 = 990\)
La idea clave
\((a_1 + a_n) \div 2\) es la media del primer término y del último término. Una progresión aritmética aumenta lo mismo en cada paso, así que la media de todos sus términos coincide exactamente con la media del primero y el último. Por eso la suma es «media × número de términos». Esa es toda la idea de la fórmula.
Los libros de texto la escriben como una fracción, \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\). Es la misma fórmula de arriba.
«¿Cuánto suman todos los números enteros del 1 al 100?» es la suma de una progresión aritmética de primer término 1, último término 100 y 100 términos, así que la respuesta sale enseguida: \(100 \times (1 + 100) \div 2 = 5050\).
Fórmula de la suma directamente a partir del primer término y la diferencia
Notación matemática
(la notación habitual)
\(S_n\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\(\{\)
\(2a_1\)
\(+\)
\((n-1)\)
\(\times\)
\(d\)
\(\}\)
\(\div\)
\(2\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑥
\(S_n\): suma de los \(n\) primeros términos
\(=\)
④
\(n\): número de términos
\(\times\)
\(\{\)
①
\(2a_1\): el doble del primer término
\(+\)
②
\((n-1)\): número de pasos
\(\times\)
③
\(d\): diferencia
\(\}\)
\(\div\)
⑤
\(2\): tomar la mitad
La fórmula en palabras
①
Al
\(2a_1\): el doble del primer término
, súmale
②
\((n-1)\): número de pasos
veces la
③
\(d\): diferencia
(esto es igual a primer término + último término),
④
multiplica por el
\(n\): número de términos
,
⑤
divide entre
\(2\): tomar la mitad
,
⑥
y obtienes la
\(S_n\): suma de los \(n\) primeros términos
Un ejemplo sencillo
Con primer término 2, diferencia 5 y 20 términos, la suma calculada directamente, sin hallar antes el término 20, es
\(S_{20}\): suma hasta el término 20
\(=\)
número de términos (20)
\(\times\)
\(\{\)
el doble del primer término (2 × 2 = 4)
\(+\)
pasos (19)
\(\times\)
diferencia (5)
\(\}\)
\(\div\)
tomar la mitad (2)
\(2 \times 2 + (20 - 1) \times 5 = 4 + 95 = 99\)
\(20 \times 99 \div 2 = 990\)
La idea clave
Es la primera fórmula (el término general) sustituida en \(a_n\) de la segunda. Como \(a_1 + a_n = a_1 + a_1 + (n-1)d = 2a_1 + (n-1)d\), puedes obtener la suma directamente a partir del primer término y la diferencia, sin tener que hallar antes el último término \(a_n\).
Los libros de texto la escriben como una fracción, \(S_n = \dfrac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}\). Las dos fórmulas dan el mismo resultado. Usa la segunda cuando conozcas el último término y esta cuando solo conozcas el primer término y la diferencia.
Una progresión aritmética es una sucesión en la que se suma siempre el mismo número (la diferencia). El término \(n\)-ésimo es «el primer término más la diferencia sumada \(n-1\) veces», y la suma es «(primer término + último término) × número de términos ÷ 2», es decir, la media del primero y el último por el número de términos.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(a_1\) | a sub uno | El primer término. El primer término (número) de la sucesión. En la sucesión 2, 7, 12, 17, … es el 2. |
| \(d\) | de | La diferencia. La diferencia entre términos consecutivos (lo que aumenta cada término). En 2, 7, 12, 17, … es 5. La letra es la inicial de «diferencia» y puede ser un número negativo. |
| \(n\) | ene | El número de términos. Un número entero positivo que indica hasta qué posición de la sucesión llegas. «Hasta el término 20» es \(n = 20\). |
| \(a_n\) | a sub ene | El término \(n\)-ésimo. El número que ocupa el lugar \(n\) de la sucesión. La letra pequeña de abajo a la derecha (el subíndice) indica qué posición ocupa. El término \(n\)-ésimo escrito como una fórmula en \(n\) se llama término general. |
| \(n-1\) | ene menos uno | El número de pasos del término 1 al término \(n\), que es las veces que se suma la diferencia. Es uno menos que el número de términos \(n\) (del término 1 al término 3 hay 2 pasos). |
| \(S_n\) | ese sub ene | La suma de los \(n\) primeros términos. Es una forma abreviada de escribir \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). La letra S es la inicial de «suma». |
| \(\cdots\) | puntos suspensivos | Un símbolo que indica que el patrón continúa de la misma manera. Escribir 2, 7, 12, 17, … significa que los números siguen aumentando de 5 en 5. |
Términos
| sucesión | Una lista de números en un orden determinado. Cada número de la lista se llama término. |
| progresión aritmética | Una sucesión en la que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma, como 2, 7, 12, 17, … (la diferencia es siempre 5). También se llama sucesión aritmética. |
| término | Cada uno de los números de una sucesión. Empezando por el principio, se llaman término 1, término 2, y así sucesivamente. |
| primer término | El primer término de una sucesión, es decir, el término 1. Se escribe \(a_1\). |
| diferencia | En una progresión aritmética, la diferencia entre términos consecutivos. Sale el mismo valor con cualquier pareja de términos consecutivos que restes. Puede ser negativa (en una sucesión decreciente) o decimal. |
| último término | El último término del tramo que estás considerando. En la suma de los \(n\) primeros términos, el último término es \(a_n\). |
| término general | El término \(n\)-ésimo escrito como una fórmula en \(n\). En una progresión aritmética es \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Si pones en \(n\) el número del lugar, obtienes enseguida el valor de ese término. |
| progresión geométrica | Una sucesión en la que el cociente entre términos consecutivos es siempre el mismo, como 2, 6, 18, 54, … (se multiplica por 3 cada vez). Crece de otra manera que una progresión aritmética, que suma el mismo número, así que las fórmulas de esta página no sirven. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Regularidades y series de números (5.º y 6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
| Números negativos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Lenguaje algebraico (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Jerarquía de las operaciones (4.º y 5.º de Primaria, 9-11 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el término n (primer término 2, diferencia 5, 20 términos)
| Primer término a1 | 2 |
| Diferencia d | 5 |
| Número de términos n | 20 |
| Término n | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabla para hallar la suma de los términos del 1 al n (usando el término n)
| Primer término a1 | 2 |
| Diferencia d | 5 |
| Número de términos n | 20 |
| Término n | =B1+(B3-1)*B2 |
| Suma de los términos del 1 al n | =B3*(B1+B4)/2 |
Tabla para hallar la suma directamente a partir del primer término y la diferencia
| Primer término a1 | 2 |
| Diferencia d | 5 |
| Número de términos n | 20 |
| Suma de los términos del 1 al n | =B3*(2*B1+(B3-1)*B2)/2 |
Al pegar la tabla, las celdas B1 a B3 son los datos de entrada y la celda de abajo del todo muestra el resultado calculado.
En las fórmulas, «B1» y «B3» significan «usa el número de esa celda», «*» es la multiplicación y «/» es la división. «=B1+(B3-1)*B2» es la fórmula misma: «primer término más (número de términos − 1) × diferencia».
Por ejemplo, la primera tabla muestra 97 (el término 20) en B4 y la segunda muestra 990 (la suma) en B5. Solo tienes que cambiar B1 a B3 por tus propios números.
En las fórmulas, «B1» y «B3» significan «usa el número de esa celda», «*» es la multiplicación y «/» es la división. «=B1+(B3-1)*B2» es la fórmula misma: «primer término más (número de términos − 1) × diferencia».
Por ejemplo, la primera tabla muestra 97 (el término 20) en B4 y la segunda muestra 990 (la suma) en B5. Solo tienes que cambiar B1 a B3 por tus propios números.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el término n (primer término 2, diferencia 5, 20 términos)
| Primer término a1 | 2 |
| Diferencia d | 5 |
| Número de términos n | 20 |
| Término n | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabla para hallar la suma de los términos del 1 al n (usando el término n)
| Primer término a1 | 2 |
| Diferencia d | 5 |
| Número de términos n | 20 |
| Término n | =B1+(B3-1)*B2 |
| Suma de los términos del 1 al n | =B3*(B1+B4)/2 |
Tabla para hallar la suma directamente a partir del primer término y la diferencia
| Primer término a1 | 2 |
| Diferencia d | 5 |
| Número de términos n | 20 |
| Suma de los términos del 1 al n | =B3*(2*B1+(B3-1)*B2)/2 |
Las mismas fórmulas de Excel sirven tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia B1 a B3 por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
first_term = 2 # primer término
common_difference = 5 # diferencia
number_of_terms = 20 # número de términos
# término n = primer término + (n - 1) * diferencia
nth_term = first_term + (number_of_terms - 1) * common_difference
# suma de los términos del 1 al n = n * (primer término + término n) / 2
sum_of_terms = number_of_terms * (first_term + nth_term) / 2
# los 10 primeros términos de la sucesión (para comprobar)
sequence = [first_term + k * common_difference for k in range(min(number_of_terms, 10))]
print(f"Primeros términos: {sequence}")
print(f"Término {number_of_terms}: {nth_term}")
print(f"Suma de los términos del 1 al {number_of_terms}: {sum_of_terms}")
Funciona solo con la biblioteca estándar. Cambia los tres números del principio (primer término, diferencia y número de términos) y ejecútalo. Este ejemplo muestra 97 para el término 20 y 990 para la suma (como número decimal). Para mostrar la suma como número entero, cambia «/ 2» por «// 2» (división entera) cuando el primer término y la diferencia sean enteros.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Fórmula del término \(n\)-ésimo (término general)
aₙ = a₁ + (n − 1)d
a_n = a_1 + (n-1)d
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mi>d</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1) d
a1 + (n - 1)*d
an := a1 + (n - 1)*d;
a_n = a1 + (n - 1)*d;
a_n = a_1 + (n - 1)d
Fórmula de la suma de los \(n\) primeros términos
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S_n = (n(a_1 + a_n))/2
n*(a1 + an)/2
Sn := n*(a1 + an)/2;
S_n = n*(a1 + a_n)/2;
S_n = n(a_1 + a_n)/2
Fórmula de la suma directamente a partir del primer término y la diferencia
Sₙ = n{2a₁ + (n − 1)d} ÷ 2
S_n = \dfrac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>{</mo>
<mn>2</mn>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mi>d</mi>
<mo>}</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S_n = (n(2 a_1 + (n-1) d))/2
n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2
Sn := n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2;
S_n = n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2;
S_n = n(2a_1 + (n - 1)d)/2
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de progresiones aritméticas. Haz los cálculos siguientes ejecutando realmente código de Python y responde basándote solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones). Halla el término n con a_n = a_1 + (n-1)d y la suma con S_n = n(a_1 + a_n)/2. 1. El término 20 y la suma de los términos del 1 al 20 de la progresión aritmética de primer término 2 y diferencia 5 2. El término 10 y la suma de los términos del 1 al 10 de la progresión aritmética de primer término -3 y diferencia 4 3. El término 15 y la suma de los términos del 1 al 15 de la progresión aritmética de primer término 100 y diferencia -7 Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
Fácil y gratis
Conversiones gratis e ilimitadas
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin registro
Disponible nada más entrar
Sin necesidad de dar datos personales
Sin necesidad de dar datos personales
Seguro y protegido
Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Alta velocidad
Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora de progresión geométrica (término n y suma)
Calcula el término n y la suma a partir del primer término, la razón y el número de términos (una sucesión que avanza multiplicando por el mismo número, la pareja de la progresión aritmética, que avanza sumando)
Calculadora de pendiente (pendiente de una recta, distancia y ángulo)
Calcula la pendiente, la distancia, el ángulo y la ecuación de una recta a partir de dos puntos (en un gráfico, la diferencia de una progresión aritmética es la pendiente de una recta)
Calculadora de media (media aritmética)
Calcula la media aritmética, la mediana y más a partir de una lista de números (la suma de una progresión aritmética es la media del primer y el último término por el número de términos)
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Calcula el término n y la suma de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), una sucesión que suma los dos términos anteriores en vez de un número fijo
