Introduce el radio de la base superior, el de la base inferior y la altura de un tronco de cono (un cuerpo como un cubo de fregar, con dos círculos paralelos arriba y abajo y una pared que se estrecha). Obtendrás el volumen y el volumen en litros (L).
Introduce las tres longitudes en la misma unidad, solo como números (por ejemplo, para 15 cm, escribe «15»). El radio superior o el inferior pueden ser el mayor. Si pones 0 en un radio, obtienes un cono; si pones el mismo valor en los dos, un cilindro.
Resultado y figura
Introduce los radios de las bases y la altura en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y dibujos
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Introduce el radio de la base superior, el de la base inferior y la altura, y obtienes al instante el volumen de un tronco de cono (una forma como la de un cubo de fregar o un vaso de yogur)
- El volumen también se convierte a litros (L), tanto si introduces cm como si introduces m
- También puedes ver el tronco de cono como una figura en 3D que se gira arrastrando con el ratón
- Si pones 0 en uno de los radios, obtienes el volumen de un cono; si pones el mismo radio en los dos, el de un cilindro
- En esta misma página también encontrarás una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Introduce las tres longitudes en la misma unidad (por ejemplo, todas en cm). La «altura» es la distancia vertical entre la base superior y la inferior, no la longitud del lado inclinado.
¿Para qué sirve este cálculo?
Comprobar cuántos litros caben en un cubo o en un garrafón (hogar)
La mayoría de los cubos (los recipientes para fregar o para acarrear agua) son troncos de cono, anchos por arriba y estrechos por abajo. Para un cubo de 15 cm de radio en el borde superior, 10 cm en el fondo y 25 cm de profundidad, el volumen es de unos 12.435 cm³, es decir, unos 12,4 L.
Si mides un cubo de «12 L» de los que se venden, sale más o menos este resultado. Es un cálculo práctico para saber cuántos viajes hacen falta para mover cierta cantidad de agua o la capacidad aproximada de un recipiente sin etiqueta. (Un recipiente no se llena nunca hasta el borde, así que cuenta con algo menos que la cantidad calculada.)
Estimar cuánta tierra necesita una maceta (jardinería)
Una maceta es otro típico tronco de cono. Para una maceta de 12 cm de radio arriba, 8 cm abajo y 20 cm de altura, el volumen es de unos 6367 cm³, es decir, unos 6,4 L. El sustrato se vende en sacos de distintos litros (por ejemplo, de 20 L o de 50 L), así que, con el número de macetas, puedes calcular cuántos sacos comprar antes de ir a la tienda.
Se deja algo de espacio bajo el borde para poder regar, así que cuenta con usar entre el 80 y el 90 % de la cantidad calculada.
Diseñar la capacidad de vasos y envases de alimentos (alimentación e industria)
Un vaso de papel es un tronco de cono más ancho por arriba. Para un vaso de 3,6 cm de radio arriba, 2,3 cm abajo y 8 cm de altura, el volumen es de unos 222 cm³ (unos 222 mL) hasta el borde. Las bebidas se sirven por debajo del borde, así que la capacidad útil es algo menor. Esta fórmula es la base para diseñar el tamaño de los vasos y la capacidad que se indica en ellos.
Flanes, yogures, vasos medidores: la capacidad de todo envase de alimentos con forma de tronco de cono sale de este cálculo.
Estimar un montón de arena o de tierra (obra civil y construcción)
Un montón de arena o de grava descargado por un camión es más o menos un cono (un tronco de cono con radio superior 0). Para un montón de 2 m de radio en la base y 1,5 m de altura, el volumen es de unos 6,3 m³.
En las obras y en jardinería, esta estimación indica cuántos camiones hacen falta y si el pedido es suficiente. Un montón real no es un cono perfecto, así que solo sirve como cálculo aproximado.
Capacidad de una tolva, un depósito en forma de embudo (industria)
Una tolva almacena polvo o grano en una fábrica y lo deja salir poco a poco por abajo. Su parte inferior es un tronco de cono invertido. Para un tramo de 1 m de radio arriba, 0,2 m abajo y 1,2 m de altura, la capacidad es de unos 1,56 m³ (unos 1560 L).
Quienes diseñan los equipos usan esta fórmula para saber cuánto cabe en una tolva y decidir el tamaño del depósito y cada cuánto hay que rellenarlo. Silos, embudos y sumideros: los troncos de cono aparecen por todas partes en los equipos industriales.
Fórmulas y dibujos
Fórmula del volumen de un tronco de cono
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(V\)
\(=\)
\((\)
\(r\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(\times\)
\(R\)
\(+\)
\(R\)
\(2\)
\()\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div 3\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑦
\(V\): volumen del tronco de cono
\(=\)
\((\)
①
\(r\): radio superior
③
al cuadrado (el número multiplicado por sí mismo)
\(+\)
\(r\): radio superior
\(\times\)
②
\(R\): radio inferior
\(+\)
\(R\): radio inferior
al cuadrado
\()\)
\(\times\)
④
\(\pi\): pi
\(\times\)
⑤
\(h\): altura
⑥
\(\div 3\)
La fórmula en palabras
①
Con el
\(r\): radio superior
②
y el
\(R\): radio inferior
③
forma tres productos, los valores
al cuadrado (el número multiplicado por sí mismo)
de \(r^2\) y \(R^2\), y \(rR\) (los dos radios multiplicados entre sí), y súmalos
④
multiplica por
\(\pi\): pi (aprox. 3,14)
⑤
multiplica por la
\(h\): altura
⑥
y por último divide entre 3 (se reparte en 3 partes iguales)
⑦
para obtener el
\(V\): volumen del tronco de cono
Un ejemplo sencillo
El volumen de un tronco de cono de 1 cm de radio en la base superior, 2 cm en la inferior y 3 cm de altura (más ancho por abajo, como un flan pequeño) es
\(V\): volumen del tronco de cono
\(=\)
\((\)
radio superior (1 cm)
al cuadrado
\(+\)
radio superior (1 cm)
\(\times\)
radio inferior (2 cm)
\(+\)
radio inferior (2 cm)
al cuadrado
\()\)
\(\times\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
altura (3 cm)
\(\div 3\)
\(1 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 2 = 1 + 2 + 4 = 7\)
\(7 \times \pi \times 3 \div 3 = 7\pi\)
\(7\pi = 7 \times 3{,}14159\ldots \approx 21{,}99\,\mathrm{cm^3}\)
La idea clave
Un truco para recordarla: suma los tres productos \(r^2\), \(rR\) y \(R^2\), multiplica por π como en el área de un círculo y, como es de la familia del cono (un cuerpo que acaba en punta), divide entre 3 al final.
Esta fórmula incluye también el cono y el cilindro. Con \(r = 0\) se convierte en la fórmula del cono, \(V = \dfrac{1}{3}\pi R^2 h\); con \(r = R\), en la del cilindro, \(V = \pi R^2 h\). Si cambias entre sí los radios de arriba y de abajo, el resultado no cambia (la fórmula conserva la misma forma al intercambiar \(r\) y \(R\)).
Cono grande menos cono pequeño (de dónde sale la fórmula)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(V\)
\(=\)
\(V_{1}\)
\(-\)
\(V_{2}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(V\): volumen del tronco de cono
\(=\)
①
\(V_1\): volumen del cono grande original
\(-\)
②
\(V_2\): volumen del cono pequeño que se corta
La fórmula en palabras
①
Al
\(V_1\): volumen del cono grande original
②
réstale el
\(V_2\): volumen del cono pequeño que se corta
③
y obtienes el
\(V\): volumen del tronco de cono
Un ejemplo sencillo
Compruébalo con el mismo tronco de cono de la fórmula 1 (radio superior 1 cm, radio inferior 2 cm, altura 3 cm). Si prolongas la pared hacia arriba, obtienes un cono grande de 6 cm de altura; el cono pequeño que se corta mide 3 cm de altura
\(V\): volumen del tronco de cono
\(=\)
cono grande (radio 2 cm, altura 6 cm)
\(-\)
cono pequeño (radio 1 cm, altura 3 cm)
\(V_1 = 2 \times 2 \times \pi \times 6 \div 3 = 8\pi\)
\(V_2 = 1 \times 1 \times \pi \times 3 \div 3 = \pi\)
\(V = 8\pi - \pi = 7\pi \approx 21{,}99\,\mathrm{cm^3}\)
La idea clave
Un tronco de cono es lo que queda al cortar un cono con un plano paralelo a su base y quitar la parte del vértice. Por eso puedes hallar su volumen prolongando la pared inclinada hasta formar el cono grande y restándole después el cono pequeño que se ha cortado.
Hasta dónde hay que prolongar la pared para llegar al vértice se deduce de la idea de figuras semejantes. En este ejemplo, los radios de arriba y de abajo están en la razón \(1 : 2\), así que las alturas del cono pequeño y del grande también están en la razón \(1 : 2\). La altura del tronco, 3 cm, es la diferencia entre ellas, así que el cono pequeño mide 3 cm de altura y el grande, 6 cm. La fórmula 1 es esta resta hecha con letras y simplificada, por eso el resultado es exactamente el mismo, \(7\pi\). Aunque olvides la fórmula, con esta idea puedes hallar el volumen de un tronco de cono.
Conversión de unidades de volumen (cm³ → L)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): volumen en litros
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volumen en cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ en 1 litro
La fórmula en palabras
①
Toma el
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): volumen en cm³
②
divídelo entre
\(1000\): cm³ en 1 litro
③
y obtienes el
\(V_{\mathrm{L}}\): volumen en litros
Un ejemplo sencillo
El volumen de un cubo (recipiente) con forma de tronco de cono de 15 cm de radio arriba, 10 cm abajo y 25 cm de altura, unos 12.435 cm³, en litros es
volumen en litros
\(=\)
volumen en cm³ (unos 12.435)
\(\div\)
cm³ en 1 litro (1000)
\(12.435 \div 1000 = 12{,}435 \approx 12{,}4\,\mathrm{L}\)
La idea clave
1 litro es el volumen de un cubo de 10 cm de arista: \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\). Por eso, para pasar de cm³ a litros se divide entre 1000.
Si has introducido m, hay que hacer lo contrario y multiplicar por 1000 para obtener litros, porque \(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{L}\).
El volumen de un tronco de cono es «(radio superior al cuadrado + radio superior × radio inferior + radio inferior al cuadrado) × π × altura ÷ 3». Si olvidas la fórmula, vuelve a la resta «cono grande − cono pequeño». Para pasar de cm³ a litros, divide entre 1000.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(r\) | erre minúscula | El radio del círculo de arriba, por la inicial de «radio». En esta página es siempre el radio de la base superior, sea o no el círculo más pequeño. |
| \(R\) | erre mayúscula | El radio del círculo de abajo (la base). Se escribe en mayúscula para distinguirlo del radio superior \(r\). |
| \(h\) | hache | La altura del tronco de cono, por la inicial de «altura». Es la distancia vertical entre el círculo de abajo y el de arriba, no la longitud del lado inclinado. |
| \(\pi\) | pi | El número que indica cuántas veces cabe el diámetro en la longitud de la circunferencia. Vale \(3{,}14159265\ldots\) y sus decimales no acaban nunca. En los cálculos sencillos se suele usar 3,14. |
| \(r^2\) | erre al cuadrado | El número \(r\) multiplicado por sí mismo (\(r \times r\)). El pequeño 2 de arriba a la derecha es un exponente que indica que el número aparece dos veces como factor. |
| \(V\) | uve | Una letra que se usa a menudo para el volumen, por la inicial de «volumen». |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centímetro cúbico | Una unidad de volumen. Un cubo de 1 cm de arista tiene un volumen de 1 cm³. |
| \(\mathrm{L}\) | litro | Una unidad de volumen muy usada para las cantidades de agua y otros líquidos (capacidad). Se cumple \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) y \(1\,\mathrm{m^3} = 1000\,\mathrm{L}\). |
Términos
| tronco de cono | El cuerpo que queda al cortar un cono con un plano paralelo a su base y quitar la parte del vértice. Arriba y abajo tiene dos círculos paralelos de distinto tamaño, y la pared se estrecha. Los cubos, las macetas, los vasos de papel y los flanes tienen esta forma tan común. |
| cono | Un cuerpo con una base circular que se estrecha hasta un solo punto, el vértice, como un cucurucho de helado. Un tronco de cono sale de un cono. |
| base | La cara del fondo de un cuerpo. En un tronco de cono es el círculo de abajo (el círculo de arriba se llama base superior). |
| volumen | El tamaño de un cuerpo (el espacio que ocupa), expresado con un número. Se mide contando cuántos cubos unidad (por ejemplo, de 1 cm³) caben dentro. |
| semejante | Que tiene la misma forma pero distinto tamaño. En la fórmula 2, para hallar la altura del cono grande se usa que, en conos semejantes, la razón entre los radios es igual a la razón entre las alturas. |
| pirámide | Un cuerpo cuya base es un polígono y cuyas caras laterales son triángulos que se juntan en un punto. Los conos y las pirámides acaban en punta, y su volumen es siempre «área de la base × altura ÷ 3». El «÷ 3» de la fórmula del tronco de cono viene de aquí. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que conviene saber para usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
| Área del círculo y número π (6.º de Primaria, 11-12 años) |
|
| Qué es el volumen y sus unidades (5.º de Primaria, 10-11 años) |
|
| Potencias (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Volumen del cilindro y del cono (2.º de ESO, 13-14 años) |
|
| Figuras semejantes (3.º de ESO, 14-15 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el volumen de un tronco de cono
| Radio r de la base superior (cm) | 15 |
| Radio R de la base inferior (cm) | 10 |
| Altura h (cm) | 25 |
| Volumen del tronco de cono (cm³) | =(B1^2+B1*B2+B2^2)*PI()*B3/3 |
Tabla para calcularlo como cono grande − cono pequeño
| Radio de la base del cono grande | 2 |
| Altura del cono grande | 6 |
| Radio de la base del cono pequeño | 1 |
| Altura del cono pequeño | 3 |
| Volumen del cono grande | =B1^2*PI()*B2/3 |
| Volumen del cono pequeño | =B3^2*PI()*B4/3 |
| Volumen del tronco de cono | =B5-B6 |
Tabla para convertir cm³ a litros
| Volumen en cm³ | 12435,47 |
| Volumen en litros | =B1/1000 |
Al pegarla, la columna A contiene los nombres y la columna B los números. Las filas de arriba son tus datos, y la fórmula de la última fila calcula el resultado automáticamente.
En una fórmula, «B1» y «B2» significan «el número de esa celda». «*» es la multiplicación, «/» la división, «^2» eleva un número al cuadrado y «PI()» es la función de Excel para π (3,14159…).
En la primera tabla, por ejemplo, B4 muestra aproximadamente 12435,47 (en cm³, porque has introducido cm). La segunda tabla muestra aproximadamente 21,99 en B7 y la tercera, aproximadamente 12,44 en B2. Solo tienes que cambiar los números por tus propias longitudes.
En una fórmula, «B1» y «B2» significan «el número de esa celda». «*» es la multiplicación, «/» la división, «^2» eleva un número al cuadrado y «PI()» es la función de Excel para π (3,14159…).
En la primera tabla, por ejemplo, B4 muestra aproximadamente 12435,47 (en cm³, porque has introducido cm). La segunda tabla muestra aproximadamente 21,99 en B7 y la tercera, aproximadamente 12,44 en B2. Solo tienes que cambiar los números por tus propias longitudes.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el volumen de un tronco de cono
| Radio r de la base superior (cm) | 15 |
| Radio R de la base inferior (cm) | 10 |
| Altura h (cm) | 25 |
| Volumen del tronco de cono (cm³) | =(B1^2+B1*B2+B2^2)*PI()*B3/3 |
Tabla para calcularlo como cono grande − cono pequeño
| Radio de la base del cono grande | 2 |
| Altura del cono grande | 6 |
| Radio de la base del cono pequeño | 1 |
| Altura del cono pequeño | 3 |
| Volumen del cono grande | =B1^2*PI()*B2/3 |
| Volumen del cono pequeño | =B3^2*PI()*B4/3 |
| Volumen del tronco de cono | =B5-B6 |
Tabla para convertir cm³ a litros
| Volumen en cm³ | 12435,47 |
| Volumen en litros | =B1/1000 |
Funcionan las mismas fórmulas que en Excel (incluida la función PI()). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los números por tus propias longitudes.
Cómo calcularlo con Python
import math
radius_top = 15 # radio del círculo de arriba
radius_bottom = 10 # radio del círculo de abajo (la base)
height = 25 # altura (en la misma unidad que los radios)
volume = (radius_top**2 + radius_top*radius_bottom + radius_bottom**2) * math.pi * height / 3
liter = volume / 1000 # si introduces cm, el volumen en litros
print(f"Volumen del tronco de cono: {volume} cm3")
print(f"En litros: {liter} L")
Funciona solo con la biblioteca estándar. «math.pi» es π, «**2» eleva un número al cuadrado, «*» es la multiplicación y «/» la división. Cambia los tres valores de arriba y ejecuta el código (el ejemplo corresponde a una entrada en cm; si introduces m, para pasar a litros hay que multiplicar por 1000).
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Fórmula del volumen de un tronco de cono
V = (1/3)πh(r² + rR + R²)
V = \frac{1}{3}\pi h \left( r^{2} + rR + R^{2} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<mi>h</mi>
<mo>(</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mi>r</mi>
<mi>R</mi>
<mo>+</mo>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
V = (1/3) pi h (r^2 + r R + R^2)
Pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3
V := Pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3;
V = pi*h*(r^2 + r*R + R^2)/3;
V = (1/3)πh(r^2 + rR + R^2)
Cono grande menos cono pequeño (de dónde sale la fórmula)
V = V₁ − V₂
V = V_{1} - V_{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>V</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
V = V_1 - V_2
v1 - v2
V := V1 - V2;
V = V1 - V2;
V = V_1 - V_2
Conversión de unidades de volumen (cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi>L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi>cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_L = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo matemático. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no calcules de cabeza ni estimes). Un tronco de cono (con forma de cubo de fregar) tiene 15 cm de radio en la base superior, 10 cm en la base inferior y 25 cm de altura. Calcula: 1. El volumen de este tronco de cono en cm³ (usa la fórmula V = (1/3)πh(r² + rR + R²)) 2. Ese volumen en litros (L) Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
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