Introduce el número de términos (hasta dónde quieres llegar) y haz clic en «Calcular». Obtienes de una vez los primeros términos de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, …), el término n y la suma de los n primeros términos.
Escribe el número de términos n como un número entero positivo (de 1 a 1000). Todos los cálculos usan números enteros exactos, así que hasta los términos grandes no tienen error en ninguna cifra.
Resultado y gráfico
Introduce el número de términos en el campo de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y un gráfico.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y gráficos
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Introduce solo un dato, el número de términos (hasta dónde quieres llegar), y obtén de una vez el término \(n\)-ésimo de la sucesión de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …) y la suma de los \(n\) primeros términos
- Sirve directamente para preguntas como «¿Cuál es el número de Fibonacci que ocupa el lugar 20? ¿Cuánto suman los 20 primeros?»
- Calcula valores exactos, con todas sus cifras, hasta el término 1000 (un número de 209 cifras)
- Junto al resultado, un gráfico muestra cómo crece la sucesión de Fibonacci, en la que cada término es la suma de los dos anteriores
- En esta misma página también tienes una explicación sencilla de la fórmula (la relación de recurrencia) y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta calculadora empieza la sucesión de Fibonacci en 1, como «1, 1, 2, 3, 5, …» (término 1 = 1, término 2 = 1). Algunos libros ponen un 0 delante y empiezan «0, 1, 1, 2, 3, …». En ese caso el 0 suele contarse como término 0, así que a partir del término 1 = 1 la numeración es la misma que en esta página. (Ojo, si cuentas el 0 como primer término, todos los números de posición se desplazan una unidad.)
¿Para qué sirve este cálculo?
Un ejercicio clásico para aprender a programar (informática)
La sucesión de Fibonacci sigue la regla sencilla «suma los dos términos anteriores», así que es un ejercicio clásico para aprender bucles y recursividad (una función que se llama a sí misma) en los cursos de introducción a la programación. La misma respuesta puede tardar muy distinto según cómo escribas el código (la recursividad simple necesita un número enorme de llamadas para llegar al término 50), por lo que también es muy popular en las clases de algoritmos.
Además, hay una estructura de datos (el montículo de Fibonacci) y un método de búsqueda (la búsqueda de Fibonacci) que llevan su nombre, lo que la convierte en uno de los términos básicos de la informática.
El cociente entre términos consecutivos se acerca al número áureo (matemáticas y diseño)
Se ha demostrado que el cociente entre números de Fibonacci consecutivos (el posterior ÷ el anterior) se acerca al número áureo \(\varphi = 1{,}618\cdots\) cuanto más avanzas. De hecho, \(55 \div 34 \approx 1{,}6176\) y \(89 \div 55 \approx 1{,}6182\), así que hacia el término 10 ya coinciden con 2 decimales.
El número áureo se usa a veces en el diseño como una proporción equilibrada. Por ejemplo, suele decirse que la forma de una tarjeta de crédito (85,60 × 53,98 mm, unos 1,586) se acerca a él. Que el número áureo aparezca en una sucesión construida solo sumando números enteros es la propiedad más bella de la sucesión de Fibonacci.
Cómo se multiplican las parejas de conejos (el problema del que nace la sucesión)
La sucesión de Fibonacci nace de un problema del libro Liber abaci del matemático italiano del siglo XIII Fibonacci: «Una pareja recién nacida de conejos empieza a tener una pareja nueva cada mes desde que cumple 2 meses. ¿Cómo cambia mes a mes el número de parejas?» El número de parejas de cada mes crece como 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, hasta llegar a 144 parejas en el mes 12.
Por supuesto, los conejos de verdad no se multiplican exactamente así; es un modelo idealizado. Aun así, fue el punto de partida para describir con sucesiones cómo crece una cantidad en función de las cantidades de un poco antes.
Se usa para las estimaciones en los equipos de desarrollo (informática y gestión de proyectos)
En el desarrollo ágil de software es habitual estimar el trabajo con números basados en la sucesión de Fibonacci, como 1, 2, 3, 5, 8, 13, … (llamados puntos de historia, o story points).
Los saltos aumentan cuanto mayores son los números, lo que encaja con la realidad de que las tareas grandes no se pueden estimar con precisión. También evita debates inútilmente minuciosos como «¿es un 8 o un 9?».
Aparece en las espirales de las plantas (biología y observación de la naturaleza)
Se han descrito muchos ejemplos en los que el número de espirales es un número de Fibonacci (8, 13, 21, 34, 55, …), como las espirales de las pipas de un girasol (por ejemplo, 34 en un sentido y 55 en el otro) y las espirales de las escamas de las piñas y de las piñas tropicales. Este patrón se explica por cómo crecen las plantas: los brotes y las semillas nuevos se forman en direcciones que no se solapan con las partes ya existentes.
Sin embargo, no todas las plantas ni todos los ejemplares lo cumplen. Se conoce como una tendencia: muchos ejemplos resultan ser números de Fibonacci. Prueba a contar las espirales de una planta que tengas cerca y quizá te encuentres con esta sucesión.
Fórmulas y gráficos
Fórmula del siguiente término (la relación de recurrencia de Fibonacci)
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_{n-1}\)
\(+\)
\(a_{n-2}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(a_n\): \(n\)-ésimo término
\(=\)
①
\(a_{n-1}\): término anterior
\(+\)
②
\(a_{n-2}\): término dos posiciones antes
La fórmula en palabras
①
Suma el
\(a_{n-1}\): término anterior
y el
②
\(a_{n-2}\): término dos posiciones antes
,
③
y obtienes el
\(a_n\): \(n\)-ésimo término
Un ejemplo sencillo
En la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, …, el término 7 es
\(a_7\): término 7
\(=\)
término anterior (término 6 = 8)
\(+\)
término dos posiciones antes (término 5 = 5)
\(8 + 5 = 13\)
La idea clave
Esta fórmula por sí sola no fija los dos primeros términos. La sucesión queda determinada del todo solo cuando añades la regla (las condiciones iniciales) de que los dos primeros términos valen \(1\) (\(a_1 = 1,\ a_2 = 1\)).
Una fórmula escrita como «una regla que obtiene el siguiente término a partir de los anteriores», como esta, se llama relación de recurrencia (o fórmula recurrente). A diferencia del término general de una progresión aritmética o geométrica (una fórmula que da el valor en cuanto pones \(n\)), para hallar el término \(n\)-ésimo hay que volver al término 2 e ir sumando en orden.
Algunos libros ponen un \(0\) delante y empiezan \(0, 1, 1, 2, 3, \cdots\). En ese estilo el \(0\) suele contarse como término 0 (\(a_0 = 0\)), así que a partir del término 1 (\(a_1 = 1,\ a_2 = 1, \cdots\)) los números y los valores son los mismos que en esta página. Los números de posición se desplazan una unidad solo si cuentas el \(0\) como primer término. Esta calculadora usa la convención habitual de los libros de texto: empezar con \(1, 1\), con término 1 = 1.
Fórmula de la suma de los \(n\) primeros términos (la propiedad de la suma)
Gráfico
Notación matemática
(la notación habitual)
\(S_n\)
\(=\)
\(a_{n+2}\)
\(-\)
\(1\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(S_n\): suma de los \(n\) primeros términos
\(=\)
①
\(a_{n+2}\): término dos posiciones después
\(-\)
②
\(1\)
La fórmula en palabras
①
Al
\(a_{n+2}\): término dos posiciones después
, réstale
②
\(1\)
,
③
y obtienes la
\(S_n\): suma de los \(n\) primeros términos
Un ejemplo sencillo
En la sucesión de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …, la suma de los términos del 1 al 6 (1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8) es
\(S_6\): suma hasta el término 6
\(=\)
término dos posiciones después (término 8 = 21)
\(-\)
1
\(21 - 1 = 20\)
La idea clave
«Para obtener la suma, basta mirar el término dos posiciones después y restarle \(1\).» Esta útil propiedad es propia de la sucesión de Fibonacci. Obtienes la suma de un solo paso, sin sumar los términos uno a uno.
¿Por qué funciona? Lee la relación de recurrencia como \(a_k = a_{k+2} - a_{k+1}\) (un término es igual al término dos posiciones después menos el siguiente). Aplícala a cada término de \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) y las partes vecinas se cancelan una tras otra, de modo que solo queda \(a_{n+2} - a_2 = a_{n+2} - 1\).
Puedes usar esta propiedad para comprobar la calculadora. Por ejemplo, la suma hasta el término 10 es 143, exactamente 1 menos que el término 12, que es 144.
En la sucesión de Fibonacci, cada término es la suma de los dos anteriores (los dos primeros términos valen 1). El término \(n\)-ésimo se halla paso a paso con la relación de recurrencia \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\), y la suma de los \(n\) primeros términos con «toma el término dos posiciones después y réstale \(1\)» (\(S_n = a_{n+2} - 1\)).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(n\) | ene | El número de términos. Un número entero positivo que indica hasta qué posición de la sucesión llegas. «Hasta el término 10» es \(n = 10\). |
| \(a_n\) | a sub ene | El término \(n\)-ésimo. El número que ocupa el lugar \(n\) de la sucesión. La letra pequeña de abajo a la derecha (el subíndice) indica qué posición ocupa. En la sucesión de Fibonacci, \(a_1 = 1,\ a_2 = 1,\ a_3 = 2,\ a_4 = 3, \cdots\). |
| \(a_{n-1}\) | a sub ene menos uno | El término justo anterior al \(n\)-ésimo (uno hacia atrás). Para el término 10, es el término 9. La resta dentro del subíndice significa «una posición antes». |
| \(a_{n-2}\) | a sub ene menos dos | El término dos posiciones antes del \(n\)-ésimo. Para el término 10, es el término 8. |
| \(a_{n+2}\) | a sub ene más dos | El término dos posiciones después del \(n\)-ésimo. Para el término 10, es el término 12. La suma de los \(n\) primeros términos es igual a este término menos \(1\). |
| \(S_n\) | ese sub ene | La suma de los \(n\) primeros términos. Es una forma abreviada de escribir \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). La letra S es la inicial de «suma». |
| \(\varphi\) | fi | El símbolo del número áureo. Su valor es \(\varphi = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1{,}618\cdots\). El cociente entre números de Fibonacci consecutivos (el posterior ÷ el anterior) se acerca a este valor cuanto más avanzas. |
| \(\cdots\) | puntos suspensivos | Un símbolo que indica que el patrón continúa de la misma manera. Escribir 1, 1, 2, 3, 5, 8, … significa que la sucesión sigue con la regla de sumar los dos términos anteriores. |
Términos
| sucesión | Una lista de números en un orden determinado. Cada número de la lista se llama término. |
| sucesión de Fibonacci | Una sucesión que empieza con 1, 1 y sigue con la regla «cada término es la suma de los dos anteriores», es decir, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …. Procede de un problema sobre cómo se multiplican las parejas de conejos, que el matemático italiano del siglo XIII Fibonacci describió en su libro. Cada número de la sucesión se llama número de Fibonacci. |
| término | Cada uno de los números de una sucesión. Empezando por el principio, se llaman término 1, término 2, y así sucesivamente. |
| primer término | El primer término de una sucesión, es decir, el término 1. En la sucesión de Fibonacci (con la numeración de esta página) es 1. |
| relación de recurrencia (fórmula recurrente) | Una fórmula que describe una sucesión como «una regla que obtiene el siguiente término a partir de los anteriores». La relación de recurrencia de la sucesión de Fibonacci es \(a_n = a_{n-1} + a_{n-2}\). Las sucesiones recurrentes se estudian en 4.º de ESO y en Bachillerato (15-18 años). |
| condiciones iniciales | Los valores de los primeros términos, que se dan junto con una relación de recurrencia. En la sucesión de Fibonacci, las condiciones iniciales son \(a_1 = 1,\ a_2 = 1\). Sin ellas, la relación de recurrencia por sí sola no determina la sucesión. |
| número áureo | La razón \(1 : \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}\) (aproximadamente \(1 : 1{,}618\)). Desde la antigüedad se considera una proporción equilibrada, y se escribe con el símbolo \(\varphi\) (fi). Se ha demostrado que el cociente entre números de Fibonacci consecutivos se acerca al número áureo cuanto más avanzas. También se llama razón áurea o proporción áurea. |
| término general | El término \(n\)-ésimo escrito como una fórmula en \(n\). La sucesión de Fibonacci también tiene una que usa el número áureo \(\varphi\), llamada fórmula de Binet. Contiene \(\sqrt{5}\) y es algo compleja, así que, si solo necesitas el valor, sumar paso a paso con la relación de recurrencia es más fiable. |
| progresión aritmética | Una sucesión en la que la diferencia entre términos consecutivos es siempre la misma, como 5, 8, 11, 14, … (se suma 3 cada vez). Una progresión aritmética suma un número fijo, mientras que la sucesión de Fibonacci suma los dos términos anteriores. |
| progresión geométrica | Una sucesión en la que el cociente entre términos consecutivos es siempre el mismo, como 3, 6, 12, 24, … (se multiplica por 2 cada vez). La sucesión de Fibonacci no es una progresión geométrica, pero más adelante crece con un factor casi constante de aproximadamente 1,618, así que se comporta de forma muy parecida. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Suma de números enteros (2.º y 3.º de Primaria, 7-9 años) |
|
| Regularidades y series de números (5.º y 6.º de Primaria, 10-12 años) |
|
| Lenguaje algebraico (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Notación de sucesiones (3.º y 4.º de ESO, 14-16 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el término n (hasta el término 10)
| Término 1 | 1 |
| Término 2 | 1 |
| Término 3 | =B1+B2 |
| Término 4 | =B2+B3 |
| Término 5 | =B3+B4 |
| Término 6 | =B4+B5 |
| Término 7 | =B5+B6 |
| Término 8 | =B6+B7 |
| Término 9 | =B7+B8 |
| Término 10 | =B8+B9 |
Tabla para hallar la suma de los términos del 1 al n (suma hasta el término 10)
| Término 1 | 1 |
| Término 2 | 1 |
| Término 3 | =B1+B2 |
| Término 4 | =B2+B3 |
| Término 5 | =B3+B4 |
| Término 6 | =B4+B5 |
| Término 7 | =B5+B6 |
| Término 8 | =B6+B7 |
| Término 9 | =B7+B8 |
| Término 10 | =B8+B9 |
| Suma de los términos del 1 al 10 | =SUMA(B1:B10) |
Al pegar la tabla, solo B1 y B2 (los dos primeros términos, ambos 1) son datos de entrada. Desde B3 hacia abajo, cada celda calcula automáticamente «la celda de arriba + la celda de dos filas más arriba». En las fórmulas, «B1» y «B2» significan «usa el número de esa celda», «+» es la suma y SUMA(B1:B10) significa «suma todo desde B1 hasta B10».
La primera tabla muestra 55 (término 10) en B10 y la segunda muestra 143 (la suma hasta el término 10) en B11. Para obtener términos más adelantados, selecciona la celda de abajo del todo, «=B8+B9», y arrastra hacia abajo el cuadradito de su esquina inferior derecha. La misma regla continúa (la relación de recurrencia «suma los dos términos anteriores» es exactamente la fórmula de la celda).
La primera tabla muestra 55 (término 10) en B10 y la segunda muestra 143 (la suma hasta el término 10) en B11. Para obtener términos más adelantados, selecciona la celda de abajo del todo, «=B8+B9», y arrastra hacia abajo el cuadradito de su esquina inferior derecha. La misma regla continúa (la relación de recurrencia «suma los dos términos anteriores» es exactamente la fórmula de la celda).
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar el término n (hasta el término 10)
| Término 1 | 1 |
| Término 2 | 1 |
| Término 3 | =B1+B2 |
| Término 4 | =B2+B3 |
| Término 5 | =B3+B4 |
| Término 6 | =B4+B5 |
| Término 7 | =B5+B6 |
| Término 8 | =B6+B7 |
| Término 9 | =B7+B8 |
| Término 10 | =B8+B9 |
Tabla para hallar la suma de los términos del 1 al n (suma hasta el término 10)
| Término 1 | 1 |
| Término 2 | 1 |
| Término 3 | =B1+B2 |
| Término 4 | =B2+B3 |
| Término 5 | =B3+B4 |
| Término 6 | =B4+B5 |
| Término 7 | =B5+B6 |
| Término 8 | =B6+B7 |
| Término 9 | =B7+B8 |
| Término 10 | =B8+B9 |
| Suma de los términos del 1 al 10 | =SUMA(B1:B10) |
Las mismas fórmulas de Excel sirven tal cual. Copia la tabla entera y pégala en la celda A1. B10 muestra 55 (término 10) y, en la segunda tabla, B11 muestra 143 (la suma). Para obtener términos más adelantados, arrastra hacia abajo la celda de la fórmula de abajo del todo para continuar.
Cómo calcularlo con Python
number_of_terms = 10 # número de términos (hasta dónde llegar)
# sucesión de Fibonacci: los dos primeros términos son 1 y cada término es la suma de los dos anteriores
fibonacci = [1, 1]
while len(fibonacci) < number_of_terms:
fibonacci.append(fibonacci[-1] + fibonacci[-2])
fibonacci = fibonacci[:number_of_terms]
nth_term = fibonacci[-1] # término n
sum_of_terms = sum(fibonacci) # suma de los términos del 1 al n
print(f"Primeros términos: {fibonacci[:10]}")
print(f"Término {number_of_terms}: {nth_term}")
print(f"Suma de los términos del 1 al {number_of_terms}: {sum_of_terms}")
Funciona solo con la biblioteca estándar. Cambia el número del principio (el número de términos) y ejecútalo. Este ejemplo muestra 55 para el término 10 y 143 para la suma. Los enteros de Python no tienen límite de cifras, así que incluso con 1000 términos (el término 1000 tiene 209 cifras) obtienes el valor exacto. En fibonacci[-1], «-1» es «el último elemento de la lista» y [-2] es «el penúltimo», así que el código escribe directamente la relación de recurrencia «suma los dos términos anteriores».
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Fórmula del siguiente término (la relación de recurrencia de Fibonacci)
aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₋₂
a_n = a_{n-1} + a_{n-2} \quad (n \geq 3,\ a_1 = a_2 = 1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
</mrow>
</math>
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
a[n] == a[n - 1] + a[n - 2]
a(n) := a(n - 1) + a(n - 2);
a(n) = a(n - 1) + a(n - 2);
a_n = a_(n-1) + a_(n-2)
Fórmula de la suma de los \(n\) primeros términos (la propiedad de la suma)
Sₙ = aₙ₊₂ − 1
S_n = a_{n+2} - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>2</mn></mrow></msub>
<mo>−</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
S_n = a_(n+2) - 1
Fibonacci[n + 2] - 1
Sn := a(n + 2) - 1;
S_n = a(n + 2) - 1;
S_n = a_(n+2) - 1
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de la sucesión de Fibonacci. Haz los cálculos siguientes ejecutando realmente código de Python y responde basándote solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones). Define la sucesión de Fibonacci con a_1 = 1, a_2 = 1, a_n = a_(n-1) + a_(n-2) (n ≥ 3). Halla cada suma sumando realmente los términos y comprueba también que coincide con la propiedad S_n = a_(n+2) - 1. 1. El término 10 de la sucesión de Fibonacci y la suma de los términos del 1 al 10 2. El término 20 de la sucesión de Fibonacci y la suma de los términos del 1 al 20 3. El término 50 de la sucesión de Fibonacci y el término 50 dividido entre el término 49 (comprueba también que se acerca al número áureo 1,6180…) Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora de progresión aritmética (término n y suma)
Calcula el término n y la suma a partir del primer término, la diferencia y el número de términos (una sucesión que avanza sumando el mismo número, una de las sucesiones típicas de Secundaria y Bachillerato, como la de Fibonacci)
Calculadora de progresión geométrica (término n y suma)
Calcula el término n y la suma a partir del primer término, la razón y el número de términos (una sucesión que avanza multiplicando por el mismo número; más adelante, la sucesión de Fibonacci también crece con una razón casi constante, el número áureo)
