Elige el tamaño de la matriz (de 2×2 a 4×4) y escribe los elementos en la cuadrícula. Un determinante solo está definido para una matriz cuadrada (filas = columnas).
Escribe los elementos como números (los decimales y los negativos valen).
Resultado
Elige a la izquierda el tamaño de la matriz, escribe los elementos y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el determinante y los pasos.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmula
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Halla al instante el determinante \(\det(A)\) de una matriz cuadrada de 2×2, 3×3 o 4×4
- Los pasos siguen los métodos de los libros de texto: «\(ad - bc\)» para 2×2, la regla de Sarrus para 3×3 y el desarrollo por adjuntos para 4×4
- También te dice si la matriz es regular: si \(\det(A) \neq 0\), existe la inversa
- En esta misma página también tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google (MDETERM) y Python
Un determinante solo está definido para una matriz cuadrada (filas = columnas). La suma, la multiplicación, la traspuesta y más de las matrices están en la página hermana «Calculadora de matrices».
¿Para qué sirve este cálculo?
Comprobar si un sistema de ecuaciones tiene una única solución (regla de Cramer)
En un sistema de ecuaciones lineales con tantas ecuaciones como incógnitas, si el determinante de la matriz cuadrada de los coeficientes no es 0, el sistema tiene exactamente una solución. Si el determinante es 0, o no hay solución o hay infinitas.
Con la regla de Cramer, incluso puedes escribir la solución misma usando solo cocientes de determinantes. Esto forma parte de la teoría que hay detrás de los trabajos de ingeniería que resuelven enormes cantidades de ecuaciones, como el cálculo de estructuras y el análisis de circuitos.
Mostrar cuántas veces crece el área o el volumen de una figura (factor de escala de una transformación lineal)
Cuando transformas una figura plana con una matriz 2×2 (la giras, la estiras o la encoges, o la deformas por cizalladura), su área se multiplica exactamente por \(|\det(A)|\). Para un cuerpo sólido y una matriz 3×3, el volumen se multiplica por \(|\det(A)|\).
Esta función del determinante como factor de escala también aparece en el cálculo de la universidad como el factor de corrección en un cambio de variable de una integral (el jacobiano), y se usa en toda la ciencia y la ingeniería.
Detectar figuras «dadas la vuelta» en gráficos 3D y videojuegos
Los programas de gráficos 3D y los motores de videojuegos usan matrices para transformar los modelos. Si el determinante de una matriz de transformación es negativo, la transformación da la vuelta al modelo como una imagen en un espejo, y se intercambian el anverso y el reverso de cada cara (el sentido de su normal).
Por eso los programas de gráficos comprueban el signo del determinante para detectar la inversión y la corrigen para que el dibujo no se estropee.
Hallar el área a partir de coordenadas (topografía y mapas)
Si conoces las coordenadas de los vértices de un triángulo, su área es la mitad del valor absoluto de un determinante formado con esas coordenadas. Ampliado a los polígonos, se llama fórmula del área de Gauss (o «fórmula del cordón del zapatero») y es una forma habitual de calcular la superficie de parcelas en topografía y en los programas de cartografía (los SIG, sistemas de información geográfica).
El secreto de «escribo las coordenadas y obtengo el área» es justamente el determinante.
La puerta de entrada a los valores propios (análisis de vibraciones y de datos)
El análisis de vibraciones, que estudia cómo tiende a vibrar un edificio o una máquina, y el análisis de componentes principales, que extrae las tendencias principales de grandes conjuntos de datos, usan ambos unos valores de una matriz llamados valores propios (o autovalores).
Los valores propios se hallan con la ecuación «busca \(\lambda\) tal que \(\det(A - \lambda I) = 0\)» (la ecuación característica). El determinante es también la puerta de entrada a esta herramienta más avanzada.
Fórmula
Determinante 2×2 (ad − bc)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\)
\(=\)
\(ad\)
\(-\)
\(bc\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(\det(A)\): determinante 2×2
\(=\)
①
\(ad\): arriba a la izquierda × abajo a la derecha
\(-\)
②
\(bc\): arriba a la derecha × abajo a la izquierda
La fórmula en palabras
①
A partir del
\(ad\): producto de arriba a la izquierda × abajo a la derecha
,
②
resta el
\(bc\): producto de arriba a la derecha × abajo a la izquierda
, y obtienes el
③
\(\det(A)\): determinante 2×2
Un ejemplo sencillo
El determinante de la matriz \(\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) es
\(\det(A)\): determinante
\(=\)
arriba a la izquierda × abajo a la derecha (\(4 \times 6\))
\(-\)
arriba a la derecha × abajo a la izquierda (\(7 \times 2\))
\(\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10\)
La idea clave
La diagonal de arriba a la izquierda a abajo a la derecha lleva «+», y la de arriba a la derecha a abajo a la izquierda lleva «−». Solo tienes que multiplicar en las dos diagonales y restar, así que este patrón en cruz es fácil de recordar.
El determinante se escribe \(|A|\) además de \(\det(A)\) (las barras se parecen al valor absoluto, pero aquí tienen otra función). Una matriz con \(\det(A) = 0\) se llama «singular» (no regular) y no tiene inversa.
Determinante 3×3 (regla de Sarrus)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\det(A)\)
\(=\)
\(aei + bfg + cdh\)
\(-\)
\((ceg + afh + bdi)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(\det(A)\): determinante 3×3
\(=\)
①
suma de los productos de las 3 diagonales descendentes
\(-\)
②
suma de los productos de las 3 diagonales ascendentes
La fórmula en palabras
①
Si llamamos a los elementos \(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\), toma la
suma de los productos de las 3 diagonales descendentes (\(aei + bfg + cdh\))
,
②
resta la
suma de los productos de las 3 diagonales ascendentes (\(ceg + afh + bdi\))
, y obtienes el
③
\(\det(A)\): determinante 3×3
Un ejemplo sencillo
El determinante de \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) es
\(1 \times 3 \times 1 + 0 \times 1 \times 1 + 2 \times (-1) \times 1 = 3 + 0 - 2 = 1\)
\(2 \times 3 \times 1 + 1 \times 1 \times 1 + 0 \times (-1) \times 1 = 6 + 1 + 0 = 7\)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 7 = -6\)
La idea clave
La regla de Sarrus es más fácil de usar si copias otra vez las columnas 1 y 2 a la derecha de la matriz. Hay 3 diagonales de arriba a la izquierda a abajo a la derecha (\(aei\), \(bfg\), \(cdh\), todas con «+») y 3 diagonales de arriba a la derecha a abajo a la izquierda (\(ceg\), \(afh\), \(bdi\), todas con «−»), 6 productos en cruz en total.
Sin embargo, la regla de Sarrus solo sirve hasta 3×3 (la fórmula 2×2 \(ad-bc\) usa la misma idea en cruz). No sirve para 4×4 ni mayores, así que usa en su lugar el desarrollo por adjuntos de abajo.
Desarrollo por adjuntos (el método general, también para 4×4 y mayores)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(\det(A)\)
\(=\)
\(\sum_{j=1}^{n}\)
\((-1)^{1+j}\)
\(a_{1j}\)
\(M_{1j}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\(\det(A)\): determinante \(n\)×\(n\)
\(=\)
④
suma para \(j = 1\) hasta \(n\)
③
\((-1)^{1+j}\): signo (alterna + − + − …)
①
\(a_{1j}\): elemento de la fila 1, columna \(j\)
②
\(M_{1j}\): menor complementario sin la fila 1 y la columna \(j\)
La fórmula en palabras
①
Multiplica el
\(a_{1j}\): elemento de la fila 1, columna \(j\)
②
por el
\(M_{1j}\): menor complementario, el determinante que queda al quitar la fila 1 y la columna \(j\)
,
③
ponle el
\((-1)^{1+j}\): signo (alterna + − + − …)
,
④
y
suma los resultados para \(j = 1\) hasta \(n\)
para obtener el
⑤
\(\det(A)\): determinante \(n\)×\(n\)
Un ejemplo sencillo
Si desarrollamos por la fila 1 el ejemplo 3×3 de arriba, se obtiene (la misma respuesta que con la regla de Sarrus)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
\(= 1 \times 2 - 0 \times (-2) + 2 \times (-4) = 2 - 0 - 8 = -6\)
La idea clave
El desarrollo por adjuntos (también llamado desarrollo de Laplace) descompone un determinante grande en una combinación de determinantes de un orden menor (menores complementarios). Un 4×4 se convierte en cuatro determinantes 3×3, y cada 3×3 se puede hallar con la regla de Sarrus (o desarrollando otra vez). Esta calculadora muestra así los pasos de las matrices 4×4.
No hace falta desarrollar por la fila 1; cualquier fila o columna da la misma respuesta. Si eliges una fila o una columna con muchos 0, esos términos desaparecen y el trabajo es más fácil. Los signos \((-1)^{i+j}\) alternan + y − como un tablero de ajedrez, empezando por «+» arriba a la izquierda.
Un determinante es «un único número determinado por una matriz cuadrada». Se usa \(ad - bc\) para 2×2, la regla de Sarrus para 3×3 y el desarrollo por adjuntos para 4×4 y mayores. Que \(\det(A) \neq 0\) te dice si existe la inversa (es decir, si el sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(A\) | A | El nombre que se da a una matriz. Por costumbre, las matrices se nombran con letras mayúsculas. |
| \(\det(A),\ |A|\) | determinante de A | El determinante de la matriz \(A\). También es habitual escribirlo con barras verticales, \(|A|\) (es el mismo signo que el valor absoluto de los números, pero alrededor de una matriz significa el determinante). |
| \(a_{ij}\) | a sub i j | El elemento de la matriz \(A\) situado en la fila \(i\), columna \(j\) (el número de la \(i\)-ésima fila empezando por arriba y de la \(j\)-ésima columna empezando por la izquierda). Las letras pequeñas de abajo a la derecha (los subíndices) indican su posición. |
| \(M_{ij}\) | M sub i j | Un menor complementario: el determinante de la matriz de un orden menor que queda al quitar la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz \(A\). |
| \((-1)^{i+j}\) | menos 1 elevado a i más j | El signo que se usa en el desarrollo por adjuntos. Es \(+1\) cuando \(i+j\) es par y \(-1\) cuando es impar, así que + y − se alternan como en un tablero de ajedrez, empezando por «+» arriba a la izquierda. |
| \(\sum\) | sigma | El signo de «súmalo todo». \(\sum_{j=1}^{n}\) indica que se suman los términos para cada \(j\) de 1 a \(n\). |
Términos
| determinante | Un único número que se obtiene de una matriz cuadrada. Resume en un solo número datos clave de la matriz (si tiene inversa, cuántas veces cambia una transformación las áreas o los volúmenes, etc.). |
| matriz cuadrada | Una matriz con el mismo número de filas y de columnas (con forma de cuadrado). Los determinantes y las inversas solo existen para matrices cuadradas. |
| regla de Sarrus | Una forma de hallar un determinante 3×3 sumando y restando los productos de 6 diagonales. Lleva el nombre del matemático francés Pierre Sarrus y solo sirve para matrices 3×3. |
| desarrollo por adjuntos | Un método que descompone un determinante en una suma de «elemento × menor complementario × signo», y lo convierte en determinantes de un orden menor. También se llama desarrollo de Laplace, y sirve para determinantes de 4×4 y mayores. |
| menor complementario | El determinante de la matriz más pequeña que queda al quitar una fila y una columna. Es una pieza del desarrollo por adjuntos. |
| adjunto | Un menor complementario \(M_{ij}\) multiplicado por el signo \((-1)^{i+j}\). El «desarrollo por adjuntos» recibe su nombre de desarrollar el determinante en una suma de estos adjuntos. |
| matriz regular | Una matriz cuadrada cuyo determinante no es 0. Tiene inversa. Una matriz con determinante 0 se llama singular y no tiene inversa. |
| matriz inversa | La matriz que da la matriz identidad (1 en la diagonal y 0 en el resto) al multiplicarla. Es la versión para matrices del inverso de un número y se escribe \(A^{-1}\). Solo existe cuando el determinante no es 0. |
| álgebra lineal | La rama de las matemáticas que trata de las matrices y los vectores. Se estudia en el primer curso de muchos grados universitarios y es la base de los gráficos por ordenador, la estadística, la inteligencia artificial y más. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
| Operaciones con números negativos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Lenguaje algebraico y subíndices (1.º de ESO a 1.º de Bachillerato, 12-17 años) |
|
| Potencias y signos (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
| Fundamentos de las matrices (1.º y 2.º de Bachillerato, 16-18 años; álgebra lineal) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar un determinante 2×2
| Fila 1 de la matriz A | 4 | 7 |
| Fila 2 de la matriz A | 2 | 6 |
| Determinante det(A) | =MDETERM(B1:C2) |
Tabla para hallar un determinante 3×3
| Fila 1 de la matriz A | 1 | 0 | 2 |
| Fila 2 de la matriz A | -1 | 3 | 1 |
| Fila 3 de la matriz A | 1 | 1 | 1 |
| Determinante det(A) | =MDETERM(B1:D3) |
Tabla para hallar un determinante 4×4
| Fila 1 de la matriz A | 1 | 2 | 0 | 1 |
| Fila 2 de la matriz A | 0 | 1 | 3 | 2 |
| Fila 3 de la matriz A | 2 | 0 | 1 | 1 |
| Fila 4 de la matriz A | 1 | 1 | 0 | 2 |
| Determinante det(A) | =MDETERM(B1:E4) |
La función MDETERM sola halla el determinante. Solo tienes que darle el rango de la matriz cuadrada (B1:C2 en la primera tabla), y la respuesta va a una sola celda.
La primera tabla da 10, la segunda da -6 y la tercera da 18.
Cuando MDETERM devuelve 0, la matriz no tiene inversa (la función MINVERSA, que halla la inversa, devuelve un error).
La primera tabla da 10, la segunda da -6 y la tercera da 18.
Cuando MDETERM devuelve 0, la matriz no tiene inversa (la función MINVERSA, que halla la inversa, devuelve un error).
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar un determinante 2×2
| Fila 1 de la matriz A | 4 | 7 |
| Fila 2 de la matriz A | 2 | 6 |
| Determinante det(A) | =MDETERM(B1:C2) |
Tabla para hallar un determinante 3×3
| Fila 1 de la matriz A | 1 | 0 | 2 |
| Fila 2 de la matriz A | -1 | 3 | 1 |
| Fila 3 de la matriz A | 1 | 1 | 1 |
| Determinante det(A) | =MDETERM(B1:D3) |
La misma función MDETERM de Excel sirve tal cual. Copia la tabla entera y pégala en la celda A1.
La primera tabla da 10 y la segunda da -6.
La primera tabla da 10 y la segunda da -6.
Cómo calcularlo con Python
A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]]
def determinant(matrix): # desarrollo por adjuntos (se calcula de forma recursiva por la fila 1)
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # submatriz sin la fila 1 y la columna j
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
print("det(A) =", determinant(A))
Funciona solo con la biblioteca estándar. Cambia A del principio por tu propia matriz (cualquier matriz cuadrada, incluso de 4×4 o mayor) y ejecútalo. Este ejemplo da det(A) = -6. Para un cálculo numérico serio, lo habitual es usar NumPy, una biblioteca hecha para matrices (numpy.linalg.det(A)).
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Determinante 2×2 (ad − bc)
|A| = ad − bc
\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>d</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = |(a, b), (c, d)| = ad - bc
Det[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b], [c, d]]));
d = det(A);
det(A) = ad − bc
Determinante 3×3 (regla de Sarrus)
|A| = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>e</mi><mi>i</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mi>f</mi><mi>g</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi><mi>d</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi><mi>e</mi><mi>g</mi>
<mo>-</mo>
<mi>a</mi><mi>f</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>d</mi><mi>i</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Det[{{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]));
d = det(A);
det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
Desarrollo por adjuntos (el método general, también para 4×4 y mayores)
det(A) = Σ (−1)¹⁺ʲ a₁ⱼ M₁ⱼ (j = 1 to n)
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow>
</msup>
<msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
<msub><mi>M</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
det(A) = sum_(j=1)^(n) (-1)^(1+j) a_(1j) M_(1j)
Det[A]
LinearAlgebra:-Determinant(A);
d = det(A);
det(A) = ∑_(j=1)^n (−1)^(1+j) a_1j M_1j
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo de matrices. Haz el cálculo siguiente ejecutando realmente código de Python y responde basándote solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones). Halla el determinante (det) de cada una de las dos matrices cuadradas siguientes. 1. A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] En cada caso, muestra el valor del determinante y si la matriz es regular (si el determinante es distinto de cero, es decir, si existe la inversa).
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
Fácil y gratis
Conversiones gratis e ilimitadas
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin registro
Disponible nada más entrar
Sin necesidad de dar datos personales
Sin necesidad de dar datos personales
Seguro y protegido
Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Alta velocidad
Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora de matrices (suma, resta, producto, traspuesta y potencia)
Calcula con las propias matrices. Allí también se explican los fundamentos de filas, columnas y elementos
Calculadora de la matriz inversa (2×2, 3×3 y 4×4)
Halla la matriz inversa A⁻¹, que solo existe cuando det(A) ≠ 0, con la comprobación de que existe y los pasos
Calculadora del área de un triángulo (a partir de los tres lados, con la fórmula de Herón)
Halla el área de un triángulo a partir de sus tres lados. Con un determinante, también puedes hallar el área a partir de las coordenadas de los vértices
