Introduce los dos valores que conozcas entre el radio de la base r (el radio del círculo del corte), el radio de la esfera original R y la altura h. Se calculan el tercero y el volumen.
Introduce las longitudes como números de 0 o más, todas en la misma unidad (solo números, sin la unidad). Deja vacío el campo que falta. Si partes del radio de la base y del radio de la esfera, pueden salir dos respuestas.
Resultado y figura
Introduce dos de los tres datos en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y dibujos
-
Fórmula del volumen de un casquete esférico (a partir del radio de la esfera y la altura)
-
Fórmula para hallar el radio de la esfera R (a partir del radio de la base y la altura)
-
Fórmula para hallar la altura h (a partir del radio de la base y el de la esfera; dos soluciones)
-
Fórmula para hallar el radio de la base r (a partir del radio de la esfera y la altura)
-
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Obtienes al instante el volumen del casquete esférico: el trozo de esfera que queda al cortarla con un plano, con forma de cúpula o de cuenco boca abajo (con rigor, se llama segmento esférico de una base, y su parte curva, casquete esférico; en inglés, «spherical cap»)
- Con solo dos de estos tres datos, el radio de la base (el círculo del corte) \(r\), el radio de la esfera original \(R\) y la altura \(h\), se calcula automáticamente el que falta
- Si partes del radio de la base y del radio de la esfera, la respuesta puede tener dos soluciones, según se corte por encima o por debajo del centro de la esfera. En ese caso se muestran las dos
- El casquete del resultado también se muestra en 3D (puedes girarlo arrastrándolo; la esfera original aparece con una línea fina)
- En esta misma página también encontrarás una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Introduce los datos en la misma unidad (por ejemplo, todos en cm). El volumen sale en esa unidad elevada al cubo (cm³ si introduces cm, m³ si introduces m).
¿Para qué sirve este cálculo?
Calcular el líquido que queda en un depósito esférico a partir de su profundidad (industria e infraestructuras)
En los depósitos esféricos donde se almacenan combustibles o gases licuados, la parte ocupada por el líquido tiene justo forma de casquete esférico, así que midiendo la profundidad del líquido \(h\) esta fórmula da lo que queda. Por ejemplo, si un depósito esférico de 2 m de radio contiene líquido hasta 0,5 m de profundidad, quedan \(\pi \times 0{,}5^2 \times (3 \times 2 - 0{,}5) \div 3 \approx 1{,}44\,\mathrm{m^3}\) (unos 1440 L).
Convertir en volumen la profundidad medida por un sensor es el uso más típico de esta fórmula en la práctica.
Estimar lo que hay en un cuenco o un bol (cocina)
Si echas sopa hasta 3 cm de profundidad en un bol con forma casi de semiesfera (6 cm de radio), la sopa tiene forma de casquete, así que la cantidad es \(\pi \times 3^2 \times (3 \times 6 - 3) \div 3 = 45\pi \approx 141\,\mathrm{cm^3}\) (unos 141 mL).
Con el bol lleno (una semiesfera) serían unos 452 mL, así que el cálculo muestra que «con la mitad de profundidad, la cantidad es mucho menos de la mitad (menos de un tercio)». Es la aplicación más cercana, útil también para el emplatado y para calcular las cantidades de una receta.
Calcular de forma aproximada el espacio interior de una cúpula o de un planetario (arquitectura)
Una cubierta o un techo en forma de cúpula se puede aproximar por un casquete esférico. Por ejemplo, para una cúpula de 120 m de diámetro (60 m de radio en la base) y 40 m de altura, el radio de la esfera original es \(R = (40^2 + 60^2) \div (2 \times 40) = 65\,\mathrm{m}\) y el espacio interior, unos 260.000 m³.
El tamaño de este espacio es el punto de partida para diseñar la climatización, la ventilación y la acústica (una cúpula real no siempre es un casquete exacto, así que es solo una aproximación).
Medir el volumen de una gota sobre una superficie (impresión, pintura y microelectrónica)
Una gota pequeña sobre una superficie, como una gota de agua sobre una hoja o una gota de tinta de una impresora de chorro de tinta, tiene por la tensión superficial una forma casi de casquete esférico. En investigación y en fabricación se mide, en una foto de perfil, el radio de la base y la altura de la gota y se calcula su volumen con esta fórmula.
También se usa para evaluar lo mucho que un material se «moja» (el ángulo de contacto). Es una fórmula que se aplica incluso en el mundo microscópico.
Trabajar con la parte abombada de una lente (óptica)
La superficie abombada de las lentes de las gafas y de las cámaras es una parte de una superficie esférica (un casquete), y la parte abombada tiene justo la forma de un casquete esférico. Esta fórmula se ha usado para estimar el material que se elimina al pulir una lente y el volumen del material de partida.
En el diseño de cúpulas finas, como las lentes de contacto, las relaciones entre el radio del corte, el radio de la esfera y la altura (las fórmulas 2 a 4 de esta página) también son la base.
Fórmulas y dibujos
Fórmula del volumen de un casquete esférico (a partir del radio de la esfera y la altura)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(h\)
\(2\)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
\(R\)
\(-\)
\(h\)
\()\)
\(\div 3\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑥
\(V\): volumen del casquete
\(=\)
③
\(\pi\): número π
\(\times\)
①
\(h\): altura
②
al cuadrado (el número multiplicado por sí mismo)
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
④
\(R\): radio de la esfera
\(-\)
\(h\): altura
\()\)
⑤
\(\div 3\)
La fórmula en palabras
①
Toma la
\(h\): altura
,
②
elévala
al cuadrado (el número multiplicado por sí mismo)
,
③
multiplícala por el
\(\pi\): número π (aprox. 3,14)
,
④
multiplica de nuevo por «\(3R - h\)», es decir, el triple del
\(R\): radio de la esfera
menos la altura \(h\),
⑤
y divide por último entre 3 para obtener el
⑥
\(V\): volumen del casquete
Un ejemplo sencillo
El volumen de un casquete esférico (con forma de cuenco boca abajo) que resulta de cortar una esfera de 2 cm de radio de modo que la altura desde el vértice sea de 1 cm es
\(V\): volumen del casquete
\(=\)
\(\pi\): número π
\(\times\)
altura (1 cm)
al cuadrado
\(\times\)
\((\)
\(3 \times\)
radio de la esfera (2 cm)
\(-\)
altura (1 cm)
\()\)
\(\div 3\)
\(\pi \times 1^{2} \times (3 \times 2 - 1) \div 3 = \pi \times 5 \div 3 = \dfrac{5}{3}\pi\)
\(\dfrac{5}{3}\pi \approx \dfrac{5}{3} \times 3{,}14 \approx 5{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
La idea clave
El error más frecuente es confundir elevar la altura \(h\) al cuadrado con multiplicarla por 2.
Esta fórmula solo depende de la altura \(h\) y del radio de la esfera \(R\); el radio de la base \(r\) no aparece (porque, una vez fijados \(h\) y \(R\), \(r\) queda determinado). Si pones una semiesfera (\(h = R\)), sale \(V = \dfrac{2}{3}\pi R^3\), justo la mitad del volumen de la esfera, y con \(h = 2R\) (todo el diámetro), sale \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\), que coincide con el de la esfera entera.
Si prefieres calcularlo directamente a partir del radio de la base \(r\) y de la altura \(h\), existe otra forma de la misma fórmula: \(V = \pi h (3r^2 + h^2) \div 6\).
Fórmula para hallar el radio de la esfera R (a partir del radio de la base y la altura)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h\)
\(2\)
\(+\)
\(r\)
\(2\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
\(h\)
\()\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\(R\): radio de la esfera
\(=\)
\((\)
①
\(h\): altura
②
al cuadrado (el número multiplicado por sí mismo)
\(+\)
③
\(r\): radio de la base
al cuadrado
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
④
\(h\): altura
\()\)
La fórmula en palabras
①
Toma la
\(h\): altura
,
②
elévala
al cuadrado (el número multiplicado por sí mismo)
,
③
eleva también al cuadrado el
\(r\): radio de la base
y suma los dos resultados,
④
divide la suma entre «\(2h\)», es decir, el doble de la
\(h\): altura
, para obtener el
⑤
\(R\): radio de la esfera
Un ejemplo sencillo
Para un objeto con forma de cúpula cuyo círculo del corte tiene 1 m de radio y cuya altura es 0,5 m, el radio de la esfera original es
\(R\): radio de la esfera
\(=\)
\((\)
altura (0,5 m)
al cuadrado
\(+\)
radio de la base (1 m)
al cuadrado
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2 \times\)
altura (0,5 m)
\()\)
\(R = (0{,}5^{2} + 1^{2}) \div (2 \times 0{,}5) = 1{,}25 \div 1\)
\(1{,}25 \div 1 = 1{,}25\,\mathrm{m}\)
La idea clave
Esta fórmula sale del teorema de Pitágoras. Si unes el centro de la esfera, el centro del círculo del corte y un punto del borde del corte, obtienes un triángulo rectángulo y se cumple \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\). Esta fórmula es esa igualdad despejada para \(R\).
Lo curioso es que, aunque solo tengas un trozo de esfera, puedes conocer el tamaño de la esfera entera. Es la misma idea que estimar el tamaño original de un cuenco a partir de un trozo roto.
Fórmula para hallar la altura h (a partir del radio de la base y el de la esfera; dos soluciones)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(h\): altura del casquete
\(=\)
①
\(R\): radio de la esfera
③
\(\pm\)
②
raíz cuadrada de la diferencia de cuadrados \(R^2 - r^2\)
La fórmula en palabras
①
Parte del
\(R\): radio de la esfera
,
②
calcula la
raíz cuadrada de la diferencia de cuadrados \(R^2 - r^2\)
(al cuadrado del radio de la esfera \(R\) réstale el cuadrado del radio de la base \(r\) y toma la raíz),
③
considera los dos casos, restarla y sumarla (el signo ± significa que pueden valer tanto − como +),
④
y obtienes la
\(h\): altura del casquete
(normalmente, dos soluciones)
Un ejemplo sencillo
Si el círculo del corte tiene 1 m de radio y la esfera original 2 m de radio, la altura del casquete es
\(h\): altura del casquete
\(=\)
radio de la esfera (2 m)
\(\pm\)
raíz cuadrada de «2² − 1²»
\(\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1{,}732\)
\(h = 2 - 1{,}732 = 0{,}268\,\mathrm{m}\)
\(h = 2 + 1{,}732 = 3{,}732\,\mathrm{m}\)
La idea clave
Salen dos respuestas porque, con un mismo círculo de corte, se pueden hacer dos casquetes: cortando por encima del centro de la esfera (un cuenco poco profundo) o por debajo (una vasija profunda).
Solo cuando \(r = R\) (el corte pasa por el centro) se cumple \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\) y hay una única respuesta (una semiesfera, \(h = R\)). Además, \(r > R\) no es posible (no se puede hacer un corte mayor que la esfera).
Fórmula para hallar el radio de la base r (a partir del radio de la esfera y la altura)
Dibujo
Notación matemática
(la notación habitual)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(r\): radio de la base
\(=\)
①
raíz cuadrada de \(2Rh - h^2\)
La fórmula en palabras
①
Al doble del radio de la esfera \(R\) multiplicado por la altura \(h\), réstale el cuadrado de \(h\) y calcula la
raíz cuadrada de \(2Rh - h^2\)
de ese resultado para obtener el
②
\(r\): radio de la base
Un ejemplo sencillo
En un casquete de una esfera de 2 cm de radio y 1 cm de altura, el radio del círculo del corte es
\(r\): radio de la base
\(=\)
raíz cuadrada de «2 × 2 × 1 − 1²»
\(r = \sqrt{2 \times 2 \times 1 - 1^{2}} = \sqrt{3} \approx 1{,}73\,\mathrm{cm}\)
La idea clave
También esta sale del teorema de Pitágoras: es la igualdad \(r^2 = R^2 - (R - h)^2\) con el lado derecho desarrollado y simplificado. También puede escribirse sacando factor común, \(r = \sqrt{h(2R - h)}\).
Cuando la altura es justo todo el diámetro (\(h = 2R\)), sale \(r = 0\) y volvemos a la esfera entera, sin corte. En el ejemplo de la primera fórmula (2 cm de radio y 1 cm de altura), \(r = \sqrt{3} \approx 1{,}73\,\mathrm{cm}\). Si metes este \(r = \sqrt{3}\) y \(R = 2\) en la fórmula 3, obtienes \(h = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 1\) o \(3\), y una de las soluciones es la altura original de 1 cm.
El volumen de un casquete esférico es «V = π × altura² × (3 × radio de la esfera − altura) ÷ 3» y solo depende de la altura y del radio de la esfera. El radio de la base, el de la esfera y la altura están unidos por el teorema de Pitágoras, así que, conociendo dos de ellos, el tercero se calcula.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(V\) | uve | Una letra que se usa a menudo para el volumen, por la inicial de «volumen». En esta página es el volumen del casquete esférico. |
| \(r\) | erre (minúscula) | El radio de la base (el círculo del corte), es decir, el radio del círculo que resulta al cortar la esfera con un plano. La r es la inicial de «radio». |
| \(R\) | erre (mayúscula) | El radio de la esfera original, la esfera entera antes de cortarla. Se escribe con mayúscula para distinguirlo del radio \(r\) (minúscula) del círculo del corte. |
| \(h\) | hache | La altura del casquete, la distancia desde el plano del corte hasta el punto más alto del casquete (el vértice). La letra h viene del inglés «height», y es la que se usa en los libros de texto. |
| \(\pi\) | pi | El número π. Es la constante que indica cuántas veces cabe el diámetro en la longitud de la circunferencia. Vale 3,14159… y sus decimales no terminan nunca; en clase se suele calcular con 3,14. |
| \(\pm\) | más menos | Un símbolo que resume «hay dos casos, uno con + y otro con −». En esta página indica que la altura puede tener dos soluciones. |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | raíz (radical) | El símbolo de la raíz cuadrada (el número que, elevado al cuadrado, da el número de dentro). Ejemplo: \(\sqrt{9} = 3\) (porque \(3^2 = 9\)). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | centímetro cúbico | Una unidad de volumen. Un cubo de 1 cm de arista tiene un volumen de 1 cm³. No lo confundas con el cm² (centímetro cuadrado), que es una unidad de área. |
| \(\mathrm{L}\) | litro | Una unidad que se usa mucho para la cantidad de agua y otros líquidos (volumen). Se cumple \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) (un brik de leche de 1 litro tiene justo 1 L). (Se escribe l o L; aquí se usa la L mayúscula porque la l minúscula se confunde fácilmente con un 1.) |
Términos
| casquete esférico | El trozo de esfera que queda al cortarla con un único plano, con forma de cuenco boca abajo. Es el cuerpo cuyo volumen calcula esta calculadora. Con rigor, el cuerpo se llama segmento esférico de una base y su superficie curva, casquete esférico, pero en la práctica se usa «casquete» para las dos cosas (en inglés, «spherical cap»). |
| semiesfera | La mitad de una esfera, la que resulta al cortarla con un plano que pasa justo por su centro (también se llama hemisferio). Es un casquete especial con altura = radio de la esfera (\(h = R\)), y su volumen es justo la mitad del de la esfera entera. |
| base | La cara plana del casquete, es decir, el círculo del corte. El radio de este círculo es \(r\). |
| teorema de Pitágoras | En un triángulo rectángulo, «la hipotenusa al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos». En el casquete se cumple \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\), y todas las fórmulas para hallar uno de \(r\), \(R\) y \(h\) a partir de los otros dos salen de aquí. |
| raíz cuadrada | El número que, elevado al cuadrado, da el número de partida. Las raíces cuadradas de 9 son 3 y −3, pero en los cálculos de longitudes se usa solo la positiva (\(\sqrt{9} = 3\)). |
| volumen | El tamaño de un cuerpo (el espacio que ocupa), expresado con un número. Se mide contando cuántos cubos unidad (por ejemplo, de 1 cm³) caben dentro. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que conviene saber para usar el cálculo de esta página entendiéndolo de verdad, y no solo pulsando el botón.
| Círculo y número π (6.º de Primaria–1.º de ESO, 11-13 años) |
|
| Qué es el volumen y sus unidades (5.º de Primaria, 10-11 años) |
|
| Potencias y exponentes (1.º–2.º de ESO, 12-14 años) |
|
| Volumen de la esfera (2.º de ESO, 13-14 años) |
|
| Raíces cuadradas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| El teorema de Pitágoras (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el volumen a partir del radio de la esfera y la altura
| Radio de la esfera R | 2 |
| Altura h | 1 |
| Volumen del casquete | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
Tabla para calcular el radio de la esfera a partir del radio de la base y la altura
| Radio de la base r | 1 |
| Altura h | 0,5 |
| Radio de la esfera R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Tabla para calcular la altura (dos soluciones) a partir del radio de la base y el de la esfera
| Radio de la base r | 1 |
| Radio de la esfera R | 2 |
| Altura (Solución 1) | =B2-RAIZ(B2^2-B1^2) |
| Altura (Solución 2) | =B2+RAIZ(B2^2-B1^2) |
Tabla para calcular el radio de la base a partir del radio de la esfera y la altura
| Radio de la esfera R | 2 |
| Altura h | 1 |
| Radio de la base r | =RAIZ(2*B1*B2-B2^2) |
Al pegarla, la columna A contiene los nombres y la columna B los números. Las filas de arriba son tus datos, y la fórmula de la última fila calcula el resultado automáticamente con esos valores.
«PI()» es la función que devuelve π, «RAIZ()» calcula la raíz cuadrada, «^» es la potencia (al cuadrado), «*» la multiplicación y «/» la división.
En la primera tabla, por ejemplo, B3 muestra unos 5,24 (en cm³ si el radio es de 2 cm y la altura de 1 cm). La tercera tabla es el caso con dos soluciones: B3 muestra unos 0,268 y B4 unos 3,732. Solo tienes que cambiar los datos por tus propios valores.
«PI()» es la función que devuelve π, «RAIZ()» calcula la raíz cuadrada, «^» es la potencia (al cuadrado), «*» la multiplicación y «/» la división.
En la primera tabla, por ejemplo, B3 muestra unos 5,24 (en cm³ si el radio es de 2 cm y la altura de 1 cm). La tercera tabla es el caso con dos soluciones: B3 muestra unos 0,268 y B4 unos 3,732. Solo tienes que cambiar los datos por tus propios valores.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para calcular el volumen a partir del radio de la esfera y la altura
| Radio de la esfera R | 2 |
| Altura h | 1 |
| Volumen del casquete | =PI()*B2^2*(3*B1-B2)/3 |
Tabla para calcular el radio de la esfera a partir del radio de la base y la altura
| Radio de la base r | 1 |
| Altura h | 0,5 |
| Radio de la esfera R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Tabla para calcular la altura (dos soluciones) a partir del radio de la base y el de la esfera
| Radio de la base r | 1 |
| Radio de la esfera R | 2 |
| Altura (Solución 1) | =B2-RAIZ(B2^2-B1^2) |
| Altura (Solución 2) | =B2+RAIZ(B2^2-B1^2) |
Tabla para calcular el radio de la base a partir del radio de la esfera y la altura
| Radio de la esfera R | 2 |
| Altura h | 1 |
| Radio de la base r | =RAIZ(2*B1*B2-B2^2) |
Funcionan las mismas fórmulas que en Excel (incluidas las funciones PI() y RAIZ()). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia los datos por tus propios valores.
Cómo calcularlo con Python
import math
ball_radius = 2 # radio de la esfera R (en este ejemplo, en cm)
height = 1 # altura del casquete h
volume = math.pi * height ** 2 * (3 * ball_radius - height) / 3 # volumen del casquete (la unidad introducida al cubo)
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * height - height ** 2) # radio r de la base (el círculo del corte)
print(f"Volumen del casquete: {volume} cm3")
print(f"Radio de la base: {base_radius} cm")
Funciona solo con la biblioteca estándar. «math.pi» es el número π, «math.sqrt» la raíz cuadrada, «**» la potencia (al cuadrado, en este caso), «*» la multiplicación y «/» la división. Cambia arriba el radio de la esfera y la altura y ejecuta el código (el ejemplo corresponde a una entrada en cm).
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Fórmula del volumen de un casquete esférico (a partir del radio de la esfera y la altura)
V = π × h² × (3R − h) ÷ 3
V = \dfrac{\pi h^{2} (3R - h)}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁢</mo>
<mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mi>R</mi><mo>−</mo><mi>h</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi h^2 (3R - h))/3
Pi*h^2*(3*R - h)/3
V := Pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = pi*h^2*(3*R - h)/3;
V = (πh^2 (3R − h))/3
Fórmula para hallar el radio de la esfera R (a partir del radio de la base y la altura)
R = (h² + r²) ÷ (2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2)/(2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
Fórmula para hallar la altura h (a partir del radio de la base y el de la esfera; dos soluciones)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
R + {-1, 1}*Sqrt[R^2 - r^2]
h := R + [-1, 1]*sqrt(R^2 - r^2);
h = R + [-1, 1]*sqrt(R^2 - r^2);
h = R ± √(R^2 − r^2)
Fórmula para hallar el radio de la base r (a partir del radio de la esfera y la altura)
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn>
<mi>R</mi>
<mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh − h^2)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo matemático. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no calcules de cabeza ni estimes). Se corta una esfera de 2 cm de radio con un plano de modo que la altura desde el vértice del trozo resultante (un casquete esférico) sea de 1 cm. Calcula: 1. El volumen de este casquete esférico en cm³ (V = π × h² × (3R − h) ÷ 3) 2. El radio del círculo del corte (la base) en cm (r = √(2Rh − h²)) Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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