球欠（球冠）の体積計算機（V ＝ πh²(3R − h) ÷ 3）

底面（切り口の円）の半径 r・もとの球の半径 R・高さ h のうち、わかっている2つを入力してください。残りの1つと体積を計算します。

単位

底面の半径 r（切り口の円の半径）

球の半径 R（もとの球の半径）

高さ h（切り口から頂点まで）

長さは0以上の数値だけを、同じ単位に揃えて入力してください（単位は付けず数値のみ）。残りの1つの項目は空欄のままにします。底面の半径と球の半径から計算するときは、答えが2通り表示されることがあります。

計算結果・図形

左の入力欄に3つの項目のうち2つの値を入れて「計算する」を押すと、ここに結果が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

球を平面でスパッと切り取った立体「球欠（きゅうけつ）」の体積がその場でわかります。丸いドームやお椀をふせたような形で、丸い曲面の部分は「球冠（きゅうかん）」と呼びます（英語ではどちらも spherical cap）
底面（切り口の円）の半径 \(r\)・もとの球の半径 \(R\)・高さ \(h\) の3つのうち、わかっている2つを入れるだけで、残りの1つも自動で計算します
底面の半径と球の半径から計算するときは、切る位置が球の中心より上か下かで答えが2通りになることがあります。その場合も両方まとめて表示します
計算結果の球欠を3Dの図形でも表示します（ドラッグで回せます。切り取る前の球もうすい線で表示）
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

3つの値はすべて同じ単位に揃えて入力してください（cmならすべてcm）。体積はその単位の3乗（cmで入力すればcm³、mで入力すればm³）になります。

この計算は何の役に立つ？

球形タンクに残っている液体の量を、深さから計算する（工業・インフラ）

石油や液化ガスをためる球形タンクでは、たまっている液体の部分がちょうど球欠の形になるため、液面の深さ \(h\) を測ればこの式で残量がわかります。例えば半径2mの球形タンクに深さ0.5mまで液体が入っているとき、残量は \(\pi \times 0.5^2 \times (3 \times 2 - 0.5) \div 3 \fallingdotseq 1.44\,\mathrm{m^3}\)（約1440L）です。
センサーで測った深さを体積に換算する——この式の一番代表的な実務での使い道です。

丸いお椀・ボウルに入っている量を見積もる（料理）

半球に近い形のボウル（半径6cm）にスープを深さ3cmまで入れると、スープの形は球欠なので、量は \(\pi \times 3^2 \times (3 \times 6 - 3) \div 3 = 45\pi \fallingdotseq 141\,\mathrm{cm^3}\)（約141mL）と見積もれます。
ボウルいっぱい（半球）だと約452mLなので、「深さが半分でも、量は半分よりずっと少ない（3分の1以下）」ことが計算でわかります。盛り付けやレシピの分量感覚にも役立つ、一番身近な応用例です。

ドーム屋根・プラネタリウムの内部空間を概算する（建築）

ドーム型の屋根や天井は、球欠の形として概算できます。例えば直径120m（切り口の半径60m）・高さ40mのドームなら、もとの球の半径は \(R = (40^2 + 60^2) \div (2 \times 40) = 65\,\mathrm{m}\)、内部の空間は約26万m³と計算できます。
この空間の大きさは、空調・換気・音の響きを設計するときの出発点になります（実際のドームは正確な球欠とは限らないので、あくまで概算です）。

表面にのった液滴の体積を測る（印刷・塗装・半導体の技術）

葉の上の水滴やインクジェットプリンターのインク滴のように、表面にのった小さな液滴は、表面張力のためほぼ球欠の形になります。研究や製造の現場では、横から撮影した写真で液滴の切り口の半径と高さを測り、この式で体積を求めています。
材料の「ぬれやすさ」（接触角）の評価にも使われる、ミクロの世界でも活躍する式です。

レンズの丸くふくらんだ部分の形を扱う（光学）

眼鏡やカメラのレンズの丸くふくらんだ面は球面の一部（球冠）で、ふくらみの部分の形はまさに球欠です。レンズを磨いて作るときに削り取る量や、材料の体積の見積もりにこの式が使われてきました。
コンタクトレンズのような薄いドーム形の設計でも、切り口の半径・球の半径・高さの関係（このページの式2〜式4）が基本になっています。

式と図

球欠の体積の公式（球の半径と高さから）

図

数学表記（一般的な数式）

\(V\) \(=\) \(\pi\) \(\times\) \(h\) \(2\) \(\times\) \((\) \(3 \times\) \(R\) \(-\) \(h\) \()\) \(\div 3\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

⑥ 球欠の体積 \(V\) \(=\) ③ 円周率 \(\pi\) \(\times\) ① 高さ \(h\) ② 2乗（同じ数を2回掛ける） \(\times\) \((\) \(3 \times\) ④ 球の半径 \(R\) \(-\) 高さ \(h\) \()\) ⑤ \(\div 3\)

式を日本語で読むと

① 高さ \(h\) を

② 2乗（同じ数を2回掛ける）し、

③ 円周率 \(\pi\)（約3.14）を掛け、

④ さらに、球の半径 \(R\) を3倍したものから高さ \(h\) を引いた「\(3R - h\)」を掛け、

⑤ 最後に3で割ると

⑥ 球欠の体積 \(V\) になる

簡単な例

半径2cmの球を、頂点からの高さが1cmになるように切り取った球欠（お椀をふせたような形）の体積は

球欠の体積 \(V\) \(=\) 円周率 \(\pi\) \(\times\) 高さ（1cm） 2乗 \(\times\) \((\) \(3 \times\) 球の半径（2cm） \(-\) 高さ（1cm） \()\) \(\div 3\)

\(\pi \times 1^{2} \times (3 \times 2 - 1) \div 3 = \pi \times 5 \div 3 = \dfrac{5}{3}\pi\)

\(\dfrac{5}{3}\pi \fallingdotseq \dfrac{5}{3} \times 3.14 \fallingdotseq 5.2\,\mathrm{cm^3}\)

考え方のポイント

高さ \(h\) を「2乗」するのを「2倍」と間違えるのが一番多いミスです。この式は高さ \(h\) と球の半径 \(R\) の2つだけで決まり、底面の半径 \(r\) は出てきません（\(h\) と \(R\) が決まると \(r\) は自動的に決まるため）。半球（\(h = R\)）を入れると \(V = \dfrac{2}{3}\pi R^3\) となって球の体積のちょうど半分、\(h = 2R\)（直径いっぱい）では \(\dfrac{4}{3}\pi R^3\) となって球全体に一致します。底面の半径 \(r\) と高さ \(h\) から直接求めたいときは、同じ式の書き換えである \(V = \pi h (3r^2 + h^2) \div 6\) という形もあります。

球の半径 \(R\) を求める式（底面の半径と高さから）

図

数学表記（一般的な数式）

\(R\) \(=\) \((\) \(h\) \(2\) \(+\) \(r\) \(2\) \()\) \(\div\) \((\) \(2 \times\) \(h\) \()\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

⑤ 球の半径 \(R\) \(=\) \((\) ① 高さ \(h\) ② 2乗（同じ数を2回掛ける） \(+\) ③ 底面の半径 \(r\) 2乗 \()\) \(\div\) \((\) \(2 \times\) ④ 高さ \(h\) \()\)

式を日本語で読むと

① 高さ \(h\) を

② 2乗（同じ数を2回掛ける）し、

③ 底面の半径 \(r\) も2乗して、2つを足し、

④ その合計を、高さ \(h\) を2倍した「\(2h\)」で割ると

⑤ 球の半径 \(R\) になる

簡単な例

切り口の円の半径が1m・高さが0.5mのドーム形の物体で、もとの球の半径は

球の半径 \(R\) \(=\) \((\) 高さ（0.5m） 2乗 \(+\) 底面の半径（1m） 2乗 \()\) \(\div\) \((\) \(2 \times\) 高さ（0.5m） \()\)

\(R = (0.5^{2} + 1^{2}) \div (2 \times 0.5) = 1.25 \div 1\)

\(1.25 \div 1 = 1.25\,\mathrm{m}\)

考え方のポイント

この式の正体は、中学3年で習う三平方の定理（ピタゴラスの定理）です。球の中心・切り口の円の中心・切り口のふちの3点を結ぶと直角三角形ができ、\(r^2 + (R - h)^2 = R^2\) が成り立ちます。これを \(R\) について解いたものがこの式です。「球の一部（かけら）しか残っていないのに、もとの球の大きさがわかる」のがこの式のおもしろいところで、割れたお椀のかけらから元の大きさを推定するのと同じ発想です。

高さ \(h\) を求める式（底面の半径と球の半径から・答えは2通り）

図

数学表記（一般的な数式）

\(h\) \(=\) \(R\) \(\pm\) \(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 球欠の高さ \(h\) \(=\) ① 球の半径 \(R\) ③ \(\pm\) ② 2乗の差 \(R^2 - r^2\) の平方根

式を日本語で読むと

① 球の半径 \(R\) をもとに、

② 2乗の差 \(R^2 - r^2\) の平方根を計算し（球の半径 \(R\) の2乗から底面の半径 \(r\) の2乗を引いて、そのルートをとる）、

③ それを「引く」場合と「足す」場合の2通りを考えると（記号 ± は「−と＋の両方がありうる」という意味）

④ 球欠の高さ \(h\) が（普通2通り）求まる

簡単な例

切り口の円の半径が1m・もとの球の半径が2mのとき、球欠の高さは

球欠の高さ \(h\) \(=\) 球の半径（2m） \(\pm\) 「2² − 1²」の平方根

\(\sqrt{2^{2} - 1^{2}} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.732\)

\(h = 2 - 1.732 = 0.268\,\mathrm{m}\)

\(h = 2 + 1.732 = 3.732\,\mathrm{m}\)

考え方のポイント

答えが2通り出るのは、同じ大きさの切り口でも「球の中心より上で切る（浅いお椀）」と「中心より下で切る（深いつぼ）」の2通りの球欠が作れるためです。ちょうど \(r = R\)（切り口が球の中心を通る）のときだけ \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\) になり、答えは1通り（半球、\(h = R\)）です。また \(r > R\) にはできません（球より大きい切り口は作れないため）。

底面の半径 \(r\) を求める式（球の半径と高さから）

図

数学表記（一般的な数式）

\(r\) \(=\) \(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② 底面の半径 \(r\) \(=\) ① \(2Rh - h^2\) の平方根

式を日本語で読むと

① 球の半径 \(R\) の2倍に高さ \(h\) を掛けたものから、高さ \(h\) の2乗を引き、その \(2Rh - h^2\) の平方根を計算すると

② 底面の半径 \(r\) になる

簡単な例

もとの球の半径が2cm・高さが1cmの球欠で、切り口の円の半径は

底面の半径 \(r\) \(=\) 「2 × 2 × 1 − 1²」の平方根

\(r = \sqrt{2 \times 2 \times 1 - 1^{2}} = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73\,\mathrm{cm}\)

考え方のポイント

これも正体は三平方の定理で、\(r^2 = R^2 - (R - h)^2\) の右辺を展開して整理した形です。\(r = \sqrt{h(2R - h)}\) とくくって書くこともできます。高さがちょうど直径いっぱい（\(h = 2R\)）のときは \(r = 0\) となり、切り口のない球全体に戻ります。式1の例（半径2cm・高さ1cm）では \(r = \sqrt{3} \fallingdotseq 1.73\,\mathrm{cm}\) です。この \(r = \sqrt{3}\) と \(R = 2\) を式3に入れると \(h = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 1\) または \(3\) となり、解の1つとしてもとの高さ1cmがきちんと戻ってきます。

球欠（球冠）の体積は「V ＝ π × 高さの2乗 × (3 × 球の半径 − 高さ) ÷ 3」で、高さと球の半径の2つだけで決まります。底面の半径・球の半径・高さは三平方の定理でつながっているので、どれか2つがわかれば残りの1つは計算で求められます。

用語・記号の解説

記号

\(V\)	ブイ	体積を表すのによく使われる記号。英語の volume（体積）の頭文字です。このページでは球欠の体積を表します。
\(r\)	アール（小文字）	底面（切り口の円）の半径。球を平面で切ったときにできる円の半径です。英語の radius（半径）の頭文字です。
\(R\)	アール（大文字）	もとの球の半径。切り取る前のボール全体の半径で、切り口の円の半径 \(r\)（小文字）と区別するために大文字で書きます。
\(h\)	エイチ	球欠の高さ。切り口の平面から、球欠の一番高いところ（頂点）までの距離です。英語の height（高さ）の頭文字です。
\(\pi\)	パイ	円周率。円周が直径の何倍かを表す定数で、約3.14159…とどこまでも続く数です。小学校では3.14として計算します。
\(\pm\)	プラスマイナス	「＋の場合と−の場合の2通りがある」ことをまとめて表す記号。このページでは、高さの答えが2通りありうることを表します。
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	ルート（根号）	平方根（2乗するとその数になる数）を表す記号。例：\(\sqrt{9} = 3\)（\(3^2 = 9\) だから）。
\(\mathrm{cm^3}\)	立方センチメートル	体積の単位。1辺1cmの立方体の体積が1cm³です。読み方は「りっぽうセンチメートル」で、面積のcm²（平方センチメートル）と区別します。
\(\mathrm{L}\)	リットル	水などの量（体積）でよく使う単位。\(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) の関係があります（牛乳パック1本がちょうど1Lです）。

用語

球欠	きゅうけつ	球を1つの平面でスパッと切ったときにできる、切れはしの立体。お椀をふせたような形です。この計算機が体積を求めるのはこの立体です。
球冠	きゅうかん	球欠の表面のうち、丸くふくらんだ曲面の部分の呼び名。立体そのもの（球欠）と使い分けますが、日常では立体のことも「球冠」と呼ぶことがあります。英語ではどちらも spherical cap（球のふた）です。
半球	はんきゅう	球をちょうど中心を通る平面で切った立体。高さ＝球の半径（\(h = R\)）となる特別な球欠で、体積は球全体のちょうど半分です。
底面	ていめん	球欠の平らな面＝切り口の円のこと。この円の半径が \(r\) です。
三平方の定理（ピタゴラスの定理）	さんへいほうのていり	直角三角形で「斜辺の2乗＝残りの2辺の2乗の和」が成り立つ定理。球欠では \(r^2 + (R - h)^2 = R^2\) が成り立ち、\(r\)・\(R\)・\(h\) のどれか2つから残りを求める式はすべてここから導かれます。
平方根	へいほうこん	2乗するとその数になる数。9の平方根は3と−3ですが、長さの計算では正の方（\(\sqrt{9} = 3\)）だけを使います。
体積	たいせき	立体の大きさ（かさ）を数で表したもの。「1辺1cmの立方体（1cm³）が何個分あるか」で測ります。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。

円と円周率（小学5年）	円周率π（約3.14）が「円周は直径の何倍か」を表す決まった数だとわかること半径と直径の関係（直径＝半径 × 2）がわかること
体積の意味と単位（小学5年）	体積が「1辺1cmの立方体（1cm³）が何個分か」で表せることがわかること cm³・m³・Lという単位を読み書きでき、\(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) の関係がわかること
累乗・指数（中学1年）	\(h^2 = h \times h\) のように、「2乗」が同じ数を2回掛けることだとわかること
球の体積（中学1年）	球の体積の公式 \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\) を知っていること（半球や球全体との答え合わせに使えます）
平方根（中学3年）	\(\sqrt{9} = 3\) のように、平方根（2乗するとその数になる数）の意味がわかること \(\sqrt{3} \fallingdotseq 1.73\) のような近似値を使った計算ができること
三平方の定理（中学3年）	直角三角形で「斜辺の2乗＝残りの2辺の2乗の和」（\(a^2 + b^2 = c^2\)）が成り立つとわかること球欠の断面に直角三角形を見つけて、\(r^2 + (R - h)^2 = R^2\) の関係が読み取れること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「球の半径と高さから体積」を求める表

球の半径 R	2
高さ h	1
球欠の体積	=PI()B2^2(3*B1-B2)/3

「底面の半径と高さから球の半径」を求める表

底面の半径 r	1
高さ h	0.5
球の半径 R	=(B2^2+B1^2)/(2*B2)

「底面の半径と球の半径から高さ（2通り）」を求める表

底面の半径 r	1
球の半径 R	2
高さ（解1）	=B2-SQRT(B2^2-B1^2)
高さ（解2）	=B2+SQRT(B2^2-B1^2)

「球の半径と高さから底面の半径」を求める表

球の半径 R	2
高さ h	1
底面の半径 r	=SQRT(2B1B2-B2^2)

貼り付けると、A列に項目名、B列に数値が入ります。上の行が入力欄で、最後の行の数式が入力欄の値を使って自動計算します。
「PI()」は円周率π、「SQRT()」は平方根を計算する関数で、「^」はべき乗（2乗）、「*」は掛け算、「/」は割り算の記号です。
例えば1つ目の表なら、B3に約5.24と表示されます（半径2cm・高さ1cmならcm³）。3つ目の表は答えが2通り出る場合で、B3に約0.268、B4に約3.732が表示されます。入力欄の数値を自分の値に書き換えるだけで使えます。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「球の半径と高さから体積」を求める表

球の半径 R	2
高さ h	1
球欠の体積	=PI()B2^2(3*B1-B2)/3

「底面の半径と高さから球の半径」を求める表

底面の半径 r	1
高さ h	0.5
球の半径 R	=(B2^2+B1^2)/(2*B2)

「底面の半径と球の半径から高さ（2通り）」を求める表

底面の半径 r	1
球の半径 R	2
高さ（解1）	=B2-SQRT(B2^2-B1^2)
高さ（解2）	=B2+SQRT(B2^2-B1^2)

「球の半径と高さから底面の半径」を求める表

球の半径 R	2
高さ h	1
底面の半径 r	=SQRT(2B1B2-B2^2)

Excelと同じ式（PI()・SQRT()関数を含む）がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、入力欄の数値を自分の値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

import math

ball_radius = 2   # 球の半径 R（この例ではcm）
height = 1        # 球欠の高さ h

volume = math.pi * height ** 2 * (3 * ball_radius - height) / 3   # 球欠の体積（入力単位の3乗）
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * height - height ** 2)   # 底面（切り口の円）の半径 r

print(f"球欠の体積: {volume} cm3")
print(f"底面の半径: {base_radius} cm")

標準ライブラリだけで動きます。「math.pi」が円周率π、「math.sqrt」が平方根、「**」がべき乗（2乗）、「*」が掛け算、「/」が割り算の記号です。先頭の球の半径と高さを書き換えて実行してください（cmで入力した場合の例です）。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

球欠の体積の公式（球の半径と高さから）

V = πh²(3R − h)/3

V = \dfrac{1}{3}\pi h^{2}(3R - h)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>V</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
    <mi>&#x3C0;</mi>
    <msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>(</mo>
    <mn>3</mn><mi>R</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>h</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

V = (1/3) pi h^2 (3R - h)

Pi*h^2*(3*R - h)/3

V := Pi*h^2*(3*R - h)/3;

V = pi*h^2*(3*R - h)/3;

V = (1/3)πh^2(3R - h)

球の半径 \(R\) を求める式（底面の半径と高さから）

R = (h² + r²)/(2h)

R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>R</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
      <mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

R = (h^2 + r^2)/(2h)

(h^2 + r^2)/(2*h)

R := (h^2 + r^2)/(2*h);

R = (h^2 + r^2)/(2*h);

R = (h^2 + r^2)/(2h)

高さ \(h\) を求める式（底面の半径と球の半径から・答えは2通り）

h = R ± √(R² − r²)

h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>R</mi>
    <mo>&#xB1;</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

h = R +- sqrt(R^2 - r^2)

Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]

solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);

h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];

h = R ± √(R^2 - r^2)

底面の半径 \(r\) を求める式（球の半径と高さから）

r = √(2Rh − h²)

r = \sqrt{2Rh - h^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = sqrt(2Rh - h^2)

Sqrt[2*R*h - h^2]

r := sqrt(2*R*h - h^2);

r = sqrt(2*R*h - h^2);

r = √(2Rh - h^2)

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは算数・数学の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

半径2cmの球を、頂点からの高さが1cmになるように平面で切り取った立体（球欠）があります。
次の値をそれぞれ求めてください。
1. この球欠の体積は何cm³か（V = π × h² × (3R − h) ÷ 3）
2. 切り口の円（底面）の半径は何cmか（r = √(2Rh − h²)）

計算に使った式と、実行結果の数値を示してください。