標準偏差計算機（母標準偏差・標本標準偏差）

散らばり（ばらつき）を調べたい数値を、カンマ（,）区切りで入力してください。母標準偏差σと標本標準偏差sを、平均・分散・偏差平方和と一緒にまとめて計算します。

データの数値（カンマ区切り）

数値はカンマ（,）で区切って2個以上入力してください（例：10, 12, 23, 23, 16）。小数・マイナスの数も使えます。

計算結果・グラフ

左の入力欄に数値をカンマ区切りで入れて「計算する」を押すと、ここに結果が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

数値をカンマ（,）区切りで入れるだけで、標準偏差がその場でわかります
母標準偏差 \(\sigma\)（\(N\) で割る）と標本標準偏差 \(s\)（\(N-1\) で割る）を、両方まとめて表示します
平均 \(\mu\)・偏差平方和 \(\sum (x_i-\mu)^2\)・分散 \(\sigma^2,\ s^2\) も同時に計算するので、求め方の途中まで一目で追えます
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

手元のデータが「調べたい全体そのもの」なら母標準偏差 \(\sigma\) を、「大きな集団から抜き出した一部（標本）で、その裏にある全体のばらつきを推し量りたい」なら標本標準偏差 \(s\) を使います。迷ったら両方を見比べてください。数値は2個以上必要です。

この計算は何の役に立つ？

テストの「偏差値」の土台になっている（学校・受験）

受験でおなじみの偏差値は、\(\text{偏差値} = 50 + 10 \times \dfrac{x - \text{平均}}{\text{標準偏差}}\) という式で計算され、標準偏差がそのまま分母に入っています。
「平均から標準偏差1つ分だけ上」なら偏差値60、というしくみです。標準偏差がわかると、同じ点数でもテストの難しさ（散らばり）によって偏差値が変わる理由が腑に落ちます。

製造・品質管理でばらつきを抑える（工業）

ねじの長さや部品の重さは、どんなに精密に作っても少しずつばらつきます。工場ではこのばらつきを標準偏差で測り、「平均 ± 標準偏差3つ分」がお客様の規格に収まるように工程を管理します。
標準偏差が小さいほど「揃った良い製品」であり、品質改善とは標準偏差を小さくしていく活動そのもの、といえるほど基本の指標です。

投資のリスク（値動きの荒さ）を測る（お金・金融）

同じ「平均リターン5%」の2つの投資先でも、値動きの標準偏差が大きいほうは、大きく増える年もあれば大きく減る年もあり、リスクが高いと判断されます。
金融では、このリターンの標準偏差を「ボラティリティ（変動の大きさ）」と呼び、リスクの代表的なものさしとして使います。平均だけ見て決めず、標準偏差＝ばらつきもあわせて見るのが、お金の大事な判断のコツです。

気候や地域の「安定さ」を比べる（気象・データの読み方）

年間の平均気温が同じ2つの都市でも、月ごとの気温の標準偏差が小さい都市は1年を通じて穏やか、大きい都市は夏と冬の差が激しい、とわかります。
平均だけでは見えない「安定しているか・変動が大きいか」を数字にできるのが標準偏差で、気候の比較や作物・観光の計画づくりにも使われます。

検査値の「基準範囲」を決める（医療・健康診断）

健康診断の血液検査などで示される「基準範囲」は、多くの健康な人のデータを集め、その平均と標準偏差をもとに「平均 ± 標準偏差2つ分」あたりの幅として決められることがあります（実際には検査項目ごとに、分布の形に応じた方法が使われます）。
標準偏差を知っておくと、「基準範囲を少し外れた＝ただちに病気」ではなく「健康な人でも一部は外れうる幅」だと落ち着いて受け止めやすくなります。

式と図

平均（へいきん）

図

数学表記（一般的な数式）

\(\mu\) \(=\) \((x_1 + x_2 + \cdots + x_N)\) \(\div\) \(N\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 平均 \(\mu\) \(=\) ① データの合計 \(\div\) ② データの個数 \(N\)

式を日本語で読むと

① データの合計を

② データの個数 \(N\) で割ると

③ 平均 \(\mu\) になる

簡単な例

データ 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16（8個）の平均は、合計144を8で割って

平均 \(\mu\) \(=\) 合計（144） \(\div\) 個数（8個）

\(144 \div 8 = 18\)

考え方のポイント

標準偏差は「各データが平均からどれくらい離れているか」を測る値なので、まず平均を求めるのが出発点です。標本のばらつきを扱うときは、平均を標本平均と呼んで \(\bar{x}\)（エックスバー）と書くこともありますが、計算のしかたはまったく同じです。

偏差平方和（へんさへいほうわ）

図

数学表記（一般的な数式）

\(S\) \(=\) \(\displaystyle\sum_{i=1}^{N}\) \((x_i - \mu)\) \(2\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 偏差平方和 \(S\) \(=\) ③ 全部足す \(\displaystyle\sum\) ① 各データ \(x_i\) と平均 \(\mu\) の差（偏差） ② 2乗

式を日本語で読むと

① 各データと平均の差（偏差）を

② 2乗して（マイナスを消してプラスに揃え）

③ 全部足す \(\displaystyle\sum\) と

④ 偏差平方和 \(S\) になる

簡単な例

データ 1, 5（平均3）なら、偏差は \(1-3=-2\) と \(5-3=2\) です。それぞれ2乗して合計すると

偏差平方和 \(S\) \(=\) 偏差（−2） 2乗 \(+\) 偏差（2） 2乗

\((-2)^2 + (2)^2 = 4 + 4 = 8\)

考え方のポイント

偏差（各データと平均の差）は、そのまま全部足すと必ず0になってしまいます（プラスとマイナスが打ち消し合うため）。そこで、2乗してすべてプラスに揃えてから足す——これが「偏差平方和」で、ばらつきを数値にするための土台です。このあとの母分散・標本分散・母標準偏差・標本標準偏差は、すべてこの \(S\) から作られます。「\(N\) で割るか \(N-1\) で割るか」だけが、母集団と標本の違いです。

分散（母分散・標本分散）

図

数学表記（一般的な数式）

\(\sigma^2\) \(=\) \(S\) \(\div\) \(N\)

\(s^2\) \(=\) \(S\) \(\div\) \((N-1)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 母分散 \(\sigma^2\) \(=\) ① 偏差平方和 \(S\) \(\div\) ② 個数 \(N\)

⑥ 標本分散 \(s^2\) \(=\) ④ 偏差平方和 \(S\) \(\div\) ⑤ 個数より1小さい \((N-1)\)

式を日本語で読むと

① 偏差平方和 \(S\) を

② 個数 \(N\) で割ると

③ 母分散 \(\sigma^2\) になり

④ 同じ偏差平方和 \(S\) を

⑤ 個数より1小さい \((N-1)\) で割ると

⑥ 標本分散 \(s^2\) になる

簡単な例

データ 2, 8（平均5、偏差平方和18）なら、母分散は18を個数2で、標本分散は18を(2−1)で割って

母分散 \(\sigma^2\) \(=\) 18 \(\div\) 2

\(\sigma^2 = 18 \div 2 = 9\)

\(s^2 = 18 \div (2 - 1) = 18 \div 1 = 18\)

考え方のポイント

分散は「ばらつきの大きさ」を表す値ですが、データを2乗しているので単位も2乗（点なら「点²」）になり、実感しづらいのが難点です。そこで、次の平方根を取って単位を元に戻したものが標準偏差です。標本分散で \(N\) ではなく \(N-1\) で割るのは、標本から母集団のばらつきを推し量るとき、\(N\) で割るとばらつきを少し小さく見積もってしまうため。1小さい数で割って補正します（ベッセル補正、\(N-1\) は自由度と呼ばれます）。なお、統計の教科書によっては「\(N\) で割ったもの」を標本分散と呼び、\(N-1\) で割ったものは不偏分散として区別する流儀もあります。このページでは、ExcelやPythonの関数と同じく、\(N-1\) で割ったもの（不偏分散）を標本分散 \(s^2\) と呼んでいます。

標準偏差（母標準偏差・標本標準偏差）

図

数学表記（一般的な数式）

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{\sigma^2}\)

\(s\) \(=\) \(\sqrt{s^2}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② 母標準偏差 \(\sigma\) \(=\) ① 母分散 \(\sigma^2\) の平方根

④ 標本標準偏差 \(s\) \(=\) ③ 標本分散 \(s^2\) の平方根

式を日本語で読むと

① 母分散 \(\sigma^2\) の平方根（2乗すると分散になる数）を取ると

② 母標準偏差 \(\sigma\) になる

③ 標本分散 \(s^2\) の平方根を取ると

④ 標本標準偏差 \(s\) になる

簡単な例

さきほどのデータ 2, 8 なら、母分散9・標本分散18の平方根を取って

母標準偏差 \(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{9}\)

\(\sigma = \sqrt{9} = 3\)

\(s = \sqrt{18} \fallingdotseq 4.243\)

考え方のポイント

標準偏差は分散の平方根なので、単位がデータと同じに戻ります（点のデータなら標準偏差も「点」）。だから「平均の周りで、だいたいどれくらいずれているか」を実感しやすい値になります。標準偏差が大きいほどデータは散らばっており、小さいほど平均の近くに集まっています。すべての値が同じなら、ばらつきはゼロなので標準偏差も0になります。

標準偏差は「① 平均を出す → ② 各データとの差（偏差）を2乗して全部足す（偏差平方和）→ ③ 個数 N（母集団）または N−1（標本）で割って分散にする → ④ 平方根を取る」の順で求めます。母集団か標本かで違うのは「N で割るか N−1 で割るか」だけです。

用語・記号の解説

記号

\(x_1, x_2, \ldots, x_N\)	エックスいち、エックスに、…、エックスエヌ	散らばりを調べたい1つ1つのデータ。（例：8人分のテストの点数）
\(N\)	エヌ	データの個数。（例：8人分なら \(N = 8\)）
\(\mu\)	ミュー	平均。母集団の平均を表すギリシャ文字です。標本の平均は \(\bar{x}\)（エックスバー）と書きますが、計算のしかたは同じです。
\(x_i - \mu\)	エックスアイ引くミュー	偏差。各データが平均からどれだけ離れているか（ずれ）を表します。
\(S\)	エス	偏差平方和。各偏差を2乗して全部足した値 \(\sum (x_i-\mu)^2\) で、分散・標準偏差の材料になります。
\(\sigma^2\)	シグマ2乗	母分散。偏差平方和を個数 \(N\) で割った値です。
\(\sigma\)	シグマ	母標準偏差。母分散の平方根で、ばらつきを表す代表的な記号です。
\(s^2\)	エス2乗	標本分散（不偏分散）。偏差平方和を \(N-1\) で割った値です。
\(s\)	エス	標本標準偏差。標本分散の平方根です。
\(\sum\)	シグマ（和の記号）	「全部足す」という意味の記号。\(\sum_{i=1}^{N} x_i\) は \(x_1\) から \(x_N\) までの合計を表します。

用語

標準偏差	ひょうじゅんへんさ	データが平均の周りでどれくらい散らばっているかを表す値。分散の平方根で、単位がデータと同じに戻るため「平均からの普通のずれ幅」の目安として使いやすい代表的な指標です。
分散	ぶんさん	偏差（各データと平均の差）を2乗して平均した値。ばらつきの大きさを表しますが、単位が2乗になるので、平方根を取って標準偏差に直して使うのが一般的です。
偏差	へんさ	各データと平均との差（\(x_i - \mu\)）。プラスなら平均より大きい、マイナスなら小さいことを表します。そのまま全部足すと0になるため、2乗してから使います。
偏差平方和	へんさへいほうわ	偏差を2乗して全部足した値。分散・標準偏差はすべてこの値から作られます。
母集団	ぼしゅうだん	調べたい対象の全体のこと。手元のデータがこの全体そのものなら、母標準偏差 \(\sigma\) を使います。
標本	ひょうほん	母集団（全体）から抜き出した一部のデータ。標本から全体のばらつきを推し量るときは、標本標準偏差 \(s\) を使います。
不偏分散	ふへんぶんさん	標本から母集団の分散を推定するときに使う分散。偏差平方和を \(N-1\) で割ります。\(N\) で割ると母集団のばらつきを小さく見積もってしまうため、1小さい数で割って補正した値です。
ベッセル補正	ベッセルほせい	標本分散で \(N\) ではなく \(N-1\) で割る補正のこと。\(N-1\) は自由度とも呼ばれます。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。

平均（小学5年）	平均＝合計 ÷ 個数で求められること平均が「データ全体のまんなかの目安」を表すことがわかること
正負の数・かっこの計算（中学1年）	\(1 - 3 = -2\) のような、答えがマイナスになる引き算ができることマイナスの数を2乗すると \((-2)^2 = 4\) のようにプラスになること
累乗（中学1年）	\(3^2 = 3 \times 3 = 9\) のように、2乗が「同じ数を2回掛けること」だとわかること
平方根（中学3年）	\(\sqrt{9} = 3\) のように、「2乗するとその数になる数」として平方根がわかること \(\sqrt{18}\) のように割り切れない平方根は、およその小数で表せること
データの分布・散らばり（中学1年〜高校数学I）	平均が同じでも、データの散らばり方は違いうること分散・標準偏差が「散らばりの大きさ」を数値で表すものだとわかること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「平均」を求める表

1つ目の数	10
2つ目の数	12
3つ目の数	23
4つ目の数	23
5つ目の数	16
6つ目の数	23
7つ目の数	21
8つ目の数	16
個数 N	=COUNT(B1:B8)
合計 Σx	=SUM(B1:B8)
平均 μ	=AVERAGE(B1:B8)

「偏差平方和 S」を求める表

1つ目の数	10
2つ目の数	12
3つ目の数	23
4つ目の数	23
5つ目の数	16
6つ目の数	23
7つ目の数	21
8つ目の数	16
偏差平方和 S	=DEVSQ(B1:B8)

「母標準偏差 σ・母分散 σ²」を求める表

1つ目の数	10
2つ目の数	12
3つ目の数	23
4つ目の数	23
5つ目の数	16
6つ目の数	23
7つ目の数	21
8つ目の数	16
母分散 σ²	=VARP(B1:B8)
母標準偏差 σ	=STDEVP(B1:B8)

「標本標準偏差 s・標本分散 s²」を求める表

1つ目の数	10
2つ目の数	12
3つ目の数	23
4つ目の数	23
5つ目の数	16
6つ目の数	23
7つ目の数	21
8つ目の数	16
標本分散 s²	=VAR(B1:B8)
標本標準偏差 s	=STDEV(B1:B8)

貼り付けると、B1〜B8が数値の入力欄になり、緑の太字のセルが自動計算の結果になります。
1つ目の表では、平均μに18が表示されます。3つ目の表の母標準偏差σは約4.899、4つ目の表の標本標準偏差sは約5.237です。
データの個数を変えたいときは、数値の行を増やし（減らし）てから、式の「B1:B8」の部分を実際のデータ範囲（例：10個なら B1:B10）に書き換えてください。
「P」が付くSTDEVP・VARPが母集団用（N で割る）、付かないSTDEV・VARが標本用（N−1 で割る）です。DEVSQは偏差平方和を一発で出す関数です。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「平均」を求める表

1つ目の数	10
2つ目の数	12
3つ目の数	23
4つ目の数	23
5つ目の数	16
6つ目の数	23
7つ目の数	21
8つ目の数	16
個数 N	=COUNT(B1:B8)
合計 Σx	=SUM(B1:B8)
平均 μ	=AVERAGE(B1:B8)

「偏差平方和 S」を求める表

1つ目の数	10
2つ目の数	12
3つ目の数	23
4つ目の数	23
5つ目の数	16
6つ目の数	23
7つ目の数	21
8つ目の数	16
偏差平方和 S	=DEVSQ(B1:B8)

「母標準偏差 σ・母分散 σ²」を求める表

1つ目の数	10
2つ目の数	12
3つ目の数	23
4つ目の数	23
5つ目の数	16
6つ目の数	23
7つ目の数	21
8つ目の数	16
母分散 σ²	=VARP(B1:B8)
母標準偏差 σ	=STDEVP(B1:B8)

「標本標準偏差 s・標本分散 s²」を求める表

1つ目の数	10
2つ目の数	12
3つ目の数	23
4つ目の数	23
5つ目の数	16
6つ目の数	23
7つ目の数	21
8つ目の数	16
標本分散 s²	=VAR(B1:B8)
標本標準偏差 s	=STDEV(B1:B8)

Excelと同じ関数（AVERAGE・DEVSQ・STDEVP・VARP・STDEV・VAR）がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、B1〜B8を自分の数値に書き換えてください。
Googleスプレッドシートでも、母集団用はSTDEVP／VARP、標本用はSTDEV／VARで同じように計算できます。

Pythonで計算する方法

import statistics

numbers = [10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16]  # ばらつきを調べたい数値

mean = statistics.mean(numbers)               # 平均 μ
pstdev = statistics.pstdev(numbers)           # 母標準偏差 σ（N で割る）
pvariance = statistics.pvariance(numbers)     # 母分散 σ²
sstdev = statistics.stdev(numbers)            # 標本標準偏差 s（N−1 で割る）
svariance = statistics.variance(numbers)      # 標本分散（不偏分散）s²

print(f"個数: {len(numbers)} ／ 合計: {sum(numbers)} ／ 平均: {mean}")
print(f"母分散 σ²: {pvariance} ／ 母標準偏差 σ: {pstdev}")
print(f"標本分散 s²: {svariance} ／ 標本標準偏差 s: {sstdev}")

標準ライブラリ（statisticsモジュール）だけで動きます。先頭のnumbersのリストを自分の数値に書き換えて実行してください。頭に「p」が付くpstdev・pvarianceが母集団用（N で割る）、付かないstdev・varianceが標本用（N−1 で割る）です。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

平均（へいきん）

μ = Σxᵢ ÷ N

\mu = \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_N}{N}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x03BC;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
        <mo>+</mo>
        <mo>&#x22EF;</mo>
        <mo>+</mo>
        <msub><mi>x</mi><mi>N</mi></msub>
      </mrow>
      <mi>N</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

mu = (x_1 + x_2 + cdots + x_N) / N

Mean[data]

mu := add(x[i], i = 1 .. N)/N;

mu = mean(x);

μ = (x_1 + x_2 + ⋯ + x_N)/N

偏差平方和（へんさへいほうわ）

S = Σ(xᵢ − μ)²

S = \sum_{i=1}^{N} (x_i - \mu)^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>N</mi>
    </munderover>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mi>i</mi></msub><mo>&#x2212;</mo><mi>&#x03BC;</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mn>2</mn>
    </msup>
  </mrow>
</math>

S = sum_(i=1)^N (x_i - mu)^2

Total[(data - Mean[data])^2]

S := add((x[i] - mu)^2, i = 1 .. N);

S = sum((x - mean(x)).^2);

S = ∑_(i=1)^N (x_i − μ)^2

分散（母分散・標本分散）

σ² = S ÷ N ／ s² = S ÷ (N − 1)

\sigma^2 = \frac{S}{N}, \qquad s^2 = \frac{S}{N-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>&#x03C3;</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <msup><mi>s</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac>
  </mrow>
</math>

sigma^2 = S/N, s^2 = S/(N-1)

popVar = S/n; sampleVar = Variance[data]  (* N（数値化関数）はMathematicaの予約語のため、データ数は n にしている *)

sigma2 := S/N; s2 := S/(N - 1);

popVar = S/N; sampleVar = var(x);

σ^2 = S/N,  s^2 = S/(N−1)

標準偏差（母標準偏差・標本標準偏差）

σ = √(σ²) ／ s = √(s²)

\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N}}, \qquad s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\dfrac{S}{N-1}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x03C3;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mfrac><mi>S</mi><mi>N</mi></mfrac></msqrt>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <mi>s</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mfrac><mi>S</mi><mrow><mi>N</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma = sqrt(S/N), s = sqrt(S/(N-1))

popSD = Sqrt[S/n]; sampleSD = StandardDeviation[data]  (* N（数値化関数）はMathematicaの予約語のため、データ数は n にしている *)

sigma := sqrt(S/N); s := sqrt(S/(N - 1));

popSD = sqrt(S/numel(x)); sampleSD = std(x);

σ = √(S/N),  s = √(S/(N−1))

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは統計計算のアシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

次のデータについて、以下の値をそれぞれ求めてください。
データ: 10, 12, 23, 23, 16, 23, 21, 16
1. 個数・合計・平均
2. 偏差平方和（各データと平均の差を2乗して全部足した値）
3. 母分散 σ²（N で割る）と母標準偏差 σ
4. 標本分散 s²（N−1 で割る）と標本標準偏差 s

計算に使った式と、実行結果の数値を示してください。