割られる式 P(x) と割る式 D(x) の次数・係数を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、係数の部分を直接書き換えても計算できます。
数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。x が付く項の係数の空欄は 1（x² は 1x² の意味）、定数項の空欄は 0 として扱います。使わない項には 0 を入力してください。
計算結果・グラフ
左の入力欄に割られる式と割る式の係数を入れて「計算する」を押すと、ここに商と余り・筆算・グラフが表示されます。
このページでできること
- 多項式 \(P(x)\)（1次〜5次）を多項式 \(D(x)\)（1次〜3次）で割った商 \(Q(x)\) と余り \(R(x)\) を、係数を入れるだけでその場で計算できます
- ノートに書くのと同じ形の割り算の筆算を1段ずつ表示します。どの項を商に立てて、何を掛けて、何を引いたのかが一目で追えます
- \(1\) 次式で割ったときは、剰余の定理 \(R = P(\alpha)\) による確認も一緒に表示します。さらにその \(1\) 次式が \(x - \alpha\)（\(x\) の係数が \(1\)）の形なら、組立除法の筆算も表示します
- 「余りだけを求める」を選ぶと、筆算を通らずに剰余の定理だけで余りを計算します（\(1\) 次式で割るとき）
- 係数には小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます。答えは約分済みの厳密な分数のまま表示します
割られる式・割る式は、どちらも \(x\) 1文字の多項式（整式）が対象です。分数関数・三角関数・指数関数などは扱いません。
この計算は何の役に立つ？
データが壊れていないか確かめる仕組み（通信・保存・QRコード）
インターネットの通信、USBメモリやハードディスクへの保存、QRコードの読み取りでは、データが途中で化けていないかを確かめるためにCRC（巡回冗長検査）という仕組みが使われています。これは、データの \(0\) と \(1\) の並びを「係数が \(0\) か \(1\) だけの多項式」とみなし、あらかじめ決めておいた多項式で割った余りを、データの末尾に付けて送る方法です。
受け取った側が同じ割り算をして余りが合わなければ、どこかが壊れたと判断できます。QRコードが少し汚れても読めるのは、同じく多項式の割り算を土台にしたリード・ソロモン符号で、壊れた部分を復元しているからです。
分数の形の関数を積分できる形に直す（数学III・物理・工学）
\(\dfrac{x^{2}}{x - 1}\) のように分子の次数が分母以上の分数式は、そのままでは積分の公式が使えません。そこで最初に多項式の割り算をして、\(x + 1 + \dfrac{1}{x - 1}\) のように「多項式の部分」と「分子の次数が小さい分数の部分」に分けます。ここまで直せば、それぞれ積分の公式が使えるようになります。
電気回路の応答や物体の運動を式で解くときには分数式の積分が頻繁に現れるので、この下ごしらえは理系の計算の定番手順になっています。
高次方程式を解いて設計の寸法を逆算する（ものづくり）
体積や強度が寸法の3次式・4次式で決まる場面では、「この体積になる寸法は何cmか」を求めるのに高次方程式を解くことになります。その基本の解き方が、因数定理で解を1つ見つけ、その因数で割って次数を下げ、残りを二次方程式として解く、という流れです。
割り算は「見つけた解を取り除いて、残りの問題を小さくする」役割を果たしています。
制御システムの応答を調べる（ロボット・自動車・家電）
エアコンの温度制御やロボットの姿勢制御などの制御工学では、システムの性質を多項式の分数（伝達関数）で表します。この分数を扱うときも、まず割り算で「多項式の部分」と「残りの分数の部分」に分け、さらに部分分数分解をしてから、応答の速さや振動しやすさを読み取ります。
設計者が「この装置は行きすぎて振動しないか」を計算で確かめる場面で、多項式の割り算が下ごしらえとして使われています。
通信や暗号を支える有限体の計算（AES・誤り訂正）
スマートフォンの通信やWebの暗号化で使われるAESという暗号は、\(0\) から \(255\) までの値どうしの「掛け算」を、多項式の掛け算をしてから決められた多項式で割った余りを取る、という形で定義しています。有限個の値の中だけで四則演算が閉じるようにする工夫で、有限体と呼ばれます。
割り算の余りを取ることで「はみ出した分を折り返す」ため、値がいくら計算しても決まった範囲に収まります。暗号や誤り訂正符号の土台には、この多項式の余りの計算があります。
式と図
多項式の割り算（商と余りの関係）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(P(x)\)
\(=\)
\(D(x)\)
\(\times\)
\(Q(x)\)
\(+\)
\(R(x)\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
④
割られる式 \(P(x)\)
\(=\)
①
割る式 \(D(x)\)
\(\times\)
②
商 \(Q(x)\)
\(+\)
③
余り \(R(x)\)
式を日本語で読むと
①
割る式 \(D(x)\)
に
②
商 \(Q(x)\)
を掛けて
③
余り \(R(x)\)
を足すと
④
割られる式 \(P(x)\)
に戻る（余りの次数は、割る式の次数より必ず小さい）
簡単な例
\(x^{3} - 2x^{2} + 3x - 5\) を \(x - 2\) で割ると、商が \(x^{2} + 3\)、余りが \(1\) なので
\(x^{3} - 2x^{2} + 3x - 5\)
\(=\)
\(x - 2\)
\(\times\)
\(x^{2} + 3\)
\(+\)
\(1\)
\((x - 2)\left(x^{2} + 3\right) + 1 = \left(x^{3} - 2x^{2} + 3x - 6\right) + 1\)
\(= x^{3} - 2x^{2} + 3x - 5\)
考え方のポイント
この形は整数の割り算とまったく同じ構造です。\(17 \div 5\) は商 \(3\)・余り \(2\) で、\(17 = 5 \times 3 + 2\) と書けます。上の図は、この \(17\) を「たて \(5\)・横 \(3\) の長方形（\(=15\)）＋あまった \(2\) 個」に分けたものです。多項式の割り算も同じで、割られる式を「割る式の倍数の部分」と「そこからはみ出した余りの部分」に分けています。
整数の割り算で余りが割る数より小さくなるのと同じように、多項式の割り算では余りの次数が割る式の次数より小さくなります。ここまで下げられたらもう割れない、というのが「割り算の終わり」の合図です。だから \(2\) 次式で割った余りは \(1\) 次式か定数、\(1\) 次式で割った余りは必ず定数（数だけ）になります。
余りが \(0\) のときは \(P(x) = D(x)Q(x)\) となり、「割り切れる」「\(D(x)\) は \(P(x)\) の因数」と言います。
逆に、割られる式の次数が最初から割る式の次数より小さいときは、一度も割れません。このときは商が \(0\)、余りが割られる式そのものです。例えば \(2x + 1\) を \(x^{2} + 3\) で割ると \(2x + 1 = \left(x^{2} + 3\right) \times 0 + (2x + 1)\) となります。整数で \(3 \div 5\) の商が \(0\)・余りが \(3\) になるのと同じ状況で、「余りの次数は割る式の次数より小さい」という条件がすでに満たされているからです。
筆算の1段（商に立てる項の作り方）
筆算の例
数学表記
（一般的な数式）
\(q\,x^{m-n}\)
\(=\)
\(a\,x^{m}\)
\(\div\)
\(b\,x^{n}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
商に立てる項
\(=\)
①
いま残っている式の最高次の項
\(\div\)
②
割る式の最高次の項
式を日本語で読むと
①
筆算の1段ごとに、
いま残っている式の最高次の項 \(a\,x^{m}\)
を
②
割る式の最高次の項 \(b\,x^{n}\)
で割ると
③
商に立てる項 \(q\,x^{m-n}\)
が決まる。この項に割る式全体を掛けたものを下に書いて引き、残った式で同じことを繰り返す
簡単な例
\(x^{3} - 2x^{2} + 3x - 5\) を \(x - 2\) で割る筆算の1段目は（上の筆算の1行目）
商に立てる \(x^{2}\)
\(=\)
最高次の項 \(x^{3}\)
\(\div\)
割る式の最高次の項 \(x\)
\(x^{3} \div x = x^{2}\)
\(x^{2}(x - 2) = x^{3} - 2x^{2}\)
\(\left(x^{3} - 2x^{2} + 3x - 5\right) - \left(x^{3} - 2x^{2}\right) = 3x - 5\)
考え方のポイント
筆算を書くときのコツは2つあります。1つ目は、割られる式を降べきの順（次数の高い項から順）に並べ、\(x^{4} - 1\) のように途中の次数が欠けている式では、その次数の列を空けたまま先へ進めることです。空いている列は「その次数の係数が \(0\)」という意味で、\(x^{4} + 0x^{3} + 0x^{2} + 0x - 1\) と書いて埋めてもかまいません。どちらで書くにしても、同じ次数どうしが必ず同じ列に来るように置くのが要点で、列がずれると引き算を間違えます。この計算機の筆算も、列を次数で固定して同じ次数を縦にそろえています。
2つ目は、引き算の符号です。引く式の各項の符号を逆にして足す、と考えると間違いが減ります。例えば \(3x - 5\) から \(3x - 6\) を引くときは、\(-5\) から \(-6\) を引いて \(-5 + 6 = 1\) となります。
繰り返すのをやめるタイミングは「残った式の次数が、割る式の次数より小さくなったとき」です。そこで残っているものが余りです。
割る式が \(x - \alpha\) の形のときは、\(x\) を書く手間を省いて係数の数字だけで同じ計算をする組立除法という書き方があります。使えるのは \(x\) の係数が \(1\) の \(1\) 次式で割るときだけで、\(2\) 次以上の式では使えません。\(2x - 1\) のように \(x\) の係数が \(1\) でないときは、\(2x - 1 = 2\left(x - \dfrac{1}{2}\right)\) と見て、まず \(x - \dfrac{1}{2}\) で組立除法をし、出てきた商を \(2\) で割ります（余りはそのままで正しい値です）。例えば \(2x^{2} + 5x - 3\) を \(x - \dfrac{1}{2}\) で割ると商 \(2x + 6\)・余り \(0\) で、商を \(2\) で割った \(x + 3\) が \(2x - 1\) で割った商です。この計算機では、\(x - \alpha\) の形で割ったときに組立除法の筆算も一緒に表示します。
剰余の定理
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
\(R\)
\(=\)
\(P(\alpha)\)
②
\(x - \alpha\) で割った余り \(R\)
\(=\)
①
割られる式に \(\alpha\) を代入した値 \(P(\alpha)\)
式を日本語で読むと
①
割る式が \(x - \alpha\) の形のとき、
割られる式に \(\alpha\) を代入した値 \(P(\alpha)\)
が、そのまま
②
\(x - \alpha\) で割った余り \(R\)
になる（筆算をしなくても、代入するだけで余りがわかる）
簡単な例
\(P(x) = x^{3} - 2x^{2} + 3x - 5\) を \(x - 2\) で割った余りは、\(x\) に \(2\) を代入して
\(x - 2\) で割った余り
\(=\)
代入した値 \(P(2)\)
\(P(2) = 2^{3} - 2 \times 2^{2} + 3 \times 2 - 5 = 8 - 8 + 6 - 5 = 1\)
考え方のポイント
なぜ代入するだけで余りが出るのか、割り算の関係式から確かめられます。\(1\) 次式で割った余りは定数なので、\(P(x) = (x - \alpha)Q(x) + R\) と書けます。この式は \(x\) がどんな値でも成り立つので、\(x = \alpha\) を代入すると \((\alpha - \alpha) = 0\) となり、右辺の第1項がまるごと消えて \(P(\alpha) = R\) が残ります。
上のグラフでは、\(y = P(x)\) のグラフの \(x = 2\) のところの高さがちょうど余り \(1\) になっています。「余り」という代数の話が、グラフの高さという目に見える形になっているわけです。
割る式が \(x + 3\) のように足し算の形のときは、\(x - (-3)\) と読みかえて \(\alpha = -3\) を代入します。符号の取り違えが一番多い間違いなので、「割る式が \(0\) になる \(x\) の値を代入する」と覚えておくと安全です。
この「割る式が \(0\) になる値を代入する」という形で覚えておくと、\(2x - 3\) のように \(x\) の係数が \(1\) でない \(1\) 次式でもそのまま使えます。\(2x - 3 = 2\left(x - \dfrac{3}{2}\right)\) なので \(P(x) = (2x - 3)Q(x) + R\) に \(x = \dfrac{3}{2}\) を代入すれば、やはり \(R = P\left(\dfrac{3}{2}\right)\) です。ただし使えるのは \(1\) 次式で割るときだけで、\(2\) 次式で割った余りは \(1\) 次式になりうるため、値を1つ代入しただけでは決まりません。
因数定理（割り切れるかどうかの見分け方）
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(P(\alpha) = 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(P(x) = (x - \alpha)Q(x)\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
代入した値 \(P(\alpha)\) が \(0\)
\(\Longleftrightarrow\)
②
\((x - \alpha)\) で割り切れる
式を日本語で読むと
①
代入した値 \(P(\alpha)\) が \(0\)
であることと、
②
\((x - \alpha)\) で割り切れる（\((x - \alpha)\) が \(P(x)\) の因数）
であることは、同じことを言っている
簡単な例
\(P(x) = x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\) は \(P(1) = 0\) なので
代入した値 \(P(1)\) が \(0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\((x - 1)\) で割り切れる
\(P(1) = 1^{3} - 6 \times 1^{2} + 11 \times 1 - 6 = 1 - 6 + 11 - 6 = 0\)
\(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6 = (x - 1)\left(x^{2} - 5x + 6\right)\)
考え方のポイント
因数定理は剰余の定理の言いかえです。余りが \(P(\alpha)\) なのだから、\(P(\alpha) = 0\) は「余りが \(0\)」つまり「割り切れる」と同じ意味になります。
便利なのは、実際に割ってみる前に割り切れるかどうかが判定できることです。上のグラフのように、\(y = P(x)\) のグラフが \(x\) 軸と交わる点の \(x\) 座標 \(\alpha\) を見つければ、そこで高さが \(0\)、つまり \((x - \alpha)\) で割り切れます。
代入する \(\alpha\) の候補は、あてずっぽうに探す必要はありません。係数が整数の式に有理数の解があるなら、その値は必ず「±（定数項の約数）÷（最高次の係数の約数）」のどれかになります。例の \(x^{3} - 6x^{2} + 11x - 6\) なら、定数項 \(-6\) の約数 \(1,\ 2,\ 3,\ 6\) と最高次の係数 \(1\) から、候補は \(\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6\) の8個だけです。
3次以上の式の因数分解は、この因数定理で因数を1つ見つけ、割り算で次数を下げていくのが基本の流れになります。
多項式の割り算は、整数の割り算と同じく \(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\)（余りの次数は割る式より小さい）という形にすることです。筆算では「いま残っている式の最高次の項 ÷ 割る式の最高次の項」で商の項を立て、掛けて引く操作を繰り返します。割る式が \(x - \alpha\) のときは、余りは代入するだけで求まり（剰余の定理 \(R = P(\alpha)\)）、それが \(0\) なら割り切れます（因数定理）。
用語・記号の解説
記号
| \(P(x)\) | ピーエックス | 割られる式（多項式）を表す記号。\(P\) は polynomial（多項式）の頭文字です。\(P(2)\) と書けば「\(x\) に \(2\) を代入した値」を表します。 |
| \(D(x)\) | ディーエックス | 割る式を表す記号。\(D\) は divisor（割る数・除数）の頭文字です。整数の割り算で「\(17 \div 5\) の \(5\)」にあたる役割をします。 |
| \(Q(x)\) | キューエックス | 商（割った答え）の式を表す記号。\(Q\) は quotient（商）の頭文字です。割られる式の次数が割る式の次数以上のときは、その差が商の次数になります（割られる式のほうが低いときは商は \(0\) です）。 |
| \(R(x)\) | アールエックス | 余りの式を表す記号。\(R\) は remainder（余り）の頭文字です。次数は必ず割る式より小さくなり、\(1\) 次式で割ったときは定数なので \(R\) とだけ書きます。 |
| \(\alpha\) | アルファ | \(1\) 次式を \(x - \alpha\) と書いたときの、割る式が \(0\) になる値。ギリシャ文字のアルファベットの最初の文字で、「決まった1つの値」を表すのによく使われます。 |
| \(x\) | エックス | 多項式の文字（変数）。決まった値ではなく、どんな値も取りうる文字です。未知の数や変数をアルファベットの終わりの方の文字 \(x,\ y,\ z\) で表す慣例は、17世紀の数学者デカルトに由来するといわれます。 |
| \(\div\) | わる（除算記号） | 割り算を表す記号。多項式の割り算では \(P(x) \div D(x)\) のように書きますが、答えは1つの数ではなく「商と余りの組」になります。 |
| \(\Longleftrightarrow\) | 同値（どうち）／ならば、かつ、逆もまた | 左と右が「同じことを言っている」ことを表す記号。片方が成り立てばもう片方も必ず成り立ち、その逆も成り立つ、という意味です。因数定理はこの関係で書かれます。 |
| \(q\,x^{m-n}\) | キュー・エックスのエムひくエヌ乗 | 筆算の1段で商に立てる項。指数が \(m - n\) になるのは、\(x^{m} \div x^{n} = x^{m-n}\)（同じ文字の割り算では指数を引く）という指数法則によります。 |
用語
| 多項式 | たこうしき | \(2x^{3} - x + 5\) のように、\(x\) のべき乗に数（係数）を掛けた項を足し合わせた式。日本の高校では整式とも呼びます。 |
| 整式 | せいしき | 多項式の別名。分母に文字が入る式（分数式）や根号の中に文字が入る式と区別するときに使う呼び方で、教科書では「整式の除法」という単元名で出てきます。 |
| 項 | こう | 式を足し算・引き算の区切りで分けた、1つ1つのかたまり。\(x^{3} - 2x + 3\) の項は \(x^{3}\)・\(-2x\)・\(3\) の3つです。 |
| 係数 | けいすう | 文字の前に付いている数。\(3x^{2}\) の \(3\) が係数です。\(x^{2}\) のように数が書かれていない項の係数は \(1\) と考えます。 |
| 次数 | じすう | 式に出てくる \(x\) のべき乗のうち、最も高い指数のこと。\(x^{3} - 2x + 3\) は \(3\) 次式です。割り算では、この次数の大小が「まだ割れるか・もう割れないか」の判断基準になります。 |
| 定数項 | ていすうこう | \(x^{2} + 3x + 5\) の \(5\) のように、\(x\) を含まない「数字だけの項」。\(x\) がどんな値でも変わらない（一定＝定数）ことからこう呼ばれます。 |
| 降べきの順 | こうべきのじゅん | 式の項を、次数の高いものから順に並べる書き方。「べき」は掛け合わせる回数（指数）のことで、それが降りていく順という意味です。割り算の筆算は、この順に並べてから始めます。 |
| 割られる式 | わられるしき | 割り算で「÷」の左側にくる式。整数の割り算の被除数にあたり、このページでは \(P(x)\) と書きます。 |
| 割る式 | わるしき | 割り算で「÷」の右側にくる式。整数の割り算の除数にあたり、このページでは \(D(x)\) と書きます。 |
| 商 | しょう | 割り算の答えにあたる式。\(P(x)\) の次数が \(D(x)\) の次数以上のとき、商 \(Q(x)\) の次数は \(P(x)\) の次数から \(D(x)\) の次数を引いた値になります。\(P(x)\) のほうが次数が低いときは一度も割れないので、商は \(0\) です。 |
| 余り | あまり | 割り切れずに残った式。多項式の割り算では、その次数が割る式の次数より小さくなるまで割り進めた結果が余りです。 |
| 割り切れる | わりきれる | 余りが \(0\) になること。\(P(x) = D(x)Q(x)\) と掛け算だけで書ける状態で、このとき \(D(x)\) は \(P(x)\) の因数です。 |
| 筆算 （長除法） |
ひっさん（ちょうじょほう） | 割り算を段階的に書き下していく計算方法。整数の割り算の筆算とやり方は同じで、位の代わりに次数をそろえて並べます。英語では long division といいます。 |
| 組立除法 | くみたてじょほう | 割る式が \(x - \alpha\)（\(x\) の係数が \(1\) の \(1\) 次式）のときに使える、係数の数字だけを並べて商と余りを求める筆算の方法。書く量が少なくて済み、計算も速くなります。\(2x - 1\) のように \(x\) の係数が \(1\) でないときは、\(x - \dfrac{1}{2}\) で組立除法をしてから商を \(2\) で割ります。高校の教科書では発展・参考として載っていることが多く、学校によっては扱わないこともあります。 |
| 剰余の定理 | じょうよのていり | 「\(P(x)\) を \(x - \alpha\) で割った余りは \(P(\alpha)\) に等しい」という定理。筆算をしなくても、代入するだけで余りが求められます。 |
| 因数定理 | いんすうていり | 「\(P(\alpha) = 0\) であることと、\(P(x)\) が \((x - \alpha)\) で割り切れることは同じ」という定理。剰余の定理の余りが \(0\) の場合にあたります。 |
| 因数 | いんすう | 掛け算の部品のこと。\((x - 1)\left(x^{2} - 5x + 6\right)\) の \((x - 1)\) と \(\left(x^{2} - 5x + 6\right)\) が、それぞれ因数です。 |
| 有理数 | ゆうりすう | 整数と分数で表せる数。\(3\)・\(-\dfrac{2}{5}\)・\(0.25\ \left(= \dfrac{1}{4}\right)\) はどれも有理数で、\(\sqrt{2}\) や \(\pi\) のように分数では表せない数（無理数）と区別します。因数定理を使うとき、代入する \(\alpha\) の候補を「\(\pm\)（定数項の約数）\(\div\)（最高次の係数の約数）」に絞れるのは、探しているのが有理数の解のときです。 |
| 恒等式 | こうとうしき | \(x\) にどんな値を入れても成り立つ等式。\(P(x) = D(x)Q(x) + R(x)\) は恒等式なので、\(x = \alpha\) を代入しても成り立ちます。剰余の定理はこの性質を使って導かれます。 |
| 代入 | だいにゅう | 式の文字を具体的な数に置きかえて、値を計算すること。\(P(x) = x^{2} + 1\) に \(x = 3\) を代入すると \(P(3) = 10\) です。 |
| 指数法則 | しすうほうそく | \(x^{m} \times x^{n} = x^{m+n}\)、\(x^{m} \div x^{n} = x^{m-n}\) のような、べき乗の計算の決まり。筆算で商の項の次数を決めるときに使っています。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 整数の割り算と余り（小学3〜5年） |
|
| 多項式と次数・係数（中学2年〜高校 数学I） |
|
| 式の展開と同類項（中学2〜3年） |
|
| 指数法則（中学3年〜高校 数学I） |
|
| 式に値を代入する（中学1年） |
|
| 因数分解（中学3年〜高校 数学I） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「多項式の割り算」（1次式 x − α で割る）を求める表
| x³の係数 | 1 |
| x²の係数 | -2 |
| xの係数 | 3 |
| 定数項 | -5 |
| 割る値 α（x − α の α） | 2 |
| 商のx²の係数 | =B1 |
| 商のxの係数 | =B2+B5*B6 |
| 商の定数項 | =B3+B5*B7 |
| 余り | =B4+B5*B8 |
「剰余の定理」で余りだけを求める表
| x³の係数 | 1 |
| x²の係数 | -2 |
| xの係数 | 3 |
| 定数項 | -5 |
| 代入する値 α | 2 |
| 余り P(α) | =B1*B5^3+B2*B5^2+B3*B5+B4 |
「因数定理」で割り切れるか調べる表
| x³の係数 | 1 |
| x²の係数 | -6 |
| xの係数 | 11 |
| 定数項 | -6 |
| 調べる値 α | 1 |
| P(α) の値（0なら割り切れる） | =B1*B5^3+B2*B5^2+B3*B5+B4 |
「割り算の関係 P = DQ + R」を確かめる表（2次式で割る例）
| 確かめる x の値 | 3 |
| 割られる式 P(x) = 2x⁴+3x³−x+5 | =2*B1^4+3*B1^3-B1+5 |
| 割る式 D(x) = x²+1 | =B1^2+1 |
| 商 Q(x) = 2x²+3x−2 | =2*B1^2+3*B1-2 |
| 余り R(x) = −4x+7 | =-4*B1+7 |
| D(x)×Q(x)+R(x)（P(x) と一致する） | =B3*B4+B5 |
貼り付けると、上の行（係数など）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。「^」はべき乗の記号です。
1つ目の表は組立除法そのもので、「上の段の係数 ＋ 割る値 × 1つ前の結果」を上から順に計算しています。例（x³ − 2x² + 3x − 5 を x − 2 で割る）では、商の係数が 1, 0, 3（＝ x² + 3）、余りが 1 になります。x + 2 で割りたいときは α に −2 を入れてください。この表が使えるのは x − α の形（x の係数が1の1次式）で割るときだけです。2x − 1 で割りたいときは α に 1/2 を入れて計算し、出てきた商の係数を 2 で割ってください（余りはそのままです）。
2つ目の表は剰余の定理で、割られる式に α を代入した値を計算しています。1つ目の表の余りと同じ 1 になり、2つのやり方が一致することが確かめられます。
3つ目の表は因数定理の判定用です。例（x³ − 6x² + 11x − 6 に α = 1）では 0 になるので、(x − 1) で割り切れるとわかります。α を ±2, ±3, ±6 に書き換えて探してください。
4つ目の表は、2次式で割った例（2x⁴ + 3x³ − x + 5 ÷ (x² + 1)）の検算です。x にどんな値を入れても、一番下の行が P(x) の値と一致します（x = 3 ならどちらも 245）。
1つ目の表は組立除法そのもので、「上の段の係数 ＋ 割る値 × 1つ前の結果」を上から順に計算しています。例（x³ − 2x² + 3x − 5 を x − 2 で割る）では、商の係数が 1, 0, 3（＝ x² + 3）、余りが 1 になります。x + 2 で割りたいときは α に −2 を入れてください。この表が使えるのは x − α の形（x の係数が1の1次式）で割るときだけです。2x − 1 で割りたいときは α に 1/2 を入れて計算し、出てきた商の係数を 2 で割ってください（余りはそのままです）。
2つ目の表は剰余の定理で、割られる式に α を代入した値を計算しています。1つ目の表の余りと同じ 1 になり、2つのやり方が一致することが確かめられます。
3つ目の表は因数定理の判定用です。例（x³ − 6x² + 11x − 6 に α = 1）では 0 になるので、(x − 1) で割り切れるとわかります。α を ±2, ±3, ±6 に書き換えて探してください。
4つ目の表は、2次式で割った例（2x⁴ + 3x³ − x + 5 ÷ (x² + 1)）の検算です。x にどんな値を入れても、一番下の行が P(x) の値と一致します（x = 3 ならどちらも 245）。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「多項式の割り算」（1次式 x − α で割る）を求める表
| x³の係数 | 1 |
| x²の係数 | -2 |
| xの係数 | 3 |
| 定数項 | -5 |
| 割る値 α（x − α の α） | 2 |
| 商のx²の係数 | =B1 |
| 商のxの係数 | =B2+B5*B6 |
| 商の定数項 | =B3+B5*B7 |
| 余り | =B4+B5*B8 |
「剰余の定理」で余りだけを求める表
| x³の係数 | 1 |
| x²の係数 | -2 |
| xの係数 | 3 |
| 定数項 | -5 |
| 代入する値 α | 2 |
| 余り P(α) | =B1*B5^3+B2*B5^2+B3*B5+B4 |
「因数定理」で割り切れるか調べる表
| x³の係数 | 1 |
| x²の係数 | -6 |
| xの係数 | 11 |
| 定数項 | -6 |
| 調べる値 α | 1 |
| P(α) の値（0なら割り切れる） | =B1*B5^3+B2*B5^2+B3*B5+B4 |
「割り算の関係 P = DQ + R」を確かめる表（2次式で割る例）
| 確かめる x の値 | 3 |
| 割られる式 P(x) = 2x⁴+3x³−x+5 | =2*B1^4+3*B1^3-B1+5 |
| 割る式 D(x) = x²+1 | =B1^2+1 |
| 商 Q(x) = 2x²+3x−2 | =2*B1^2+3*B1-2 |
| 余り R(x) = −4x+7 | =-4*B1+7 |
| D(x)×Q(x)+R(x)（P(x) と一致する） | =B3*B4+B5 |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、係数を自分の数値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
# 係数は低い次数から並べる [定数項, xの係数, x²の係数, ...]
# 例：割られる式 P(x) = x³ − 2x² + 3x − 5、割る式 D(x) = x − 2
dividend = [Fraction(-5), Fraction(3), Fraction(-2), Fraction(1)]
divisor = [Fraction(-2), Fraction(1)]
def polynomial_division(p, d):
# 筆算と同じ手順：最高次の項どうしを割って商の項を立て、掛けて引く
deg_p = len(p) - 1
deg_d = len(d) - 1
if deg_p < deg_d:
return [Fraction(0)], list(p)
quotient = [Fraction(0)] * (deg_p - deg_d + 1)
rest = list(p)
for i in range(deg_p - deg_d, -1, -1):
coefficient = rest[i + deg_d] / d[deg_d]
quotient[i] = coefficient
for k in range(deg_d + 1):
rest[i + k] -= coefficient * d[k]
return quotient, rest[:deg_d] if deg_d > 0 else [Fraction(0)]
def to_text(coefficients):
# 係数のリストを降べきの順の文字列にする（係数1のxの項は 1 を書かない）
text = ""
for k in range(len(coefficients) - 1, -1, -1):
c = coefficients[k]
if c == 0:
continue
power = "" if k == 0 else ("x" if k == 1 else f"x^{k}")
body = power if (k > 0 and abs(c) == 1) else f"{abs(c)}{power}"
if text:
text += " + " if c > 0 else " - "
elif c < 0:
text += "-"
text += body
return text if text else "0"
quotient, remainder = polynomial_division(dividend, divisor)
print(f"商 Q(x) = {to_text(quotient)}")
print(f"余り R(x) = {to_text(remainder)}")
# 剰余の定理での確認（1次式 d1*x + d0 で割るとき、割る式が0になる値を代入する）
alpha = -divisor[0] / divisor[1]
value = sum(c * alpha ** k for k, c in enumerate(dividend))
print(f"P({alpha}) = {value} ← 余りと一致する")
標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、小数の丸め誤差なしの厳密な分数のまま計算できます。この例は x³ − 2x² + 3x − 5 を x − 2 で割るもので、実行すると「商 x^2 + 3」「余り 1」「P(2) = 1」が表示されます。係数のリストを書き換えて実行してください（2次式で割るときは divisor を3つの要素にします）。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
多項式の割り算（商と余りの関係）
P(x) = D(x)Q(x) + R(x)
P(x) = D(x)Q(x) + R(x)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>D</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>R</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(x) = D(x) Q(x) + R(x)
PolynomialQuotientRemainder[x^3 - 2 x^2 + 3 x - 5, x - 2, x]
q := quo(x^3 - 2*x^2 + 3*x - 5, x - 2, x, 'r');
[q, r] = deconv([1 -2 3 -5], [1 -2])
P(x) = D(x)Q(x) + R(x)
筆算の1段（商に立てる項の作り方）
qxᵐ⁻ⁿ = axᵐ ÷ bxⁿ
q\,x^{m-n} = \frac{a\,x^{m}}{b\,x^{n}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>q</mi><msup><mi>x</mi><mrow><mi>m</mi><mo>−</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mi>m</mi></msup></mrow>
<mrow><mi>b</mi><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
q x^(m-n) = (a x^m)/(b x^n)
PolynomialQuotient[x^3 - 2 x^2 + 3 x - 5, x - 2, x]
quo(x^3 - 2*x^2 + 3*x - 5, x - 2, x);
q = deconv([1 -2 3 -5], [1 -2])
q x^(m-n) = (a x^m)/(b x^n)
剰余の定理
R = P(α)
R = P(\alpha)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
R = P(alpha)
PolynomialRemainder[x^3 - 2 x^2 + 3 x - 5, x - 2, x]
rem(x^3 - 2*x^2 + 3*x - 5, x - 2, x);
r = polyval([1 -2 3 -5], 2)
R = P(α)
因数定理（割り切れるかどうかの見分け方）
P(α) = 0 ⇔ P(x) = (x − α)Q(x)
P(\alpha) = 0 \Longleftrightarrow P(x) = (x - \alpha)Q(x)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mn>0</mn>
<mo>⇔</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
<mi>Q</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(alpha) = 0 iff P(x) = (x - alpha) Q(x)
Factor[x^3 - 6 x^2 + 11 x - 6]
factor(x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6);
factor(sym('x^3 - 6*x^2 + 11*x - 6'))
P(α) = 0 ⇔ P(x) = (x − α)Q(x)
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（高校数学II・整式の除法）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 多項式 x³ − 2x² + 3x − 5 を x − 2 で割った商と余りを求めてください。 次の内容をそれぞれ示してください。 1. 商 Q(x) と余り R(x) 2. 割り算の筆算の各段（商に立てた項・掛けて引いた式・引いた結果） 3. P(x) = D(x)Q(x) + R(x) の形に書いた検算の式 4. 剰余の定理による余りの確認（割る式が0になる x の値を代入した結果） Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの計算（割り算の筆算・剰余の定理・因数定理）を、自分の手でできるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
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三次方程式計算機（因数定理・組立除法の途中式付き）
三次方程式 ax³+bx²+cx+d=0 を、因数定理で解を探して次数を下げる高校の手順そのままで解きます
因数分解計算機（二次式・たすき掛けの筆算表示）
二次式 ax²+bx+c を、たすき掛けの筆算レイアウトと途中式付きで因数分解します
二次方程式の解の公式 計算機（判別式・虚数解対応）
因数定理と割り算で次数を下げたあとに残る二次式を、解の公式で判別式・途中式付きで解きます
