足し合わせる一般項の次数と係数、そして下端・上端を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、Σの下や上の数字、係数の部分を直接書き換えても計算できます。
数値は半角で入力してください。係数には小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。k が付く項の係数の空欄は 1（k² は 1k² の意味）、定数項の空欄は 0 として扱います。使わない項には 0 を入力してください。下端の空欄は 1 として扱います。
計算結果・グラフ
左の入力欄に一般項の係数と下端・上端を入れて「計算する」を押すと、ここに結果とグラフが表示されます。
このページでできること
- \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(ak^{3}+bk^{2}+ck+d\right)\) のように、一般項が \(k\) の多項式（3次まで）である和を、係数を入れるだけでその場で計算できます
- 上端を文字 \(n\) のままにすると、べき乗和の公式で整理した一般式が \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) のような因数分解した形で出ます
- 上端に具体的な数値を入れると、合計・数列表（各項とそこまでの和）・グラフも一緒に表示されます
- 「公式を当てはめる → 通分する → 展開する → 因数分解する」という途中式が全部見られます
- 下端は \(k=1\) 以外（\(k=3\) から、など）でも計算でき、係数には 3/4 のような分数も使えます
一般項が \(k\) の多項式である和が対象です。等比数列（\(2^{k}\) など）・分数の形の項・三角関数を含む和には対応していません。
この計算は何の役に立つ？
平均・分散・標準偏差を定義する（統計）
統計の基本である平均は \(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n} x_k\)、分散は \(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(x_k - \bar{x}\right)^{2}\) と、どちらもΣを使って定義されます。「データを全部足して個数で割る」「平均からのずれを2乗して全部足す」という手順を、そのまま1行の式にしたものです。
テストの平均点、健康診断の基準値、工場の品質管理まで、データをまとめて1つの数字にする場面ではほぼ必ずこの形の式が使われています。
積み上げた個数を数える（物流・イベント設営）
丸太や段ボール箱を三角形に積み上げると、上から1個、2個、3個…と増えていきます。10段積んだときの総数は \(\displaystyle\sum_{k=1}^{10} k = 55\) 個で、\(\dfrac{10 \times 11}{2}\) と一瞬で求められます。
ボウリングのピン（4段で10本）、スーパーの果物の三角積み、イベント会場のひな壇の座席数など、「規則的に増えながら積み上がるものの総数」はこの計算そのものです。
総当たり戦の試合数を数える（スポーツの日程づくり）
8チームの総当たり戦（リーグ戦）では、1番目のチームが7試合、2番目が（すでに数えた分を除いて）6試合…と数えていくので、総試合数は \(\displaystyle\sum_{k=1}^{7} k = 28\) 試合になります。\(\dfrac{8 \times 7}{2}\) と同じ計算です。
参加チーム数から必要な試合数・会場の日数を見積もる、大会運営の実務でそのまま使われる計算です。
プログラムの実行回数を見積もる（ソフトウェア開発）
「\(k\) 番目の要素より後ろだけを調べる」という二重ループは、内側が \(n-1\) 回、\(n-2\) 回…と減っていくため、合計の実行回数は \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n-1} k = \dfrac{n(n-1)}{2}\) 回になります。要素が100個なら 4950 回です。
エンジニアが「この処理はデータが増えると何倍遅くなるか」を見積もるとき（計算量の評価）に、この和がそのまま登場します。
曲線で囲まれた面積を求める（積分の原理）
曲線と \(x\) 軸に挟まれた面積は、細い長方形をたくさん並べて面積を足し合わせることで近づけられます。\(y = x^{2}\) の 0 から 1 までなら、幅 \(\dfrac{1}{n}\) の長方形を \(n\) 本並べた合計は \(\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{k}{n}\right)^{2} = \dfrac{(n+1)(2n+1)}{6n^{2}}\) となり、\(n\) を大きくしていくと \(\dfrac{1}{3}\) に近づきます。
この「たくさん足してから細かくする」考え方（区分求積法）が積分の出発点で、2乗の和の公式はそこで実際に使われます。
積立の総額を見通す（家計・ライフプラン）
「毎月の積立額を毎年1000円ずつ増やしていく」のように、金額が毎年同じ額ずつ増えていく計画では、何年後までの合計がいくらになるかがΣの計算になります。増え方が一定なら一般項は \(k\) の1次式なので、\(\displaystyle\sum k\) の公式だけで総額が求められます。
「今のペースを続けると、10年後までにいくら貯まるか」を式1本で見通せるようになるのが、この計算の実用的な価値です（利息が付く場合は、掛け算で増える等比数列の和になります）。
式とグラフ
Σ（シグマ）の意味
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\)
\(=\)
\(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
\(k\) を 1 から \(n\) まで動かしたときの \(a_k\) の合計
\(=\)
②
1番目の項から \(n\) 番目の項までを1つずつ足したもの
式を日本語で読むと
①
\(k\) を 1 から \(n\) まで動かしたときの \(a_k\) の合計
は
②
1番目の項から \(n\) 番目の項までを1つずつ足したもの
のこと
簡単な例
数列 3, 5, 2, 6 の4つの項を全部足すと
4つの項の合計
\(=\)
3 + 5 + 2 + 6
\(\sum_{k=1}^{4} a_k = 3 + 5 + 2 + 6 = 16\)
考え方のポイント
\(\sum\) は「たくさんの数を足し合わせる」という指示を1文字で表した記号です。長々と「\(a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_{100}\)」と書く代わりに、「\(k\) を 1 から 100 まで動かして \(a_k\) を足せ」と1行で命令できます。
記号の下に書く数（下端）が \(k\) のスタート、上に書く数（上端）が \(k\) のゴールです。\(k\) は「何番目か」を数えるためだけの文字なので、\(k\) の代わりに \(i\) や \(j\) を使っても意味は同じです（この文字を、和が終わると消えることから「ダミー変数」と呼ぶこともあります）。
Σは、ギリシャ文字の大文字シグマです。「合計」を意味する英語 Sum の頭文字 S にあたるギリシャ文字なので、この記号が選ばれたといわれます。
Σの決まり（項ごとに分けて、係数は前に出せる）
数学表記
（一般的な数式）
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(p\,a_k + q\,b_k\right)\)
\(=\)
\(p\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\)
\(+\)
\(q\displaystyle\sum_{k=1}^{n} b_k\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
\(p\) 倍した \(a_k\) と \(q\) 倍した \(b_k\) を足した数列の合計
\(=\)
①
\(a_k\) の合計を \(p\) 倍したもの
\(+\)
②
\(b_k\) の合計を \(q\) 倍したもの
式を日本語で読むと
①
\(a_k\) の合計を \(p\) 倍したもの
と
②
\(b_k\) の合計を \(q\) 倍したもの
を足すと
③
\(p\) 倍した \(a_k\) と \(q\) 倍した \(b_k\) を足した数列の合計
になる
簡単な例
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{5}\left(2k^{2} + 3k\right)\) は、\(k^{2}\) の和と \(k\) の和に分けて計算できます
\(2k^{2} + 3k\) の合計
\(=\)
\(k^{2}\) の合計の2倍
\(+\)
\(k\) の合計の3倍
\(\sum_{k=1}^{5}\left(2k^{2} + 3k\right) = 2\sum_{k=1}^{5} k^{2} + 3\sum_{k=1}^{5} k\)
\(= 2 \times 55 + 3 \times 15 = 110 + 45 = 155\)
考え方のポイント
\(\sum\) は足し算をまとめて書いただけの記号なので、足し算の順番を入れ替えたり、共通の数をくくり出したりできます。この性質のおかげで、一般項がどんなに項の多い多項式でも「\(k^{3}\) の和」「\(k^{2}\) の和」「\(k\) の和」「定数の和」の4種類に分解でき、あとはそれぞれの公式を当てはめるだけになります。この計算機の途中式も、まずこの形に分けるところから始まります。
気をつけたいのは、掛け算は分けられないことです。\(\displaystyle\sum a_k b_k\) は \(\left(\displaystyle\sum a_k\right)\left(\displaystyle\sum b_k\right)\) とは等しくなりません。例えば \(a_k = b_k = k\)、\(n = 2\) のとき、左辺は \(1 + 4 = 5\)、右辺は \(3 \times 3 = 9\) で一致しません。分けられるのは足し算・引き算と、定数倍だけです。
1から \(n\) までの整数の和（\(\sum k\)）
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\)
\(=\)
\(\dfrac{n(n+1)}{2}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
1から \(n\) までの整数の合計
\(=\)
②
\(\dfrac{\text{最初と最後の項の和}(n+1)\ \times\ \text{項数}n}{2}\)
式を日本語で読むと
①
1から \(n\) までの整数の合計
は
②
\(\dfrac{\text{最初と最後の項の和}(n+1)\ \times\ \text{項数}n}{2}\)
に等しい
簡単な例
1から10までの整数を全部足すと
1から10までの整数の合計
\(=\)
\(\dfrac{\text{最初と最後の項の和}11\ \times\ \text{項数}10}{2}\)
\(\sum_{k=1}^{10} k = \dfrac{10 \times 11}{2} = \dfrac{110}{2} = 55\)
考え方のポイント
なぜ 2 で割るのかは、同じ階段をもう1つ用意してひっくり返し、上に重ねると見えてきます。上のグラフのように、高さ 1, 2, …, 5 の階段に、逆向きの階段を重ねると、どの列も高さがちょうど \(n+1 = 6\) になります。列は \(n = 5\) 本あるので、重ねた全体は \(5 \times 6 = 30\) の長方形です。求めたい和はそのちょうど半分なので \(30 \div 2 = 15\) になります。
式で書くと、和を前からと後ろからの2通りに並べて足す形になります。
\(\left(1 + 2 + \cdots + n\right) + \left(n + \cdots + 2 + 1\right) = \underbrace{(n+1) + (n+1) + \cdots + (n+1)}_{n \text{ 個}} = n(n+1)\)
ドイツの数学者ガウスが小学生のとき、1から100までの合計を求める課題をこの発想で一瞬で解いた（答えは 5050）という有名な逸話があります。
1から \(n\) までの2乗の和（\(\sum k^{2}\)）
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{2}\)
\(=\)
\(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
1から \(n\) までの2乗の合計
\(=\)
②
\(\dfrac{\text{項数}n\ \times\ \text{その次の数}(n+1)\ \times\ \text{この2つの和}(2n+1)}{6}\)
式を日本語で読むと
①
1から \(n\) までの2乗の合計
は
②
\(\dfrac{\text{項数}n\ \times\ \text{その次の数}(n+1)\ \times\ \text{この2つの和}(2n+1)}{6}\)
に等しい
簡単な例
\(1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2}\) を求めると
1から5までの2乗の合計
\(=\)
\(\dfrac{\text{項数}5\ \times\ \text{その次の数}6\ \times\ \text{この2つの和}11}{6}\)
\(\sum_{k=1}^{5} k^{2} = \dfrac{5 \times 6 \times 11}{6} = \dfrac{330}{6} = 55\)
考え方のポイント
覚え方は「\(n\)、\(n+1\)、その2つを足した \(2n+1\) を掛けて、6 で割る」です。\(n + (n+1) = 2n+1\) なので、3つ目の数は前の2つから作れます。
この公式が成り立つ理由は、\((k+1)^{3} - k^{3} = 3k^{2} + 3k + 1\) という関係を \(k = 1\) から \(n\) まで足し合わせると確かめられます。左辺は隣どうしが次々に打ち消し合って \((n+1)^{3} - 1\) だけが残るので、
\((n+1)^{3} - 1 = 3\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{2} + 3\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k + n\)
となり、すでに分かっている \(\displaystyle\sum k = \dfrac{n(n+1)}{2}\) を代入して \(\displaystyle\sum k^{2}\) について解くとこの公式が出てきます。
なお \(\displaystyle\sum k^{2}\) は \(\left(\displaystyle\sum k\right)^{2}\) ではありません。\(n = 3\) で確かめると、前者は \(1 + 4 + 9 = 14\)、後者は \(6^{2} = 36\) で全く違う値になります。
1から \(n\) までの3乗の和（\(\sum k^{3}\)）
数学表記
（一般的な数式）
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{3}\)
\(=\)
\(\left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^{2}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
1から \(n\) までの3乗の合計
\(=\)
②
「1から \(n\) までの整数の和」を2乗したもの
式を日本語で読むと
①
1から \(n\) までの3乗の合計
は
②
「1から \(n\) までの整数の和」を2乗したもの
に等しい
簡単な例
\(1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3}\) を求めると（1から4までの整数の和は 10）
1から4までの3乗の合計
\(=\)
「1から4までの整数の和 10」を2乗したもの
\(\sum_{k=1}^{4} k^{3} = \left\{\dfrac{4 \times 5}{2}\right\}^{2} = 10^{2} = 100\)
考え方のポイント
3乗の和は「整数の和を2乗しただけ」という、覚えやすくて美しい形をしています。実際、\(1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 100\) で、\(1 + 2 + 3 + 4 = 10\) の2乗とぴったり一致します。
つまり \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k\right)^{2}\) が成り立ちます。2乗の和ではこうはならないので（前のカードの注意を参照）、3乗のときだけの特別な関係だと覚えておくと間違えません。
中身を展開した \(\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4}\) の形で書かれることもあります。この計算機は途中式でこの形も表示します。
定数の和（\(\sum c\)）
数学表記
（一般的な数式）
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} c\)
\(=\)
\(cn\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
同じ数 \(c\) を \(n\) 個ぶん足した合計
\(=\)
②
定数 \(c\) に項数 \(n\) を掛けたもの
式を日本語で読むと
①
同じ数 \(c\) を \(n\) 個ぶん足した合計
は
②
定数 \(c\) に項数 \(n\) を掛けたもの
に等しい
簡単な例
7 を12回足すと
7 を12個ぶん足した合計
\(=\)
7 に項数 12 を掛けたもの
\(\sum_{k=1}^{12} 7 = 7 \times 12 = 84\)
考え方のポイント
Σの中身に \(k\) が入っていなくても、足す回数のぶんだけ足すことに変わりはありません。\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 3\) の答えは 3 ではなく \(3n\) です。ここは試験でも間違いが多いところなので、「中身が変わらなくても、項の個数だけ足す」と覚えてください。
足す個数（項数）は、下端が 1 なら \(n\) 個です。下端が \(m\) のときは \(n - m + 1\) 個になります（例：\(k = 3\) から \(k = 10\) までなら \(10 - 3 + 1 = 8\) 個）。
下端が1でないとき（\(k=m\) から始まる和）
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(\displaystyle\sum_{k=m}^{n} a_k\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\)
\(-\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{m-1} a_k\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
\(k=m\) から \(n\) までの合計
\(=\)
①
\(k=1\) から \(n\) までの合計
\(-\)
②
\(k=1\) から \(m-1\) までの合計（引く分）
式を日本語で読むと
①
\(k=1\) から \(n\) までの合計
から
②
\(k=1\) から \(m-1\) までの合計（引く分）
を引くと
③
\(k=m\) から \(n\) までの合計
になる
簡単な例
\(k = 3\) から \(k = 10\) までの整数の合計は（1から10までの和は 55、1から2までの和は 3）
3から10までの合計
\(=\)
1から10までの合計 55
\(-\)
1から2までの合計 3
\(\sum_{k=3}^{10} k = \sum_{k=1}^{10} k - \sum_{k=1}^{2} k = 55 - 3 = 52\)
考え方のポイント
べき乗和の公式は「\(k = 1\) から始まる和」の形でしか使えません。そこで下端が 1 でないときは、いったん 1 から始まる和にそろえてから、余分に足してしまった手前の分（\(k = 1\) から \(m-1\) まで）を引きます。
引く分の上端が \(m-1\) であって \(m\) でないことに注意してください。\(k = m\) の項は求めたい和に含まれるので、引いてはいけません。
なお \(m = 1\) のときは、引く分が「\(k = 1\) から \(0\) までの和」＝足す項が1つも無い和なので 0 になります。つまりこの式は下端が 1 のときも正しく、引く分が消えて \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} a_k\) だけが残ります。
上のグラフでは、1から8までの棒のうち手前の2本（\(k = 1, 2\)）を引くと、\(k = 3\) から 8 までの和 33 が残る様子を示しています。
Σ（シグマ）は「たくさんの数を足し合わせる」という指示を1文字で表した記号です。一般項が \(k\) の多項式なら、まず項ごとに分けて係数を前に出し、\(\displaystyle\sum k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)、\(\displaystyle\sum k^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)、\(\displaystyle\sum k^{3} = \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^{2}\)、\(\displaystyle\sum c = cn\) の4つの公式を当てはめ、通分して整理すれば、答えは必ず \(n\) の多項式になります。
用語・記号の解説
記号
| \(\displaystyle\sum\) | シグマ | 「足し合わせる」ことを表す記号。ギリシャ文字の大文字シグマで、「合計」を意味する英語 Sum の頭文字 S にあたる文字だからこれが選ばれたといわれます。記号の下に \(k=1\)、上に \(n\) を書いて、足す範囲を指定します。 |
| \(k\) | ケー | 「何番目の項か」を数えるための文字。下端から上端まで1ずつ増えていき、和を計算し終えると答えの式には残りません（このような文字をダミー変数といいます）。\(i\) や \(j\) が使われることもあります。 |
| \(n\) | エヌ | 和の上端（\(k\) のゴール）。「いくつまで足すか」を表します。個数を表す文字には number（数）の頭文字 \(n\) を使う慣例があります。 |
| \(m\) | エム | 和の下端（\(k\) のスタート）。この計算機では 1 以上の整数を指定できます。\(n\) の1つ前のアルファベットなので、\(n\) と対で使われます。 |
| \(a_k\) | エー・ケー | 数列の \(k\) 番目の項（一般項）。右下の小さな \(k\) は「何番目か」を表す添え字です。\(a_1\) が1番目、\(a_2\) が2番目の項を表します。 |
| \(c\) | シー | 定数（\(k\) が変わっても変わらない数）。constant（定数）の頭文字です。定数の和は \(cn\) になります。 |
| \(p,\ q\) | ピー・キュー | 項に掛かっている係数を表す文字。「決まった数」を表すときはアルファベットの前の方の文字を使う慣例があり、\(a\)・\(b\) が別の意味で使われているときは \(p\)・\(q\) がよく選ばれます。 |
| \(\cdots\) | てんてんてん | 「同じ規則で途中が続く」ことを表す省略記号。\(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) は、途中の項も同じように足すという意味です。 |
| \(k^{2}\) | ケーの2乗 | \(k\) を2回掛け合わせたもの（\(k \times k\)）。右上の小さい数を指数といい、掛ける回数を表します。 |
用語
| 数列 | すうれつ | 数を順番に並べたもの。1番目、2番目…と順番が決まっていることが大事で、\(1,\ 4,\ 9,\ 16,\ \dots\) のように規則があるものがよく扱われます。高校では数学Bで学びます。 |
| 項 | こう | 数列に並んでいる1つ1つの数。1番目の数を第1項、2番目の数を第2項と呼びます。 |
| 一般項 | いっぱんこう | \(k\) 番目の項を \(k\) の式で表したもの。\(a_k = k^{2}\) のように書きます。この計算機では、一般項が \(k\) の多項式である場合を扱います。 |
| 初項 | しょこう | 数列の1番目の項のこと。数列の先頭にある項を指します。 |
| 末項 | まっこう | 数列の最後の項のこと。有限個で終わる数列の、一番後ろの項を指します。 |
| 項数 | こうすう | 足す項が何個あるか。下端 \(m\)、上端 \(n\) のときの項数は \(n - m + 1\) 個です（下端が 1 なら \(n\) 個）。 |
| 添え字 | そえじ | \(a_k\) の右下に小さく書く \(k\) のこと。「何番目か」を指定するための番号です。 |
| 部分和 | ぶぶんわ | 数列を最初から途中まで足した合計。この計算機の数列表では、各 \(k\) までの部分和を並べて表示します。 |
| 級数 | きゅうすう | 数列の項を足し合わせた式そのもの、またはその和。\(\displaystyle\sum\) を使って表す式は級数の一種です。 |
| べき乗和 | べきじょうわ | \(\displaystyle\sum k\)、\(\displaystyle\sum k^{2}\)、\(\displaystyle\sum k^{3}\) のように「\(k\) のべき乗」を足し合わせた和。「べき（冪）」は同じものを掛け合わせる回数のことです。この計算機は、この3つと定数の和の公式だけを使って答えを出します。 |
| シグマ記号 | しぐまきごう | \(\displaystyle\sum\) のこと。足し算を1行にまとめて書くための記号です。 |
| ダミー変数 | だみーへんすう | 和を計算し終えると答えに残らない、数えるためだけの文字。\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{2}\) の \(k\) がこれにあたり、\(i\) に置き換えても答えは変わりません。 |
| 自然数 | しぜんすう | 1, 2, 3, … と続く正の整数。べき乗和の公式は、自然数の \(n\) について成り立つ式です。 |
| 多項式 | たこうしき | \(2k^{3} - k + 5\) のように、文字のべき乗に係数を掛けた項を足し合わせた式。整式とも呼びます。この計算機が扱える一般項は多項式です。 |
| 係数 | けいすう | 文字の前に付いている数。\(3k^{2}\) の 3 が係数です。数が書かれていない項の係数は 1 と考えます。 |
| 次数 | じすう | 式に出てくる文字のべき乗のうち、最も高い指数のこと。\(k^{3} - 2k\) は \(k^{3}\) が最高なので「3次式」です。この計算機では最初に一般項の次数を選びます。 |
| 定数項 | ていすうこう | \(k^{2} + 3k + 5\) の 5 のように、文字を含まない「数字だけの項」。\(k\) がどんな値でも変わらない（一定＝定数）ことからこう呼ばれます。 |
| 通分 | つうぶん | 分母の違う分数を、共通の分母にそろえること。Σの計算では、公式を当てはめたあとに分母 2 と 6 などをそろえる場面で必ず使います。 |
| 展開 | てんかい | 掛け算の形になっている式のかっこを外し、足し算の形に直すこと。因数分解とはちょうど逆の操作です。 |
| 因数分解 | いんすうぶんかい | 足し算の形の式を、掛け算の形に直すこと。Σの答えは \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) のように因数分解した形で書くのが慣例です。 |
| 等差数列 | とうさすうれつ | \(2,\ 5,\ 8,\ 11,\ \dots\) のように、同じ数を足しながら進む数列。一般項が \(k\) の1次式になるので、その和はこの計算機で計算できます。 |
| 等比数列 | とうひすうれつ | \(2,\ 6,\ 18,\ 54,\ \dots\) のように、同じ数を掛けながら進む数列。一般項が \(2^{k}\) のような形になるため、この計算機の対象外です（別の公式を使います）。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 文字式と累乗（中学1〜2年） |
|
| 式の展開と因数分解（中学3年〜高校 数学I） |
|
| 分数の計算（小学5年〜中学1年） |
|
| 数列の基本（高校 数学B） |
|
| 記号と添え字の読み方（高校 数学B） |
|
| 代入と計算の順序（中学1年） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「Σの意味」を確かめる表（項を並べて足す）
| 第1項 a1 | 3 |
| 第2項 a2 | 5 |
| 第3項 a3 | 2 |
| 第4項 a4 | 6 |
| 4つの項の合計 Σ | =SUM(B1:B4) |
「Σの決まり（項ごとに分ける）」を確かめる表
| 上端 n | 5 |
| k²の係数 p | 2 |
| kの係数 q | 3 |
| Σk²（1からnまで） | =B1*(B1+1)*(2*B1+1)/6 |
| Σk（1からnまで） | =B1*(B1+1)/2 |
| 分けて計算した合計 p×Σk² + q×Σk | =B2*B4+B3*B5 |
「1からnまでの整数の和」を求める表
| 上端 n | 10 |
| Σk = n(n+1)/2 | =B1*(B1+1)/2 |
「1からnまでの2乗の和」を求める表
| 上端 n | 10 |
| Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 | =B1*(B1+1)*(2*B1+1)/6 |
「1からnまでの3乗の和」を求める表
| 上端 n | 10 |
| Σk³ = {n(n+1)/2}の2乗 | =(B1*(B1+1)/2)^2 |
「定数の和」を求める表
| 上端 n | 12 |
| 定数 c | 7 |
| Σc = c×n | =B2*B1 |
「下端が1でないときの和」を求める表
| 下端 m | 3 |
| 上端 n | 10 |
| 1からnまでの和 Σk | =B2*(B2+1)/2 |
| 1からm−1までの和（引く分） | =(B1-1)*B1/2 |
| k=mからnまでの和 | =B3-B4 |
貼り付けると、上の行（係数・下端・上端）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
「^」はべき乗の記号で、「*」は掛け算、「/」は割り算です。
1つ目の表は「Σは1つずつ足すことと同じ」を SUM 関数で確かめる表で、答えは 16 になります。
2つ目の表は 2k² + 3k を k = 1 から 5 まで足す例です。Σk² = 55、Σk = 15 なので、答えは 2×55 + 3×15 = 155 になります。
3つ目から5つ目の表は、n = 10 のときのべき乗和で、答えはそれぞれ 55、385、3025 です。3つ目の答え 55 を2乗すると 5つ目の 3025 になることも確かめられます。
6つ目の表は 7 を12回足す例で、答えは 84 です。7つ目の表は k = 3 から 10 まで足す例で、55 − 3 = 52 になります。
「^」はべき乗の記号で、「*」は掛け算、「/」は割り算です。
1つ目の表は「Σは1つずつ足すことと同じ」を SUM 関数で確かめる表で、答えは 16 になります。
2つ目の表は 2k² + 3k を k = 1 から 5 まで足す例です。Σk² = 55、Σk = 15 なので、答えは 2×55 + 3×15 = 155 になります。
3つ目から5つ目の表は、n = 10 のときのべき乗和で、答えはそれぞれ 55、385、3025 です。3つ目の答え 55 を2乗すると 5つ目の 3025 になることも確かめられます。
6つ目の表は 7 を12回足す例で、答えは 84 です。7つ目の表は k = 3 から 10 まで足す例で、55 − 3 = 52 になります。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「Σの意味」を確かめる表（項を並べて足す）
| 第1項 a1 | 3 |
| 第2項 a2 | 5 |
| 第3項 a3 | 2 |
| 第4項 a4 | 6 |
| 4つの項の合計 Σ | =SUM(B1:B4) |
「Σの決まり（項ごとに分ける）」を確かめる表
| 上端 n | 5 |
| k²の係数 p | 2 |
| kの係数 q | 3 |
| Σk²（1からnまで） | =B1*(B1+1)*(2*B1+1)/6 |
| Σk（1からnまで） | =B1*(B1+1)/2 |
| 分けて計算した合計 p×Σk² + q×Σk | =B2*B4+B3*B5 |
「1からnまでの整数の和」を求める表
| 上端 n | 10 |
| Σk = n(n+1)/2 | =B1*(B1+1)/2 |
「1からnまでの2乗の和」を求める表
| 上端 n | 10 |
| Σk² = n(n+1)(2n+1)/6 | =B1*(B1+1)*(2*B1+1)/6 |
「1からnまでの3乗の和」を求める表
| 上端 n | 10 |
| Σk³ = {n(n+1)/2}の2乗 | =(B1*(B1+1)/2)^2 |
「定数の和」を求める表
| 上端 n | 12 |
| 定数 c | 7 |
| Σc = c×n | =B2*B1 |
「下端が1でないときの和」を求める表
| 下端 m | 3 |
| 上端 n | 10 |
| 1からnまでの和 Σk | =B2*(B2+1)/2 |
| 1からm−1までの和（引く分） | =(B1-1)*B1/2 |
| k=mからnまでの和 | =B3-B4 |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、係数と下端・上端を自分の数値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
# 一般項 f(k) の係数を低い次数から並べる [定数項, kの係数, k²の係数, k³の係数]
# 例：f(k) = k² → [0, 0, 1]
coefficients = [0, 0, 1]
lower_end = 1 # 下端 m（k のスタート）
upper_end = 10 # 上端 n（k のゴール）
def power_sum(j, n):
"""Σ[k=1→n] k^j （j は 0, 1, 2, 3）"""
n = Fraction(n)
if j == 0:
return n
if j == 1:
return n * (n + 1) / 2
if j == 2:
return n * (n + 1) * (2 * n + 1) / 6
return (n * (n + 1) / 2) ** 2
def sigma(coefficients, m, n):
"""Σ[k=m→n] f(k) = Σ[k=1→n] f(k) − Σ[k=1→m−1] f(k)"""
total = Fraction(0)
for j, c in enumerate(coefficients):
total += Fraction(c) * (power_sum(j, n) - power_sum(j, m - 1))
return total
answer = sigma(coefficients, lower_end, upper_end)
print(f"Σの値（分数）: {answer}")
print(f"Σの値（小数）: {float(answer)}")
# 1つずつ足した値と一致するか確かめる
one_by_one = sum(Fraction(c) * Fraction(k) ** j
for k in range(lower_end, upper_end + 1)
for j, c in enumerate(coefficients))
print(f"1つずつ足した値: {one_by_one}")
標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、小数の丸め誤差なしの厳密な分数のまま計算できます。この例は k² を k = 1 から 10 まで足すもので、実行すると「385」「385.0」「385」が表示されます。係数と下端・上端を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
Σ（シグマ）の意味
Σ[k=1→n] aₖ = a₁ + a₂ + ⋯ + aₙ
\sum_{k=1}^{n} a_k = a_1 + a_2 + \cdots + a_n
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo>
<mo>⋯</mo><mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
</mrow>
</math>
sum_(k=1)^n a_k = a_1 + a_2 + cdots + a_n
Sum[a[k], {k, 1, n}]
sum(a[k], k = 1..n);
symsum(a(k), k, 1, n)
∑_(k=1)^n a_k = a_1 + a_2 + ⋯ + a_n
Σの決まり（項ごとに分けて、係数は前に出せる）
Σ[k=1→n] (p·aₖ + q·bₖ) = p·Σ[k=1→n] aₖ + q·Σ[k=1→n] bₖ
\sum_{k=1}^{n} \left(p a_k + q b_k\right) = p\sum_{k=1}^{n} a_k + q\sum_{k=1}^{n} b_k
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mo>(</mo><mi>p</mi><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>+</mo><mi>q</mi><msub><mi>b</mi><mi>k</mi></msub><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>p</mi>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msub><mi>b</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
</math>
sum_(k=1)^n (p a_k + q b_k) = p sum_(k=1)^n a_k + q sum_(k=1)^n b_k
Sum[p a[k] + q b[k], {k, 1, n}] == p Sum[a[k], {k, 1, n}] + q Sum[b[k], {k, 1, n}]
sum(p*a[k] + q*b[k], k = 1..n) = p*sum(a[k], k = 1..n) + q*sum(b[k], k = 1..n);
symsum(p*a(k) + q*b(k), k, 1, n)
∑_(k=1)^n (p a_k + q b_k) = p ∑_(k=1)^n a_k + q ∑_(k=1)^n b_k
1から \(n\) までの整数の和（\(\sum k\)）
Σ[k=1→n] k = n(n+1)/2
\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mi>k</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
sum_(k=1)^n k = (n(n+1))/2
Sum[k, {k, 1, n}]
sum(k, k = 1..n);
symsum(k, k, 1, n)
∑_(k=1)^n k = (n(n+1))/2
1から \(n\) までの2乗の和（\(\sum k^{2}\)）
Σ[k=1→n] k² = n(n+1)(2n+1)/6
\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msup><mi>k</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
<mn>6</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
sum_(k=1)^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6
Sum[k^2, {k, 1, n}]
sum(k^2, k = 1..n);
symsum(k^2, k, 1, n)
∑_(k=1)^n k^2 = (n(n+1)(2n+1))/6
1から \(n\) までの3乗の和（\(\sum k^{3}\)）
Σ[k=1→n] k³ = {n(n+1)/2}²
\sum_{k=1}^{n} k^{3} = \left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msup><mi>k</mi><mn>3</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow>
<mo>{</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>}</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</math>
sum_(k=1)^n k^3 = ((n(n+1))/2)^2
Sum[k^3, {k, 1, n}]
sum(k^3, k = 1..n);
symsum(k^3, k, 1, n)
∑_(k=1)^n k^3 = ((n(n+1))/2)^2
定数の和（\(\sum c\)）
Σ[k=1→n] c = cn
\sum_{k=1}^{n} c = cn
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mi>n</mi>
</mrow>
</math>
sum_(k=1)^n c = c n
Sum[c, {k, 1, n}]
sum(c, k = 1..n);
symsum(c, k, 1, n)
∑_(k=1)^n c = cn
下端が1でないとき（\(k=m\) から始まる和）
Σ[k=m→n] aₖ = Σ[k=1→n] aₖ − Σ[k=1→m−1] aₖ
\sum_{k=m}^{n} a_k = \sum_{k=1}^{n} a_k - \sum_{k=1}^{m-1} a_k
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mi>m</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub>
<mo>−</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mrow><mi>m</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow>
</munderover>
<msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
</math>
sum_(k=m)^n a_k = sum_(k=1)^n a_k - sum_(k=1)^(m-1) a_k
Sum[a[k], {k, m, n}] == Sum[a[k], {k, 1, n}] - Sum[a[k], {k, 1, m - 1}]
sum(a[k], k = m..n) = sum(a[k], k = 1..n) - sum(a[k], k = 1..m-1);
symsum(a(k), k, m, n)
∑_(k=m)^n a_k = ∑_(k=1)^n a_k − ∑_(k=1)^(m−1) a_k
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（数列）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 Σ[k=1→20] (3k² − 2k + 5) を計算してください。 次の内容をそれぞれ示してください。 1. 項ごとに分けた式（Σk²・Σk・定数の和の形） 2. べき乗和の公式を当てはめた式 3. 上端を文字 n にしたときの一般式（因数分解した形と展開した形の両方） 4. n = 20 のときの合計 Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、1つずつ足した結果とも一致することを確かめたうえで、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
無料で回数無制限の変換
専門知識不要、直感的で簡単な操作
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「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
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クレジット表記不要
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商用利用可能
無料で商用利用可能
商用利用許諾の連絡も不要です
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関連機能
等差数列の計算
初項・公差・項数から第n項と和を計算します（同じ数を「足して」進む数列。その和はΣの計算そのものです）
等比数列の計算
初項・公比・項数から第n項と和を計算します（同じ数を「掛けて」進む数列。等差数列と対になる数列です）
標準偏差計算機（母標準偏差・標本標準偏差）
カンマ区切りの数値から標準偏差・分散・偏差平方和をまとめて計算します（定義式にΣが使われている代表例です）
漸化式計算機（隣接二項間の一般項・特性方程式の途中式付き）
漸化式 a(n+1) = p·a(n) + q の一般項を特性方程式の途中式付きで計算します（数列表・グラフ・収束時は極限値も表示します）
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