積分する関数のタイプを選び、係数を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、係数の部分を直接書き換えても計算できます。
数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。x や関数に掛かる係数の空欄は 1（x² は 1x² の意味）、多項式の定数項の空欄は 0 として扱います。多項式で使わない項には 0 を入力してください。
計算結果・グラフ
左の入力欄で関数のタイプを選んで係数を入れ、「計算する」を押すと、ここに結果とグラフが表示されます。
このページでできること
- 多項式 \(f(x)\)（1次〜4次）の不定積分 \(\displaystyle\int f(x)\,dx\) を、係数を入れるだけでその場で計算できます。答えは原始関数 \(F(x)\) に積分定数 \(C\) を付けた形で表示します
- \(a \sin bx\)・\(a \cos bx\)・\(a e^{bx}\)・\(\dfrac{a}{x}\) の形の基本関数の不定積分にも対応しています
- 項ごとに積分する途中式と、「微分すると元の \(f(x)\) に戻るか」の検算付き。なぜ答えに \(+ C\) を付けるのかも、このページでわかります
- 計算機には手書きと同じ形の積分の式が表示され、係数の部分を直接書き換えて計算することもできます
- 係数には小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます
対象は多項式（整式）と、\(a \sin bx\)・\(a \cos bx\)・\(a e^{bx}\)・\(\dfrac{a}{x}\) の形の基本関数です。\(\tan x\)・\(\log x\) や、関数どうしの積・合成（置換積分・部分積分が必要な形）には対応していません。
この計算は何の役に立つ？
速度の式から位置の式を求める（物理・運動の解析）
「位置を微分すると速度」という関係を逆にたどると、速度の式を不定積分すれば位置の式が手に入ります。例えば速度が \(v = 3t^2\) の物体の位置は \(x = t^3 + C\) で、この \(C\) が「スタート地点がどこだったか」を表します。出発点の位置（初期条件）を1つ測れば \(C\) が決まり、その後の位置が式で予測できるようになります。
「積分定数 \(C\) ＝計測を始めた時点の状態」という対応は、物理で不定積分を使うときの基本の考え方です。
加速度から速度を求める（自動車・ロケット・スマートフォン）
「速度を微分すると加速度」の関係を逆にたどれば、加速度の式の不定積分が速度の式になります。このときの積分定数 \(C\) は初速（積分を始めた時点の速度）です。
スマートフォンやロケットの慣性航法は、センサーで測った加速度を積分して速度を、さらに積分して位置を割り出す仕組みで、この「積分のたびに初期条件で定数を決める」計算が土台になっています。
限界費用から総費用を復元する（経済学・経営）
経済学では「生産量を1増やしたときに増える費用（限界費用）」を微分で表します。逆に、限界費用の式を不定積分すると総費用の式が復元でき、このときの積分定数 \(C\) がちょうど固定費（生産量が0でもかかる家賃や設備代）にあたります。
「微分で消えてしまった定数を、現実の情報（固定費）で決め直す」という、積分定数の意味が最も実感しやすい例の一つです。
流量の式から水の量の式を求める（タンク・ダムの管理）
タンクに毎分どれだけ水が入るか（流量）が時間の式でわかっていれば、それを不定積分すると「時刻 \(t\) の水の量」の式が得られます。積分定数 \(C\) は測り始めたときに入っていた水の量です。
ダムの貯水量の見積もりや薬品タンクの管理のように、「変化の速さの式」から「たまった量の式」を起こす場面で、この計算が使われています。
微分方程式を解く第一歩（人口・冷却・薬の濃度のモデル）
「量の変化の速さが◯◯に比例する」のような自然界のルールは、微分を含む方程式（微分方程式）で表されます。人口の増加・お湯の冷め方・体内の薬の濃度の減り方などのモデルがその例で、これを解いて「量そのものの式」に戻す計算の基本部品が不定積分です。
解くたびに積分定数が現れ、観測データ（初期条件）で定数を決めることで、将来の予測に使える式が完成します。
式とグラフ
不定積分と積分定数C
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(\int f(x)\,dx\)
\(=\)
\(F(x)\)
\(+\)
\(C\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
\(f(x)\) の不定積分
\(=\)
①
原始関数 \(F(x)\)（微分すると \(f(x)\) に戻る関数）
\(+\)
②
積分定数 \(C\)
式を日本語で読むと
①
微分すると \(f(x)\) に戻る
原始関数 \(F(x)\)
に
②
積分定数 \(C\)（どんな定数でもよい、という意味の文字）
を足したものが
③
\(f(x)\) の不定積分
になる
簡単な例
\(f(x) = 2x\) の不定積分は（微分すると \(2x\) に戻る関数は \(x^{2}\)）
\(2x\) の不定積分
\(=\)
原始関数 \(x^{2}\)
\(+\)
積分定数 \(C\)
\(\int 2x\,dx = x^{2} + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\left(x^{2} + C\right) = 2x\)
考え方のポイント
なぜ答えに \(C\) を付けるのか——定数は微分すると必ず \(0\) になって消えるからです。\(x^2\) も \(x^2 + 1\) も \(x^2 - 3\) も、微分するとすべて \(2x\) に戻ります。つまり「微分すると \(2x\) に戻る関数」は1つに決まらず、定数の分だけ無数にあります。その無数の答えをまとめて表す文字が積分定数 \(C\) で、不定積分の答えには必ず \(+ C\) を付けます（テストでの付け忘れは減点の定番です）。
項がいくつあっても、\(C\) は最後に1つだけ付ければ足ります。項ごとに \(C_1,\ C_2\) と付けても、定数の和はまとめて1つの定数と見なせるからです。
グラフで見ると、\(F(x) + C\) は「\(C\) の分だけ上下に平行移動した曲線の集まり」です。どの曲線も形（傾きの変化）は同じなので、微分するとすべて同じ \(f(x)\) に戻ります。
べき関数（\(x^n\) の形の関数）の積分公式
数学表記
（一般的な数式）
\(\int x^{n}\,dx\)
\(=\)
\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)
\(+\)
\(C\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
\(x^n\) の不定積分
\(=\)
①
指数を1増やして \(n+1\) で割ったもの
\(+\)
②
積分定数 \(C\)
式を日本語で読むと
①
指数を1増やした \(x^{n+1}\) を、増やした後の指数 \(n+1\) で割ったもの
に
②
積分定数 \(C\)
を足すと
③
\(x^n\) の不定積分
になる
簡単な例
\(x^{2}\) を積分すると（指数の 2 を 1 増やして、増やした後の 3 で割る）
\(x^2\) の不定積分
\(=\)
指数を増やした \(x^3\) を 3 で割ったもの
\(+\)
積分定数 \(C\)
\(\int x^{2}\,dx = \dfrac{x^{3}}{3} + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\left( \dfrac{x^{3}}{3} + C \right) = x^{2}\)
考え方のポイント
\(x\)、\(x^2\)、\(x^3\) のように「\(x\) を何回か掛けただけ」の形の関数を、べき関数といいます。「べき（冪）」とは同じものを掛け合わせる回数のことで、右上に小さく書く指数がそれにあたります。多項式はべき関数に係数を掛けて足し合わせたものなので、この公式さえ覚えれば多項式はすべて積分できます。
多項式は「各項をこの公式で積分して、最後に \(C\) を1つ付ける」だけで積分できます（例：\(\int (3x^2 + 1)\,dx = x^3 + x + C\)）。係数はそのまま前に残します（例：\(\int 4x\,dx = 4 \times \dfrac{x^2}{2} + C = 2x^2 + C\)）。
答えが正しいかは「微分して元に戻るか」で確かめられます。\(\dfrac{x^3}{3}\) を微分すると \(\dfrac{3x^2}{3} = x^2\) に戻るので、確かに原始関数です。
なお、この公式が使えるのは \(n \neq -1\) のときです。\(n = -1\)（\(\dfrac{1}{x} = x^{-1}\)）だと分母の \(n+1\) が \(0\) になって使えません。その場合の答えは、下の「基本関数の積分公式」にある自然対数の式を使います。
基本関数（sin・cos・eˣ・1/x）の積分公式
数学表記
（一般的な数式）
\(\int \sin x\,dx\)
\(=\)
\(-\cos x\)
\(+\)
\(C\)
\(\int \cos x\,dx\)
\(=\)
\(\sin x\)
\(+\)
\(C\)
\(\int e^{x}\,dx\)
\(=\)
\(e^{x}\)
\(+\)
\(C\)
\(\int \dfrac{1}{x}\,dx\)
\(=\)
\(\ln |x|\)
\(+\)
\(C\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
\(\sin x\) の不定積分
\(=\)
①
微分すると \(\sin x\) に戻る \(-\cos x\)
\(+\)
積分定数 \(C\)
\(\cos x\) の不定積分
\(=\)
②
微分すると \(\cos x\) に戻る \(\sin x\)
\(+\)
積分定数 \(C\)
\(e^x\) の不定積分
\(=\)
③
微分しても変わらない \(e^{x}\)
\(+\)
積分定数 \(C\)
\(\dfrac{1}{x}\) の不定積分
\(=\)
④
微分すると \(\dfrac{1}{x}\) に戻る \(\ln |x|\)
\(+\)
積分定数 \(C\)
式を日本語で読むと
①
微分すると \(\sin x\) に戻る関数は
原始関数 \(-\cos x\)
なので、これに積分定数 \(C\) を足す
②
微分すると \(\cos x\) に戻る関数は
原始関数 \(\sin x\)
なので、これに \(C\) を足す
③
\(e^{x}\) は微分しても変わらない特別な関数なので、積分しても
\(e^{x}\) のまま
で、\(C\) を足すだけでよい
④
微分すると \(\dfrac{1}{x}\) に戻る関数は
自然対数 \(\ln |x|\)
なので、これに \(C\) を足す
簡単な例
\(2\sin x\) を積分すると（前に掛かっている係数 \(2\) はそのまま残ります）
\(2\sin x\) の不定積分
\(=\)
原始関数 \(-2\cos x\)
\(+\)
積分定数 \(C\)
\(\int 2\sin x\,dx = -2\cos x + C\)
\(\dfrac{d}{dx}\left(-2\cos x + C\right) = 2\sin x\)
考え方のポイント
基本関数の積分公式は、すべて「微分の公式の逆読み」です。\(\cos x\) を微分すると \(-\sin x\)、\(\sin x\) を微分すると \(\cos x\)、\(e^x\) は微分しても \(e^x\) のまま、\(\ln x\) を微分すると \(\dfrac{1}{x}\)——この微分の表を右から左に読むと、そのまま上の積分の表になります。
\(\dfrac{1}{x}\) の行だけ仲間はずれに見えますが、これは「べき関数の公式の穴埋め」です。\(\dfrac{1}{x} = x^{-1}\) はべき関数の公式で \(n = -1\) にあたり、分母の \(n+1\) が \(0\) になって公式が使えません。その空白を埋める答えが自然対数 \(\ln |x|\) です。絶対値が付いているのは、\(x\) が負の範囲でも原始関数を定義するためです。
\(\sin bx\) のように \(x\) に係数が付いた形は、積分してから \(b\) で割ります（例：\(\displaystyle\int \sin bx\,dx = -\dfrac{\cos bx}{b} + C\)）。微分すると合成関数の微分で \(b\) が前に出てくるので、あらかじめ割って打ち消しておく、と考えると覚えやすいです。この計算機も \(b\) 付きの形に対応しています。
不定積分 \(\displaystyle\int f(x)\,dx\) は、微分すると \(f(x)\) に戻る原始関数 \(F(x)\) を探して、積分定数 \(C\) を付けた \(F(x) + C\) の形で答えます。多項式は「指数を1増やして、増やした後の指数で割る」を項ごとに行うだけで、答えが正しいかは「微分して \(f(x)\) に戻るか」でいつでも検算できます。
用語・記号の解説
記号
| \(\displaystyle\int\) | インテグラル | 積分を表す記号。英語で「合計」を意味する Sum の頭文字 S を縦に引き伸ばした形に由来し、「細かく刻んで足し合わせる」という積分の考え方を表しています。 |
| \(dx\) | ディーエックス | 「\(x\) について積分する」ことを表す記号。\(d\) は difference（差）の頭文字で、「\(x\) のごくわずかな変化」という意味です。\(\int\) と \(dx\) で「積分する式（被積分関数）」を挟むかっこのような役割をします。 |
| \(f(x)\) | エフエックス | 積分される側の関数（被積分関数）。\(f\) は function（関数）の頭文字です。このページでは \(2x^2 + 1\) のような多項式や、\(2\sin 3x\) のような基本関数です。 |
| \(F(x)\) | エフエックス（大文字） | \(f(x)\) の原始関数。「微分すると \(f(x)\) に戻る関数」のことで、不定積分の答えの本体です。function（関数）の頭文字 \(f\) を大文字にして、「\(f(x)\) のもとになる関数」を表す慣例です。 |
| \(C\) | シー | 積分定数。\(C\) は constant（定数）の頭文字です。定数は微分すると消えるため、原始関数には「どんな定数を足してもよい」という自由度が残ります。それをまとめて表す文字が \(C\) で、不定積分の答えには必ず付けます。 |
| \(\dfrac{d}{dx}\) | ディーディーエックス | 「\(x\) で微分する」ことを表す記号。\(d\) は difference（差）の頭文字です（\(dx\) の \(d\) と同じ）。このページでは、積分の答えが正しいか「微分して元に戻るか」を確かめる検算の式に登場します。 |
| \(x^n\) | エックスのエヌ乗 | \(x\) を \(n\) 回掛け合わせたもの（べき乗）。回数を表す文字には number（数）の頭文字 \(n\) がよく使われます。積分の公式では、この右上の指数 \(n\) が1増えて \(n+1\) になります。 |
| \(\sin,\ \cos\) | サイン・コサイン | 三角関数。正弦（sine）・余弦（cosine）の頭の文字を取った記号です。「\(\sin x\) を微分すると \(\cos x\)、\(\cos x\) を微分すると \(-\sin x\)」という微分の関係を逆に読むと、このページの積分公式になります。 |
| \(e\) | イー | ネイピア数と呼ばれる約 2.718 の定数。exponential（指数の）の頭文字が使われます。\(e^x\) は「微分しても変わらない」という際立った性質を持ち、この性質のおかげで積分しても \(e^x\) のままです。 |
| \(\ln |x|\) | ログ 絶対値 エックス（自然対数） | \(e\) を底とする対数（自然対数）に、\(x\) の絶対値を入れたもの。\(\ln\) は natural logarithm（自然対数）のラテン語式の並び logarithmus naturalis に由来するといわれます。日本の教科書では \(\log x\) と書くことも多い記号です。 |
| \(|x|\) | エックスの絶対値 | 数直線上での 0 からの距離。\(|3| = 3\)、\(|-3| = 3\) のように、符号を取り除いた大きさを表します。\(\ln |x|\) に付いているのは、\(x\) が負のときにも原始関数を定義するためです。 |
用語
| 関数 | かんすう | 数を入れると、決まったルールで数が1つ返ってくる対応関係のこと。「入力 \(x\) を入れると出力が出てくる機械」とイメージするとわかりやすく、例えば \(f(x) = x^2\) という機械に 3 を入れると \(f(3) = 9\) が出てきます。 |
| 積分 | せきぶん | 細かく刻んで足し合わせることで、面積や合計量を求める計算。微分の逆の操作にあたります。高校では数学IIで学びます。 |
| 不定積分 | ふていせきぶん | 区間を決めずに原始関数を求める積分。答えは \(F(x) + C\) のような「関数の形」になります。区間が定まっていない（不定）ことからこう呼ばれます。 |
| 定積分 | ていせきぶん | 区間（\(a\) から \(b\) まで）を決めて計算する積分。答えは1つの数値になります。定積分の計算の第一歩が、このページの不定積分（原始関数探し）です。 |
| 原始関数 | げんしかんすう | 微分すると元の関数 \(f(x)\) に戻る関数 \(F(x)\) のこと。不定積分の答えの本体で、これに積分定数 \(C\) を付けたものが不定積分です。 |
| 積分定数 | せきぶんていすう | 不定積分の答えに付ける定数 \(C\) のこと。定数は微分すると消えるため、原始関数は1つに決まらず「定数の分だけ無数にある」ことを表します。 |
| 被積分関数 | ひせきぶんかんすう | 積分される側の関数 \(f(x)\) のこと。\(\int\) と \(dx\) に挟まれた部分です。 |
| 多項式 | たこうしき | \(2x^3 - x + 5\) のように、\(x\) のべき乗に係数を掛けた項を足し合わせた式。整式とも呼びます。 |
| 項 | こう | 式を足し算・引き算の区切りで分けた、1つ1つのかたまり。\(x^3 - 2x + 3\) の項は \(x^3\)・\(-2x\)・\(3\) の3つです。 |
| 係数 | けいすう | 文字の前に付いている数。\(3x^2\) の 3 が係数です。\(x^2\) のように数が書かれていない項の係数は 1 と考えます。 |
| 次数 | じすう | 式に出てくる \(x\) のべき乗のうち、最も高い指数のこと。\(x^3 - 2x + 3\) は \(x^3\) が最高なので「3次式」です。この計算機では多項式のとき最初に次数を選びます。 |
| 定数項 | ていすうこう | \(x^2 + 3x + 5\) の 5 のように、\(x\) を含まない「数字だけの項」。\(x\) がどんな値でも変わらない（一定＝定数）ことからこう呼ばれます。 |
| 指数 | しすう | \(x^3\) の右上に小さく書く 3 のこと。同じものを掛け合わせる回数を表します（\(x^3 = x \times x \times x\)）。べき関数の積分公式では、この指数が1増えて \(n+1\) になります。 |
| べき関数 | べきかんすう | \(y = x\)、\(y = x^2\)、\(y = x^3\) のように、「\(x\) を何回か掛けただけ」の形（\(x^n\)）の関数。「べき（冪）」は同じものを掛け合わせる回数、つまり右上に小さく書く指数のことです。多項式は、べき関数に係数を掛けて足し合わせたものです。 |
| 三角関数 | さんかくかんすう | \(\sin x\)・\(\cos x\)・\(\tan x\) など、角度から決まる値を返す関数。もとは直角三角形の辺の比から生まれ、波や振動を表すのに使われます。高校では数学IIで学びます。 |
| 指数関数 | しすうかんすう | \(y = 2^x\) や \(y = e^x\) のように、\(x\) が指数の位置にある関数。一定の割合で増え続ける（減り続ける）変化を表します。特に \(e^x\) は微分しても変わらない性質を持ちます。 |
| 自然対数 | しぜんたいすう | ネイピア数 \(e\)（約 2.718）を底とする対数のこと。「\(e\) を何乗するとその数になるか」を表し、\(\ln x\) または \(\log x\) と書きます。\(\dfrac{1}{x}\) の原始関数として積分にも登場します。 |
| 微分 | びぶん | 関数の変化の割合（グラフの接線の傾き）を求める計算。積分とはちょうど逆の操作の関係にあり、不定積分は「微分すると元に戻る関数探し」そのものです。 |
| 初期条件 | しょきじょうけん | 「\(F(1) = 3\)」のように、関数がある点で取る値の条件。不定積分の答えは \(C\) の分だけ無数にありますが、初期条件を1つ与えると \(C\) の値が決まり、答えが1つに定まります。 |
| 平行移動 | へいこういどう | 図形やグラフを、形を変えずに一定の向きに滑らせて動かすこと。\(F(x) + C\) のグラフは、\(F(x)\) のグラフを上下に平行移動したものです。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 関数とは何か（中学1〜2年） |
|
| 累乗・指数（中学1年〜高校 数学I） |
|
| 多項式と係数（中学2年〜高校 数学I） |
|
| 微分（高校 数学II） |
|
| 三角関数・指数関数・対数関数（高校 数学II〜III） |
|
| 分数の計算（小学5年〜中学1年） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「多項式の原始関数 F(x) の係数」を求める表
| x⁴の係数 c4 | 0 |
| x³の係数 c3 | 1 |
| x²の係数 c2 | 0 |
| xの係数 c1 | -2 |
| 定数項 c0 | 3 |
| F(x) の x⁵の係数（c4÷5） | =B1/5 |
| F(x) の x⁴の係数（c3÷4） | =B2/4 |
| F(x) の x³の係数（c2÷3） | =B3/3 |
| F(x) の x²の係数（c1÷2） | =B4/2 |
| F(x) の xの係数（c0÷1） | =B5 |
「a sin bx の積分」の係数を求める表（−a÷b）
| 係数 a | 2 |
| x の係数 b | 3 |
| cos bx に付く係数（−a÷b） | =-B1/B2 |
「検算（微分して元に戻るか）」を確かめる表
| F(x) の x⁴の係数 | 0.25 |
| 微分した後の x³の係数（0.25×4） | =B1*4 |
Excelは文字式そのものを扱えないので、原始関数 F(x) の「係数」を計算する表にしています。多項式の各項は「係数 ÷（指数+1）」が積分後の係数になるため、1つ目の表では f(x) = x³ − 2x + 3 の原始関数の係数が上から 0・0.25・0・−1・3 と求まり、F(x) = 0.25x⁴ − x² + 3x（＝x⁴/4 − x² + 3x）に積分定数 C を付けたものが答えになります。
2つ目の表は a sin bx の積分で、a = 2・b = 3 なら cos 3x に付く係数は −2÷3 ≒ −0.6667（= −2/3）になります。cos bx の積分（sin bx に付く係数）や e を底とする指数関数の積分は、符号がマイナスにならない「a÷b」なので「=B1/B2」に書き換えてください。
3つ目の表は検算です。F(x) の x⁴の係数 0.25 を微分の規則（指数を前に出して掛ける）で 4 倍すると 1 になり、元の x³の係数と一致することが確かめられます。
2つ目の表は a sin bx の積分で、a = 2・b = 3 なら cos 3x に付く係数は −2÷3 ≒ −0.6667（= −2/3）になります。cos bx の積分（sin bx に付く係数）や e を底とする指数関数の積分は、符号がマイナスにならない「a÷b」なので「=B1/B2」に書き換えてください。
3つ目の表は検算です。F(x) の x⁴の係数 0.25 を微分の規則（指数を前に出して掛ける）で 4 倍すると 1 になり、元の x³の係数と一致することが確かめられます。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「多項式の原始関数 F(x) の係数」を求める表
| x⁴の係数 c4 | 0 |
| x³の係数 c3 | 1 |
| x²の係数 c2 | 0 |
| xの係数 c1 | -2 |
| 定数項 c0 | 3 |
| F(x) の x⁵の係数（c4÷5） | =B1/5 |
| F(x) の x⁴の係数（c3÷4） | =B2/4 |
| F(x) の x³の係数（c2÷3） | =B3/3 |
| F(x) の x²の係数（c1÷2） | =B4/2 |
| F(x) の xの係数（c0÷1） | =B5 |
「a sin bx の積分」の係数を求める表（−a÷b）
| 係数 a | 2 |
| x の係数 b | 3 |
| cos bx に付く係数（−a÷b） | =-B1/B2 |
「検算（微分して元に戻るか）」を確かめる表
| F(x) の x⁴の係数 | 0.25 |
| 微分した後の x³の係数（0.25×4） | =B1*4 |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、係数を自分の数値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
# f(x) の係数を低い次数から並べる [c0, c1, c2, ...]
# 例：f(x) = x³ − 2x + 3 → 定数項3, xの係数−2, x²の係数0, x³の係数1
coefficients = [Fraction(3), Fraction(-2), Fraction(0), Fraction(1)]
# 原始関数 F(x) の係数：x^(k+1) の係数 = 係数 ÷ (k+1)（べき関数の積分公式）
answer_terms = []
for k, c in enumerate(coefficients):
anti_coefficient = c / (k + 1)
if anti_coefficient == 0:
continue
# 1乗の項は「x^1」でなく「x」と表示する
power = "x" if k == 0 else f"x^{k + 1}"
answer_terms.append(f"({anti_coefficient}){power}")
# 次数の高い項から並べ、最後に積分定数Cを付ける
print("F(x) + C = " + " + ".join(reversed(answer_terms)) + " + C")
標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、係数を小数の丸め誤差なしの厳密な分数のまま計算できます。この例は f(x) = x³ − 2x + 3 の不定積分で、実行すると「F(x) + C = (1/4)x^4 + (-1)x^2 + (3)x + C」と表示されます（＝x⁴/4 − x² + 3x + C のこと）。係数のリストを書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
不定積分と積分定数C
∫f(x) dx = F(x) + C
\int f(x)\,dx = F(x) + C
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∫</mo>
<mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mi>F</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>C</mi>
</mrow>
</math>
int f(x) dx = F(x) + C
Integrate[f[x], x]
int(f(x), x);
F = int(f, x);
∫f(x) dx = F(x) + C
べき関数（\(x^n\) の形の関数）の積分公式
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∫</mo>
<msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup>
<mi>d</mi><mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<msup><mi>x</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>C</mi>
</mrow>
</math>
int x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
Integrate[x^n, x]
int(x^n, x);
F = int(x^n, x);
∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
基本関数（sin・cos・eˣ・1/x）の積分公式
∫sin x dx = −cos x + C ／ ∫cos x dx = sin x + C ／ ∫eˣ dx = eˣ + C ／ ∫(1/x) dx = ln|x| + C
\int \sin x\,dx = -\cos x + C,\quad \int \cos x\,dx = \sin x + C,\quad \int e^{x}\,dx = e^{x} + C,\quad \int \frac{1}{x}\,dx = \ln |x| + C
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd><mrow>
<mo>∫</mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi>
<mo>=</mo><mo>−</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>C</mi>
</mrow></mtd></mtr>
<mtr><mtd><mrow>
<mo>∫</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mi>d</mi><mi>x</mi>
<mo>=</mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>C</mi>
</mrow></mtd></mtr>
<mtr><mtd><mrow>
<mo>∫</mo><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mi>d</mi><mi>x</mi>
<mo>=</mo><msup><mi>e</mi><mi>x</mi></msup><mo>+</mo><mi>C</mi>
</mrow></mtd></mtr>
<mtr><mtd><mrow>
<mo>∫</mo><mfrac><mn>1</mn><mi>x</mi></mfrac><mi>d</mi><mi>x</mi>
<mo>=</mo><mi>ln</mi><mo>|</mo><mi>x</mi><mo>|</mo><mo>+</mo><mi>C</mi>
</mrow></mtd></mtr>
</mtable>
</math>
int sin x dx = -cos x + C, int cos x dx = sin x + C, int e^x dx = e^x + C, int (1/x) dx = ln|x| + C
{Integrate[Sin[x], x], Integrate[Cos[x], x], Integrate[Exp[x], x], Integrate[1/x, x]}
int(sin(x), x); int(cos(x), x); int(exp(x), x); int(1/x, x);
int(sin(x), x), int(cos(x), x), int(exp(x), x), int(1/x, x)
∫sin x dx = -cos x + C, ∫cos x dx = sin x + C, ∫e^x dx = e^x + C, ∫(1/x) dx = ln|x| + C
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（微分積分）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 不定積分 ∫(x³ − 2x + 3) dx を計算してください。 次の内容をそれぞれ示してください。 1. 原始関数 F(x)（係数は約分済みの分数で） 2. 積分定数Cを付けた答え F(x) + C 3. 検算：F(x) を微分して元の x³ − 2x + 3 に戻ること Pythonでは sympy ライブラリ（integrate・diff）を使って計算し、計算に使ったコードと実行結果を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
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