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次の不定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int 3x^{2}\,dx\)
解答：\(x^{3} + C\)
べき関数の積分公式で原始関数を求めます。
\(\displaystyle\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
\(3x^{2}\) は、\(x^{2}\) の指数 \(2\) を1増やして \(3\) にし、増やした後の \(3\) で割るので
\(3 \times \dfrac{x^{3}}{3} = x^{3}\)
最後に積分定数 \(C\) を付けます。
\(\displaystyle\int 3x^{2}\,dx = x^{3} + C\)
検算として微分すると \(3x^{2}\) に戻るので、正しい答えだと確かめられます。
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次の不定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int x\,dx\)
解答：\(\dfrac{x^{2}}{2} + C\)
\(x\) は \(x^{1}\) のことなので、指数 \(1\) を1増やして \(2\) にし、\(2\) で割ります。
\(\displaystyle\int x\,dx = \dfrac{x^{2}}{2} + C\)
答えに \(C\) を付け忘れないように注意しましょう。
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次の不定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int \left(3x^{2} - 4x + 1\right)\,dx\)
解答：\(x^{3} - 2x^{2} + x + C\)
項が2つ以上あるときは、項ごとに積分して足します。
\(3x^{2}\) の原始関数は \(x^{3}\)（問1と同じ）
\(-4x\) は係数 \(-4\) を残して \(x\) を積分するので
\(-4 \times \dfrac{x^{2}}{2} = -2x^{2}\)
定数 \(1\) の原始関数は \(x\)（微分すると \(1\) に戻る）
足し合わせて、\(C\) は最後に1つだけ付けます。
\(\displaystyle\int \left(3x^{2} - 4x + 1\right)\,dx = x^{3} - 2x^{2} + x + C\)
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次の不定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int x^{3}\,dx\)
解答：\(\dfrac{x^{4}}{4} + C\)
\(x^{3}\) の指数 \(3\) を1増やして \(4\) にし、\(4\) で割ります。
\(\displaystyle\int x^{3}\,dx = \dfrac{x^{4}}{4} + C\)
検算として \(\dfrac{x^{4}}{4}\) を微分すると、指数の \(4\) が前に出て \(\dfrac{4x^{3}}{4} = x^{3}\) に戻ります。
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次の不定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int \cos x\,dx\)
解答：\(\sin x + C\)
「微分すると \(\cos x\) に戻る関数」を探します。
\(\sin x\) を微分すると \(\cos x\) になるので
\(\displaystyle\int \cos x\,dx = \sin x + C\)
三角関数の積分は、微分の公式を逆から読むのがコツです。
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次の不定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int 2\sin x\,dx\)
解答：\(-2\cos x + C\)
係数 \(2\) はそのまま残して、\(\sin x\) の部分を積分します。
\(\cos x\) を微分すると \(-\sin x\) なので、微分すると \(\sin x\) に戻るのは \(-\cos x\) です。
\(\displaystyle\int \sin x\,dx = -\cos x + C\)
係数 \(2\) を掛けて
\(\displaystyle\int 2\sin x\,dx = -2\cos x + C\)
検算として \(-2\cos x\) を微分すると \(2\sin x\) に戻ります。マイナスの付く位置を間違えやすいので、検算の習慣をつけましょう。
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\(F'(x) = 2x\) と \(F(1) = 3\) の両方を満たす関数 \(F(x)\) を求めましょう。
解答：\(F(x) = x^{2} + 2\)
まず \(F'(x) = 2x\) から、\(F(x)\) は \(2x\) の不定積分です。
\(F(x) = \displaystyle\int 2x\,dx = x^{2} + C\)
次に条件 \(F(1) = 3\) を代入して、\(C\) の値を決めます。
\(1^{2} + C = 3\)
\(C = 2\)
よって
\(F(x) = x^{2} + 2\)
不定積分の答えは \(C\) の分だけ無数にありますが、このように条件（初期条件）が1つ与えられると、答えが1つに決まります。