信頼区間計算機（母平均の区間推定）

標本の大きさ・標本平均・標準偏差・信頼水準を入力してください。母平均の信頼区間（下限・上限）と誤差の範囲、主な信頼水準の一覧表を計算します。

標本の大きさ n

標本平均 x̄

標準偏差 σ

信頼水準（%）

標準偏差には、母集団の標準偏差σ（わかっている場合）を入力します。わからない場合も、標本が十分大きければ（目安30以上）標本から求めた標準偏差で代用できます。信頼水準は%の数値で入力してください（例：95%なら 95）。

計算結果・グラフ

左の入力欄に数値を入れて「計算する」を押すと、ここに結果とグラフが表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式とグラフ
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

標本の大きさ \(n\)・標本平均 \(\bar{x}\)・標準偏差 \(\sigma\)・信頼水準（%）を入れるだけで、母平均の信頼区間（下限・上限）がその場でわかります
誤差の範囲 \(E\)（±いくつまでずれうるか）・標準誤差・信頼水準に応じたz値も同時に計算します
90%・95%・99%など主な信頼水準の信頼区間を一覧表でまとめて確認でき、区間の広がり方をグラフでも確かめられます
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

この計算機は、母集団の標準偏差 σ がわかっている（または標本が十分大きく、標本標準偏差で代用できる）場合の、正規分布にもとづく信頼区間（zを使う方式）を計算します。標本が小さく母標準偏差もわからない場合に使う「t分布」による信頼区間には対応していません。

この計算は何の役に立つ？

世論調査・視聴率の「±◯ポイント」の正体（報道・政治）

「内閣支持率45%（誤差±2.5ポイント）」のような調査結果の「誤差」は、まさにこのページの誤差の範囲 \(E\) です。支持率45%・回答者1600人の調査なら、ばらつきは \(\sigma = \sqrt{0.45 \times 0.55} \fallingdotseq 0.497\) なので、95%信頼水準で \(E = 1.96 \times 0.497 \div \sqrt{1600} \fallingdotseq 0.024\)（約±2.4ポイント）になります（回答の割合を正規分布で近似できるとした場合の計算です。報道の「±2.5ポイント」は、ばらつきが最大になる支持率50%として見積もった値にあたります）。
「支持率が1ポイント動いた」というニュースが誤差の範囲内かどうか、自分で判断できるようになります。

工場の品質管理——「内容量500mL」表示を数字で裏づける（製造業）

全部のペットボトルを開けて量るわけにはいかないので、工場では一部を抜き取って検査します。50本の平均が500.2mL・ばらつき（標準偏差）が2mLなら、全生産品の平均内容量の95%信頼区間は約499.65～500.75mLと見積もれます。
「表示量を下回っていないか」を、抜き取り検査だけで統計的に確認する——食品・飲料・薬品などの製造現場で毎日使われている計算です。

新しい治療・薬の効果の確からしさを読む（医療）

「新薬で血圧が平均8.0mmHg下がった（95%信頼区間：5.6～10.4）」のように、医学論文の結果はほぼ必ず信頼区間つきで報告されます（100人の試験で、低下量のばらつきが標準偏差12mmHgの場合、\(E = 1.96 \times 12 \div \sqrt{100} \fallingdotseq 2.4\) です）。
区間全体がプラス側（0をまたがない）なら「効果があった」と判断する材料になり、区間が0をまたぐなら「偶然かもしれない」と読みます。健康情報を自分で吟味するときの、一番大事な読み方の一つです。

全国調査を「全員調べずに」行う（教育・行政の標本調査）

全国の児童全員を調べるのは大変なので、体力・学力などの全国調査の一部は標本調査で行われます。例えば400人の標本で50m走の平均が9.2秒・標準偏差0.8秒なら、全体の平均タイムの95%信頼区間は約9.12～9.28秒と、わずか400人からかなり狭い幅で見積もれます。
国の統計（労働力調査・家計調査など）も標本調査が中心で、その精度の裏づけにこの計算が使われています。

Webサービスの改善効果をノイズと区別する（IT・マーケティング）

サイトの平均滞在時間が180秒から184秒に伸びたとき、それは改善の効果でしょうか、それともたまたまでしょうか。訪問者2500人・標準偏差90秒なら平均滞在時間の95%信頼区間は約176.5～183.5秒で、幅が約±3.5秒あるとわかります。
変化が信頼区間の幅と同じくらいなら「まだ偶然と区別がつかない」と判断できます。ABテストの結果を読み違えないための土台になる考え方です。

式とグラフ

誤差の範囲 \(E\)（区間の半分の幅）

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(E\) \(=\) \(z\) \(\times\) \(\sigma\) \(\div\) \(\sqrt{n}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 誤差の範囲 \(E\) \(=\) ③ 信頼水準に応じたz値 \(z\) \(\times\) ① 母標準偏差 \(\sigma\) \(\div\) ② 標本の大きさ \(n\) の平方根 \(\sqrt{n}\)

式を日本語で読むと

① 母標準偏差 \(\sigma\) を

② 標本の大きさ \(n\) の平方根 \(\sqrt{n}\) で割って「標準誤差（標本平均のばらつき）」を求め、

③ 信頼水準に応じたz値 \(z\) を掛けると

④ 誤差の範囲 \(E\) になる

簡単な例

ペットボトル25本の内容量を調べる。ばらつき（標準偏差）が2mL、信頼水準95%（z値1.96）のときの誤差の範囲は

誤差の範囲 \(E\) \(=\) z値（1.96） \(\times\) 標準偏差（2） \(\div\) 25の平方根（5）

\(1.96 \times 2 \div 5 = 1.96 \times 0.4 = 0.784\)

考え方のポイント

\(\sigma \div \sqrt{n}\) は「標準誤差」と呼ばれ、標本平均そのもののばらつきの大きさを表します。割るのが \(n\) ではなく \(\sqrt{n}\)（平方根）なのがポイントで、標本を4倍に増やしても誤差の範囲は半分にしかなりません。「精度を上げるにはデータ数がたくさん要る」のはこのためです。

信頼区間（下限 \(L\) と上限 \(U\)）

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(L,\ U\) \(=\) \(\bar{x}\) \(\pm\) \(E\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 信頼区間の下限 \(L\)・上限 \(U\) \(=\) ① 標本平均 \(\bar{x}\) \(\pm\) ② 誤差の範囲 \(E\)

式を日本語で読むと

① 標本平均 \(\bar{x}\) から

② 誤差の範囲 \(E\) を引いたものと足したものを作ると（記号±は「引く」と「足す」の両方を表します）

③ 信頼区間の下限 \(L\)・上限 \(U\) になる

簡単な例

25本の内容量の平均が500.2mL、誤差の範囲が0.784mLのとき、母平均の95%信頼区間は

信頼区間の下限 \(L\)・上限 \(U\) \(=\) 標本平均（500.2） \(\pm\) 誤差の範囲（0.784）

\(L = 500.2 - 0.784 = 499.416\)

\(U = 500.2 + 0.784 = 500.984\)

考え方のポイント

式1と式2をつなげたものが、教科書でおなじみの \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) という信頼区間の公式です。「95%信頼区間」の正しい読み方には注意が必要です。「この区間に母平均が95%の確率で入っている」ではなく、「同じ方法で標本を取って区間を作る作業を100回くり返したら、そのうち約95回は区間が母平均を含む」という意味です。母平均は動かない1つの値で、標本のたびに動くのは区間の側です。

信頼水準からz値を求める

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(z\) \(=\) \(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② 信頼水準に応じたz値 \(z\) \(=\) ① 「左から数えた割合 (1 + 信頼水準 \(C\)) ÷ 2」をzの位置に変換した値

式を日本語で読むと

① 「左から数えた割合 (1 + 信頼水準 \(C\)) ÷ 2」をzの位置に変換した値を求めると（\(\Phi^{-1}\)（ファイ・インバース）が「左から数えた割合 → 横軸の位置」の変換をする関数です。信頼水準 \(C\) は95%なら0.95のように小数で表します）

② 信頼水準に応じたz値 \(z\) が求められる

簡単な例

信頼水準95%（C = 0.95）に対応するz値は

z値 \(z\) \(=\) 左から97.5%の位置 \(\Phi^{-1}(0.975)\)

\(\Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+0.95}{2}\right) = \Phi^{-1}(0.975) \fallingdotseq 1.96\)

考え方のポイント

z値は「標準正規分布で、まん中に信頼水準の分（95%なら95%）がちょうど収まる境界の位置」です。まん中に95%を入れると両はしに2.5%ずつ残るので、左から数えて97.5%の位置、つまり \(\Phi^{-1}(0.975) \fallingdotseq 1.96\) が95%のz値になります。よく使う値は決まっていて、90%→1.6449、95%→1.9600、99%→2.5758、99.9%→3.2905 です。この計算機は一覧表にない中途半端な信頼水準（例：97%）でも自動で計算します。

信頼区間は「標本平均 ± 誤差の範囲」で求めます。誤差の範囲は \(z \times \sigma \div \sqrt{n}\)、つなげると \(\bar{x} \pm z \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\) です。標本を増やすほど（\(\sqrt{n}\) が大きくなるほど）区間は狭まり、信頼水準を上げるほど（zが大きくなるほど）区間は広がります。

用語・記号の解説

記号

\(n\)	エヌ	標本の大きさ（サンプルサイズ）。実際に調べた個数・人数です。（例：50本量ったら \(n = 50\)）
\(\bar{x}\)	エックス・バー	標本平均。調べた標本の平均値です。上の横棒（バー）は「平均」を表す記号です。
\(\sigma\)	シグマ	母標準偏差。母集団全体でのばらつきの大きさです。ギリシャ文字で、英語のsにあたります。標本が十分大きければ、標本から求めた標準偏差で代用できます。
\(\sqrt{n}\)	ルート・エヌ	標本の大きさの平方根。（例：\(\sqrt{25} = 5\)）標準誤差の分母に現れ、データを4倍にしても誤差が半分にしかならない理由がこの平方根です。
\(z\)	ゼット（z値）	信頼水準に応じて決まる倍率。標準正規分布で「まん中に信頼水準の分がちょうど収まる境界の位置」です。95%なら約1.96です。
\(E\)	イー	誤差の範囲（誤差限界）。信頼区間の半分の幅で、「標本平均が母平均から±いくつまでずれうるか」の目安です。margin of error の頭文字です。
\(L,\ U\)	エル・ユー	信頼区間の下限（Lower）と上限（Upper）。\(L = \bar{x} - E\)、\(U = \bar{x} + E\) で求めます。
\(\Phi^{-1}\)	ファイ・インバース（Φの逆関数）	標準正規分布の累積分布関数 \(\Phi\) の逆向きの関数。「確率（面積）」から「そうなるz値」を返します。（例：\(\Phi^{-1}(0.975) \fallingdotseq 1.96\)）
\(C\)	シー	信頼水準を小数で表したもの。95%なら \(C = 0.95\) です。

用語

信頼区間	しんらいくかん	標本のデータから「母平均はこの範囲にありそうだ」と見積もった区間。標本平均を中心に、誤差の範囲だけ上下に広げて作ります。
信頼水準	しんらいすいじゅん	区間の確からしさの度合い。「同じ方法で区間を作る作業をくり返したとき、区間が母平均を含む割合」で、95%が最もよく使われます。信頼係数とも呼ばれます。
母集団	ぼしゅうだん	本当は全部調べたい対象の全体。（例：工場で作られる全ペットボトル、全国の有権者全員）
標本	ひょうほん	母集団から実際に抜き出して調べた一部分。サンプルとも呼びます。標本から母集団の姿を推し量るのが統計の推定です。
母平均	ぼへいきん	母集団全体の平均。全部は調べられないので正確な値はわかりません。この「わからない値」の居場所を見積もるのが信頼区間です。記号は \(\mu\)（ミュー）を使うのが一般的です。
標本平均	ひょうほんへいきん	標本の平均 \(\bar{x}\) のこと。母平均の「一番もっともらしい1点の見積もり（点推定）」ですが、標本の取り方によって毎回少しずつ変わります。
標準誤差	ひょうじゅんごさ	標本平均そのもののばらつきの大きさ。\(\sigma \div \sqrt{n}\) で求めます。データ1個1個のばらつき（標準偏差）と混同しやすいので注意してください。
区間推定	くかんすいてい	母平均などのわからない値を、1点ではなく「幅を持った区間」で見積もる方法。1点で見積もる点推定に対して、外れうる誤差まで込みで示せるのが長所です。
t分布	ティーぶんぷ	標本が小さく母標準偏差もわからないときに、正規分布（z）の代わりに使う分布。このページの計算機はz方式のみ対応しています。標本が大きくなるほどt分布は正規分布に近づき、結果はほぼ同じになります。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。

平均（小学5年）	データをすべて足して個数で割ると平均が求められること
平方根（中学3年）	\(\sqrt{25} = 5\) のように、2乗するともとの数になる値が平方根だとわかること
標本調査（中学3年）	全体（母集団）を全部調べる代わりに、一部（標本）を調べて全体を推し量る方法があること標本は偏りなく（無作為に）選ぶ必要があること
データの分析・標準偏差（高校数学I）	標準偏差が、データの散らばりの大きさを一つの数で表したものだとわかること
正規分布と区間推定（高校数学B／統計）	正規分布が平均を中心に左右対称の釣り鐘型の分布であること「平均±標準偏差1.96個分に約95%が入る」という正規分布の目安を知っていること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「信頼水準に応じたz値」を求める表

信頼水準（%）	95
z値	=NORM.S.INV((1+B1/100)/2)

「誤差の範囲 E」を求める表

z値	1.96
標準偏差 σ	2
標本の大きさ n	25
誤差の範囲 E	=B1*B2/SQRT(B3)

「信頼区間（下限・上限）」を求める表

標本の大きさ n	50
標本平均 x̄	500.2
標準偏差 σ	2
信頼水準（%）	95
z値	=NORM.S.INV((1+B4/100)/2)
誤差の範囲 E	=B5*B3/SQRT(B1)
信頼区間の下限	=B2-B6
信頼区間の上限	=B2+B6

「NORM.S.INV(確率)」が、確率からz値を求める関数（累積分布関数の逆関数 \(\Phi^{-1}\)）です。「SQRT」は平方根です。
1つ目の表は信頼水準（B1）だけからz値を求める表で、95と入れるとB2は約1.959964になります。2つ目の表は誤差の範囲で、例の値だとB4は0.784です。
3つ目の表は入力からまとめて信頼区間を出す表で、例の値（n=50、x̄=500.2、σ=2、95%）だと下限（B7）は約499.6456、上限（B8）は約500.7544になります。B1〜B4を自分の数値に書き換えるだけで使えます。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「信頼水準に応じたz値」を求める表

信頼水準（%）	95
z値	=NORMSINV((1+B1/100)/2)

「誤差の範囲 E」を求める表

z値	1.96
標準偏差 σ	2
標本の大きさ n	25
誤差の範囲 E	=B1*B2/SQRT(B3)

「信頼区間（下限・上限）」を求める表

標本の大きさ n	50
標本平均 x̄	500.2
標準偏差 σ	2
信頼水準（%）	95
z値	=NORMSINV((1+B4/100)/2)
誤差の範囲 E	=B5*B3/SQRT(B1)
信頼区間の下限	=B2-B6
信頼区間の上限	=B2+B6

Googleスプレッドシートでは、確率からz値を求める関数を「NORMSINV(確率)」と書きます（Excelの「NORM.S.INV」と同じ働きです）。それ以外の式はExcelと同じです。
表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、B列の数字を自分の数値に書き換えて使ってください。値の出方はExcel版と同じで、3つ目の表なら下限が約499.6456、上限が約500.7544になります。

Pythonで計算する方法

import math
from statistics import NormalDist

sample_size = 50        # 標本の大きさ n
sample_mean = 500.2     # 標本平均 x̄
sd = 2                  # 標準偏差 σ
confidence_level = 95   # 信頼水準（%）

z = NormalDist().inv_cdf((1 + confidence_level / 100) / 2)  # 信頼水準に応じたz値
standard_error = sd / math.sqrt(sample_size)                # 標準誤差 σ ÷ √n
margin_of_error = z * standard_error                        # 誤差の範囲 E
lower = sample_mean - margin_of_error                       # 信頼区間の下限
upper = sample_mean + margin_of_error                       # 信頼区間の上限

print(f"z値: {z}")
print(f"誤差の範囲 E: {margin_of_error}")
print(f"{confidence_level}%信頼区間: {lower} ～ {upper}")

標準ライブラリだけで動きます。NormalDist().inv_cdf() が「確率からz値を求める関数（\(\Phi^{-1}\)）」です。先頭の4つの値を自分の数値に書き換えて実行してください。例の値だと約499.65～500.75と表示されます。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

誤差の範囲 \(E\)（区間の半分の幅）

E = z × σ ÷ √n

E = z \times \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>z</mi>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mfrac>
      <mi>&#x3C3;</mi>
      <msqrt><mi>n</mi></msqrt>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

E = z sigma / sqrt(n)

z*sigma/Sqrt[n]

E := z*sigma/sqrt(n);

E = z*sigma/sqrt(n);

E = zσ/√n

信頼区間（下限 \(L\) と上限 \(U\)）

L = x̄ − E,  U = x̄ + E

L = \bar{x} - E,\quad U = \bar{x} + E

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>L</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>E</mi>
    <mo>,</mo>
    <mspace width="1em"/>
    <mi>U</mi>
    <mo>=</mo>
    <mover><mi>x</mi><mo>&#x00AF;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mi>E</mi>
  </mrow>
</math>

L = bar x - E, U = bar x + E

{xbar - e, xbar + e}

L := xbar - E; U := xbar + E;

L = xbar - E; U = xbar + E;

L = x̄ - E, U = x̄ + E

信頼水準からz値を求める

z = Φ⁻¹((1 + C) ÷ 2)

z = \Phi^{-1}\!\left(\dfrac{1+C}{2}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>&#x3A6;</mi><mrow><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac>
        <mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>C</mi></mrow>
        <mn>2</mn>
      </mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
  </mrow>
</math>

z = Phi^-1((1 + C)/2)

InverseCDF[NormalDistribution[0, 1], (1 + c)/2]

with(Statistics): Quantile(RandomVariable(Normal(0, 1)), (1 + c)/2);

z = norminv((1 + c)/2);

z = Φ^(-1)((1+C)/2)

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは統計の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

工場のラインからペットボトル50本を抜き取って内容量を量ったところ、平均は500.2mLでした。充填量のばらつき（母標準偏差）は2mLとわかっています。
1. 信頼水準95%に対応するz値を求めてください（標準正規分布の累積分布関数の逆関数を使ってください。Pythonの標準ライブラリ statistics.NormalDist().inv_cdf が使えます）。
2. 誤差の範囲 E = z × σ ÷ √n を求めてください。
3. 母平均（全ペットボトルの本当の平均内容量）の95%信頼区間（下限と上限）を求めてください。

計算に使った式と、実行結果の数値を示してください。