極限の種類（x → a・x → ±∞・n → ∞）と、分子・分母の多項式の次数・係数を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、数字の部分を直接書き換えても計算できます。
数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。x が付く項の係数の空欄は 1（x² は 1x² の意味）、定数項の空欄は 0 として扱います。使わない項には 0 を入力してください。分母の次数を「0次」・係数を 1 にすると、多項式の極限も計算できます。
計算結果・グラフ
左の入力欄に極限の種類と係数を入れて「計算する」を押すと、ここに結果とグラフが表示されます。
このページでできること
- 多項式や \(\dfrac{x^{2}-4}{x-2}\) のような分数の形の式（分子・分母が多項式）の極限 \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) を、係数を入れるだけでその場で計算できます
- 近づけ方は \(x \to a\)（有限の値）・\(x \to \infty\)・\(x \to -\infty\)・\(n \to \infty\)（数列の極限）の4種類から選べます
- 代入すると \(\dfrac{0}{0}\) になる不定形は、因数分解して約分する途中式付きで求めます。答えは約分済みの分数（厳密値）と小数の両方で表示します
- 極限が \(\infty\)・\(-\infty\) になる場合や、右極限と左極限が食い違って「極限なし」になる場合も、理由付きで判定します
- 計算機には手書きと同じ形の \(\lim\) の式が表示され、数字の部分を直接書き換えて計算することもできます
- 式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています
対象は分子・分母が多項式の式（分数関数・有理関数）です。\(\sin x\)・\(\log x\)・\(\sqrt{x}\)・\(e^{x}\) などを含む式の極限（\(\dfrac{\sin x}{x}\) など）や、はさみうちの原理には対応していません。三角関数・指数関数・対数関数の微分は「導関数計算機」をご利用ください。
この計算は何の役に立つ？
瞬間の速さを求める（微分の考え方の土台）
車のスピードメーターが示す「時速60km」は、「ごく短い時間の平均の速さ」の時間幅を限りなく \(0\) に近づけた極限です。例えば落下する物体が落ち始めてから \(t\) 秒間に落ちる距離は約 \(4.9t^{2}\) m で、\(1\) 秒後から \(h\) 秒間の平均の速さ \(\dfrac{4.9(1+h)^{2}-4.9}{h}\) は、\(h \to 0\) でそのまま代入すると \(\dfrac{0}{0}\) の不定形になります。約分すると \(9.8 + 4.9h\) となり、極限は秒速 \(9.8\) m——これが「\(1\) 秒後の瞬間の速さ」です。
微分はこの「\(\dfrac{0}{0}\) の極限」を一般の関数に広げたもので、極限は微分・積分の土台になっています。
大量に作ると1個あたりの費用はどこに落ち着くか（平均費用）
初期費用（設備・金型など）が500万円、1個あたりの材料費が200円の製品を \(x\) 個作ると、1個あたりの費用は \(\dfrac{5000000 + 200x}{x} = 200 + \dfrac{5000000}{x}\) 円です。\(x \to \infty\) の極限はちょうど200円で、たくさん作るほど初期費用の影響が薄まり、1個あたりの費用は材料費に限りなく近づきます。
「分子・分母の次数が等しいとき、極限は最高次の係数の比」という、このページの計算そのものです。
時間がたった後に落ち着く値を見積もる（工学・医療）
電子回路のコンデンサの充電電圧、点滴を続けたときの薬の血中濃度、ヒーターで温める部屋の温度などは、時間とともに変化しながら一定の値（定常値）に落ち着いていきます。設計や投与計画では、この「時間を限りなく進めたときの行き先」＝\(t \to \infty\) の極限を先に計算して、最終的に安全な値に収まるかを確かめます。
これらの式には指数関数が現れることが多い（この計算機の対象外）ですが、「極限で最終状態を見積もる」という考え方は共通です。
アルゴリズムの速さを比べる（計算量のオーダー）
プログラムの処理時間はデータ件数 \(n\) の式で見積もられ、2つのアルゴリズムの優劣は「処理時間の比の \(n \to \infty\) の極限」で比べます。例えば処理時間が \(3n^{2} + 10n\) ステップと \(n^{2}\) ステップのプログラムの比 \(\dfrac{3n^{2}+10n}{n^{2}}\) は \(n \to \infty\) で \(3\) に収束するので、「定数倍の差しかない＝同じオーダー」と判断されます。
この「多項式の比の数列の極限」は、情報系の学部・資格試験（計算量の理論）で実際に使われている道具です。
複利を極限まで細かくすると現れる数 e（金融）
年利100%で年に \(n\) 回に分けて複利で利息を付けると、1年後の元利合計は元金の \(\left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^{n}\) 倍になります。\(n\) を限りなく大きくした極限（連続複利）は \(e = 2.718\dots\) という数に収束し、この \(e\) は金融工学の利息計算やオプション価格の計算の土台になっています。
この式自体は多項式の比ではないためこの計算機の対象外ですが、「極限が生み出した重要な数」の代表例です。
式とグラフ
関数の極限（lim の意味）
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
\(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\)
\(=\)
\(\alpha\)
①
\(x\) を \(a\) に限りなく近づけたときの \(f(x)\) の極限
\(=\)
②
近づいていく先の値（極限値）\(\alpha\)
式を日本語で読むと
①
\(x\) を（\(a\) 以外の値をとりながら）\(a\) に限りなく近づけたとき、
\(f(x)\) の値が近づいていく先
が
②
極限値 \(\alpha\)
である
簡単な例
\(f(x) = \dfrac{x^{2}-4}{x-2}\) で \(x\) を \(2\) に近づけると（\(x = 2\) では分母が \(0\) になり定義されない）
\(x\) を \(2\) に近づけたときの \(f(x)\) の極限
\(=\)
極限値 \(4\)
\(f(1.9) = 3.9,\quad f(1.99) = 3.99,\quad f(1.999) = 3.999\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x-2} = 4\)
考え方のポイント
極限は「\(x = a\) を代入した値」ではなく「近づけたときの行き先」です。上の例のように \(x = 2\) で定義されていない関数でも、極限値 \(4\) はきちんと存在します（グラフでは \((2, 4)\) が穴あきの点になります）。
逆に、分母が \(0\) にならない点では、多項式どうしの分数の形の関数はグラフがつながっている（連続）ので、極限は代入するだけで求められます。「まず代入してみる」が極限の計算の第一歩です。
\(\dfrac{0}{0}\) の不定形は約分してから代入
数学表記
（一般的な数式）
\(\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{(x-a)\,g(x)}{(x-a)\,h(x)}\)
\(=\)
\(\displaystyle\lim_{x \to a} \dfrac{g(x)}{h(x)}\)
\(=\)
\(\dfrac{g(a)}{h(a)}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
代入すると \(\dfrac{0}{0}\) になる極限
\(=\)
②
共通因数 \((x-a)\) を約分した式の極限
\(=\)
③
約分してから \(x = a\) を代入した値
式を日本語で読むと
①
代入すると \(\dfrac{0}{0}\) になる極限
は、分子・分母を因数分解して
②
\(0\) になる原因の共通因数 \((x - a)\) を約分し、
約分した式の極限
に直すと
③
約分してから \(x = a\) を代入した値
として求められる
簡単な例
\(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x-2}\)（\(x = 2\) を代入すると分子・分母とも \(0\)）は
代入すると \(\dfrac{0}{0}\) になる極限
\(=\)
\((x-2)\) を約分した \(x+2\) の極限
\(=\)
\(x = 2\) を代入した値 \(4\)
\(\dfrac{x^{2}-4}{x-2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2 \quad (x \neq 2)\)
\(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x-2} = \lim_{x \to 2}\,(x+2) = 4\)
考え方のポイント
「\(0\) で割ってはいけない」のに約分してよいのは、極限では \(x\) は \(a\) に近づくだけで \(a\) そのものにはならない（つねに \(x \neq a\)）からです。\((x - a)\) は \(0\) でない数なので、普通の約分と同じように消せます。
約分しても分母だけに \((x - a)\) が残る場合、極限は \(\infty\) か \(-\infty\) になるか、右極限と左極限が食い違って「極限なし」になります。どちらになるかは、分子が近づく先の符号と、\(x = a\) の近くでの分母の符号（正の側から \(0\) に近づくか、負の側からか）で決まります。
分子が \(0\) にならないのに分母だけ \(0\) になる場合も同じで、\(\dfrac{\text{0でない数}}{\text{0に近づく数}}\) の形は限りなく大きく（小さく）なります。
\(x \to \infty\) の極限は最高次の項で決まる
グラフ
数学表記
（一般的な数式）
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{p x^{m} + \cdots}{q x^{n} + \cdots}\)
\(=\)
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{p x^{m}}{q x^{n}}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
\(x \to \infty\) の分数の形の式の極限
\(=\)
②
最高次の項だけを残した式の極限
式を日本語で読むと
①
\(x \to \infty\) の分数の形の式の極限
は、分母の最高次の項で分子・分母を割ると、割ってできる \(\dfrac{1}{x}\) の形の項が \(0\) に近づくので
②
最高次の項だけを残した式の極限
と一致する
簡単な例
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2}-x}{3x^{2}+1}\)（分子・分母とも2次）は
\(x \to \infty\) の分数の形の式の極限
\(=\)
最高次の係数の比 \(\dfrac{2}{3}\)
\(\dfrac{2x^{2}-x}{3x^{2}+1} = \dfrac{2 - \dfrac{1}{x}}{3 + \dfrac{1}{x^{2}}}\)
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x^{2}-x}{3x^{2}+1} = \dfrac{2 - 0}{3 + 0} = \dfrac{2}{3}\)
考え方のポイント
結果は次数の大小で3通りに分かれます。分子の次数 \(<\) 分母の次数なら \(0\)、次数が等しいなら最高次の係数の比、分子の次数 \(>\) 分母の次数なら \(\infty\) か \(-\infty\)（符号は分子・分母の最高次の係数の比の符号で決まる）です。
数列の極限 \(\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_{n}\) も同じ考え方で計算できます（\(n\) は \(1, 2, 3, \dots\) と自然数を通って限りなく大きくなります）。
\(x \to -\infty\) もほぼ同じですが、\(x^{3}\) のような奇数乗の項は負になるので、符号だけ注意が必要です（この計算機は符号も含めて判定します）。
極限 \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) は「\(x\) を \(a\) に限りなく近づけたときに \(f(x)\) が近づく先」です。分数の形の式では、まず代入してみて、\(\dfrac{0}{0}\) になったら因数分解して約分してから代入し直す、\(x \to \infty\) では最高次の項に注目する——この2つがこのページの計算の柱です。
用語・記号の解説
記号
| \(\lim\) | リミット リム | 極限を表す記号。英語で「極限」を意味する limit の頭3文字です。下に「何をどこに近づけるか」（\(x \to a\) など）を書きます。 |
| \(x \to a\) | エックスをエーに近づける | 矢印は「限りなく近づける」ことを表します。\(x\) は \(a\) 以外の値をとりながら、いくらでも \(a\) に近い値になっていきます（\(a\) そのものにはなりません）。 |
| \(\infty\) | 無限大（むげんだい） | どの数よりも大きくなり続ける状態を表す記号。数ではないので「\(\infty\) に等しい」のではなく「限りなく大きくなる」ことを表します。マイナスを付けた \(-\infty\) は「限りなく小さくなる（負の方向に大きくなる）」ことです。 |
| \(a + 0,\ a - 0\) | エープラスゼロ・エーマイナスゼロ | \(a\) に「大きい側（右側）から」近づけることを \(x \to a + 0\)、「小さい側（左側）から」近づけることを \(x \to a - 0\) と書きます。右極限・左極限を表す記号です。 |
| \(f(x)\) | エフエックス | 関数。\(f\) は function（関数）の頭文字です。このページでは分子・分母が多項式の分数の形の関数です。 |
| \(\alpha\) | アルファ | 極限値を表すのによく使われる文字。ギリシャ文字の1番目で、「答えとして求まる値」に使う慣例があります。 |
| \(a_n\) | エーエヌ | 数列の第 \(n\) 項（\(n\) 番目の数）。数列の極限では、\(a_{n}\) を \(n\) の式で表して \(n \to \infty\) の行き先を調べます。 |
| \(n\) | エヌ | 自然数を表すのによく使われる文字。number（数）の頭文字です。数列では項の番号を表し、\(1, 2, 3, \dots\) と進みます。 |
| \(\dfrac{0}{0}\) | ゼロぶんのゼロ | 不定形の代表。分子・分母がどちらも \(0\) に近づく形で、このままでは極限の値が決まりません（約分などの変形をしてから求めます）。 |
用語
| 極限 | きょくげん | \(x\) をある値に限りなく近づけた（または限りなく大きくした）ときに、関数や数列の値が近づいていく先のこと。高校では数学IIIで本格的に学びます（数学IIでも微分の定義で軽く登場します）。 |
| 極限値 | きょくげんち | 極限として近づく先の「有限の値」。極限値が存在するとき、「収束する」といいます。 |
| 収束 | しゅうそく | 一定の有限の値に限りなく近づくこと。例えば \(\dfrac{1}{n}\) は \(n \to \infty\) で \(0\) に収束します。 |
| 発散 | はっさん | 収束しないこと。限りなく大きくなる（正の無限大に発散）、限りなく小さくなる（負の無限大に発散）、どちらにも定まらない（振動）があります。 |
| 不定形 | ふていけい | \(\dfrac{0}{0}\) や \(\dfrac{\infty}{\infty}\) のように、そのままでは極限が決まらない形。約分する・最高次の項で割るなどの変形をしてから求めます。 |
| 右極限 | みぎきょくげん | \(a\) より大きい側から近づけたときの極限（\(x \to a+0\)）。左極限と両方が存在して一致するときだけ、\(x \to a\) の極限が存在します。 |
| 左極限 | ひだりきょくげん | \(a\) より小さい側から近づけたときの極限（\(x \to a-0\)）。右極限と両方が存在して一致するときだけ、\(x \to a\) の極限が存在します。 |
| 分数関数 | ぶんすうかんすう | \(f(x) = \dfrac{x+1}{x-2}\) のように、分子・分母が多項式の分数の形の関数。有理関数とも呼びます。この計算機が扱うのはこの形です。 |
| 漸近線 | ぜんきんせん | 曲線が限りなく近づいていく直線。分母が \(0\) になる \(x\) の位置には縦の漸近線が、\(x \to \infty\) で有限の極限をもつときはその高さに横の漸近線が現れます。 |
| 因数分解 | いんすうぶんかい | 式を掛け算の形に直すこと（例：\(x^{2}-4 = (x-2)(x+2)\)）。\(\dfrac{0}{0}\) の不定形では、\(0\) の原因になっている共通因数 \((x-a)\) を見つけるために使います。 |
| 約分 | やくぶん | 分子と分母を共通の因数で割って簡単にすること。数の分数（\(\dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2}\)）と同じ操作を、式の分数でも行います。 |
| 数列 | すうれつ | 数を順に並べたもの。第 \(n\) 項を \(n\) の式で表し、\(n\) を限りなく大きくしたときの行き先（数列の極限）を考えます。 |
| 多項式 | たこうしき | \(2x^{3} - x + 5\) のように、\(x\) のべき乗に係数を掛けた項を足し合わせた式。整式とも呼びます。 |
| 連続 | れんぞく | 関数のグラフが \(x = a\) で「つながっている」こと。連続な点では、極限は \(x = a\) を代入するだけで求められます。多項式どうしの分数の形の関数は、分母が \(0\) にならない点ではすべて連続です。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 分数と約分（小学5年〜中学1年） |
|
| 反比例のグラフ（中学1年） |
|
| 関数とは何か（中学1〜2年） |
|
| 因数分解（中学3年〜高校 数学I） |
|
| 多項式と次数・係数（中学2年〜高校 数学I） |
|
| 微分とのつながり（高校 数学II〜III） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「x → 2 に右から近づける」を観察する表（f(x) = (x²−4)/(x−2)）
| x の値（2 に右から近づける） | 2.1 |
| x の値（さらに近く） | 2.01 |
| x の値（もっと近く） | 2.001 |
| f(x) の値（B1 の x） | =(B1^2-4)/(B1-2) |
| f(x) の値（B2 の x） | =(B2^2-4)/(B2-2) |
| f(x) の値（B3 の x） | =(B3^2-4)/(B3-2) |
「x → 2 に左から近づける」を観察する表（f(x) = (x²−4)/(x−2)）
| x の値（2 に左から近づける） | 1.9 |
| x の値（さらに近く） | 1.99 |
| x の値（もっと近く） | 1.999 |
| f(x) の値（B1 の x） | =(B1^2-4)/(B1-2) |
| f(x) の値（B2 の x） | =(B2^2-4)/(B2-2) |
| f(x) の値（B3 の x） | =(B3^2-4)/(B3-2) |
「x → ∞」を観察する表（f(x) = (2x²−x)/(3x²+1)）
| x の値（大きくしていく） | 10 |
| x の値（もっと大きく） | 100 |
| x の値（さらに大きく） | 10000 |
| f(x) の値（B1 の x） | =(2*B1^2-B1)/(3*B1^2+1) |
| f(x) の値（B2 の x） | =(2*B2^2-B2)/(3*B2^2+1) |
| f(x) の値（B3 の x） | =(2*B3^2-B3)/(3*B3^2+1) |
「数列の極限 n → ∞」を観察する表（aₙ = (3n+1)/(n+2)）
| n の値（大きくしていく） | 10 |
| n の値（もっと大きく） | 100 |
| n の値（さらに大きく） | 10000 |
| aₙ の値（B1 の n） | =(3*B1+1)/(B1+2) |
| aₙ の値（B2 の n） | =(3*B2+1)/(B2+2) |
| aₙ の値（B3 の n） | =(3*B3+1)/(B3+2) |
Excelには極限そのものを求める関数はないので、x や n をどんどん近づけて「どの値に近づいていくか」を観察する表です。
1つ目の表では f(x) の値が 4.1 → 4.01 → 4.001 と、2つ目の表では 3.9 → 3.99 → 3.999 と変わり、右から近づけても左から近づけても 4 に近づくことが確認できます。
3つ目の表は約 0.631 → 0.663 → 0.6666 と 2/3 に、4つ目の表は約 2.58 → 2.95 → 2.9995 と 3 に近づきます。
「^」はべき乗、「*」は掛け算の記号です。x の値や式を書き換えて、いろいろな極限を観察してみてください。
1つ目の表では f(x) の値が 4.1 → 4.01 → 4.001 と、2つ目の表では 3.9 → 3.99 → 3.999 と変わり、右から近づけても左から近づけても 4 に近づくことが確認できます。
3つ目の表は約 0.631 → 0.663 → 0.6666 と 2/3 に、4つ目の表は約 2.58 → 2.95 → 2.9995 と 3 に近づきます。
「^」はべき乗、「*」は掛け算の記号です。x の値や式を書き換えて、いろいろな極限を観察してみてください。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「x → 2 に右から近づける」を観察する表（f(x) = (x²−4)/(x−2)）
| x の値（2 に右から近づける） | 2.1 |
| x の値（さらに近く） | 2.01 |
| x の値（もっと近く） | 2.001 |
| f(x) の値（B1 の x） | =(B1^2-4)/(B1-2) |
| f(x) の値（B2 の x） | =(B2^2-4)/(B2-2) |
| f(x) の値（B3 の x） | =(B3^2-4)/(B3-2) |
「x → 2 に左から近づける」を観察する表（f(x) = (x²−4)/(x−2)）
| x の値（2 に左から近づける） | 1.9 |
| x の値（さらに近く） | 1.99 |
| x の値（もっと近く） | 1.999 |
| f(x) の値（B1 の x） | =(B1^2-4)/(B1-2) |
| f(x) の値（B2 の x） | =(B2^2-4)/(B2-2) |
| f(x) の値（B3 の x） | =(B3^2-4)/(B3-2) |
「x → ∞」を観察する表（f(x) = (2x²−x)/(3x²+1)）
| x の値（大きくしていく） | 10 |
| x の値（もっと大きく） | 100 |
| x の値（さらに大きく） | 10000 |
| f(x) の値（B1 の x） | =(2*B1^2-B1)/(3*B1^2+1) |
| f(x) の値（B2 の x） | =(2*B2^2-B2)/(3*B2^2+1) |
| f(x) の値（B3 の x） | =(2*B3^2-B3)/(3*B3^2+1) |
「数列の極限 n → ∞」を観察する表（aₙ = (3n+1)/(n+2)）
| n の値（大きくしていく） | 10 |
| n の値（もっと大きく） | 100 |
| n の値（さらに大きく） | 10000 |
| aₙ の値（B1 の n） | =(3*B1+1)/(B1+2) |
| aₙ の値（B2 の n） | =(3*B2+1)/(B2+2) |
| aₙ の値（B3 の n） | =(3*B3+1)/(B3+2) |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、x や n の値を書き換えて観察してください。
Pythonで計算する方法
from sympy import symbols, limit, oo
x = symbols('x')
# 例1：0/0 の不定形（約分すると x + 2 になり、極限は 4）
print(limit((x**2 - 4) / (x - 2), x, 2))
# 例2：x → ∞（分子・分母とも2次なので、最高次の係数の比 2/3）
print(limit((2*x**2 - x) / (3*x**2 + 1), x, oo))
# 例3：x → −∞（分子の次数が高いので発散。答えは -oo と表示される）
print(limit((x**3 + 1) / (x**2 + 1), x, -oo))
# 例4：右極限・左極限（第4引数に '+'・'-' を渡す。一致しないので極限なし）
print(limit(1 / (x - 1), x, 1, '+'))
print(limit(1 / (x - 1), x, 1, '-'))
数式処理ライブラリ sympy（コマンド「pip install sympy」でインストール）の limit 関数を使うと、極限を厳密に計算できます。oo は ∞ を表す sympy の記号です。実行すると上から順に 4、2/3、-oo、oo、-oo が表示されます。式や近づける値を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
関数の極限（lim の意味）
lim[x→a] f(x) = α
\lim_{x \to a} f(x) = \alpha
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munder><mo>lim</mo><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mi>a</mi></mrow></munder>
<mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>α</mi>
</mrow>
</math>
lim_(x->a) f(x) = alpha
Limit[f[x], x -> a]
limit(f(x), x = a);
limit(f, x, a)
lim_(x→a) f(x) = α
\(\dfrac{0}{0}\) の不定形は約分してから代入
lim[x→a] ((x−a)g(x))/((x−a)h(x)) = lim[x→a] g(x)/h(x) = g(a)/h(a)
\lim_{x \to a} \frac{(x-a)\,g(x)}{(x-a)\,h(x)} = \lim_{x \to a} \frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g(a)}{h(a)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munder><mo>lim</mo><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mi>a</mi></mrow></munder>
<mfrac>
<mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>)</mo><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<munder><mo>lim</mo><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mi>a</mi></mrow></munder>
<mfrac>
<mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>g</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>h</mi><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lim_(x->a) ((x-a)g(x))/((x-a)h(x)) = lim_(x->a) g(x)/h(x) = g(a)/h(a)
Limit[((x - a) g[x])/((x - a) h[x]), x -> a]
limit(((x - a)*g(x))/((x - a)*h(x)), x = a);
limit(((x - a)*g)/((x - a)*h), x, a)
lim_(x→a) ((x−a)g(x))/((x−a)h(x)) = lim_(x→a) g(x)/h(x) = g(a)/h(a)
\(x \to \infty\) の極限は最高次の項で決まる
lim[x→∞] (pxᵐ + …)/(qxⁿ + …) = lim[x→∞] pxᵐ/qxⁿ
\lim_{x \to \infty} \frac{p x^{m} + \cdots}{q x^{n} + \cdots} = \lim_{x \to \infty} \frac{p x^{m}}{q x^{n}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<munder><mo>lim</mo><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mrow></munder>
<mfrac>
<mrow><mi>p</mi><msup><mi>x</mi><mi>m</mi></msup><mo>+</mo><mo>⋯</mo></mrow>
<mrow><mi>q</mi><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup><mo>+</mo><mo>⋯</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<munder><mo>lim</mo><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mi>∞</mi></mrow></munder>
<mfrac>
<mrow><mi>p</mi><msup><mi>x</mi><mi>m</mi></msup></mrow>
<mrow><mi>q</mi><msup><mi>x</mi><mi>n</mi></msup></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lim_(x->oo) (px^m + cdots)/(qx^n + cdots) = lim_(x->oo) (px^m)/(qx^n)
Limit[(p x^m)/(q x^n), x -> Infinity]
limit((p*x^m)/(q*x^n), x = infinity);
limit((p*x^m)/(q*x^n), x, Inf)
lim_(x→∞) (px^m + …)/(qx^n + …) = lim_(x→∞) px^m/qx^n
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（極限）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonの数式処理ライブラリ sympy を実際に実行して行い、実行結果だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 次の2つの極限を計算してください。 1. lim[x→2] (x² − 4)/(x − 2) 2. lim[x→∞] (2x² − x)/(3x² + 1) それぞれについて、次の内容を示してください。 (a) そのまま代入すると 0/0 の不定形になるかどうかの判定 (b) 因数分解・約分など、途中の式変形（sympy の factor や cancel を使ってよい） (c) 極限の値（約分済みの分数で） 計算に使ったPythonコードと実行結果をそのまま示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
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専門知識不要、直感的で簡単な操作
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関連機能
導関数計算機（多項式の微分・微分係数・増減表・極値）
多項式を微分した導関数 f'(x)・接線の傾き・増減表と極値を、途中式とグラフ付きで計算します
導関数計算機（sin・cos・tan・eˣ・log・xⁿの微分公式）
三角関数・指数関数・対数関数・べき関数の導関数と微分係数を、微分公式と途中式付きで計算します
等比数列計算機（第n項・和・無限等比級数）
等比数列の第n項・初項から第n項までの和・無限等比級数の和を途中式付きで計算します
