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次の極限を求めましょう。
\(\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{x-3}\)
解答：\(6\)
\(x = 3\) を代入すると分子は \(9 - 9 = 0\)、分母は \(3 - 3 = 0\) なので、\(\dfrac{0}{0}\) の不定形です。
分子を因数分解して、共通因数 \((x - 3)\) を約分します。
\(\dfrac{x^{2}-9}{x-3} = \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = x+3 \quad (x \neq 3)\)
約分した式に \(x = 3\) を代入します。
\(\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{x-3} = \lim_{x \to 3}\,(x+3) = 6\)
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次の極限を求めましょう。
\(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^{2}+x-2}{x-1}\)
解答：\(3\)
\(x = 1\) を代入すると分子は \(1 + 1 - 2 = 0\)、分母は \(0\) なので、\(\dfrac{0}{0}\) の不定形です。
分子を因数分解します。
掛けて \(-2\)・足して \(1\) になる2つの数は \(-1\) と \(2\) なので
\(x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2)\)
共通因数 \((x - 1)\) を約分して、\(x = 1\) を代入します。
\(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{x^{2}+x-2}{x-1} = \lim_{x \to 1}\,(x+2) = 3\)
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次の極限を求めましょう。
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x+1}{x+3}\)
解答：\(2\)
分母の最高次の項 \(x\) で分子・分母を割ります。
\(\dfrac{2x+1}{x+3} = \dfrac{2 + \dfrac{1}{x}}{1 + \dfrac{3}{x}}\)
\(x \to \infty\) のとき \(\dfrac{1}{x}\) と \(\dfrac{3}{x}\) は \(0\) に近づくので
\(\displaystyle\lim_{x \to \infty} \dfrac{2x+1}{x+3} = \dfrac{2+0}{1+0} = 2\)
分子・分母の次数が等しいので、最高次の係数の比 \(\dfrac{2}{1}\) になっています。
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次の数列の極限を求めましょう。
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{n+2}{2n+1}\)
解答：\(\dfrac{1}{2}\)
数列の極限も、関数の \(x \to \infty\) と同じ考え方で計算できます。
分母の最高次の項 \(n\) で分子・分母を割ります。
\(\dfrac{n+2}{2n+1} = \dfrac{1 + \dfrac{2}{n}}{2 + \dfrac{1}{n}}\)
\(n \to \infty\) のとき \(\dfrac{2}{n}\) と \(\dfrac{1}{n}\) は \(0\) に近づくので
\(\displaystyle\lim_{n \to \infty} \dfrac{n+2}{2n+1} = \dfrac{1+0}{2+0} = \dfrac{1}{2}\)
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次の極限を求めましょう。
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^{2}}\)
解答：\(\infty\)
\(x = 0\) を代入すると、分子は \(1\)（\(0\) ではない）、分母は \(0\) になります。
分母の \(x^{2}\) は、\(x\) が正でも負でも \(0\) に近い正の数です。
つまり右から近づけても左から近づけても \(\dfrac{1}{0に近い正の数}\) の形になり、値は限りなく大きくなります。
右極限と左極限がどちらも \(\infty\) で一致するので
\(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^{2}} = \infty\)
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次の極限を調べましょう。
\(\displaystyle\lim_{x \to 2} \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4}\)
解答：極限はない（右極限は \(\infty\)・左極限は \(-\infty\)）
\(x = 2\) を代入すると分子・分母とも \(0\) なので、\(\dfrac{0}{0}\) の不定形です。
分子・分母を因数分解して約分します。
\(\dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-4x+4} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^{2}} = \dfrac{x+2}{x-2} \quad (x \neq 2)\)
約分しても分母に \((x - 2)\) が残るので、左右の符号を調べます。
分子は \(4\) に近づきます。
右極限（\(x \to 2+0\)）では分母 \(x - 2\) は \(0\) に近い正の数なので
\(\dfrac{x+2}{x-2} \to \infty\)
左極限（\(x \to 2-0\)）では分母 \(x - 2\) は \(0\) に近い負の数なので
\(\dfrac{x+2}{x-2} \to -\infty\)
右極限と左極限が一致しないので、\(x \to 2\) の極限はありません。