接線・法線の方程式計算機（微分係数・曲線外の点からの接線に対応）

曲線 y = f(x) の次数・係数を入力し、「接点の x 座標を指定」か「曲線外の点から接線を引く」かを選んでください。下の数式は入力欄と連動していて、係数や接点の数字を直接書き換えても計算できます。

求め方

多項式の次数

x⁴の係数

x³の係数

x²の係数

xの係数

定数項

接点の x 座標 t

通る点の x 座標 p

通る点の y 座標 q

数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。x が付く項の係数の空欄は 1（x² は 1x² の意味）、定数項の空欄は 0 として扱います。使わない項には 0 を入力してください。

計算結果・グラフ

左の入力欄に係数と接点の x 座標を入れて「計算する」を押すと、ここに結果とグラフが表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式とグラフ
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

多項式の曲線 \(y = f(x)\)（1次〜4次）の、接点 \(x = t\) での接線の方程式 \(y = f'(t)(x - t) + f(t)\) と法線の方程式を、係数と \(t\) を入れるだけでその場で計算できます
数IIで頻出の「曲線外の点から引いた接線」にも対応。点 \(\mathrm{P}(p,\ q)\) の座標を入れると、引ける接線をすべて（接点・傾き付きで）求めます
答えは \(y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\) のような約分済みの分数（厳密値）で表示。接点・傾き（微分係数）と、教科書の答案と同じ流れの途中式も見られます
接線の傾きが \(0\) になる点では、法線が垂直な直線 \(x = t\) になるケースも正しく扱います
計算結果は曲線・接線・法線のグラフでも確認できます。式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

対象は多項式（整式）の曲線です。分数関数・三角関数・指数関数・対数関数などの接線には対応していません。

この計算は何の役に立つ？

瞬間の速度と「その先の動き」を読む（物理・スポーツ）

時間と位置のグラフの接線の傾きは、その瞬間の速度を表します。ハンマー投げで選手が手を離した瞬間、ハンマーは円運動の円の接線方向へまっすぐ飛び出します。「今の勢いのまま進んだらどこへ行くか」を教えてくれるのが接線です。
物理で「グラフの傾きを読む」場面の多くは、接線＝微分係数の考え方そのものです。

光の反射・レンズの設計は法線が主役（光学）

鏡やレンズの表面で光がどの向きに反射・屈折するかは、「面に垂直な線」＝法線を基準に決まります（入射角と反射角は法線から測ります）。曲面の鏡でも、各点の接線と法線がわかれば光の進み方を計算できます。
パラボラアンテナや自動車のヘッドライトの反射板の形は、この法線の計算を積み重ねて設計されています。

なめらかな曲線をつなぐ道路・線路・ジェットコースターの設計（土木・機械）

道路のカーブや線路、ジェットコースターのレールは、直線と曲線のつなぎ目で接線の向き（＝進行方向）が一致するように設計されます。接線がずれていると、つなぎ目でハンドルや車体が急に振られてしまうからです。
「つなぎ目で接線を揃える」は、なめらかさが求められる設計の基本ルールです。

CG・ゲームの陰影は法線ベクトルで決まる（コンピュータグラフィックス）

3DのCGで物体の表面が明るく見えるか暗く見えるかは、表面の各点の法線（面に垂直な向き）と光の向きの角度で計算されています（法線が光の方を向いている面ほど明るい）。
ゲームのリアルな質感表現に使われる「法線マッピング」という技術は、まさにこの法線の情報を細かく貼り付ける手法です。

曲線を直線で近づけて素早く計算する（数値計算・工学）

複雑な方程式の解をコンピュータで求める代表的な方法「ニュートン法」は、「曲線を接線で置き換えて、接線と \(x\) 軸の交点へ進む」ことを繰り返す方法です。接線は曲線のその点での一番良い直線の近似なので、少ない回数で正確な答えに近づけます。
電卓やコンピュータが平方根などを高速に計算できる背景には、この接線による近似があります。

式とグラフ

接線の方程式

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(y\) \(=\) \(f'(t)\) \(\times\) \((x - t)\) \(+\) \(f(t)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 接線上の点の \(y\) 座標 \(=\) ① 接線の傾き（微分係数） \(f'(t)\) \(\times\) ② 接点からの \(x\) の横のずれ \((x - t)\) \(+\) ③ 接点の高さ \(f(t)\)

式を日本語で読むと

① 接点の \(x\) 座標を \(t\) として、接線の傾き（微分係数） \(f'(t)\) に

② 接点からの \(x\) の横のずれ \((x - t)\) を掛け、

③ 接点の高さ \(f(t)\) を足すと

④ 接線上の点の \(y\) 座標になる

簡単な例

\(f(x) = x^{2}\) の \(x = 1\) での接線は（\(f'(x) = 2x\) なので傾きは \(f'(1) = 2\)、接点の高さは \(f(1) = 1\)）

接線上の点の \(y\) 座標 \(=\) 傾き \(2\) \(\times\) 横のずれ \((x - 1)\) \(+\) 接点の高さ \(1\)

\(y = 2(x - 1) + 1\)

\(y = 2x - 1\)

考え方のポイント

接線とは、曲線に「その点でぴったり寄り添う」直線のことです。曲線を接点の周りでどんどん拡大していくと、曲線はほとんどまっすぐに見えてきます。そのまっすぐに見えたときの直線が接線で、その傾きこそが微分係数 \(f'(t)\) です。「微分係数＝接線の傾き」——これがこのページ全体の合言葉です。式の形は「傾きと通る1点から直線の式を作る」おなじみの書き方そのものです。傾き \(m\) で点 \((t,\ y_1)\) を通る直線は \(y = m(x - t) + y_1\) と書けます（横に \(x - t\) ずれたら、縦は傾き×横のずれだけ変わる、という意味です）。接線はこの \(m\) に微分係数 \(f'(t)\) を、\(y_1\) に接点の高さ \(f(t)\) を入れただけです。教科書では移項した \(y - f(t) = f'(t)(x - t)\) の形で書かれることも多いですが、意味は同じです。

法線の方程式

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(y\) \(=\) \(-\dfrac{1}{f'(t)}\) \(\times\) \((x - t)\) \(+\) \(f(t)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 法線上の点の \(y\) 座標 \(=\) ① 法線の傾き \(-\dfrac{1}{f'(t)}\) \(\times\) ② 接点からの \(x\) の横のずれ \((x - t)\) \(+\) ③ 接点の高さ \(f(t)\)

式を日本語で読むと

① 接線の傾き \(f'(t)\) の「逆数にマイナスを付けた」法線の傾き \(-\dfrac{1}{f'(t)}\) に

② 接点からの \(x\) の横のずれ \((x - t)\) を掛け、

③ 接点の高さ \(f(t)\) を足すと

④ 法線上の点の \(y\) 座標になる

簡単な例

\(f(x) = x^{2}\) の \(x = 1\) での法線は（接線の傾きが \(2\) なので、法線の傾きは \(-\dfrac{1}{2}\)）

法線上の点の \(y\) 座標 \(=\) 傾き \(-\dfrac{1}{2}\) \(\times\) 横のずれ \((x - 1)\) \(+\) 接点の高さ \(1\)

\(y = -\dfrac{1}{2}(x - 1) + 1\)

\(y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\)

考え方のポイント

法線とは、接点を通って接線と垂直に交わる直線のことです。「2直線が垂直 ⇔ 傾きの積が \(-1\)」という数IIの決まりから、接線の傾きが \(f'(t)\) なら法線の傾きは \(-\dfrac{1}{f'(t)}\)（逆数にしてマイナスを付ける）になります。実際、\(f'(t) \times \left(-\dfrac{1}{f'(t)}\right) = -1\) です。注意が必要なのは接線の傾きが \(0\)（接線が水平）のときです。\(0\) では割れないのでこの式は使えず、法線は接点を通る垂直な直線 \(x = t\) になります（この計算機はこのケースも自動で判定します）。

曲線外の点から引いた接線

グラフ

数学表記（一般的な数式）

\(q\) \(=\) \(f'(t)\) \(\times\) \((p - t)\) \(+\) \(f(t)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ 点 \(\mathrm{P}\) の \(y\) 座標 \(q\) \(=\) ① 接線の傾き \(f'(t)\) \(\times\) ② 接点からの \(x\) の横のずれ \((p - t)\) \(+\) ③ 接点の高さ \(f(t)\)

式を日本語で読むと

① 接点の \(x\) 座標を \(t\) とおく。点 \(\mathrm{P}(p,\ q)\) が接線の上に乗っているなら、接線の傾き \(f'(t)\) に

② 接点からの \(x\) の横のずれ \((p - t)\) を掛けて

③ 接点の高さ \(f(t)\) を足したものが

④ 点 \(\mathrm{P}\) の \(y\) 座標 \(q\) に一致する。この方程式を \(t\) について解けば接点が見つかる

簡単な例

点 \(\mathrm{P}(1,\ 0)\) から \(f(x) = x^{2}\) に引いた接線は（\(f'(t) = 2t\)、\(f(t) = t^{2}\)）

\(\mathrm{P}\) の \(y\) 座標 \(0\) \(=\) 傾き \(2t\) \(\times\) 横のずれ \((1 - t)\) \(+\) 接点の高さ \(t^{2}\)

\(0 = 2t(1 - t) + t^{2}\)

\(t^{2} - 2t = 0\)

\(t(t - 2) = 0\)

\(t = 0,\ 2\)

考え方のポイント

「点 \(\mathrm{P}(1,\ 0)\) から曲線に引いた接線を求めよ」という問題では、\(\mathrm{P}\) は曲線の上にないので、どこで接するのかが最初はわかりません。そこで、わからない接点の \(x\) 座標を文字 \(t\) でおくのがコツです。接点さえ \(t\) とおけば、接線は上の公式で \(y = f'(t)(x - t) + f(t)\) と書けます。この接線が \(\mathrm{P}\) を通る——つまり \(x = p,\ y = q\) を代入した等式が成り立つ——という条件から \(t\) の方程式ができ、それを解けば接点がすべて求まります。解が2つあれば接線は2本、1つなら1本、実数解がなければその点から接線は引けません。上の例では \(t = 0\) と \(t = 2\) が出るので、接線は \(y = 0\)（\(x\) 軸）と \(y = 4x - 4\) の2本です。

曲線 \(y = f(x)\) の \(x = t\) での接線は \(y = f'(t)(x - t) + f(t)\)、法線は傾きを「逆数にしてマイナス」に変えた \(y = -\dfrac{1}{f'(t)}(x - t) + f(t)\) で求められます（微分係数 \(f'(t)\) ＝接線の傾き）。曲線外の点から引く接線は、接点を \(t\) とおいて「接線が点を通る」条件の方程式を解きます。

用語・記号の解説

記号

\(f(x)\)	エフエックス	曲線を表す関数。\(f\) は function（関数）の頭文字です。このページでは \(f(x) = x^2 - 2x\) のような多項式です。
\(f'(x)\)	エフダッシュエックスエフプライムエックス	\(f(x)\) の導関数。曲線上の各点での「接線の傾き」を教えてくれる関数です。ダッシュ（\(' \)）は「微分した」という印です。
\(f'(t)\)	エフダッシュティー	\(x = t\) での微分係数。導関数 \(f'(x)\) に \(x = t\) を代入した値で、接点 \(x = t\) での接線の傾きそのものです。
\(t\)	ティー	接点の \(x\) 座標を表す文字。接する点を英語で tangent point ということから \(t\) がよく使われます。曲線外の点から接線を引く問題では、「まだわからない接点」をこの文字でおくのが定石です。
\(\left(t,\ f(t)\right)\)	ティー、エフティー	接点の座標。\(x\) 座標が \(t\)、\(y\) 座標がそのときの曲線の高さ \(f(t)\) です。接線も法線も、必ずこの点を通ります。
\(\mathrm{P}(p,\ q)\)	ピー（ピー、キュー）	接線が通る、曲線の外の点。\(\mathrm{P}\) は point（点）の頭文字で、座標を表す小文字にも point の \(p\) と、その次の文字 \(q\) を使う慣例です。
\(y = mx + n\)	ワイイコールエムエックスプラスエヌ	直線の式（1次関数）の形。\(m\) が傾き、\(n\) が切片（\(y\) 軸と交わる高さ）です。傾きに \(m\) を使う理由には諸説あり、はっきりした由来はわかっていません。
\(x = t\)	エックスイコールティー	\(x\) 座標が \(t\) の点を集めた「垂直な直線」の式。接線が水平（傾き \(0\)）のとき、法線はこの形になります。傾きという考え方が使えない、唯一の向きの直線です。

用語

接線	せっせん	曲線に、ある点で「ぴったり寄り添う」直線。接点の周りで曲線を拡大していくと曲線とほとんど重なって見える直線で、その傾きは微分係数 \(f'(t)\) に一致します。
接点	せってん	曲線と接線が接する点。このページでは \(\left(t,\ f(t)\right)\) と表します。接線・法線はどちらも必ず接点を通ります。
法線	ほうせん	接点を通り、接線と垂直に交わる直線。「法」は「垂直」を意味する数学用語（法線ベクトルの「法」と同じ）です。光の反射の法則など、物理でも大活躍します。
微分係数	びぶんけいすう	\(x = t\) での関数の「変化の速さ」を表す値 \(f'(t)\) のこと。グラフでは \(x = t\) での接線の傾きに一致します。導関数 \(f'(x)\) に \(t\) を代入すれば求められます。
導関数	どうかんすう	各点での微分係数（接線の傾き）を教えてくれる関数 \(f'(x)\) のこと。\(f(x)\) から「導かれた」関数という意味です。多項式は公式 \((x^n)' = nx^{n-1}\) で微分できます。
微分	びぶん	関数から導関数を求める計算。グラフの各点での接線の傾き（変化の割合の極限）を調べる操作で、高校では数学IIで学びます。
傾き	かたむき	直線が「横に1進むと縦にいくつ変わるか」を表す数。プラスなら右上がり、マイナスなら右下がり、\(0\) なら水平です。接線の傾き＝微分係数が、このページの主役です。
直線の方程式（傾きと通る1点）	ちょくせんのほうていしき	傾き \(m\) で点 \((x_1,\ y_1)\) を通る直線は \(y = m(x - x_1) + y_1\) と書けます（数IIの「図形と方程式」で学ぶ形）。接線の公式は、この形に傾き \(f'(t)\) と接点 \(\left(t,\ f(t)\right)\) を入れたものです。
垂直条件	すいちょくじょうけん	2直線が垂直に交わるための条件「傾きの積が \(-1\)」のこと。片方の傾きが \(m\) なら、もう片方は \(-\dfrac{1}{m}\)（逆数にしてマイナス）です。法線の傾きはこの条件から決まります。
逆数	ぎゃくすう	掛けると \(1\) になる数。\(2\) の逆数は \(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{3}{4}\) の逆数は \(\dfrac{4}{3}\) です（分子と分母をひっくり返す）。ただし \(0\) に逆数はありません（接線の傾きが \(0\) のとき法線の式が変わるのはこのためです）。
多項式	たこうしき	\(2x^3 - x + 5\) のように、\(x\) のべき乗に係数を掛けた項を足し合わせた式。整式とも呼びます。この計算機が接線を求められるのは多項式の曲線です。
係数	けいすう	文字の前に付いている数。\(3x^2\) の \(3\) が係数です。\(x^2\) のように数が書かれていない項の係数は \(1\) と考えます。
次数	じすう	式に出てくる \(x\) のべき乗のうち、最も高い指数のこと。\(x^3 - 3x\) は \(x^3\) が最高なので「3次式」です。この計算機では最初に次数を選びます。
定数項	ていすうこう	\(x^2 + 3x + 5\) の \(5\) のように、\(x\) を含まない「数字だけの項」。\(x\) がどんな値でも変わらない（一定＝定数）ことからこう呼ばれます。
切片	せっぺん	直線が \(y\) 軸と交わる点の高さ。\(y = 2x - 1\) なら切片は \(-1\) です。「\(y\) 切片」とも呼びます。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

1次関数と直線の式（中学2年）	直線の式 \(y = mx + n\) の \(m\) が傾き（横に1進むと縦に \(m\) 変わる）、\(n\) が切片だとわかること傾きと通る1点がわかれば直線が1本に決まる、という感覚があること
関数とグラフ（中学1〜3年）	関数が「数を入れると、決まったルールで数が1つ返ってくる機械」だとイメージできること（例：\(f(x) = x^2\) という機械に 3 を入れると \(f(3) = 9\) が出てくる） \(y = f(x)\) のグラフが、「入れた数 \(x\)」と「出てきた数 \(y\)」の組を、座標の点として並べた図だとわかること
2直線の垂直条件（高校数学II・図形と方程式）	2直線が垂直 ⇔ 傾きの積が \(-1\) を知っていること（例：傾き \(2\) と傾き \(-\dfrac{1}{2}\) の直線は垂直）逆数（分子と分母をひっくり返した数）の計算ができること
多項式と係数（中学2年〜高校数学I）	\(x^3 - 3x\) のような式が、項（\(x^3\)・\(-3x\)）という部品の足し算・引き算でできているとわかること係数（文字の前の数。\(-3x\) なら \(-3\)）と次数（最も高い指数。この式なら3次）を読み取れること
微分（高校数学II）	微分係数 \(f'(t)\) が「\(x = t\) でのグラフの接線の傾き」を表すとわかること \(x^n\) を微分すると \(nx^{n-1}\) になること（例：\(x^3\) の微分は \(3x^2\)）導関数 \(f'(x)\) に値を代入すれば、その点の微分係数が求められること
方程式を解く（中学3年〜高校数学I）	\(t^2 - 2t = 0\) のような2次方程式を、因数分解で解けること解の個数が答え（接線の本数）に対応する、という考え方に慣れていること
分数の計算（小学5年〜中学1年）	約分と、分母が違う分数の足し算・引き算（通分）ができること答えを分数のまま扱うことに慣れていること（\(\dfrac{3}{2}\) を 1.5 と直せること）

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「接線の方程式（多項式は4次まで）」を求める表

接点の x 座標 t	1
x⁴の係数 c4	0
x³の係数 c3	0
x²の係数 c2	1
xの係数 c1	0
定数項 c0	0
接点の高さ f(t)	=B2B1^4+B3B1^3+B4B1^2+B5B1+B6
接線の傾き f'(t)	=4B2B1^3+3B3B1^2+2B4B1+B5
接線の切片 f(t)−f'(t)×t	=B7-B8*B1

「法線の方程式」を求める表（接線の表の続きに貼る場合はセル番地を読み替え）

接線の傾き f'(t)	2
接点の x 座標 t	1
接点の高さ f(t)	1
法線の傾き −1/f'(t)	=-1/B1
法線の切片 f(t)+t/f'(t)	=B3+B2/B1

貼り付けると、上の行（接点・係数）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
「^」はべき乗の記号です。接線の傾き f'(t) は、各項を微分公式で微分した 4c₄t³ + 3c₃t² + 2c₂t + c₁ に t を代入して求めています。
1つ目の表は f(x) = x² の x = 1 での接線の例で、傾きが 2、切片が −1、つまり接線は y = 2x − 1 になります。使わない項の係数には 0 を入れてください。
2つ目の表は法線用で、例の答えは傾き −0.5・切片 1.5（y = −0.5x + 1.5）です。接線の傾きが 0 のときは −1/f'(t) が割り算エラー（#DIV/0!）になりますが、これは法線が垂直な直線 x = t になるケースです。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「接線の方程式（多項式は4次まで）」を求める表

接点の x 座標 t	1
x⁴の係数 c4	0
x³の係数 c3	0
x²の係数 c2	1
xの係数 c1	0
定数項 c0	0
接点の高さ f(t)	=B2B1^4+B3B1^3+B4B1^2+B5B1+B6
接線の傾き f'(t)	=4B2B1^3+3B3B1^2+2B4B1+B5
接線の切片 f(t)−f'(t)×t	=B7-B8*B1

「法線の方程式」を求める表（接線の表の続きに貼る場合はセル番地を読み替え）

接線の傾き f'(t)	2
接点の x 座標 t	1
接点の高さ f(t)	1
法線の傾き −1/f'(t)	=-1/B1
法線の切片 f(t)+t/f'(t)	=B3+B2/B1

Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、係数と接点を自分の数値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

from fractions import Fraction

# 接点の x 座標（3/4 のような分数は Fraction(3, 4) と書ける）
touch_x = Fraction(1)

# f(x) の係数を低い次数から並べる [c0, c1, c2, ...]
# 例：f(x) = x² − 2x → 定数項0, xの係数−2, x²の係数1
coefficients = [Fraction(0), Fraction(-2), Fraction(1)]

def f(x):
    # f(x) の値（接点の高さ用）
    return sum(c * x ** k for k, c in enumerate(coefficients))

def f_dash(x):
    # f'(x) の値（各項の微分 k×cₖ×x^(k−1) の合計）
    return sum(k * c * x ** (k - 1) for k, c in enumerate(coefficients) if k >= 1)

slope = f_dash(touch_x)              # 接線の傾き（微分係数）
height = f(touch_x)                  # 接点の高さ f(t)
intercept = height - slope * touch_x  # 接線の切片

print(f"接点: ({touch_x}, {height})")
print(f"接線: y = {slope}x + ({intercept})")
if slope == 0:
    print(f"法線: x = {touch_x}（接線が水平なので法線は垂直な直線）")
else:
    normal_slope = Fraction(-1) / slope
    normal_intercept = height - normal_slope * touch_x
    print(f"法線: y = {normal_slope}x + ({normal_intercept})")

標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、小数の丸め誤差なしの厳密な分数のまま計算できます。この例は f(x) = x² − 2x の x = 1 での接線・法線を求めるもので、実行すると接線「y = 0x + (-1)」（つまり y = −1）と、法線「x = 1」が表示されます。係数と接点を書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

接線の方程式

y = f'(t)(x − t) + f(t)

y = f'(t)(x - t) + f(t)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi><mo>=</mo>
    <msup><mi>f</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
    <mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>f</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

y = f'(t)(x - t) + f(t)

y == (D[f[x], x] /. x -> t) (x - t) + f[t]

y = D(f)(t)*(x - t) + f(t);

tangent = subs(diff(f, x), x, t)*(x - t) + subs(f, x, t);

y = f'(t)(x − t) + f(t)

法線の方程式

y = −(1/f'(t))(x − t) + f(t)

y = -\frac{1}{f'(t)}(x - t) + f(t)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi><mo>=</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mfrac>
      <mn>1</mn>
      <mrow><msup><mi>f</mi><mo>&#x2032;</mo></msup><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>(</mo><mi>x</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>f</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

y = -(1/(f'(t)))(x - t) + f(t)

y == -(1/(D[f[x], x] /. x -> t)) (x - t) + f[t]

y = -(1/D(f)(t))*(x - t) + f(t);

normal = -(1/subs(diff(f, x), x, t))*(x - t) + subs(f, x, t);

y = −(1/f'(t))(x − t) + f(t)

曲線外の点から引いた接線

q = f'(t)(p − t) + f(t)

q = f'(t)(p - t) + f(t)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>q</mi><mo>=</mo>
    <msup><mi>f</mi><mo>&#x2032;</mo></msup>
    <mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
    <mo>(</mo><mi>p</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>f</mi><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

q = f'(t)(p - t) + f(t)

Solve[(D[f[x], x] /. x -> t) (p - t) + f[t] == q, t]

solve(D(f)(t)*(p - t) + f(t) = q, t);

contacts = solve(subs(diff(f, x), x, t)*(p - t) + subs(f, x, t) == q, t);

q = f'(t)(p − t) + f(t)

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは数学（微分）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

曲線 y = x³ − 3x の x = 2 における接線と法線の方程式を求めてください。
次の内容をそれぞれ示してください。
1. 導関数 f'(x)
2. 接点の座標と接線の傾き f'(2)（約分済みの分数または整数で）
3. 接線の方程式（y = mx + n の形）
4. 法線の方程式（y = mx + n の形。接線の傾きが 0 の場合は x = t の形）

Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。