行列のサイズ（2×2〜4×4）を選び、グリッドに成分を入力してください。行列式は正方行列（行数＝列数）でだけ定義される値です。
成分は半角の数値（小数・マイナスも可）で入力してください。
計算結果
左で行列のサイズを選び、成分を入れて「計算する」を押すと、ここに行列式の値と途中式が表示されます。
このページでできること
- 2×2・3×3・4×4の正方行列の行列式 \(\det(A)\) がその場で計算できます
- 2×2は「\(ad - bc\)」、3×3はサラスの方法、4×4は余因子展開と、教科書通りの解き方の途中式つきです
- \(\det(A) \neq 0\) なら逆行列が存在する（正則）という判定もあわせて表示します
- 式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート（MDETERM）/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています
行列式が定義できるのは正方行列（行数＝列数の行列）だけです。行列の足し算・掛け算・転置などは姉妹ページ「行列の計算」で扱っています。
この計算は何の役に立つ？
連立方程式が「ちゃんと解けるか」の判定（クラメルの公式）
未知数と式の数が同じ連立一次方程式は、係数を並べた正方行列の行列式が0でなければ「解がただ1組に決まる」ことがわかります。逆に行列式が0だと、解がなかったり無数にあったりします。
さらにクラメルの公式を使うと、解そのものを行列式の割り算だけで書き表せます。構造計算や電気回路の解析など、連立方程式を大量に解く工学計算の理論的な土台になっています。
図形の面積・体積が「何倍になるか」を表す（線形変換の拡大率）
平面の図形を2×2行列で変形（回転・拡大縮小・斜めのゆがみ）すると、面積はちょうど \(|\det(A)|\) 倍になります。空間の図形と3×3行列なら体積が \(|\det(A)|\) 倍です。
この「拡大率」としての行列式は、大学の微分積分で積分の変数変換をするときの補正係数（ヤコビアン）としても登場し、理系の計算のあちこちで使われています。
3DCG・ゲームで図形の「裏返り」を見分ける
3DCGソフトやゲームエンジンでは、モデルの変形を行列で計算します。このとき変換行列の行列式の符号がマイナスだと「鏡に映したように裏返る」変換で、面の表裏（法線の向き）が逆転してしまいます。
そのためCGの内部処理では、行列式の符号を見て裏返りを検出し、描画がおかしくならないように補正しています。
座標から面積を求める（測量・地図の計算）
頂点の座標がわかっている三角形の面積は、座標を並べた行列式（の絶対値の半分）で求められます。多角形に広げたものは「靴ひも公式」と呼ばれ、測量や地図ソフト（GIS）で土地の面積を計算する定番の方法です。
「座標を入れるだけで面積が出る」仕組みの正体が、まさに行列式です。
固有値の計算の入口（振動解析・データ分析）
建物や機械が「どんな揺れ方をしやすいか」を調べる振動解析や、たくさんのデータから主要な傾向を取り出す主成分分析では、行列の固有値という値を使います。
その固有値は「\(\det(A - \lambda I) = 0\) となる \(\lambda\) を探す」という方程式（特性方程式）から求まります。行列式は、固有値というより進んだ道具への入口にもなっています。
式
2×2の行列式（ad − bc）
数学表記
（一般的な数式）
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\)
\(=\)
\(ad\)
\(-\)
\(bc\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
2×2の行列式 \(\det(A)\)
\(=\)
①
左上×右下の積 \(ad\)
\(-\)
②
右上×左下の積 \(bc\)
式を日本語で読むと
①
左上×右下の積 \(ad\)
から
②
右上×左下の積 \(bc\)
を引くと
③
2×2の行列式 \(\det(A)\)
になる
簡単な例
成分が \(\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) の行列の行列式は
行列式 \(\det(A)\)
\(=\)
左上×右下（\(4 \times 6\)）
\(-\)
右上×左下（\(7 \times 2\)）
\(\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10\)
考え方のポイント
左上から右下へのたすき（対角線）が「＋」、右上から左下へのたすきが「−」です。2本のたすきを掛けて引くだけなので、「たすき掛け」と呼ばれる覚え方が定番です。
行列式は \(\det(A)\) のほかに \(|A|\) とも書きます（絶対値の記号と同じ形ですが、別の意味です）。\(\det(A) = 0\) になる行列は「正則ではない」といい、逆行列が存在しません。
3×3の行列式（サラスの方法）
数学表記
（一般的な数式）
\(\det(A)\)
\(=\)
\(aei + bfg + cdh\)
\(-\)
\((ceg + afh + bdi)\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
3×3の行列式 \(\det(A)\)
\(=\)
①
右下がりのたすき3本の積の和
\(-\)
②
右上がりのたすき3本の積の和
式を日本語で読むと
①
成分を \(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\) と置くと、
右下がりのたすき3本の積の和（\(aei + bfg + cdh\)）
から
②
右上がりのたすき3本の積の和（\(ceg + afh + bdi\)）
を引くと
③
3×3の行列式 \(\det(A)\)
になる
簡単な例
成分が \(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) の行列式は
\(1 \times 3 \times 1 + 0 \times 1 \times 1 + 2 \times (-1) \times 1 = 3 + 0 - 2 = 1\)
\(2 \times 3 \times 1 + 1 \times 1 \times 1 + 0 \times (-1) \times 1 = 6 + 1 + 0 = 7\)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 7 = -6\)
考え方のポイント
サラスの方法（サラスの規則）は、行列の右どなりに1列目と2列目をもう一度書き足すと使いやすくなります。左上から右下へ向かう対角線が3本（\(aei\)・\(bfg\)・\(cdh\)＝どれも「＋」）、右上から左下へ向かう対角線が3本（\(ceg\)・\(afh\)・\(bdi\)＝どれも「−」）、あわせて6本のたすき掛けです。
ただしサラスの方法が使えるのは3×3まで（2×2の \(ad-bc\) も同じ「たすき掛け」の考え方です）。4×4以上では使えないので、次の余因子展開を使います。
余因子展開（4×4以上でも使える一般の方法）
数学表記
（一般的な数式）
\(\det(A)\)
\(=\)
\(\sum_{j=1}^{n}\)
\((-1)^{1+j}\)
\(a_{1j}\)
\(M_{1j}\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
⑤
\(n\)×\(n\) の行列式 \(\det(A)\)
\(=\)
④
\(j = 1\) から \(n\) まで足し合わせる
③
符号 \((-1)^{1+j}\)（＋−＋−…と交互）
①
1行目の \(j\) 列目の成分 \(a_{1j}\)
②
1行目と \(j\) 列目を取り除いた小行列式 \(M_{1j}\)
式を日本語で読むと
①
1行目の \(j\) 列目の成分 \(a_{1j}\)
に
②
1行目と \(j\) 列目を取り除いた小行列式 \(M_{1j}\)
を掛け
③
符号 \((-1)^{1+j}\)（＋−＋−…と交互）
をつけたものを
④
\(j = 1\) から \(n\) まで足し合わせる
と
⑤
\(n\)×\(n\) の行列式 \(\det(A)\)
になる
簡単な例
さきほどの3×3を1行目に沿って余因子展開すると（サラスの方法と同じ答えになります）
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
\(= 1 \times 2 - 0 \times (-2) + 2 \times (-4) = 2 - 0 - 8 = -6\)
考え方のポイント
余因子展開（ラプラス展開）は、大きい行列式を「1周り小さい行列式（小行列式）の組み合わせ」に分解する方法です。4×4なら3×3が4個に、その3×3はサラスの方法（またはさらに余因子展開）で計算できます。このページの計算機も、4×4はこの方法で途中式を表示します。
展開は1行目に限らず、どの行・どの列に沿って行っても同じ答えになります。0が多い行や列を選ぶと、その項が丸ごと消えて計算が楽になります。符号 \((-1)^{i+j}\) は、左上を「＋」としてチェス盤（市松模様）のように＋と−が交互に並びます。
行列式は「正方行列から決まる1つの数」です。2×2は \(ad - bc\)、3×3はサラスの方法、4×4以上は余因子展開で求められ、\(\det(A) \neq 0\) かどうかで「逆行列があるか（＝連立方程式がただ1組の解を持つか）」が判定できます。
用語・記号の解説
記号
| \(A\) | エー | 行列につける名前。行列はアルファベットの大文字で表すのが慣例です。 |
| \(\det(A),\ |A|\) | デット・エー エーの行列式 | 行列 \(A\) の行列式。\(|A|\) という縦棒の書き方もよく使われます（数の絶対値と同じ記号ですが、行列につけたときは行列式の意味です）。 |
| \(a_{ij}\) | エー・アイ・ジェー エーのアイジェー成分 | 行列 \(A\) の \(i\) 行 \(j\) 列の成分（上から \(i\) 行目・左から \(j\) 列目にある数）。右下の小さい文字（添え字）が「場所」を表します。 |
| \(M_{ij}\) | エム・アイ・ジェー | 小行列式。行列 \(A\) から \(i\) 行目と \(j\) 列目を取り除いてできる、1周り小さい行列の行列式です。 |
| \((-1)^{i+j}\) | マイナス1の（アイ＋ジェー）乗 | 余因子展開でつける符号。\(i+j\) が偶数なら \(+1\)、奇数なら \(-1\) で、左上を「＋」としてチェス盤のように＋−が交互に並びます。 |
| \(\sum\) | シグマ | 「足し合わせる」ことを表す記号。\(\sum_{j=1}^{n}\) は「\(j\) を1から \(n\) まで変えながら全部足す」という意味です。 |
用語
| 行列式 | ぎょうれつしき | 正方行列から決まる1つの数。行列がどんな性質を持つか（逆行列があるか、変換で面積・体積が何倍になるか等）をぎゅっと1つの数にまとめた「行列の指標」です。 |
| 正方行列 | せいほうぎょうれつ | 行数と列数が同じ（正方形の形をした）行列。行列式や逆行列は正方行列でだけ考えます。 |
| サラスの方法 | サラスのほうほう | 3×3の行列式を、6本のたすき（対角線）の積の足し引きで求める方法。「サラスの規則」「サラスの公式」「たすき掛け」とも呼ばれます。フランスの数学者サラス（Sarrus）にちなむ名前で、3×3まででしか使えません。 |
| 余因子展開 | よいんしてんかい | 行列式を「成分×小行列式×符号」の和に分解して、1周り小さい行列式の計算に落とす方法。ラプラス展開とも呼ばれ、4×4以上の行列式もこれで計算できます。 |
| 小行列式 | しょうぎょうれつしき | 行列から特定の行と列を取り除いてできる小さい行列の行列式。余因子展開の部品になります。 |
| 余因子 | よいんし | 小行列式 \(M_{ij}\) に符号 \((-1)^{i+j}\) を掛けたもの。「余因子展開」の名前は、この余因子の和に展開することに由来します。 |
| 正則行列 | せいそくぎょうれつ | 行列式が0でない正方行列。正則な行列には逆行列が存在します。行列式が0の行列は特異行列（とくいぎょうれつ）と呼ばれ、逆行列がありません。 |
| 逆行列 | ぎゃくぎょうれつ | 掛けると単位行列（対角線が1で残りが0の行列）になる相手の行列。数の「逆数」の行列版で、\(A^{-1}\) と書きます。行列式が0でないときだけ存在します。 |
| 線形代数 | せんけいだいすう | 行列やベクトルを扱う数学の分野。大学初年次の必修科目として学ぶことが多く、CG・統計・AIなど応用の土台になっています。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
| 正負の数の四則計算（中学1年） |
|
| 文字式と添え字（中学1年〜高校） |
|
| 累乗と符号（中学1年） |
|
| 行列の基礎（大学初年次の線形代数） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「2×2の行列式」を求める表
| 行列Aの1行目 | 4 | 7 |
| 行列Aの2行目 | 2 | 6 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:C2) |
「3×3の行列式」を求める表
| 行列Aの1行目 | 1 | 0 | 2 |
| 行列Aの2行目 | -1 | 3 | 1 |
| 行列Aの3行目 | 1 | 1 | 1 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:D3) |
「4×4の行列式」を求める表
| 行列Aの1行目 | 1 | 2 | 0 | 1 |
| 行列Aの2行目 | 0 | 1 | 3 | 2 |
| 行列Aの3行目 | 2 | 0 | 1 | 1 |
| 行列Aの4行目 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:E4) |
行列式はMDETERM関数1つで求められます。正方行列の範囲（1つ目の表ならB1:C2）を渡すだけで、答えは1つのセルに入ります。
1つ目の表は 10、2つ目の表は -6、3つ目の表は 18 になります。
MDETERMの結果が0のとき、その行列に逆行列はありません（逆行列を求めるMINVERSE関数はエラーになります）。
1つ目の表は 10、2つ目の表は -6、3つ目の表は 18 になります。
MDETERMの結果が0のとき、その行列に逆行列はありません（逆行列を求めるMINVERSE関数はエラーになります）。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「2×2の行列式」を求める表
| 行列Aの1行目 | 4 | 7 |
| 行列Aの2行目 | 2 | 6 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:C2) |
「3×3の行列式」を求める表
| 行列Aの1行目 | 1 | 0 | 2 |
| 行列Aの2行目 | -1 | 3 | 1 |
| 行列Aの3行目 | 1 | 1 | 1 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:D3) |
ExcelのMDETERMと同じ関数がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付けてください。
1つ目の表は 10、2つ目の表は -6 になります。
1つ目の表は 10、2つ目の表は -6 になります。
Pythonで計算する方法
A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]]
def determinant(matrix): # 余因子展開（1行目に沿って再帰的に計算する）
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # 1行目とj列目を取り除いた小行列
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
print("det(A) =", determinant(A))
標準ライブラリだけで動きます。先頭のAを自分の行列（正方行列なら4×4以上でも可）に書き換えて実行してください。この例では det(A) = -6 になります。本格的な数値計算では、行列専用のライブラリNumPy（numpy.linalg.det(A)）を使うのが定番です。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
2×2の行列式（ad − bc）
|A| = ad − bc
\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>d</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = |(a, b), (c, d)| = ad - bc
Det[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b], [c, d]]));
d = det(A);
det(A) = ad − bc
3×3の行列式（サラスの方法）
|A| = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>e</mi><mi>i</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mi>f</mi><mi>g</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi><mi>d</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi><mi>e</mi><mi>g</mi>
<mo>-</mo>
<mi>a</mi><mi>f</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>d</mi><mi>i</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Det[{{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]));
d = det(A);
det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
余因子展開（4×4以上でも使える一般の方法）
det(A) = Σ (−1)¹⁺ʲ a₁ⱼ M₁ⱼ (j = 1 〜 n)
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow>
</msup>
<msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
<msub><mi>M</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
det(A) = sum_(j=1)^(n) (-1)^(1+j) a_(1j) M_(1j)
Det[A]
LinearAlgebra:-Determinant(A);
d = det(A);
det(A) = ∑_(j=1)^n (−1)^(1+j) a_1j M_1j
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは行列計算のアシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 次の2つの正方行列について、それぞれ行列式 det を求めてください。 1. A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] それぞれ、行列式の値と、その行列が正則かどうか（行列式が0でないか＝逆行列が存在するか）を示してください。
計算ドリル（演習問題）
\(2 \times 2\) の行列式（\(\text{左上} \times \text{右下} - \text{右上} \times \text{左下}\)）を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
無料で回数無制限の変換
専門知識不要、直感的で簡単な操作
専門知識不要、直感的で簡単な操作
会員登録不要
アクセス直後に利用可能
個人情報を登録することなく使用できます
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安全・安心
通信を高度に暗号化
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
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高速
ストレスのない快適な表示速度・変換速度
透かしなし
ウォーターマークなし
クレジット表記不要
クレジット表記不要
商用利用可能
無料で商用利用可能
商用利用許諾の連絡も不要です
商用利用許諾の連絡も不要です
関連機能
行列の計算（足し算・引き算・掛け算・転置・べき乗）
行列そのものの計算はこちら。行・列・成分などの基礎もこのページで説明しています
逆行列の計算（2×2・3×3・4×4）
det(A) ≠ 0 のときだけ存在する逆行列 A⁻¹ を、存在判定・途中式つきで計算できます
三角形の面積
3辺の長さから三角形の面積を求めるページ。実は行列式を使うと、頂点の座標からも面積が求められます
二次方程式の解の公式
判別式 b²−4ac で解の様子を見分ける、「式の値で判定する」仲間のページです
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