請選擇矩陣的大小（2×2～4×4），在方格中輸入各元。行列式是只對方陣（列數＝行數）定義的值。
各元請輸入半形數字（小數、負數也可以）。
計算結果
在左側選擇矩陣大小，輸入各元後按下「計算」，行列式的值和計算過程就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 馬上算出 2×2、3×3、4×4 方陣的行列式 \(\det(A)\)
- 附上和教科書相同解法的計算過程：二階用「\(ad - bc\)」，三階用對角線法，四階用餘因子展開
- 同時顯示判斷結果：\(\det(A) \neq 0\) 時反方陣存在（可逆）
- 這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表（MDETERM）、Python 使用的公式
只有方陣（列數＝行數的矩陣）才能定義行列式。矩陣的加法、乘法、轉置等，請看姊妹頁面「矩陣計算機」。
這個計算有什麼用？
判斷聯立方程式是否「恰有一組解」（克拉瑪公式）
方程式個數和未知數個數相同的一次聯立方程式，如果係數排成的方陣的行列式不為 0，就恰有一組解；行列式為 0 時，則無解或有無限多組解。
用克拉瑪公式，甚至能只用行列式的比寫出解本身。這是結構計算、電路分析等需要解大量方程式的工程計算背後的理論之一。
表示圖形的面積、體積「變成幾倍」（線性變換的縮放比）
用二階矩陣變換平面圖形（旋轉、伸縮、推移）時，面積正好變成 \(|\det(A)|\) 倍。立體用三階矩陣變換時，體積變成 \(|\det(A)|\) 倍。
行列式這種「縮放比」的角色，在大學微積分中也會以積分變數變換的修正係數（雅可比行列式）出現，廣泛用於理工各領域。
在 3D 繪圖與遊戲中辨識圖形是否「翻面」
3D 繪圖軟體和遊戲引擎用矩陣變換模型。變換矩陣的行列式為負時，這個變換會像鏡像一樣把模型翻過來，每個面的正反面（法向量的方向）會對調。
所以繪圖軟體會檢查行列式的正負號來偵測翻面，並加以修正，避免畫面出錯。
由坐標求面積（測量、地圖的計算）
知道三角形頂點的坐標，面積就是由這些坐標做成的行列式的絕對值的一半。推廣到多邊形，就是測量上的坐標法（鞋帶公式），是測量和地圖（GIS）軟體計算土地面積的標準方法。
「輸入坐標就能得到面積」的祕密，正是行列式。
特徵值計算的入口（振動分析、資料分析）
研究建築物、機械容易怎麼振動的振動分析，以及從大量資料中找出主要趨勢的主成分分析，都會用到矩陣的特徵值。
特徵值由「求使 \(\det(A - \lambda I) = 0\) 的 \(\lambda\)」這個方程式（特徵方程式）求出。行列式也是通往這個進階工具的入口。
公式
二階行列式（ad − bc）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}\)
\(=\)
\(ad\)
\(-\)
\(bc\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(\det(A)\)：二階行列式
\(=\)
①
\(ad\)：左上 × 右下的乘積
\(-\)
②
\(bc\)：右上 × 左下的乘積
用文字讀公式
①
從
\(ad\)：左上 × 右下的乘積
減去
②
\(bc\)：右上 × 左下的乘積
，就得到
③
\(\det(A)\)：二階行列式
簡單範例
矩陣 \(\begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) 的行列式是
\(\det(A)\)：行列式
\(=\)
左上 × 右下（\(4 \times 6\)）
\(-\)
右上 × 左下（\(7 \times 2\)）
\(\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{vmatrix} = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10\)
思考重點
從左上到右下的對角線是「＋」，從右上到左下的對角線是「−」。只要沿兩條對角線相乘再相減，也就是「交叉相乘」，很好記。
行列式除了寫成 \(\det(A)\)，也寫成 \(|A|\)（和絕對值的符號形狀相同，但意思不同）。\(\det(A) = 0\) 的矩陣稱為「不可逆」（奇異方陣），沒有反方陣。
三階行列式（對角線法）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\det(A)\)
\(=\)
\(aei + bfg + cdh\)
\(-\)
\((ceg + afh + bdi)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(\det(A)\)：三階行列式
\(=\)
①
往右下的 3 條對角線的乘積和
\(-\)
②
往右上的 3 條對角線的乘積和
用文字讀公式
①
設各元為 \(A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\)，從
往右下的 3 條對角線的乘積和（\(aei + bfg + cdh\)）
減去
②
往右上的 3 條對角線的乘積和（\(ceg + afh + bdi\)）
，就得到
③
\(\det(A)\)：三階行列式
簡單範例
\(\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}\) 的行列式是
\(1 \times 3 \times 1 + 0 \times 1 \times 1 + 2 \times (-1) \times 1 = 3 + 0 - 2 = 1\)
\(2 \times 3 \times 1 + 1 \times 1 \times 1 + 0 \times (-1) \times 1 = 6 + 1 + 0 = 7\)
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 7 = -6\)
思考重點
對角線法（Sarrus 法則），只要在矩陣右邊再抄一次第 1 行和第 2 行就比較好用。從左上往右下的對角線有 3 條（\(aei\)、\(bfg\)、\(cdh\)，都是「＋」），從右上往左下的對角線有 3 條（\(ceg\)、\(afh\)、\(bdi\)，都是「−」），共 6 個交叉相乘的乘積。
不過，對角線法只能用到三階（二階的公式 \(ad-bc\) 也是同樣交叉相乘的想法）。四階以上不能用，請改用下面的餘因子展開。
餘因子展開（四階以上也能用的一般方法）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\det(A)\)
\(=\)
\(\sum_{j=1}^{n}\)
\((-1)^{1+j}\)
\(a_{1j}\)
\(M_{1j}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
\(\det(A)\)：\(n\) 階行列式
\(=\)
④
從 \(j = 1\) 加到 \(n\)
③
\((-1)^{1+j}\)：正負號（依 + − + −…交替）
①
\(a_{1j}\)：第 1 列第 \(j\) 行的元
②
\(M_{1j}\)：去掉第 1 列與第 \(j\) 行的子行列式
用文字讀公式
①
把
\(a_{1j}\)：第 1 列第 \(j\) 行的元
乘上
②
\(M_{1j}\)：去掉第 1 列與第 \(j\) 行後所剩的子行列式
，
③
加上
\((-1)^{1+j}\)：正負號（依 + − + −…交替）
，再
④
從 \(j = 1\) 加到 \(n\)
，就得到
⑤
\(\det(A)\)：\(n\) 階行列式
簡單範例
把剛才的三階行列式沿第 1 列做餘因子展開（答案和對角線法相同）
\(\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \times \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - 0 \times \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + 2 \times \begin{vmatrix} -1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}\)
\(= 1 \times 2 - 0 \times (-2) + 2 \times (-4) = 2 - 0 - 8 = -6\)
思考重點
餘因子展開（拉普拉斯展開，也稱為降階）是把大的行列式拆成「小一階的行列式（子行列式）的組合」的方法。四階會變成 4 個三階行列式，每個三階再用對角線法（或再展開一次）求出。這個計算機的四階計算過程就是這樣顯示的。
展開不限於第 1 列，沿任何一列或任何一行展開，答案都相同。選 0 比較多的列或行，那些項會消失，計算更輕鬆。子行列式乘上正負號稱為餘因子，正負號 \((-1)^{i+j}\) 從左上的「＋」開始，像棋盤一樣 + 和 − 交替排列。
行列式是「由方陣決定的一個數」。二階用 \(ad - bc\)，三階用對角線法，四階以上用餘因子展開求出。由 \(\det(A) \neq 0\) 是否成立，就能判斷「反方陣是否存在（＝聯立方程式是否恰有一組解）」。
符號與用語解說
符號
| \(A\) | A | 給矩陣取的名字。習慣上用大寫英文字母表示矩陣。 |
| \(\det(A),\ |A|\) | A 的行列式（det A） | 矩陣 \(A\) 的行列式。也常用直線寫成 \(|A|\)（和數的絕對值是相同的符號，但用在矩陣上時表示行列式）。 |
| \(a_{ij}\) | a 下標 i j | 矩陣 \(A\) 的第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元（由上往下第 \(i\) 列、由左往右第 \(j\) 行的數）。右下角的小字（下標）表示「位置」。 |
| \(M_{ij}\) | M 下標 i j | 子行列式：從矩陣 \(A\) 去掉第 \(i\) 列和第 \(j\) 行後，小一階的矩陣的行列式。 |
| \((-1)^{i+j}\) | 負 1 的 i 加 j 次方 | 餘因子展開時加上的正負號。\(i+j\) 為偶數時是 \(+1\)，奇數時是 \(-1\)，從左上的「＋」開始，像棋盤一樣 + − 交替排列。 |
| \(\sum\) | sigma | 表示「全部加起來」的符號。\(\sum_{j=1}^{n}\) 表示「讓 \(j\) 從 1 變到 \(n\)，全部相加」。 |
用語
| 行列式 | 由方陣決定的一個數。它把矩陣的重要性質（反方陣是否存在、變換時面積或體積變成幾倍等）濃縮成一個數，是「矩陣的指標」。 |
| 方陣 | 列數與行數相同（正方形）的矩陣。行列式和反方陣都只對方陣討論。 |
| 對角線法 | 把 6 條對角線上的乘積相加、相減，求三階行列式的方法。也稱為 Sarrus 法則（取自法國數學家 Pierre Sarrus 的名字），只能用在三階。 |
| 餘因子展開 | 把行列式拆成「元 × 子行列式 × 正負號」的和，變成小一階行列式的計算的方法。也稱為拉普拉斯展開或降階，四階以上的行列式也能用它計算。 |
| 子行列式 | 從矩陣去掉某一列和某一行後，所剩較小矩陣的行列式，是餘因子展開的零件。 |
| 餘因子 | 把子行列式 \(M_{ij}\) 乘上正負號 \((-1)^{i+j}\) 所得的值。「餘因子展開」的名稱，就來自展開成這些餘因子的和。 |
| 可逆方陣 （奇異方陣） |
行列式不為 0 的方陣，也稱為非奇異方陣，它有反方陣。行列式為 0 的方陣稱為奇異方陣，沒有反方陣。 |
| 反方陣 | 相乘後得到單位方陣（對角線為 1、其餘為 0 的方陣）的矩陣，相當於數的「倒數」的矩陣版本，寫成 \(A^{-1}\)。只在行列式不為 0 時存在。 |
| 線性代數 | 處理矩陣和向量的數學領域。大學理工科常列為一、二年級的必修課，是電腦繪圖、統計、AI 等應用的基礎。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 正負數的四則運算（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 代數式與下標（國中七年級～高中，12～18 歲） |
|
| 次方與正負號（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 矩陣的基礎（高二下，16～17 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「二階行列式」的表格
| 矩陣 A 的第 1 列 | 4 | 7 |
| 矩陣 A 的第 2 列 | 2 | 6 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:C2) |
求「三階行列式」的表格
| 矩陣 A 的第 1 列 | 1 | 0 | 2 |
| 矩陣 A 的第 2 列 | -1 | 3 | 1 |
| 矩陣 A 的第 3 列 | 1 | 1 | 1 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:D3) |
求「四階行列式」的表格
| 矩陣 A 的第 1 列 | 1 | 2 | 0 | 1 |
| 矩陣 A 的第 2 列 | 0 | 1 | 3 | 2 |
| 矩陣 A 的第 3 列 | 2 | 0 | 1 | 1 |
| 矩陣 A 的第 4 列 | 1 | 1 | 0 | 2 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:E4) |
行列式只要用一個 MDETERM 函數就能求出。給它方陣的範圍（第一個表格是 B1:C2），答案就會放進一個儲存格。
第一個表格是 10，第二個表格是 -6，第三個表格是 18。
MDETERM 的結果是 0 時，這個矩陣沒有反方陣（求反方陣的 MINVERSE 函數會出現錯誤）。
第一個表格是 10，第二個表格是 -6，第三個表格是 18。
MDETERM 的結果是 0 時，這個矩陣沒有反方陣（求反方陣的 MINVERSE 函數會出現錯誤）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「二階行列式」的表格
| 矩陣 A 的第 1 列 | 4 | 7 |
| 矩陣 A 的第 2 列 | 2 | 6 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:C2) |
求「三階行列式」的表格
| 矩陣 A 的第 1 列 | 1 | 0 | 2 |
| 矩陣 A 的第 2 列 | -1 | 3 | 1 |
| 矩陣 A 的第 3 列 | 1 | 1 | 1 |
| 行列式 det(A) | =MDETERM(B1:D3) |
和 Excel 相同的 MDETERM 函數可以直接使用。請把表格整個複製，貼到 A1 儲存格。
第一個表格是 10，第二個表格是 -6。
第一個表格是 10，第二個表格是 -6。
用 Python 計算的方法
A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]]
def determinant(matrix): # 餘因子展開（沿第 1 列遞迴計算）
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # 去掉第 1 列與第 j 行的子矩陣
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
print("det(A) =", determinant(A))
只用標準函式庫就能執行。請把最上面的 A 改成您自己的矩陣（只要是方陣，四階以上也可以）再執行。這個例子會得到 det(A) = -6。正式的數值計算，通常使用矩陣專用的函式庫 NumPy（numpy.linalg.det(A)）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
二階行列式（ad − bc）
|A| = ad − bc
\det(A) = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>d</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = |(a, b), (c, d)| = ad - bc
Det[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b], [c, d]]));
d = det(A);
det(A) = ad − bc
三階行列式（對角線法）
|A| = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
\det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>e</mi><mi>i</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mi>f</mi><mi>g</mi>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi><mi>d</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>c</mi><mi>e</mi><mi>g</mi>
<mo>-</mo>
<mi>a</mi><mi>f</mi><mi>h</mi>
<mo>-</mo>
<mi>b</mi><mi>d</mi><mi>i</mi>
</mrow>
</math>
det(A) = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi
Det[{{a, b, c}, {d, e, f}, {g, h, i}}]
LinearAlgebra:-Determinant(Matrix([[a, b, c], [d, e, f], [g, h, i]]));
d = det(A);
det(A) = aei + bfg + cdh − ceg − afh − bdi
餘因子展開（四階以上也能用的一般方法）
det(A) = Σ (−1)¹⁺ʲ a₁ⱼ M₁ⱼ (j = 1 to n)
\det(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{1+j} a_{1j} M_{1j}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>j</mi></mrow>
</msup>
<msub><mi>a</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
<msub><mi>M</mi><mrow><mn>1</mn><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
det(A) = sum_(j=1)^(n) (-1)^(1+j) a_(1j) M_(1j)
Det[A]
LinearAlgebra:-Determinant(A);
d = det(A);
det(A) = ∑_(j=1)^n (−1)^(1+j) a_1j M_1j
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是矩陣計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。 請求出下列兩個方陣的行列式（det）。 1. A = [[1, 0, 2], [-1, 3, 1], [1, 1, 1]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] 每一個都請列出行列式的值，以及這個方陣是否可逆（行列式是否不為 0，也就是反方陣是否存在）。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
矩陣計算機（加法、減法、乘法、轉置、次方）
矩陣本身的計算請看這裡。列、行、元等基礎也在這個頁面說明
反矩陣計算機（2×2、3×3、4×4，附計算過程）
計算只在 det(A) ≠ 0 時存在的反方陣 A⁻¹，附存在判斷和計算過程
三角形面積計算機（由 3 邊用海龍公式計算）
由三邊長求三角形面積的頁面。其實用行列式，也能由頂點坐標求出面積
