請輸入兩個複數 z₁ = a + bi、z₂ = c + di 的實部和虛部，再選擇要計算的運算（＋−×÷）。下方的式子和輸入欄連動，直接改寫式子中的數字也能計算。
數值請以半形輸入，可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。實部、虛部空白時當作 0（例如只有 z₁ 的虛部空白，z₁ 就是實數 a）。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄輸入實部和虛部，選擇運算（＋−×÷）後按下「計算」，結果和複數平面圖就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入實部、虛部並選擇運算，就能立即計算兩個複數 \(z_1 = a+bi\)、\(z_2 = c+di\) 的加法、減法、乘法、除法
- 答案以 \(\dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\) 這種約分好的分數（精確值）的 \(a+bi\) 形式顯示。除法會顯示把分子、分母同乘以分母的共軛複數，讓分母變成實數的「分母實數化」過程；乘法會顯示展開後把 \(i^2\) 換成 \(-1\) 的過程
- 另外也會顯示計算結果的共軛複數 \(\overline{z}\) 和絕對值 \(|z|\)。絕對值會像 \(|3+4i| = 5\)、\(|1+i| = \sqrt{2}\) 這樣，以化簡根號後的精確值回答
- 計算結果也能用複數平面（高斯平面）的圖確認，\(z_1\)、\(z_2\) 和計算結果各點的位置關係一目了然
- 實部、虛部除了小數、負數，也可以輸入 3/4 這樣的分數
適用於高三選修數學學到的複數四則運算（以及共軛複數、絕對值）。極式（用絕對值和輻角表示的寫法）和棣美弗定理請使用相關頁面。
這個計算有什麼用？
交流電路的計算（電機、電子工程）
家裡插座的交流電，電壓和電流會像波一樣起伏，而且不同的元件會讓波的時間點（相位）錯開。電機工程的標準做法，是把這個「大小」和「錯開程度」合成一個複數（阻抗）來表示，只用複數的四則運算就完成電路的計算。
大學電機系的電路學課程和電機技師考試都會用到複數的計算。從手機充電器到發電廠，凡是有交流電流過的地方，設計都靠複數的計算支撐。
通訊、音訊處理的訊號分析（傅立葉轉換）
聲音、電波這類「波」，可以用一種使用複數的計算——傅立葉轉換，分解成「含有多少各種高低的聲音（頻率）」。手機通訊（Wi-Fi、5G）、音樂壓縮、降噪和語音辨識，內部都在大量進行這種複數計算。
複數的強項是能用一個數同時處理波的「大小」和「時間點」，所以在訊號處理的領域，複數比實數更是主角。傅立葉轉換本身是大學以後的內容，但其中進行的，就是高中學的複數乘法和加法。
飛機和機器人的控制（判定穩定性）
設計飛機的自動駕駛、無人機、機器人這類「抑制晃動、保持穩定」的機器時，會看表示系統性質的方程式的解（複數）落在複數平面的哪裡，來判定穩定還是不穩定。解的實部為負，晃動就會平息；為正，就會越晃越大。
在這個領域，解在複數平面上的位置，直接就是「能不能安全飛行」的判斷依據。處理這種穩定性判定的控制工程，是大學以後學習的內容。
遊戲、電腦繪圖的旋轉計算
把平面上的點 \((x,\ y)\) 看成複數 \(x+yi\)，只要乘以絕對值為 1 的複數，就能計算「繞原點的旋轉」。例如乘以 \(i\) 就是旋轉 90 度。2D 遊戲中轉動角色或子彈的方向，可以直接利用這個性質。
3D 遊戲和手機偵測姿態時使用的四元數，就是把這種「用複數表示旋轉」的想法推廣到三維空間。
把二次方程式、三次方程式解到底（數學）
一元二次方程式在判別式 \(D = b^2 - 4ac\) 為負時沒有實數解，但把數系擴大到複數後，連 \(x^2 = -1\) 也有解 \(x = \pm i\)，任何二次方程式、三次方程式都一定有解（代數基本定理）。
「無解」的例外不再存在，所以不只數學，物理和工程的理論也都以複數為前提建立。高中的複數計算，就是它的入口。
公式與圖形
複數的加法與減法
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\((a+bi) + (c+di)\)
\(=\)
\((a+c)\)
\(+\)
\((b+d)i\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
複數 \(z_1\) 與 \(z_2\) 的和
\(=\)
①
實部相加
\(+\)
②
虛部相加後乘上 \(i\)
用文字讀公式
①
實數部分和 \(i\) 的部分可以分開整理，所以
實部相加 \(a+c\)
加上
②
虛部相加 \(b+d\)
乘上 \(i\)，就是
③
複數 \(z_1\) 與 \(z_2\) 的和
。
簡單範例
計算 \((2+3i) + (4-i)\)（\(4-i\) 的虛部是 \(-1\)）
\((2+3i)+(4-i)\) 的和
\(=\)
實部相加 \(2+4\)
\(+\)
虛部相加 \(3-1\) 後乘上 \(i\)
\((2+3i) + (4-i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i\)
思考重點
減法的做法完全一樣，只要把實部和實部、虛部和虛部分別相減：\((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\)。
訣竅是把 \(i\) 當成「像 \(x\) 一樣的文字」來合併同類項。就像 \(2x + 3\) 加 \(4x - 1\) 時，把 \(x\) 項和數字項分開合併一樣，把 \(i\) 的項（虛部）和數字項（實部）分開合併。
從複數平面來看，加法就是「把兩支箭頭接起來」，\(0\)、\(z_1\)、\(z_2\)、\(z_1+z_2\) 四點構成一個平行四邊形（上圖）。
複數的乘法與 \(i^2 = -1\)
數學寫法
（一般的數學式）
\((a+bi)(c+di)\)
\(=\)
\((ac-bd)\)
\(+\)
\((ad+bc)i\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
複數 \(z_1\) 與 \(z_2\) 的積
\(=\)
①
實部：\(ac\) 減 \(bd\)
\(+\)
②
虛部：\(ad\) 加 \(bc\) 後乘上 \(i\)
用文字讀公式
①
像代數式一樣把括號展開，再把 \(i^2\) 換成 \(-1\)，會出現
實部 \(ac - bd\)
和
②
虛部 \(ad + bc\)
乘上 \(i\) 的項，兩者相加就是
③
複數 \(z_1\) 與 \(z_2\) 的積
。
簡單範例
計算 \((1+2i)(3+4i)\)
\((1+2i)(3+4i)\) 的積
\(=\)
實部 \(1 \times 3 - 2 \times 4\)
\(+\)
虛部 \(1 \times 4 + 2 \times 3\) 乘上 \(i\)
\((1+2i)(3+4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^{2}\)
\(= 3 + 10i - 8 = -5 + 10i\)
思考重點
展開的方法和代數式的 \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) 完全一樣。複數特有的規則只有一條：出現 \(i \times i = i^2\) 時，把它換成 \(-1\)。
這是因為 \(i\) 是被定義為「平方後等於 \(-1\) 的數」（虛數單位）。在實數的世界裡，任何數平方後都大於或等於 0，所以 \(x^2 = -1\) 沒有解；把這個 \(i\) 加入數的行列後，就建立了任何二次方程式都有解的更大的數系（複數）。
不必死背公式。每次只要「展開後把 \(i^2\) 換成 \(-1\)」，就會得到相同的結果。
複數的除法與分母實數化
數學寫法
（一般的數學式）
\(\dfrac{a+bi}{c+di}\)
\(=\)
\(\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\)
\(+\)
\(\dfrac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
複數 \(z_1\) 除以 \(z_2\) 的商
\(=\)
①
實部：\(ac+bd\) 除以 \(c^2+d^2\)
\(+\)
②
虛部：\(bc-ad\) 除以 \(c^2+d^2\) 後乘上 \(i\)
用文字讀公式
①
分子、分母同乘以分母的共軛複數 \(c-di\)，分母就變成實數 \(c^2+d^2\)（分母實數化），並出現
實部 \(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}\)
和
②
虛部 \(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\)
乘上 \(i\) 的項，兩者相加就是
③
複數 \(z_1\) 除以 \(z_2\) 的商
。
簡單範例
計算 \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\)（分子、分母同乘以分母的共軛複數 \(3-4i\)）
\(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) 的商
\(=\)
實部 \(\dfrac{11}{25}\)
\(+\)
虛部 \(\dfrac{2}{25}\) 乘上 \(i\)
\(\dfrac{1+2i}{3+4i} = \dfrac{(1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \dfrac{3 - 4i + 6i - 8i^{2}}{3^{2}+4^{2}}\)
\(= \dfrac{11 + 2i}{25} = \dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\)
思考重點
為什麼要乘以共軛複數？因為 \((c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2\)，\(i\) 會被完全消去（這是平方差公式 \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) 和 \(i^2 = -1\) 的組合）。
分母還留著 \(i\) 時，看不出 \(a+bi\) 的形式（實部和虛部），所以要先把 \(i\) 從分母趕走。這和國中八年級學的「分母有理化」（把 \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) 的分子、分母同乘以 \(\sqrt{2}\)，消去分母的根號）是完全相同的想法。
另外，不能除以 \(z_2 = 0\)（實部和虛部都是 0）。實數「不能除以 0」的規則，在複數中也一樣。
複數的絕對值 \(|z|\)
圖
數學寫法
（一般的數學式）
\(|z|\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
複數 \(z\) 的絕對值
\(=\)
①
實部的平方加虛部的平方，再開平方根
用文字讀公式
①
對於複數 \(z = a+bi\)，
實部的平方加虛部的平方，再開平方根 \(\sqrt{a^2+b^2}\)
就是
②
複數 \(z\) 的絕對值
。
簡單範例
\(z = 3+4i\) 的絕對值是
\(3+4i\) 的絕對值
\(=\)
\(\sqrt{3^2+4^2}\)
\(|3+4i| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(|1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\)
思考重點
絕對值 \(|z|\) 表示在複數平面上「從原點到 \(z\) 的距離」（上圖）。它是到橫向走實部 \(a\)、縱向走虛部 \(b\) 的點的距離，所以就是畢氏定理本身。可以把它想成把實數的絕對值（數線上與 0 的距離）推廣到平面上。
它和共軛複數 \(\overline{z} = a-bi\) 之間有 \(z \times \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\) 的關係。做除法時分母乘以共軛複數後，分母會變成 \(|z_2|^2\) 這個正實數，就是因為這個關係。
有時根號會像 \(\sqrt{25} = 5\) 一樣消失，有時會像 \(\sqrt{2}\) 一樣保留。這個計算機也會把 \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\) 這樣的根號化簡，以精確值回答。
複數計算的基本，是把 \(i\) 當成文字來整理，出現 \(i^2\) 就換成 \(-1\)。只有除法需要多一個步驟：先把分子、分母同乘以分母的共軛複數，讓分母變成實數（分母實數化），再分成實部和虛部。
符號與用語解說
符號
| \(i\) | i | 虛數單位，被定義為平方後等於 \(-1\) 的數（\(i^2 = -1\)）。名稱來自 imaginary number（想像的數）的字首。 |
| \(z\) | z | 常用來表示複數的文字。為了和用 \(x\)、\(y\) 表示的實數變數區分，複數習慣用 \(z\)、\(w\) 表示。 |
| \(z_1,\ z_2\) | z 下標 1、z 下標 2 | 第 1 個、第 2 個複數。右下的小數字（下標）是表示「第幾個」的編號，和寫在右上方的乘方指數不同。 |
| \(a,\ b,\ c,\ d\) | a、b、c、d | 在這個頁面，\(z_1 = a+bi\) 的 \(a\) 是實部、\(b\) 是虛部，\(z_2 = c+di\) 的 \(c\) 是實部、\(d\) 是虛部。表示已知的數時，習慣用字母表前面的字母。 |
| \(\overline{z}\) | z bar | \(z\) 的共軛複數，也就是把 \(z = a+bi\) 的虛部變號後的 \(a-bi\)。上方的橫線（bar）是表示「成對的另一半」的符號。 |
| \(|z|\) | z 的絕對值 | 複數 \(z\) 的絕對值，也就是在複數平面上從原點到 \(z\) 的距離，用 \(|a+bi| = \sqrt{a^2+b^2}\) 計算。和實數的絕對值符號一樣，用兩條直線表示。 |
用語
| 複數 | 可以寫成 \(a+bi\)（\(a\)、\(b\) 是實數）形式的數。是把實數和虛數合在一起的更大的數系，在複數的範圍內，任何二次方程式一定有解。 |
| 虛數 | 不是實數的複數，也就是 \(a+bi\) 中虛部 \(b\) 不是 0 的數。名字雖然叫「虛」數，卻是在電學、物理計算中實際派上用場的數。 |
| 虛數單位 | 指 \(i\)。被定義為滿足 \(i^2 = -1\) 的數，所有虛數都能用 \(i\) 表示。 |
| 實部 | \(a+bi\) 的 \(a\)。是複數的「實數部分」，在複數平面上相當於橫軸（實軸）方向的坐標。 |
| 虛部 | \(a+bi\) 的 \(b\)（不含 \(i\)）。在複數平面上相當於縱軸（虛軸）方向的坐標。例如 \(3-2i\) 的虛部是 \(-2\)。 |
| 純虛數 | 實部是 0、虛部不是 0 的複數（\(2i\)、\(-3i\) 等）。在複數平面上落在虛軸上。 |
| 共軛複數 | \(a+bi\) 對應的 \(a-bi\)。最大的特徵是兩者相乘會得到 \((a+bi)(a-bi) = a^2+b^2\) 這個大於或等於 0 的實數，在除法的分母實數化中大顯身手。「共軛」是「成對、一起作用」的意思。 |
| 絕對值 | 在複數平面上與原點的距離 \(\sqrt{a^2+b^2}\)。是把實數的絕對值（數線上與 0 的距離）推廣到平面上。 |
| 複數平面 | 以橫軸為實部、縱軸為虛部，把複數 \(a+bi\) 表示成點 \((a,\ b)\) 的平面，也稱為高斯平面。台灣在高三選修數學中學習，這個頁面也把它當成讓複數「看得見」的工具，用在圖上。 |
| 實軸 | 複數平面的橫軸，是實數排列的軸。實數是虛部為 0 的複數，所以落在實軸上。 |
| 虛軸 | 複數平面的縱軸，是純虛數（像 \(2i\) 這樣實部為 0 的複數）排列的軸。 |
| 分母實數化 | 分母是複數的分數，把分子、分母同乘以分母的共軛複數，讓分母變成實數。是國中學的「分母有理化」（消去分母根號的操作）的複數版。 |
| 展開 | 把有括號的式子去掉括號，改寫成各項相加減的形式，也叫「乘開」。就像 \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\)，把一個括號裡的每一項，分別乘以另一個括號裡的每一項。 |
| 同類項 | 文字部分相同的項。複數的加減法中，把有 \(i\) 的項（虛部）和沒有 \(i\) 的項（實部）分別當成同類項合併。 |
| 判別式 | 判定一元二次方程式 \(ax^2+bx+c=0\) 的解是哪一種的式子 \(D = b^2-4ac\)。\(D < 0\) 時沒有實數解，但在複數的範圍內有 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{-D}\,i}{2a}\) 這樣的虛數解（虛根）。這是複數出現在高中數學的第一個入口。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 代數式的展開與同類項（國中七～八年級，12～14 歲） |
|
| 平方根與根號（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 分母有理化（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 坐標平面與畢氏定理（國中七～八年級，12～14 歲） |
|
| 一元二次方程式與判別式（國中八年級～高中，13～18 歲） |
|
| 分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「複數的四則運算」的表
| z₁ 的實部 a | 1 |
| z₁ 的虛部 b | 2 |
| z₂ 的實部 c | 3 |
| z₂ 的虛部 d | 4 |
| 複數 z₁ | =COMPLEX(B1,B2) |
| 複數 z₂ | =COMPLEX(B3,B4) |
| 和 z₁＋z₂ | =IMSUM(B5,B6) |
| 差 z₁−z₂ | =IMSUB(B5,B6) |
| 積 z₁×z₂ | =IMPRODUCT(B5,B6) |
| 商 z₁÷z₂ | =IMDIV(B5,B6) |
求「共軛複數與絕對值」的表
| 實部 a | 3 |
| 虛部 b | 4 |
| 複數 z | =COMPLEX(B1,B2) |
| 共軛複數 | =IMCONJUGATE(B3) |
| 絕對值 |z| | =IMABS(B3) |
確認「除法（分母實數化）」的表
| z₁ 的實部 a | 1 |
| z₁ 的虛部 b | 2 |
| z₂ 的實部 c | 3 |
| z₂ 的虛部 d | 4 |
| 分母 c²+d² | =B3^2+B4^2 |
| 商的實部 (ac+bd)÷(c²+d²) | =(B1*B3+B2*B4)/B5 |
| 商的虛部 (bc−ad)÷(c²+d²) | =(B2*B3-B1*B4)/B5 |
Excel 備有複數專用的函數。用 COMPLEX 函數由實部、虛部建立複數（「1+2i」這樣的字串），再交給 IMSUM（和）、IMSUB（差）、IMPRODUCT（積）、IMDIV（商）計算。
第 1 個表是 z₁ = 1+2i、z₂ = 3+4i 的例子，和顯示為「4+6i」、差為「-2-2i」、積為「-5+10i」、商為「0.44+0.08i」（結果不是數值，而是字串）。
第 2 個表是 z = 3+4i 的例子，共軛複數是「3-4i」，絕對值是 5（只有 IMABS 會傳回一般的數值）。
第 3 個表不靠複數函數，而是照「分母實數化」的公式計算除法來確認。商的實部是 0.44（= 11/25），虛部是 0.08（= 2/25），和 IMDIV 的結果一致。「^」是乘方、「*」是乘法、「/」是除法的符號。
第 1 個表是 z₁ = 1+2i、z₂ = 3+4i 的例子，和顯示為「4+6i」、差為「-2-2i」、積為「-5+10i」、商為「0.44+0.08i」（結果不是數值，而是字串）。
第 2 個表是 z = 3+4i 的例子，共軛複數是「3-4i」，絕對值是 5（只有 IMABS 會傳回一般的數值）。
第 3 個表不靠複數函數，而是照「分母實數化」的公式計算除法來確認。商的實部是 0.44（= 11/25），虛部是 0.08（= 2/25），和 IMDIV 的結果一致。「^」是乘方、「*」是乘法、「/」是除法的符號。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「複數的四則運算」的表
| z₁ 的實部 a | 1 |
| z₁ 的虛部 b | 2 |
| z₂ 的實部 c | 3 |
| z₂ 的虛部 d | 4 |
| 複數 z₁ | =COMPLEX(B1,B2) |
| 複數 z₂ | =COMPLEX(B3,B4) |
| 和 z₁＋z₂ | =IMSUM(B5,B6) |
| 差 z₁−z₂ | =IMSUB(B5,B6) |
| 積 z₁×z₂ | =IMPRODUCT(B5,B6) |
| 商 z₁÷z₂ | =IMDIV(B5,B6) |
求「共軛複數與絕對值」的表
| 實部 a | 3 |
| 虛部 b | 4 |
| 複數 z | =COMPLEX(B1,B2) |
| 共軛複數 | =IMCONJUGATE(B3) |
| 絕對值 |z| | =IMABS(B3) |
確認「除法（分母實數化）」的表
| z₁ 的實部 a | 1 |
| z₁ 的虛部 b | 2 |
| z₂ 的實部 c | 3 |
| z₂ 的虛部 d | 4 |
| 分母 c²+d² | =B3^2+B4^2 |
| 商的實部 (ac+bd)÷(c²+d²) | =(B1*B3+B2*B4)/B5 |
| 商的虛部 (bc−ad)÷(c²+d²) | =(B2*B3-B1*B4)/B5 |
Google 試算表也有和 Excel 相同的複數函數（COMPLEX、IMSUM、IMSUB、IMPRODUCT、IMDIV、IMCONJUGATE、IMABS），可以直接使用相同的公式。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把實部、虛部改成您自己的數值。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
import math
# z1 = a + bi、z2 = c + di 的實部和虛部（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
z1_real, z1_imag = Fraction(1), Fraction(2)
z2_real, z2_imag = Fraction(3), Fraction(4)
# 和、差：實部和實部、虛部和虛部分別合併
add_real, add_imag = z1_real + z2_real, z1_imag + z2_imag
sub_real, sub_imag = z1_real - z2_real, z1_imag - z2_imag
# 積：展開後代入 i^2 = -1 得到的公式 (ac-bd) + (ad+bc)i
mul_real = z1_real * z2_real - z1_imag * z2_imag
mul_imag = z1_real * z2_imag + z1_imag * z2_real
# 商：分母實數化。分母會變成 c^2 + d^2 這個實數
denominator = z2_real ** 2 + z2_imag ** 2
div_real = (z1_real * z2_real + z1_imag * z2_imag) / denominator
div_imag = (z1_imag * z2_real - z1_real * z2_imag) / denominator
# 商的絕對值：實部的平方加虛部的平方，再開平方根
abs_squared = div_real ** 2 + div_imag ** 2
abs_value = math.sqrt(abs_squared)
# 轉成 a+bi 形式的字串（虛部為負時，以 -2 - 2i 這樣的減法形式顯示）
def to_complex_str(real, imag):
sign = "-" if imag < 0 else "+"
return f"{real} {sign} {abs(imag)}i"
print(f"和: {to_complex_str(add_real, add_imag)}")
print(f"差: {to_complex_str(sub_real, sub_imag)}")
print(f"積: {to_complex_str(mul_real, mul_imag)}")
print(f"商: {to_complex_str(div_real, div_imag)}")
print(f"商的絕對值的平方（分數）: {abs_squared}")
print(f"商的絕對值（小數）: {abs_value}")
使用標準函式庫的 fractions 模組，可以用沒有小數捨入誤差的精確分數來計算。這個例子是 z₁ = 1+2i、z₂ = 3+4i，商會顯示為「11/25 + 2/25i」，商的絕對值的平方顯示為「1/5」（也就是絕對值為 √5/5 ≈ 0.447）。請改寫實部、虛部後執行。另外，如果不需要精確值，Python 也內建複數型別，可以像 (1+2j)/(3+4j) 這樣加上 j 直接計算。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
複數的加法與減法
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
</mrow>
</math>
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
ComplexExpand[(a + b I) + (c + d I)]
evalc((a + b*I) + (c + d*I));
z = (a + b*1i) + (c + d*1i);
(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
複數的乘法與 \(i^2 = -1\)
(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i
(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
</mrow>
</math>
(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
ComplexExpand[(a + b I) (c + d I)]
evalc((a + b*I) * (c + d*I));
z = (a + b*1i) * (c + d*1i);
(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i
複數的除法與分母實數化
(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + {(bc−ad)/(c²+d²)}i
\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
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<mrow><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
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</mfrac>
<mo>+</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
</mfrac>
<mi>i</mi>
</mrow>
</math>
(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i
ComplexExpand[(a + b I)/(c + d I)]
evalc((a + b*I) / (c + d*I));
z = (a + b*1i) / (c + d*1i);
(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i
複數的絕對值 \(|z|\)
|a+bi| = √(a²+b²)
\lvert a+bi \rvert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>|</mo>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
|a+bi| = sqrt(a^2+b^2)
ComplexExpand[Abs[a + b I]]
abs(a + b*I);
r = abs(a + b*1i);
|a+bi| = √(a^2+b^2)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（複數）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 對於兩個複數 z1 = 1 + 2i、z2 = 3 + 4i，請分別列出下列內容： 1. 和 z1 + z2、差 z1 − z2、積 z1 × z2（以 a+bi 形式表示） 2. 商 z1 ÷ z2（以約分好的分數的 a+bi 形式表示，並附分母實數化的計算過程） 3. 商的共軛複數與絕對值（絕對值同時以化簡根號的精確值和小數表示） 請在 Python 中使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算實部和虛部，並列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
一元二次方程式公式解計算機（判別式、虛根）
只要輸入係數 a、b、c，就能附判別式與計算過程求出一元二次方程式的解。判別式為負時的虛根也能計算
配方法計算機（二次函數的頂點、對稱軸、最大值與最小值）
把 y=ax²+bx+c 配方成標準式，附計算過程和圖形求出頂點、對稱軸、最大值與最小值
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把複數 a+bi 化成極式 r(cosθ+i sinθ)，絕對值以化簡根號的精確值、輻角以 π 的分數表示。也能由極式反過來化成 a+bi
