CAGR 計算機（年複合成長率、年平均成長率的計算與反推）

在期初值、期末值、期間、CAGR（%）這 4 個欄位中，輸入已知的 3 個，想求的 1 個保持空白，再按下「計算」。就會反推出空白的項目，並顯示逐年變化表和成長曲線。

期初值（起始的值）

期末值（最後的值）

期間的輸入方式

期間（年）

期間（月）

年複合成長率 CAGR（%）

請「只輸入 3 個」值（4 個都輸入就無法計算）。CAGR 請輸入 % 的數字（10% 就輸入「10」，減少時輸入負值）。期間可以輸入年數（像 2.5 這樣的小數也可以）或月數，月數會換算成「年數＝月數 ÷ 12」來計算。數值的單位（元、人、個等）不限。

計算結果與圖表

在左側輸入欄中填入 3 個值，按下「計算」，結果、逐年變化表和圖表就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖表
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
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用 Python 計算的方法
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這個頁面可以做什麼

由期初值、期末值、年數 3 個值，算出年複合成長率（CAGR）。例如「營收 5 年從 1000 萬元成長到 1610 萬元＝每年平均約成長 10%」，是把高低起伏的成長，換算成「相當於每年都以相同的幾 % 持續成長」的值
在 4 個欄位（期初值、期末值、年數、CAGR）中輸入已知的 3 個，就能反推剩下的 1 個。「每年成長 10%，營收幾年後會翻倍？」（年數）、「每年成長 15%，5 年後會是多少？」（期末值）、「要達到目標，現在需要多少？」（期初值）都能計算
年數可以輸入像 2.5 年這樣的小數，也可以輸入像「18 個月」這樣的月數。達到目標所需的年數，會同時顯示小數和無條件進位後的年數（在第幾年達到）
逐年變化表，以及把成長曲線（期初值 × (1 + CAGR) 的年數次方）和「每年增加相同金額時的直線」疊在一起的圖表，讓您一眼看出與單純平均成長率的差別

CAGR 只由「期初值」和「期末值」2 個值決定，中間年份的起伏不會納入計算（會被隱藏起來）。如果知道每一年的投資報酬率、想求平均，相關的「平均報酬率計算」更適合；如果只想知道 1 年的變化（「比去年成長了幾 %？」），用「增減率計算」更快。

這個計算有什麼用？

事業計畫、法說會簡報中的「年複合成長率 ○%」

新創公司的事業計畫，或上市櫃公司的法說會簡報，常用「過去 3 年的 CAGR 為 25%」來表示營收或使用者人數的成長。例如營收 3 年從 2 億元成長到 3.9 億元，CAGR 就是 \((3.9 \div 2)^{1/3} - 1 \approx 0.249\)，也就是約 25%。
即使每年的成長高低不一，也能用一個數字表示成長的速度，所以能比較規模和期間都不同的公司。不過它只看期初值和期末值 2 點，「只有最後一年突然大幅成長」這類內情就會被隱藏。閱讀資料時，最好也一起確認逐年的數字。

反推「營收翻倍要幾年？」（經營目標設定）

對於「每年持續成長 10%，營收幾年後會翻倍？」這個問題，用年數的公式可以回答 \(\log 2 \div \log 1.1 \approx 7.27\) 年，也就是在第 8 年年底超過 2 倍。反過來，如果目標是「5 年翻倍」，需要的 CAGR 是 \(2^{1/5} - 1 \approx 0.149\)，可知每年需要約 14.9% 的成長。
把「每年要成長幾 % 才能達到目標」變成數字，就能拆解成每年的目標營收（逐年變化表）。

比較 App 使用者人數、會員人數的成長（網路服務經營）

某個 App 的每月使用者人數 2 年從 5 萬人增加到 20 萬人（4 倍）時，CAGR 是 \(4^{1/2} - 1 = 1\)，也就是每年 100%（每年翻倍）。另一個 App 如果是 4 年變成 4 倍，就是 \(4^{1/4} - 1 \approx 0.414\)，每年約 41%。同樣是「4 倍」，成長速度卻完全不同，用 CAGR 就看得出來。
像使用者人數這種單位不是金額的數值，也能直接用相同的公式。

市場規模的預測（「2030 年市場將達 ○ 億元」的根據）

有「這個市場預計每年平均成長 8%」的預測時，目前 1000 億元的市場，5 年後可以估計為 \(1000 \times 1.08^5 \approx 1469\) 億元（期末值的公式）。產業報告中的「○ 年後的市場規模」，很多都是用這種計算做出來的。
要注意的是，這是建立在成長率今後也維持不變這個假設上的數字。使用前請先確認預測的前提（幾 % 持續幾年）。

用年成長率看人口增減（縣市、地區的統計）

某個鄉鎮的人口 10 年從 5 萬人減少到 4 萬人時，CAGR 是 \((4 \div 5)^{1/10} - 1 \approx -0.0221\)，也就是每年約減少 2.2%。單純把「10 年減少 20%」除成「每年減少 2%」會有一點落差，是因為減少也是複利（以減少後的人口為基準再減少）。
減少時也用完全相同的公式，只是 CAGR 變成負值。如果以相同速度持續下去，幾年後會低於 3 萬人，也能用年數的公式反推。

薪水和物價「每年漲了幾 %」（理財常識）

例如 20 年前月薪 3 萬元的人，現在是 4.5 萬元，CAGR 就是 \((4.5 \div 3)^{1/20} - 1 \approx 0.0205\)，每年約成長 2%。物價的上漲也能用相同的公式換算成「每年平均幾 %」，所以能用同一把尺比較薪水和物價的成長。
「把長期間的變化換算成年成長率」是 CAGR 的強項。看起來很大的「20 年增加 50%」，換算成年成長率只有 2%，是比較有感的數字。年增率每年不同時，CAGR 就是把它們平均成一個數字。

公式與圖表

求年複合成長率（CAGR）的公式

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(G\) \(=\) \(V_n\) \(\div\) \(V_0\)

\(r\) \(=\) \(G\) \(1/n\) \(-\) \(1\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 總成長倍數 \(G\) \(=\) ① 期末值 \(V_n\) \(\div\) ② 期初值 \(V_0\)

⑤ 年複合成長率 \(r\) \(=\) 總成長倍數 \(G\) ④ \(1/n\) 次方（\(n\)＝年數） \(-\) \(1\)

用文字讀公式

① 把期末值 \(V_n\)

② 除以期初值 \(V_0\)

③ 得到總成長倍數 \(G\)（變成了幾倍），

④ 再取 \(1/n\) 次方（\(n\)＝年數），換算成「每年的倍數」，

⑤ 再減去原本的 1，就得到年複合成長率 \(r\) （用 % 表示時要乘以 100）

簡單範例

營收 2 年從 1000 萬元成長到 1210 萬元時，年複合成長率是（單位：萬元）

總成長倍數 \(G\) \(=\) 期末值（1210） \(\div\) 期初值（1000）

年複合成長率 \(r\) \(=\) 總成長倍數（1.21） \(1/2\) 次方（2 年） \(-\) \(1\)

\(1210 \div 1000 = 1.21\)

\(1.21^{1/2} = \sqrt{1.21} = 1.1\)

\(1.1 - 1 = 0.1\ \ (10\%)\)

思考重點

CAGR 表示「如果每年都以相同的比率持續成長，每年是幾 %」。上面的例子中，1000 萬元每年成長 10%（×1.1 再 ×1.1），2 年後剛好是 1210 萬元。即使實際的營收是第 1 年大幅成長、第 2 年持平，CAGR 一樣是 10%。CAGR 只看頭尾 2 點，所以中間的起伏不會納入計算。「\(1/n\) 次方」是指「\(n\) 次方後會等於原數的數」（\(n\) 次方根）。2 年是平方根（\(\sqrt{\ }\)），3 年是立方根。用計算機或 Excel 時，輸入「^(1/n)」即可。

求期末值（n 年後的值）的公式

數學寫法（一般的數學式）

\(V_n\) \(=\) \(V_0\) \(\times\) \((1 + r)\) \(n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 期末值 \(V_n\) \(=\) ① 期初值 \(V_0\) \(\times\) ② 每年的倍數 \((1 + r)\) ③ 年數 \(n\)

用文字讀公式

① 把期初值 \(V_0\)

② 乘以每年的倍數 \((1 + r)\)

③ 連乘年數 \(n\) 次，

④ 就得到期末值 \(V_n\)

簡單範例

營收 1000 萬元每年平均成長 10% 時，3 年後的營收是（單位：萬元）

期末值 \(V_3\) \(=\) 期初值（1000） \(\times\) \((1 + 0.1)\) 3 年

\(1.1^{3} = 1.1 \times 1.1 \times 1.1 = 1.331\)

\(1000 \times 1.331 = 1331\)

思考重點

這和複利計算是完全相同形式的公式。「每年成長 10%」就是「每年變成 1.1 倍」，所以 3 年後是 \(1.1 \times 1.1 \times 1.1 = 1.331\) 倍。不是「10% × 3 年 = 30%」而是增加 33.1%，是因為從第 2 年起，10% 是加在已經成長後的值上（和複利的利滾利一樣）。年數 \(n\) 也可以是像 2.5 這樣的小數。這時像 \(1.1^{2.5}\) 這樣的計算，用計算機或 Excel 的「^」就能算出來。

求期初值（達成目標現在需要的值）的公式

數學寫法（一般的數學式）

\(V_0\) \(=\) \(V_n\) \(\div\) \((1 + r)\) \(n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 期初值 \(V_0\) \(=\) ① 期末值 \(V_n\) \(\div\) ② 每年的倍數 \((1 + r)\) ③ 年數 \(n\)

用文字讀公式

① 把期末值 \(V_n\)

② 除以每年的倍數 \((1 + r)\)

③ 的年數 \(n\) 次方，

④ 就得到期初值 \(V_0\)

簡單範例

想以每年平均 10% 成長，3 年後達到營收 1331 萬元，現在的營收需要多少（單位：萬元）

期初值 \(V_0\) \(=\) 期末值（1331） \(\div\) \((1 + 0.1)\) 3 年

\(1.1^{3} = 1.331\)

\(1331 \div 1.331 = 1000\)

思考重點

這只是把期末值的公式改寫成「期初值＝」的形式。用乘法增加的東西，除以相同的倍數就會回到原來的值。可以用來反推「要在 \(n\) 年後達到目標，現在需要多大的規模」。

求達到目標所需年數的公式

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(G\) \(=\) \(V_n\) \(\div\) \(V_0\)

\(n\) \(=\) \(\log G\) \(\div\) \(\log(1 + r)\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 總成長倍數 \(G\) \(=\) ① 期末值 \(V_n\) \(\div\) ② 期初值 \(V_0\)

⑤ 年數 \(n\) \(=\) 總成長倍數 \(G\) 的對數 \(\log G\) \(\div\) ④ 每年的倍數 \((1 + r)\) 的對數 \(\log(1 + r)\)

用文字讀公式

① 把期末值 \(V_n\)

② 除以期初值 \(V_0\)

③ 求出總成長倍數 \(G\) ，再把它的對數 \(\log G\)

④ 除以每年的倍數 \((1 + r)\) 的對數 \(\log\) ，

⑤ 就得到年數 \(n\) （對數的底數用 10 或 \(e\) 都可以，只要分子和分母相同，結果就一樣）

簡單範例

營收 1000 萬元以每年平均 10% 成長，要幾年才能達到 2000 萬元（2 倍）（單位：萬元）

年數 \(n\) \(=\) \(\log 2\)（總成長倍數 \(2000 \div 1000 = 2\)） \(\div\) \(\log(1 + 0.1)\)

\(\log 2 \approx 0.30103,\ \ \log 1.1 \approx 0.041393\)

\(0.30103 \div 0.041393 \approx 7.27\)

思考重點

求「1.1 的幾次方會等於 2」的就是對數（\(\log\)）。答案約 7.27 年，所以每年成長 10% 時，營收會在第 8 年年底超過 2 倍（第 7 年年底只有 \(1.1^7 \approx 1.949\) 倍，還差一點）。計算機會同時顯示這個小數的年數和無條件進位後的年數。順帶一提，用「翻倍所需年數 ≈ 72 ÷ 成長率（%）」的「72 法則」心算，得到 \(72 \div 10 = 7.2\) 年，和上面的計算結果非常接近。

參考：單純平均成長率（與 CAGR 的差別）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

\(g\) \(=\) \(\left(\dfrac{V_n}{V_0} - 1\right)\) \(\div\) \(n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 單純平均成長率 \(g\) \(=\) ① 總成長率 \(\left(\dfrac{\text{期末值 } V_n}{\text{期初值 } V_0} - 1\right)\) \(\div\) ② 年數 \(n\)

用文字讀公式

① 把總成長率（整個期間增加了幾 %）

② 除以年數 \(n\) ，

③ 就得到單純平均成長率 \(g\) （用 % 表示時要乘以 100）

簡單範例

營收 2 年從 1000 萬元成長到 1210 萬元時（總共增加 21%），單純平均成長率是

單純平均成長率 \(g\) \(=\) 總成長率（0.21） \(\div\) 2 年

\(1210 \div 1000 - 1 = 0.21\)

\(0.21 \div 2 = 0.105\ \ (10.5\%)\)

思考重點

同樣是「2 年從 1000 萬元到 1210 萬元」，單純平均成長率是 10.5%，CAGR 卻是 10%，答案不同。單純平均是「每年增加相同金額（105 萬元）」的直線看法，CAGR 是「每年以相同比率（×1.1）增加」的曲線看法。如果用單純平均說「每年成長 10.5%」，真的每年成長 10.5% 的話會變成 \(1.105^2 = 1.221\) 倍，看起來比實際的 1.21 倍還大。期間越長、成長率越高，這個差距就越大。以年成長率談成長時，CAGR 才是標準。

年複合成長率（CAGR）是「期末值 ÷ 期初值」的 \(1/n\) 次方減 1，也就是「如果每年以相同比率持續成長，每年是幾 %」。求期末值、期初值或年數時，只要把公式移項改寫，所以 4 個值中只要知道 3 個，就一定能算出剩下的 1 個。

符號與用語解說

符號

CAGR	C-A-G-R	年複合成長率（Compound Annual Growth Rate）。直譯是「以複利計算的年成長率」，表示「如果每年以相同比率持續成長，每年是幾 %」。本頁用符號 \(r\) 表示。
\(V_0\)	V 下標 0	期初值（期間開始時的值）。\(V\) 是 value（值）的第一個字母，右下的 0 表示「第 0 年」。（例如 5 年前的營收 1000 萬元）
\(V_n\)	V 下標 n	期末值（\(n\) 年後的值）。右下的 \(n\) 表示「第 \(n\) 年」。（例如今年的營收 1610.51 萬元）
\(G\)	G	總成長倍數。期末值 ÷ 期初值（\(V_n \div V_0\)），表示整個期間變成了幾倍。取 growth（成長）的第一個字母。（例如 1000 萬元 → 1210 萬元，\(G = 1.21\)）
\(n\)	n	年數。以年為單位表示從期初值到期末值的期間，取 number（數）的第一個字母。也可以是像 2.5 年這樣的小數（18 個月就是 \(18 \div 12 = 1.5\) 年）。
\(r\)	r	用小數表示的年複合成長率（CAGR），取 rate（率）的第一個字母。10% 就是 \(r = 0.1\)，用 % 表示時要乘以 100。
\(1 + r\)	1 加 r	每年的倍數。成長率 10% 就是 \(1 + 0.1 = 1.1\) 倍。是原本的 1 加上成長的部分 \(r\)，\(n\) 年就連乘成 \((1 + r)^n\)。
\(x^{1/n}\)	x 的 n 分之 1 次方	\(x\) 的 \(1/n\) 次方＝「\(n\) 次方後會等於 \(x\) 的數」（\(n\) 次方根 \(\sqrt[n]{x}\)）。2 年是平方根，3 年是立方根。（例如 \(1.21^{1/2} = \sqrt{1.21} = 1.1\)）
\(\log\)	log	對數（logarithm）。求「某個數的幾次方會等於這個值」的符號。本頁用它來反推年數，例如「1.1 的幾次方會等於 2」。底數用 10（常用對數）或 \(e\)（自然對數，\(\ln\)）都可以，只要分子和分母相同，答案就一樣。
\(g\)	g	單純平均成長率。只是把總成長率除以年數的參考值。為了和 CAGR 的 \(r\) 區別而另用一個字母（和大寫的 \(G\)＝總成長倍數也是不同的量）。

用語

年複合成長率（CAGR）	把幾年之間的成長，換算成「如果每年以相同比率持續成長，每年是幾 %」的值，也稱為年平均成長率。只由期初值、期末值和年數決定，中間的起伏不會納入計算。是以年成長率比較營收、使用者人數、市場規模、人口等成長的標準指標。
複利	增加的部分也會再以相同比率增加的成長方式（利滾利）。每年 10% 持續 2 年，不是「10% + 10% = 增加 20%」，而是 \(1.1 \times 1.1 = 1.21\) 倍（增加 21%）。CAGR 就是用這種複利的看法把成長平均化（相當於每年倍數的幾何平均數）。
幾何平均數	把 \(n\) 個數全部相乘再取 \(1/n\) 次方的平均。CAGR 是每年倍數的幾何平均數減 1，和一般的平均（相加再除，算術平均數）不同。像倍數這種以乘法相連的量，要用幾何平均數。
單純平均成長率（算術平均數）	只是把整個期間的成長率除以年數的值。是「每年增加相同金額」的直線看法，忽略了複利，所以期間超過 1 年的成長，會算得比 CAGR 大（減少時，每年的減少幅度會算得比 CAGR 小）。以年成長率來談時，CAGR 才是標準。
總成長倍數	期末值 ÷ 期初值，表示整個期間變成了幾倍。1000 萬元變成 1610.51 萬元，就是約 1.61 倍。減 1 再乘以 100，就是總成長率（約增加 61%）。
n 次方根	\(n\) 次方後會等於原數的數，寫成 \(\sqrt[n]{x}\) 或 \(x^{1/n}\)。2 年變成 1.21 倍時，每年的倍數是 \(\sqrt{1.21} = 1.1\) 倍，這就是 CAGR 計算的核心。
對數（log）	表示「\(a\) 的幾次方會等於 \(b\)」中「幾次方」的數，寫成 \(\log_{a} b\)。因為是求指數（相乘的次數），所以用來反推年數，例如「每年成長 10%，幾年會翻倍？」。
72 法則	「數值翻倍所需年數 ≈ 72 ÷ 年報酬率（%）」的心算估計法。每年 10% 約 7.2 年翻倍，每年 5% 約 14.4 年。和用對數算出的精確值非常接近。
年增率（YoY）	今年的值和去年相比的增減率，例如「營收年增 10%」。CAGR 相當於假設這個年增率每年都相同時的值。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「理解意義」再使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的方法。

比率與百分率（國小五年級，10～11 歲）	能在 % 和小數之間互換（\(10\% = 0.1\)、\(1.21\) 倍 \(=\) 增加 \(21\%\)）知道「增加 10%」和「原本的值 × 1.1」是同一件事（增減率的概念）
指數（國中七年級～高中，12～16 歲）	知道右上角的小數字（指數）表示「相乘的次數」，例如 \(1.1^3 = 1.1 \times 1.1 \times 1.1\) 知道平方根（\(\sqrt{1.21} = 1.1\)）是「平方後會等於原數的數」（國中八年級，13～14 歲）
複利的概念（國中～高中，12～18 歲）	知道每年增加 10% 的東西，不是「10% + 10% = 20%」，而是變成 \(1.1 \times 1.1 = 1.21\) 倍（增加 21%）知道這種「增加的部分也會以相同比率增加」的成長方式就是複利
n 次方根與指數的推廣（高中，15～18 歲）	知道 \(x^{1/n}\) 表示「\(n\) 次方後會等於 \(x\) 的數」（\(n\) 次方根）（例如 \(8^{1/3} = 2\)）知道指數是小數（像 \(1.1^{2.5}\)）時，計算也有意義
對數（高中，15～18 歲）	知道 \(\log_{a} b\) 表示「\(a\) 的幾次方會等於 \(b\)」（例如 \(\log_{2} 8 = 3\)）會用對數計算「求 \(1.1^{n} = 2\) 中的 \(n\)」這類問題（用換底公式算成 \(\log 2 \div \log 1.1\)）
代數式與等式的變形（國中七～八年級，12～14 歲）	看得懂像 \(V_n = V_0 (1 + r)^n\) 這樣的代數式，並能像 \(V_0 = V_n \div (1 + r)^n\) 這樣改寫來求其他的量

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「年複合成長率（CAGR）」的表格

期初值 V0	1000
期末值 Vn	1610.51
年數 n	5
CAGR r（%）	=((B2/B1)^(1/B3)-1)*100

求「期末值」的表格

期初值 V0	1000
CAGR r（%）	10
年數 n	3
期末值 Vn	=B1*(1+B2/100)^B3

求「期初值」的表格

期末值 Vn	1331
CAGR r（%）	10
年數 n	3
期初值 V0	=B1/(1+B2/100)^B3

求「達到目標所需年數」的表格

期初值 V0	1000
期末值 Vn（目標）	2000
CAGR r（%）	10
年數 n	=LN(B2/B1)/LN(1+B3/100)
無條件進位後的年數	=ROUNDUP(B4,0)

求「單純平均成長率」的表格（參考）

期初值 V0	1000
期末值 Vn	1210
年數 n	2
單純平均成長率 g（%）	=(B2/B1-1)/B3*100

貼上後，B1～B3 就是輸入欄，B4 會自動算出結果。
例如第 1 個表格的 B4 會顯示 10（CAGR 10%），第 2 個表格的 B4 顯示 1331（3 年後的值），第 3 個表格的 B4 顯示 1000（需要的期初值），第 4 個表格的 B4 顯示約 7.27（年數）、B5 顯示 8（無條件進位後的年數），第 5 個表格的 B4 顯示 10.5（單純平均成長率）。
「^(1/B3)」就是「1/n 次方」，「LN」是自然對數（以 \(e\) 為底的 log）。年數的公式改用「LOG10」或「LOG」，只要分子和分母用相同的函數，答案就一樣。
CAGR 也可以用 Excel 的函數「=RRI（年數，期初值，期末值）」求出（第 1 個表格就是「=RRI(B3,B1,B2)*100」）。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「年複合成長率（CAGR）」的表格

期初值 V0	1000
期末值 Vn	1610.51
年數 n	5
CAGR r（%）	=((B2/B1)^(1/B3)-1)*100

求「期末值」的表格

期初值 V0	1000
CAGR r（%）	10
年數 n	3
期末值 Vn	=B1*(1+B2/100)^B3

求「期初值」的表格

期末值 Vn	1331
CAGR r（%）	10
年數 n	3
期初值 V0	=B1/(1+B2/100)^B3

求「達到目標所需年數」的表格

期初值 V0	1000
期末值 Vn（目標）	2000
CAGR r（%）	10
年數 n	=LN(B2/B1)/LN(1+B3/100)
無條件進位後的年數	=ROUNDUP(B4,0)

求「單純平均成長率」的表格（參考）

期初值 V0	1000
期末值 Vn	1210
年數 n	2
單純平均成長率 g（%）	=(B2/B1-1)/B3*100

可以直接使用和 Excel 相同的公式（Google 試算表也能使用 RRI 函數）。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把 B1～B3 改成自己的數字即可。

用 Python 計算的方法

import math

start_value = 1000      # 期初值（例如 5 年前的營收，單位：萬元）
end_value = 1610.51     # 期末值（例如今年的營收）
years = 5               # 年數

# CAGR = (期末值 / 期初值)^(1/年數) - 1
cagr = (end_value / start_value) ** (1 / years) - 1
print(f"CAGR：{cagr * 100:.2f}%")

# 參考：單純平均成長率 = 總成長率 / 年數
simple_avg = (end_value / start_value - 1) / years
print(f"單純平均成長率：{simple_avg * 100:.2f}%")

# 反推 1：由期初值和 CAGR 求 n 年後的值
rate = 0.10             # CAGR（10%）
future_value = start_value * (1 + rate) ** 3
print(f"3 年後的值：{future_value:.2f}")

# 反推 2：由期初值、目標值和 CAGR 求達到目標的年數
target_value = 2000
years_needed = math.log(target_value / start_value) / math.log(1 + rate)
print(f"翻倍所需年數：{years_needed:.2f}（無條件進位：{math.ceil(years_needed)}）")

只用標準函式庫就能執行。這個例子中，CAGR 是 10.00%，單純平均成長率是 12.21%，3 年後的值是 1331.00，翻倍所需年數約 7.27 年（無條件進位為 8 年）。「** (1 / years)」就是「1/n 次方」，math.log 是自然對數。請改寫開頭的期初值、期末值和年數後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

求年複合成長率（CAGR）的公式

r = (Vₙ ÷ V₀)^(1/n) − 1

r = \left(\dfrac{V_n}{V_0}\right)^{1/n} - 1

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mrow>
        <mo>(</mo>
        <mfrac><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub></mfrac>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow>
    </msup>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mn>1</mn>
  </mrow>
</math>

r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1

(vn/v0)^(1/n) - 1

r := (V_n/V_0)^(1/n) - 1;

r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1;

r = (V_n/V_0)^(1/n) - 1

求期末值（n 年後的值）的公式

Vₙ = V₀ × (1 + r)ⁿ

V_n = V_0 (1 + r)^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

V_n = V_0 (1 + r)^n

v0 (1 + r)^n

V_n := V_0*(1 + r)^n;

V_n = V_0*(1 + r)^n;

V_n = V_0 (1 + r)^n

求期初值（達成目標現在需要的值）的公式

V₀ = Vₙ ÷ (1 + r)ⁿ

V_0 = \dfrac{V_n}{(1 + r)^{n}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub>
      <msup>
        <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
        <mi>n</mi>
      </msup>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

V_0 = V_n/(1 + r)^n

vn/(1 + r)^n

V_0 := V_n/(1 + r)^n;

V_0 = V_n/(1 + r)^n;

V_0 = V_n/(1 + r)^n

求達到目標所需年數的公式

n = log(Vₙ ÷ V₀) ÷ log(1 + r)

n = \dfrac{\log\left(V_n / V_0\right)}{\log(1 + r)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>n</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>log</mi><mo>(</mo><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><mo>/</mo><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>log</mi><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>)</mo></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

n = log(V_n/V_0)/log(1 + r)

Log[vn/v0]/Log[1 + r]

n := log(V_n/V_0)/log(1 + r);

n = log(V_n/V_0)/log(1 + r);

n = log(V_n/V_0)/log(1 + r)

參考：單純平均成長率（與 CAGR 的差別）

g = (Vₙ ÷ V₀ − 1) ÷ n

g = \dfrac{V_n / V_0 - 1}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>g</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msub><mi>V</mi><mi>n</mi></msub><mo>/</mo><msub><mi>V</mi><mn>0</mn></msub><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

g = (V_n/V_0 - 1)/n

(vn/v0 - 1)/n

g := (V_n/V_0 - 1)/n;

g = (V_n/V_0 - 1)/n;

g = (V_n/V_0 - 1)/n

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是事業計畫的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測來回答）。

某公司 5 年前的年營收是 1000 萬元，今年是 1610.51 萬元。
請求出下列各項：
1. 年複合成長率 CAGR（(期末值 ÷ 期初值)^（1/年數）− 1，以 % 表示到小數第 2 位）
2. 參考用的單純平均成長率（(期末值 ÷ 期初值 − 1) ÷ 年數，以 % 表示），並用 1～2 句話說明它和 CAGR 不同的原因
3. 如果這個 CAGR 持續下去，從期初起算 3 年後的營收（期初值 × (1 + CAGR)^3）
4. 以今年的營收為起點，用相同的 CAGR 成長，營收翻倍所需的年數（log(2) ÷ log(1 + CAGR)，小數和無條件進位後的年數都要列出）

請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。

使用方法

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輸入數值

在輸入欄中輸入要計算的數值
2

計算

按下「計算」按鈕
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