請選擇「化簡 1 個根號」或「2 個根號的四則運算」，再輸入根號前面的數和根號裡的數。下方的數學式和輸入欄是連動的，直接改寫式中的數字也能計算。
請用半形輸入數字。根號前面的數空白時當成 1，可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。根號裡只能是 1 以上的整數。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄填入根號裡的數，按下「計算」，這裡就會顯示化簡後的形式和數線。
這個頁面可以做什麼
- 可以把 \(\sqrt{48}\) 這樣的平方根化簡成 \(4\sqrt{3}\)（根號裡的數盡量小的整數）。也能看到根號裡的數的質因數分解，以及把平方因數提到外面的過程
- 也能確認根號裡是完全平方數時，根號會消失變成整數，例如 \(\sqrt{36} = 6\)
- 可以計算 \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\)、\(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}\) 這樣根號之間的加減乘除，答案以化簡後的精確形式顯示
- 除法中分母留下根號時，會以消去分母根號的形式（分母有理化後）作答。例如：\(6 \div \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- 答案以精確形式為主，並附上小數值和「介於哪兩個整數之間」。也能在數線上確認大小
- 計算機會顯示和手寫相同形式的根號式子，也可以直接改寫根號裡面或前面的數來計算
可以處理的是根號裡為正整數的平方根。不支援負數的平方根、立方根等 n 次方根，以及像 \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\) 這樣的雙重根號。
這個計算有什麼用？
影印紙 A4、A3 的長寬比（生活中的規格）
A4、A3 等 A 系列的紙張，長寬比規定為 \(1 : \sqrt{2}\)。這個比例把長邊對折後比例不變，所以 A3 對折剛好就是 A4。實際上 A4 是 210 mm × 297 mm，\(297 \div 210 \approx 1.4143\) 和 \(\sqrt{2} \approx 1.4142\) 幾乎一致。
規定 A0 的面積為 1 平方公尺，再套用這個比例，A0 就是 841 mm × 1189 mm。影印機放大縮小顯示「A4→A3 141%」，背後就是這個 \(\sqrt{2}\) 倍。
求斜邊的長度（建築、設計、測量）
由互相垂直的兩邊長求斜邊長時（畢氏定理），答案多半是根號的形式。邊長 1 m 的正方形對角線是 \(\sqrt{2} \approx 1.414\) m，長 3 m、寬 4 m 則是 \(\sqrt{25} = 5\) m。
在建築和木工現場，會量這條對角線的長度來確認是否成直角。設計圖上不要直接寫 \(\sqrt{18}\) 這樣的值，化成最簡根式 \(3\sqrt{2}\)，就能馬上估計是 \(\sqrt{2} \approx 1.414\) 的 3 倍，大約 4.24 m。
表示資料分散程度的標準差（統計、品管）
標準差是把與平均數的差平方後再平均的值（變異數）的平方根。先平方再開根號，就能回到和原始資料相同的單位。
例如 4, 6, 8, 10, 12 這 5 個值，平均數是 8，變異數是 8，所以標準差是 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83\)。考試成績的分布、工廠產品的品質管理、健康檢查的參考值等，凡是處理資料的地方都會出現平方根。
求落下的時間、單擺的週期（物理）
從高度 \(h\) 公尺讓物體落下，到達地面的時間是 \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\) 秒（\(g\) 是重力加速度，約 9.8），5 m 的話約 1.01 秒。單擺來回擺動一次的時間，也和擺長的平方根成正比（擺長 1 m 的單擺約 2.0 秒）。
「時間和距離的平方根成正比」這個關係，用在時鐘和遊樂設施的設計、墜落事故的調查等生活周遭的場合。
從煞車痕推算事故時的速度（交通事故鑑定）
由輪胎留在路面上的煞車痕（拖痕）長度，可以用 \(\sqrt{2\mu g d}\)（\(\mu\) 是路面與輪胎的摩擦係數，\(g\) 是重力加速度，\(d\) 是煞車痕的長度）推估開始煞車時的速度。乾燥柏油路面 \(\mu = 0.7\)、痕長 20 m 的話，是 \(\sqrt{274.4} \approx 16.6\) m/s，換算成時速大約 60 km。
這個推估實際用在交通事故鑑定中，也是「速度變成 2 倍，從煞車開始作用到停下的距離（煞車距離）會變成 4 倍（＝煞車距離和速度的平方成正比）」這個安全駕駛觀念的依據。
公式與圖示
平方根與根號的意義
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\)
\(=\)
\(a\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
把平方後等於 \(a\) 的正數 \(\sqrt{a}\) 再平方
\(=\)
②
\(a\)：根號裡的數
用文字讀公式
①
設 \(a\) 為大於或等於 0 的數，
把平方後等於 \(a\) 的正數 \(\sqrt{a}\) 再平方
，
②
就會變回
\(a\)：根號裡的數
本身
簡單範例
\(2\) 的平方根 \(\sqrt{2}\)，是邊長 \(1\) 的正方形的對角線長。把它平方：
對角線長 \(\sqrt{2}\) 的平方
\(=\)
根號裡的數 \(2\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2} \approx 1.41421356\)
思考重點
想像一個面積為 \(a\) 的正方形，它的邊長剛好就是 \(\sqrt{a}\)。把邊長平方就變回面積 \(a\)，這就是根號的意義。
\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\) 是無法用分數表示的數（無理數），寫成小數會無限延續而且不循環。所以不必一直寫 \(1.41421356\dots\)，用 \(\sqrt{2}\) 一個符號就能表示精確的值。
另外，平方後等於 \(a\) 的數有 \(+\sqrt{a}\) 和 \(-\sqrt{a}\) 兩個。依約定，\(\sqrt{a}\) 這個符號只表示正的那一個。
根號化簡（把平方因數提到外面）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(\sqrt{a^{2}b}\)
\(=\)
\(a\)
\(\sqrt{b}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
根號裡是「平方數 \(a^2\)」乘以「其餘的 \(b\)」的平方根
\(=\)
①
\(a\)：平方前的數（提到根號外）
②
\(\sqrt{b}\)：其餘的 \(b\) 的平方根（留在根號裡）
用文字讀公式
①
設 \(a\)、\(b\) 為大於或等於 0 的數，把根號裡分成「平方數 × 其餘」時，
\(a\)：平方前的數
提到根號外，
②
\(\sqrt{b}\)：其餘的 \(b\) 的平方根
留在根號裡，兩者相乘，就等於
③
原來的平方根 \(\sqrt{a^2b}\)
簡單範例
\(48 = 2^4 \times 3 = 4^2 \times 3\)，所以 \(\sqrt{48}\)：
原來的平方根 \(\sqrt{48}\)
\(=\)
提到外面的 \(4\)
留在裡面的 \(\sqrt{3}\)
\(48 = 2^{4} \times 3 = 4^{2} \times 3\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} \times 3} = 4\sqrt{3} \approx 6.9282\)
思考重點
為什麼可以提到外面？把它拆成 \(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b}\) 就明白了。\(\sqrt{a^2}\) 是「平方後等於 \(a^2\) 的正數」，也就是 \(a\) 本身。所以只有 \(a\) 提到根號外，\(\sqrt{b}\) 留在根號裡。
找出平方因數最可靠的方法是質因數分解。相同的質因數每湊成一對，就有一個提到根號外，湊不成對的質因數才留在裡面。例如 \(72 = 2^3 \times 3^2\)：2 有 3 個，湊成 1 對，所以 1 個 2 提到外面、1 個 2 留在裡面；3 有 2 個，剛好 1 對，所以 1 個 3 提到外面。因此 \(\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)。
化簡的理由有兩個。第一，比較容易看出大小：\(\sqrt{48}\) 一眼看不出多大，但 \(4\sqrt{3}\) 是 \(\sqrt{3} \approx 1.73\) 的 4 倍，大約 6.9。第二，相同的值會變成相同的形式，方便核對答案、整理式子。
根號的加法與減法（合併同類項）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(p\sqrt{a}\)
\(+\)
\(q\sqrt{a}\)
\(=\)
\(\left(p+q\right)\sqrt{a}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(p\) 個 \(\sqrt{a}\)
\(+\)
②
\(q\) 個 \(\sqrt{a}\)
\(=\)
③
\(p+q\) 個 \(\sqrt{a}\)
用文字讀公式
①
根號裡都是相同的 \(a\) 時，
\(p\) 個 \(\sqrt{a}\)
②
加上
\(q\) 個 \(\sqrt{a}\)
，因為大小相同可以把個數相加，就得到
③
\(p+q\) 個 \(\sqrt{a}\)
簡單範例
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\) 都是以 \(\sqrt{2}\) 為單位，所以
3 個 \(\sqrt{2}\)
\(+\)
5 個 \(\sqrt{2}\)
\(=\)
8 個 \(\sqrt{2}\)
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = \left(3+5\right)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \approx 11.3137\)
思考重點
和「3 個蘋果 ＋ 5 個蘋果 ＝ 8 個蘋果」是同樣的想法。代數式合併 \(3x + 5x = 8x\) 時，這裡的 \(x\) 就是 \(\sqrt{2}\)。這叫做合併同類項。
反過來，根號裡不同的就不能合併成一個。最常見的錯誤是把裡面相加，寫成 \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}\)，這是不成立的。用整數的例子就很清楚：\(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\)，但 \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)，是完全不同的數。減法也一樣，\(\sqrt{a} - \sqrt{b}\) 也不等於 \(\sqrt{a-b}\)。
所以 \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) 不會變成 \(\sqrt{5}\)（實際上 \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \approx 3.1463\)，而 \(\sqrt{5} \approx 2.2361\)）。答案就是 \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) 本身。不能合併的不要硬合併，才是正確的作答方式。
看起來不同的根號，化簡後也可能變成同類項。\(\sqrt{2} + \sqrt{8}\) 看似無法合併，但 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)，所以 \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)。加減法的第一步，一定是先把兩邊化簡。
根號的乘法（根號裡相乘，合併成一個）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(\sqrt{b}\)
\(=\)
\(\sqrt{ab}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(a\) 的平方根
\(\times\)
②
\(b\) 的平方根
\(=\)
③
根號裡相乘後的數 \(ab\) 的平方根
用文字讀公式
①
設 \(a\)、\(b\) 都是大於或等於 0 的數，
\(a\) 的平方根 \(\sqrt{a}\)
②
乘以
\(b\) 的平方根 \(\sqrt{b}\)
，根號裡相乘，就得到
③
\(ab\) 的平方根 \(\sqrt{ab}\)
簡單範例
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6}\) 先把根號裡相乘變成 \(\sqrt{18}\)，再化簡：
\(\sqrt{3}\)
\(\times\)
\(\sqrt{6}\)
\(=\)
\(\sqrt{18}\)（化簡後是 \(3\sqrt{2}\)）
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2} \approx 4.2426\)
思考重點
想成長 \(\sqrt{a}\)、寬 \(\sqrt{b}\) 的長方形面積是 \(\sqrt{ab}\)，就很容易理解。和加法不同，乘法就算根號裡的數不同，也能合併成一個根號。
根號前面有數時，前面的數和前面的數、根號裡和根號裡分別相乘。例如 \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3)\sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12}\)，再化簡 \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，得 \(6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)。相乘後根號裡的數變大，常常含有完全平方數，最後別忘了化簡。
同一個數相乘，根號就會消失（\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)），這和第一個公式 \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\) 是同一件事。
另外，這個公式只在 \(a\)、\(b\) 都大於或等於 0 時才成立。負數的平方根（虛數）不能這樣算，根號裡有負數時不要使用。
根號的除法與分母有理化
數學寫法
（一般的數學式）
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
分母留有根號的形式
\(=\)
②
分子、分母同乘以 \(\sqrt{b}\) 的形式
\(=\)
③
分母變成整數 \(b\) 的形式
用文字讀公式
①
設 \(a\) 為大於或等於 0 的數、\(b\) 為正數（是分母所以不能是 0），把除法寫成分數，就是
分母留有根號的形式
。
②
把它改寫成
分子、分母同乘以 \(\sqrt{b}\) 的形式
，分母變成 \(\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b\)，根號就消失了，得到
③
分母變成整數 \(b\) 的形式
簡單範例
把 \(1 \div \sqrt{3}\) 化成分母沒有根號的形式：
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\)
分子、分母同乘以 \(\sqrt{3}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.5774\)
思考重點
分子和分母同乘以相同的數，分數的值不會改變。分母有理化就是利用這一點，只把分母的根號消去。改變的是外觀而不是值，所以 \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) 和 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 是同一個數（約 0.5774）。
答案統一寫成分母沒有根號的形式，是因為比較容易判斷大小、核對答案。\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) 要用 1 除以 1.73…，而 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\) 只要把 1.73…除以 3。
根號前面有數時步驟也一樣：前面的數相除，根號的部分再有理化（例如：\(6\sqrt{6} \div 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3}\)）。像 \(\sqrt{3} + 1\) 這樣分母有 2 項時，需要另一種方法（乘上共軛根式）。這個計算機只處理分母是單一根號的情況。
根號化簡，就是把根號裡的數做質因數分解，找出平方的部分，把平方前的數提到根號外（\(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\)）。加減法只有根號裡相同的（同類項）才能合併，乘除法則可以把根號裡的數相乘、相除。除法的答案，約定要寫成分母不留根號的形式（分母有理化後的形式）。
符號與用語解說
符號
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | 根號 | 表示平方根的符號，叫做根號。據說源自拉丁文 radix（根）的字首 r 變形而來。像 \(\sqrt{9} = 3\) 這樣，表示「平方後等於根號裡的數的正數」。 |
| \(\sqrt{a}\) | 根號 a | \(a\) 的平方根中正的那一個。平方後會變回 \(a\)（\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)）。根號裡的 \(a\) 只能是大於或等於 0 的數。 |
| \(a\sqrt{b}\) | a 根號 b | \(a\) 乘以 \(\sqrt{b}\)（省略了乘號）。根號化簡的答案是這個形式，\(a\) 是提到根號外的數，\(b\) 是留在根號裡的數。 |
| \(a^2\) | a 的平方 | \(a\) 乘 2 次（\(a \times a\)）。右上方的小 2 表示「相乘的次數」。根號化簡的第一步，就是從根號裡找出這個形式。 |
| \(\approx\) | 約等於 | 表示大約相等的符號。根號的值開不盡，所以寫成小數時，要像 \(\sqrt{2} \approx 1.41421356\) 這樣使用這個符號。 |
| \(p, q\) | p、q | 常用來表示乘在根號前面的數的文字。本頁像 \(p\sqrt{a} + q\sqrt{a}\) 這樣，用來表示「有幾個 \(\sqrt{a}\)」。 |
| \(<\) | 小於 | 表示左邊比右邊小的符號。本頁像 \(6 < 4\sqrt{3} < 7\) 這樣，用來表示根號的值介於哪兩個整數之間。 |
用語
| 平方根 | 平方後等於該數的數。\(9\) 的平方根是 \(3\) 和 \(-3\) 兩個，正的寫成 \(\sqrt{9}\)，負的寫成 \(-\sqrt{9}\)。「平方」就是 2 次方。 |
| 根號 | 表示平方根的符號 √。像 \(\sqrt{5}\) 這樣，表示放在裡面的數的平方根（正的那一個）。 |
| 最簡根式 | 不改變值、化成最簡單的形式的根式。根號化簡時，把平方的部分提到根號外，讓根號裡的數變成盡量小的整數（\(\sqrt{48} \to 4\sqrt{3}\)）。 |
| 完全平方數 | 像 \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots\) 這樣，整數平方後得到的數。根號裡是這種數時，根號會消失變成整數（\(\sqrt{36} = 6\)）。 |
| 平方因數 | 某數的因數中是完全平方數的那些。\(48\) 有 \(16 = 4^2\) 這個平方因數，所以可以化簡成 \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)。平方因數只有 \(1\) 的數（\(2, 3, 5, 6, 7, 10, \dots\)）無法再化簡。 |
| 質因數分解 | 把整數寫成只有質數相乘的形式（\(48 = 2^4 \times 3\)）。相同的質因數每湊成一對就有一個提到根號外，所以指數是偶數的質數全部提到外面，指數是奇數的會留 1 個在裡面。是找出平方因數最可靠的方法。 |
| 質數 | 像 \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\) 這樣，只能被 1 和自己整除、2 以上的整數，是質因數分解的材料。 |
| 同類項 | 式子中文字部分完全相同的項，像 \(3x\) 和 \(5x\) 這樣的關係。根號則是像 \(3\sqrt{2}\) 和 \(5\sqrt{2}\) 這樣根號裡相同的為同類項（也叫同類方根），只有這種才能合併成一個。 |
| 分母有理化 | 把分母有根號的分數，分子、分母同乘以相同的數，化成分母沒有根號的形式。值不會改變（\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)）。 |
| 有理數 | 能用兩個整數的分數表示的數。整數、有限小數、循環小數都是有理數。「有理」是指能用比（ratio）表示。 |
| 無理數 | 無法用分數表示的數。寫成小數會無限延續而且不循環。\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、圓周率 \(\pi\) 等都是無理數。 |
| 實數 | 有理數和無理數合起來，和數線上的點一一對應的所有數。本頁處理的是實數範圍內的平方根。 |
| 近似值 | 代替精確值使用的大約的值。\(\sqrt{2} \approx 1.414\) 的右邊就是近似值。根號的值開不盡，所以寫成小數一定是近似值。 |
| 虛數 | 不是實數的數。規定平方後等於 \(-1\) 的數為 \(i\)，\(-4\) 的平方根就是 \(2i\) 和 \(-2i\)。負數的平方根是虛數，無法放在數線上。在高中數學的複數單元學到。 |
| 雙重根號 | 像 \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\) 這樣，根號裡還有根號的式子。條件符合時，可以化成像 \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\) 這樣只有一層根號的形式。這個計算機不處理。 |
| 數線 | 把數當成一條直線上的點排列的圖。可以直接看出根號的值大約多大、介於哪兩個整數之間。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表中的內容是最快的方法。
| 次方與平方（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 質因數分解（國小六年級，11～12 歲） |
|
| 平方根的意義（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 代數式的同類項（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 分數的計算與約分（國小五年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
| 畢氏定理（國中八年級，13～14 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
確認「平方根與根號的意義」的表格
| 根號裡的數 a | 3 |
| √a 的值 | =SQRT(B1) |
| √a 平方後的值（變回 B1） | =B2^2 |
確認「根號化簡」的表格
| 提到根號外的數 a | 4 |
| 留在根號裡的數 b | 3 |
| 原來的數 a²×b | =B1^2*B2 |
| √(a²b) 的值 | =SQRT(B3) |
| a√b 的值（會是相同的值） | =B1*SQRT(B2) |
確認「根號的加法」的表格
| 根號裡的數 a | 2 |
| 第 1 個根號前面的數 p | 3 |
| 第 2 個根號前面的數 q | 5 |
| p√a + q√a 的值 | =B2*SQRT(B1)+B3*SQRT(B1) |
| (p+q)√a 的值（會是相同的值） | =(B2+B3)*SQRT(B1) |
確認「根號的乘法」的表格
| 第 1 個根號裡的數 a | 3 |
| 第 2 個根號裡的數 b | 6 |
| √a × √b 的值 | =SQRT(B1)*SQRT(B2) |
| √(ab) 的值（會是相同的值） | =SQRT(B1*B2) |
| 化簡後的 3√2 的值（會是相同的值） | =3*SQRT(2) |
確認「分母有理化」的表格
| 根號裡的數 b | 3 |
| 1 ÷ √b 的值 | =1/SQRT(B1) |
| √b ÷ b 的值（會是相同的值） | =SQRT(B1)/B1 |
把表格複製貼到 A1 儲存格，上方的列就是輸入欄，下方的列會自動算出結果。SQRT 是求平方根的函數，「^」是次方。
第一個表格在 a 填 3：√3 是 1.732050808…，平方後變回 3。
第二個表格在 a 填 4、b 填 3。原來的數是 48，√48 和 4√3 都是 6.928203230…。
第三個表格是 3√2 + 5√2，兩種算法都是 11.31370850…。第四個表格是 √3 × √6，三個式子都是 4.242640687…。
第五個表格是 1 ÷ √3，有理化後的 √3 ÷ 3 也是相同的 0.5773502692…。改寫數值，就能確認任何組合都成立。
另外，Excel 顯示的是小數的近似值。4√3 這樣的精確形式，請用本頁的計算機確認。
第一個表格在 a 填 3：√3 是 1.732050808…，平方後變回 3。
第二個表格在 a 填 4、b 填 3。原來的數是 48，√48 和 4√3 都是 6.928203230…。
第三個表格是 3√2 + 5√2，兩種算法都是 11.31370850…。第四個表格是 √3 × √6，三個式子都是 4.242640687…。
第五個表格是 1 ÷ √3，有理化後的 √3 ÷ 3 也是相同的 0.5773502692…。改寫數值，就能確認任何組合都成立。
另外，Excel 顯示的是小數的近似值。4√3 這樣的精確形式，請用本頁的計算機確認。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
確認「平方根與根號的意義」的表格
| 根號裡的數 a | 3 |
| √a 的值 | =SQRT(B1) |
| √a 平方後的值（變回 B1） | =B2^2 |
確認「根號化簡」的表格
| 提到根號外的數 a | 4 |
| 留在根號裡的數 b | 3 |
| 原來的數 a²×b | =B1^2*B2 |
| √(a²b) 的值 | =SQRT(B3) |
| a√b 的值（會是相同的值） | =B1*SQRT(B2) |
確認「根號的加法」的表格
| 根號裡的數 a | 2 |
| 第 1 個根號前面的數 p | 3 |
| 第 2 個根號前面的數 q | 5 |
| p√a + q√a 的值 | =B2*SQRT(B1)+B3*SQRT(B1) |
| (p+q)√a 的值（會是相同的值） | =(B2+B3)*SQRT(B1) |
確認「根號的乘法」的表格
| 第 1 個根號裡的數 a | 3 |
| 第 2 個根號裡的數 b | 6 |
| √a × √b 的值 | =SQRT(B1)*SQRT(B2) |
| √(ab) 的值（會是相同的值） | =SQRT(B1*B2) |
| 化簡後的 3√2 的值（會是相同的值） | =3*SQRT(2) |
確認「分母有理化」的表格
| 根號裡的數 b | 3 |
| 1 ÷ √b 的值 | =1/SQRT(B1) |
| √b ÷ b 的值（會是相同的值） | =SQRT(B1)/B1 |
和 Excel 相同的公式可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把數值改成您自己的數即可。
用 Python 計算的方法
from math import isqrt
def simplify_radical(n):
# 把 √n 改寫成 a√b（b 沒有平方因數），傳回 (a, b)
outside = 1
inside = n
d = 2
while d * d <= inside:
while inside % (d * d) == 0:
inside //= d * d
outside *= d
d += 1
return outside, inside
outside, inside = simplify_radical(48)
if inside == 1:
print(f"√48 = {outside}")
else:
print(f"√48 = {outside}√{inside}")
# 也用小數的值確認（兩者相同）
print(48 ** 0.5, outside * inside ** 0.5)
# 根號裡是完全平方數時，根號會消失
print(simplify_radical(36), isqrt(36))
只用標準函式庫就能寫。從 2 開始依序試 d，只要能被 d 的平方整除就一直除下去，每除一次就把一個 d 提到根號外。執行後會顯示「√48 = 4√3」，接著顯示兩次 6.928203230275509，確認化簡前後的值相同。最後一行是根號會消失的 √36，顯示 (6, 1) 和 6。請改寫數字試試看。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
平方根與根號的意義
(√a)² = a
\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msqrt><mi>a</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
(sqrt(a))^2 = a
Sqrt[a]^2 == a
sqrt(a)^2 = a;
sqrt(a)^2 == a
(√a)^2 = a
根號化簡（把平方因數提到外面）
√(a²b) = a√b
\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi></mrow></msqrt>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a^2 b) = a sqrt(b)
Sqrt[a^2 b] == a Sqrt[b]
sqrt(a^2*b) = a*sqrt(b);
sqrt(a^2*b) == a*sqrt(b)
√(a^2 b) = a√b
根號的加法與減法（合併同類項）
p√a + q√a = (p + q)√a
p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = \left(p + q\right)\sqrt{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
p sqrt(a) + q sqrt(a) = (p + q) sqrt(a)
p Sqrt[a] + q Sqrt[a] == (p + q) Sqrt[a]
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) = (p + q)*sqrt(a);
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) == (p + q)*sqrt(a)
p√a + q√a = (p + q)√a
根號的乘法（根號裡相乘，合併成一個）
√a × √b = √(ab)
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a b)
Sqrt[a] Sqrt[b] == Sqrt[a b]
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b);
sqrt(a)*sqrt(b) == sqrt(a*b)
√a × √b = √(ab)
根號的除法與分母有理化
√a ÷ √b = √(ab) / b
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
<mrow><msqrt><mi>b</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sqrt(a)/sqrt(b) = (sqrt(a) sqrt(b))/(sqrt(b) sqrt(b)) = sqrt(a b)/b
Sqrt[a]/Sqrt[b] == Sqrt[a b]/b
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a*b)/b;
sqrt(a)/sqrt(b) == sqrt(a*b)/b
√a/√b = √(ab)/b
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是平方根的數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。 1. 請把 √48 化簡成根號裡的數盡量小的整數的形式。 2. 也請列出過程中用到的 48 的質因數分解。 3. 請把 3√2 + 5√2、2√6 × 3√2、6 ÷ √3 分別化成最簡根式（除法的答案分母不留根號）。 請在 Python 中自己寫一個把根號裡的數做質因數分解、提出平方因數的函數，並確認化簡前後的小數值一致。請列出所用的程式碼和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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