木材收縮計算機（由含水率變化求收縮量、膨脹量、一年的伸縮）

請選擇「要算什麼」，再輸入材料的寬度（或厚度）、取材方向、樹種和含水率。選擇樹種會帶入全收縮率的參考值，也可以修改。纖維飽和點留空時使用 30%。

單位

要算什麼

材料的寬度（或厚度、長度）

取材方向（這個尺寸相對於年輪的方向）

樹種（帶入全收縮率參考值）

目前的含水率（%）

變化後的含水率（%）

全收縮率參考值（含水率 30% → 0% 時收縮的比例，可修改）

弦向 T（弦切的寬度）

徑向 R（徑切的寬度）

纖維飽和點（%）

結果是依「隨含水率成比例均勻收縮」的基本想法得出的參考值，不預測翹曲、開裂和強度。知道實際材料的含水率或收縮率時，請輸入那些值。

計算結果與圖形

在左側輸入材料的寬度（或厚度）、取材方向、樹種和含水率的變化，按下「計算」，這裡就會顯示收縮量（mm）、收縮率（%）、變化後的尺寸和斷面圖。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
DataChef 的特色
相關功能
NumberChef 計算機一覽

這個頁面可以做什麼

由板材或角材的寬度（或厚度）和含水率的變化（例：15% → 10%），算出收縮量（mm）、收縮率（%）和變化後的尺寸
只要選擇取材方向（弦切＝弦向、徑切＝徑向、縱向）和樹種（柳杉、檜木、水楢、山毛櫸、胡桃木等），就會自動帶入全收縮率的參考值（數值可以修改）
含水率上升時以膨脹（變大的量）計算，高於纖維飽和點（預設 30%）的含水率則視為不影響尺寸
可以由「尺寸變化想控制在 2 mm 以內」這類可容許的尺寸變化，反算含水率可以變動到什麼程度（可作為目標的含水率範圍）
由平衡含水率的季節變化（台灣地區木材約在 15±4% 之間變動，室內開冷氣、除濕時較低），算出桌板或門窗一年會伸縮多少（伸縮餘裕的參考值）

各樹種的全收縮率是一般引用的參考值，即使同一樹種，也會因產地、個體和取材位置而有 1～2 成的差異。這個計算機是以「隨含水率成比例均勻收縮」的基本想法只求尺寸變化，不預測翹曲、開裂、扭曲或強度的變化。產品材料請以廠商或木材行標示的含水率、收縮率為優先。

這個計算有什麼用？

預估實木桌板會動多少，設置伸縮餘裕（家具製作）

寬 600 mm 的水楢弦切桌板，假設室內的平衡含水率一年在 10～15% 之間變動，寬度就會變化 \(600 \times 0.108 \times 5 \div 30 = 10.8\) mm。使用人工乾燥的材料時實際變化多半比這小，但以 mm 為單位的變動無法避免。台灣潮濕，梅雨和夏季的含水率容易偏高，更要注意。
把桌板固定在牙板上時，把螺絲孔做成長孔，或用桌板固定片（五金）固定，設置能往寬度方向移動的伸縮餘裕，就是為了吸收這個變動。這可以作為用數字估算「需要多長的長孔」的依據。

確認抽屜面板或門窗會不會在梅雨季膨脹打不開（門窗、收納）

在開冷氣、除濕的乾燥時期以含水率 10% 完成、寬 400 mm 的柳杉弦切面板，梅雨季含水率升到 14% 時，會變大 \(400 \times 0.075 \times 4 \div 30 = 4\) mm（膨脹）。和框的縫隙單側只有 1 mm 的話，可能會卡住。
由可容許的縫隙合計反算，就知道含水率可以變動到什麼程度。很難把含水率保持在窄範圍時，就能進一步檢討設計：改用徑切、分割寬度、加大縫隙等。

比較弦切和徑切、不同樹種的收縮量來選材料（木工、DIY）

即使含水率的變化相同，寬度方向的收縮，弦切（弦向）約為徑切（徑向）的 2 倍；樹種方面，柳杉（弦向約 7.5%）和山毛櫸（約 11.6%）也差約 1.5 倍。同樣寬度的板，「徑切的檜木」和「弦切的山毛櫸」收縮量會差 3 倍以上。
想抑制變形的門窗、抽屜、畫框用徑切或收縮小的樹種，變動不太成問題的層板或戶外鋪板用弦切，這可以作為依用途選材料的參考。

決定戶外木棧板露台或木圍籬的縫隙寬度（戶外、DIY）

戶外木材反覆經歷雨淋和乾燥，含水率的變化比室內大。寬 105 mm 的柳杉弦切面板在含水率 20% ⇄ 10% 之間變動時，每片寬度會變化 \(105 \times 0.075 \times 10 \div 30 \approx 2.6\) mm。
乾燥的材料不留縫鋪設，下雨膨脹時就會隆起或翹曲，所以要留考慮這個變動的縫隙。決定面板片數時，也要一併算進這個縫隙寬度。

估算人工乾燥材（KD 材）和生材施工後的收縮差異（建築、裝修）

含水率 20% 的柱子（105 mm 正方；角材的弦向和徑向混在一起，為了估大一點而用弦向的值）在室內乾燥到 12% 時，會收縮 \(105 \times 0.075 \times 8 \div 30 = 2.1\) mm。如果是含水率超過 30% 的生材，從纖維飽和點 30% 到 12% 的部分會收縮，就是 \(105 \times 0.075 \times 18 \div 30 \approx 4.7\) mm。
建築常用的 SPF 材等北美規格材，多半以 KD 材販售。這些數字可以作為思考室內裝修材出現縫隙或高低差的原因，或說明選用乾燥材意義時的依據。含水率管理直接關係到建築品質，實際數值請以現場的含水率計或廠商標示為優先。

讓樂器或工藝品的材料適應使用場所的濕度後再加工（樂器製作、工藝）

吉他面板、木製尺和治具這類需要精度的木工品，要讓材料適應使用場所的平衡含水率後再加工。吉他面板用的是變形少的徑切雲杉，但即使如此，寬 200 mm 的徑切雲杉（徑向約 4.7%）板含水率從 12% 變成 8% 時，也會動 \(200 \times 0.047 \times 4 \div 30 \approx 1.3\) mm，精密組裝時這個差異不能忽略。弦切（弦向約 8.2%）則會動將近 2 倍。
用數字確認「適應前就加工會變形多少」，就能理解花時間乾燥和養護的意義。

用正比的想法練習求「變化量」（國中數學、自然）

這個公式就是「原來的量 × 比例 × 變化的量 ÷ 基準的量」這種正比的計算。金屬因溫度伸長（熱膨脹）、紙因濕度伸長的計算也是同樣的形式，共同點都是先求出「每 1 單位會變化多少」。
用數字確認身邊的材料會因濕度動好幾 mm，就能體會正比的公式真的用在實際的設計上。

公式與圖示

收縮量（含水率變化造成的尺寸變化）

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\Delta W\) \(=\) \(W\) \(\times\) \(\dfrac{S}{100}\) \(\times\) \((m_1 - m_2)\) \(\div\) \(F\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

⑤ 尺寸變化 \(\Delta W\)（收縮量） \(=\) ① 原尺寸 \(W\) \(\times\) ② \(\dfrac{\text{全收縮率 }S\text{（\%）}}{100}\) \(\times\) ③ 含水率的變化 \(m_1 - m_2\)（%） \(\div\) ④ 纖維飽和點 \(F\)（%）

用文字讀公式

① 在原尺寸 \(W\) 乘上

② \(\dfrac{\text{全收縮率 }S\text{（\%）}}{100}\) （含水率從纖維飽和點降到 0% 時收縮的比例，換成小數），再乘上

③ 含水率的變化 \(m_1 - m_2\) （目前的含水率減去變化後的含水率，下降時為正），除以

④ 纖維飽和點 \(F\) ，就得到

⑤ 尺寸變化 \(\Delta W\) （正值是收縮，負值是膨脹＝變大）

簡單範例

柳杉弦切板（弦向的全收縮率 7.5%）寬 600 mm，含水率從 15% 降到 10% 時的收縮量是（纖維飽和點為 30%）

尺寸變化 \(\Delta W\) \(=\) 原尺寸（600 mm） \(\times\) 全收縮率（7.5%）÷ 100 \(\times\) 含水率的變化（15 − 10 = 5%） \(\div\) 纖維飽和點（30%）

\(\Delta W = 600 \times \dfrac{7.5}{100} \times \dfrac{15 - 10}{30} = 600 \times 0.075 \times \dfrac{5}{30} = 7.5\ (\mathrm{mm})\)

思考重點

木材的含水率高於纖維飽和點（約 28～30%）時，水只是積在細胞內的空腔（細胞腔）裡，所以尺寸不變。低於纖維飽和點後，細胞壁中的水流失、細胞壁本身變薄，含水率每下降 1% 就以幾乎固定的比例收縮。「從纖維飽和點降到 0% 時收縮的比例」就是全收縮率 \(S\)，所以含水率每 1% 的收縮比例是 \(\dfrac{S}{F}\)（%），再乘以含水率的變化 \(m_1 - m_2\) 和原尺寸 \(W\)，就是收縮量。這個計算機在輸入高於纖維飽和點的含水率時，會以纖維飽和點為上限計算（例：45% → 12% 視為 30% → 12%）。 \(m_1 - m_2\) 為負（含水率上升）時，\(\Delta W\) 也是負值，尺寸就變大這麼多（膨脹）。這是把乾燥的材料放到潮濕的地方時發生的現象，可以用和收縮相同的公式計算。全收縮率 \(S\) 依取材方向差異很大：沿著年輪的弦向（弦切板的寬度）最大，橫越年輪的徑向（徑切板的寬度）約為一半，縱向（長度）約 0.1～0.3%，幾乎不收縮。這種「方向造成的差異」稱為異向性，也是同樹種、同寬度的板，弦切和徑切的收縮量會差 2 倍左右的原因。各樹種的全收縮率是一般引用的參考值，同一樹種也會因產地和個體而有差異。知道實際材料的值時，請輸入那個值。想知道季節造成的一年伸縮時，在 \(m_1\) 輸入潮濕時期的平衡含水率、在 \(m_2\) 輸入乾燥時期的平衡含水率，這個公式就直接變成「一年變動的幅度」。台灣地區木材的平衡含水率約在 15±4% 之間變動，室內開冷氣、除濕時會比較低。

收縮率（%）與由收縮率求收縮量

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(r\) \(=\) \(S\) \(\times\) \((m_1 - m_2)\) \(\div\) \(F\)

\(\Delta W\) \(=\) \(W\) \(\times\) \(\dfrac{r}{100}\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 收縮率 \(r\)（%） \(=\) ① 全收縮率 \(S\)（%） \(\times\) ② 含水率的變化 \(m_1 - m_2\)（%） \(\div\) 纖維飽和點 \(F\)（%）

⑤ 尺寸變化 \(\Delta W\)（收縮量） \(=\) ④ 原尺寸 \(W\) \(\times\) \(\dfrac{\text{收縮率 }r\text{（\%）}}{100}\)

用文字讀公式

① 在全收縮率 \(S\) 乘上

② 含水率的變化 \(m_1 - m_2\) 再除以纖維飽和點 \(F\)，就得到

③ 收縮率 \(r\) （原尺寸收縮百分之幾）

④ 把這個收縮率乘以原尺寸 \(W\) 再除以 100，就得到

⑤ 尺寸變化 \(\Delta W\) （和第 1 個公式的答案相同）

簡單範例

水楢弦切板（弦向的全收縮率 10.8%）寬 900 mm，含水率從 12% 降到 8% 時的收縮率和收縮量是（纖維飽和點為 30%）

收縮率 \(r\) \(=\) 全收縮率（10.8%） \(\times\) 含水率的變化（12 − 8 = 4%） \(\div\) 纖維飽和點（30%）

尺寸變化 \(\Delta W\) \(=\) 原尺寸（900 mm） \(\times\) 收縮率（1.44%）÷ 100

\(r = 10.8 \times \dfrac{12 - 8}{30} = 10.8 \times \dfrac{4}{30} = 1.44\ (\%)\)

\(\Delta W = 900 \times \dfrac{1.44}{100} = 12.96\ (\mathrm{mm})\)

思考重點

收縮率 \(r\) 是「原尺寸收縮百分之幾」，和尺寸無關，只由樹種、方向和含水率的變化決定。含水率的變化相同時，寬 600 mm 和 900 mm 的板收縮率相同，只有收縮量（mm）隨尺寸成比例改變。變化後的尺寸是原尺寸減去收縮量的 \(W - \Delta W\)（膨脹時 \(\Delta W\) 為負，減掉後會變大）。木材資料以「平均收縮率 0.25%／%」這種含水率每 1% 的值表示時，它就相當於 \(\dfrac{S}{F}\)。這個計算機是由全收縮率 \(S\) 和纖維飽和點 \(F\) 求出 \(\dfrac{S}{F}\)，所以只知道含水率每 1% 的值時，把它乘以纖維飽和點（30）填進全收縮率欄，就是相同的計算（例：0.25%／% 就是 \(0.25 \times 30 = 7.5\)）。第 1 個公式和第 2 個公式只是把相同的計算重新排列，所以答案一致。「想用 % 比較」時用收縮率，「想知道會動幾 mm」時用收縮量，請依用途使用。

反算：由可容許的尺寸變化求含水率變化幅度

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(\Delta m\) \(=\) \(\Delta W_{\max}\) \(\div\) \((\) \(W\) \(\times\) \(\dfrac{S}{100}\) \()\) \(\times\) \(F\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 可容許的含水率變化幅度 \(\Delta m\)（%） \(=\) ① 可容許的尺寸變化 \(\Delta W_{\max}\) \(\div\) \((\) ② 原尺寸 \(W\) \(\times\) \(\dfrac{\text{全收縮率 }S\text{（\%）}}{100}\) \()\) \(\times\) ③ 纖維飽和點 \(F\)（%）

用文字讀公式

① 把可容許的尺寸變化 \(\Delta W_{\max}\) 除以

② 原尺寸 \(W\) 和「全收縮率 \(S\) ÷ 100」相乘的值，再乘以

③ 纖維飽和點 \(F\) ，就得到

④ 可容許的含水率變化幅度 \(\Delta m\) （從目前的含水率 \(m_1\) 上下可以變動到這個幅度）

簡單範例

胡桃木弦切板（弦向的全收縮率 7.8%）寬 800 mm，想把尺寸變化控制在 2 mm 以內時，含水率可以從目前的 12% 變動多少（纖維飽和點為 30%）

含水率變化幅度 \(\Delta m\) \(=\) 可容許的尺寸變化（2 mm） \(\div\) \((\) 原尺寸（800 mm） \(\times\) 全收縮率（7.8%）÷ 100 \()\) \(\times\) 纖維飽和點（30%）

\(\Delta m = \dfrac{2}{800 \times 0.078} \times 30 = \dfrac{2}{62.4} \times 30 \approx 0.96\ (\%)\)

\(12 - 0.96 = 11.04,\quad 12 + 0.96 = 12.96\)

思考重點

這是把第 1 個公式改寫成求含水率變化的形式。\(W \times \dfrac{S}{100} \div F\) 是「含水率每 1% 會動幾 mm」，所以把可容許的尺寸變化除以這個值，就知道「含水率可以變動百分之幾」。例子中 800 mm 的板含水率每 1% 會動 \(800 \times 0.078 \div 30 \approx 2.08\) mm，所以要控制在 2 mm 以內，含水率的變化要在約 0.96% 以內，也就是要保持在 11.04～12.96% 的範圍。像這個例子，寬的弦切板只要含水率稍微變動就會差好幾 mm。實際上很難把含水率保持在這麼窄的範圍，所以反算結果小到「1% 以內」時，與其管理含水率，不如把它當作考慮設計對策的參考：縮小寬度、改用徑切、改用收縮小的樹種，或設置變動部分的伸縮餘裕（縫隙或能吸收伸縮的固定方式）。計算機會把目前的含水率 \(m_1\) 減去和加上 \(\Delta m\) 的值，顯示為「可作為目標的含水率範圍」（限制在 0% 以上、纖維飽和點以下）。

木材在纖維飽和點（約 30%）以下時隨含水率成比例收縮，收縮量用「尺寸 \(\times\) 全收縮率 \(\div 100 \times\) 含水率的變化 \(\div\) 纖維飽和點」求出。全收縮率依取材方向差異很大（弦切的寬度＝弦向最大，徑切的寬度＝徑向約為一半，長度方向幾乎為零），也隨樹種而不同。含水率上升時，同一個公式就是膨脹（變大的量）；反算則能知道「要把尺寸變化控制在幾 mm，含水率要保持在百分之幾以內」。

符號與用語解說

符號

\(W\)	W	材料的原尺寸（mm）。取自 width（寬度）的字首。不只板的寬度，想知道厚度或長度的變化時，就輸入那個尺寸（取材方向依這個尺寸相對於年輪的方向選擇）。
\(\Delta W\)	delta W	尺寸變化（mm）。希臘字母 delta \(\Delta\) 常用來表示「變化量、差」。正值是收縮（變小），負值是膨脹（變大）。
\(W\prime\)	W prime	變化後的尺寸（mm）。用 \(W\prime = W - \Delta W\) 求出。
\(S\)	S	全收縮率（%）。取自 shrinkage（收縮）的字首。是含水率從纖維飽和點降到 0% 時收縮的比例，依取材方向分別使用 \(T\)（弦向）、\(R\)（徑向）、\(L\)（縱向）的值。
\(T\)	T	弦向（tangential）的全收縮率（%）。沿著年輪的方向，是弦切板寬度的收縮方式。是 3 個方向中最大的值。
\(R\)	R	徑向（radial）的全收縮率（%）。從原木中心朝外的方向，是徑切板寬度的收縮方式。約為弦向的一半。
\(L\)	L	縱向（longitudinal）的全收縮率（%）。板長度方向的收縮方式，不論樹種約為 0.1～0.3%，非常小。這個計算機的預設是 0.2%。
\(m_1,\ m_2\)	m 下標 1、m 下標 2	含水率（%）。取自 moisture（水分）的字首。\(m_1\) 是目前的含水率，\(m_2\) 是變化後的含水率，\(m_1 - m_2\) 是含水率的變化（下降時為正）。
\(F\)	F	纖維飽和點（%）。取自 fiber saturation point 的字首，也寫成 FSP。一般約為 28～30%，這個計算機的預設是 30%。含水率高於這個值時尺寸不變，所以高於這個值的含水率以這個值為上限計算。
\(r\)	r（小寫）	收縮率（%）。取自 rate（比例）的字首。是原尺寸收縮百分之幾，用 \(r = S \times (m_1 - m_2) \div F\) 求出。和徑向的全收縮率 \(R\)（大寫）是不同的符號。
\(\Delta m\)	delta m	可容許的含水率變化幅度（%）。在反算模式中，表示為了把尺寸變化控制在容許值以內，含水率可以從目前的值上下變動多少。
\(\Delta W_{\max}\)	delta W 下標 max	可容許的尺寸變化（mm）。反算模式的輸入，是「不希望再變動更多」的尺寸變化上限。
\(\approx\)	約等於	表示「大約等於」的符號。把除不盡的值四捨五入成小數時使用。

用語

含水率	表示木材所含水的重量，相當於完全乾燥木材重量（全乾重量）百分之幾的值。剛砍下的生材多半超過 30%，人工乾燥的建築用材料約 15～20%，在室內穩定下來的家具約 10% 左右。可以用含水率計測量。
纖維飽和點	木材細胞內空腔（細胞腔）中的水（自由水）全部流失，只剩細胞壁中的水（結合水）時的含水率，一般約為 28～30%。高於這個值時尺寸不變，低於這個值結合水流失就開始收縮。是考慮木材收縮時的「零點」。
平衡含水率	和周圍空氣的濕度、溫度平衡，不再變乾也不再變濕時的含水率。台灣地區木材的平衡含水率約在 15±4% 左右；室內開冷氣、除濕的時期較低，梅雨和夏季等潮濕時期較高。這個差異就是家具和門窗隨季節伸縮的原因。
全收縮率	含水率從纖維飽和點（約 30%）降到 0%（全乾）時收縮的比例（%）。依取材方向數值不同，依弦向、徑向、縱向的順序變小。樹種資料中的「收縮率」多半是這個值，要和含水率每 1% 的值（平均收縮率）區分。
平均收縮率	含水率每變化 1% 收縮的比例（%／%）。相當於全收縮率除以纖維飽和點的值，例如弦向的全收縮率是 7.5% 時，就是 \(7.5 \div 30 = 0.25\)%／%。資料只有這個值時，乘以 30 就能換成全收縮率。
取材方式	從原木的哪個位置、以什麼方向鋸出板材或角材。板的寬度是沿著年輪的方向（弦切）還是橫越年輪的方向（徑切）由取材方式決定，寬度方向的收縮會因此差 2 倍左右。
弦切	沿著和年輪相切的方向（弦向）鋸出的板，表面出現山形木紋，又稱山紋板。能從原木有效率地取材，所以流通量大，但寬度方向的收縮大，容易翹曲。弦切板的「寬度」用弦向、「厚度」用徑向的收縮率計算。
徑切	沿著橫越年輪的方向（徑向）鋸出的板，表面出現筆直平行的木紋，又稱直紋板。寬度方向的收縮約為弦切的一半，變形少，所以常用於門窗和高級家具。徑切板的「寬度」用徑向、「厚度」用弦向的收縮率計算。
弦向	沿著年輪的方向（沿著原木圓周的方向）。是木材收縮最大的方向，弦切板的寬度就是這個方向。全收縮率依樹種約為 5～12%。
徑向	從原木中心朝外的方向（橫越年輪的方向）。收縮約為弦向的一半，徑切板的寬度就是這個方向。全收縮率依樹種約為 2.5～6%。
縱向	樹幹生長的方向，也就是板材和角材的長度方向。細胞沿長度方向排列，所以收縮只有約 0.1～0.3%，非常小，實用上可以當作「長度幾乎不收縮」。
異向性	性質依方向而不同。木材的弦向、徑向、縱向 3 個方向收縮率差異很大（約 10：5：0.2 的比例），這就是弦切和徑切收縮方式不同的理由，也是翹曲和開裂的原因。
收縮	含水率下降使木材變小。在纖維飽和點以下的範圍，幾乎和含水率的變化成正比發生。
膨脹	含水率上升使木材變大，和收縮相反。把乾燥的材料放到潮濕的地方就會發生，可以用和收縮相同的公式（把含水率的變化設為負值）計算。
生材	剛砍下、還沒乾燥的木材。含水率超過 30%，依樹種和部位有時超過 100%。在乾燥到纖維飽和點之前尺寸不變，所以這個計算機以纖維飽和點為上限處理。
人工乾燥	在乾燥窯中控制溫度和濕度來乾燥木材，也稱窯乾、KD 材（kiln dry）。建築用多乾燥到含水率約 15～20%，家具用約 8～12%。乾燥到越接近使用場所的平衡含水率，使用後的收縮就越小。
伸縮餘裕	為了讓木材伸縮也不出問題，事先預留的縫隙或能吸收變動的固定方式。用長孔五金固定桌板、板與板之間留縫鋪設、抽屜面板和框之間留餘裕等，都是伸縮餘裕。
SPF 材	取雲杉（Spruce）、松（Pine）、冷杉（Fir）字首，北美產針葉樹合在一起處理的規格材（2×4 材等）的稱呼。白木主要指歐洲產的雲杉。這個計算機都使用「雲杉」的全收縮率參考值，但實際上混有不同樹種，所以有幅度。
橫切面	把木材和縱向垂直切開的面（像樹樁那樣看得到年輪的面），也稱木口。這個頁面的圖是從正面看橫切面的斷面圖，表示年輪和板的方向關係。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這個表的內容是最快的方法。

比率與百分率（國小五年級，10～11 歲）	能把「7.5%」換成「100 分之 7.5 = 0.075」這樣的小數能用 \(600 \times 0.0125\) 求出「600 mm 的 1.25%」
正比（國小六年級～國中七年級，11～13 歲）	了解含水率每變化 1% 就收縮同樣的量＝收縮量和含水率的變化成正比的關係能先求出「每 1% 2 mm」這種「每 1 單位的量」，再乘以變化量
正數與負數（國中七年級，12～13 歲）	會算 \(10 - 16 = -6\) 這種減法答案為負的計算能把正負號讀成方向的意思，例如「尺寸變化為負＝變大（膨脹）」
代數式與等式變形（國中七～八年級，12～14 歲）	能把數值代入 \(\Delta W = W \times \dfrac{S}{100} \times \dfrac{m_1 - m_2}{F}\) 這樣的代數式「已知 \(\Delta W\)、想知道 \(m_1 - m_2\)」時，能用除法改寫公式求解（反算）
木材的性質（國中生活科技，12～15 歲）	木材有木紋（年輪），弦切和徑切的性質不同知道木材會隨濕度伸縮，乾燥時會收縮、翹曲

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「收縮量（含水率變化造成的尺寸變化）」的表

原尺寸 W（mm）	600
全收縮率 S（%）	7.5
目前的含水率 m1（%）	15
變化後的含水率 m2（%）	10
纖維飽和點 F（%）	30
尺寸變化 ΔW（mm）	=B1(B2/100)(MIN(B3,B5)-MIN(B4,B5))/B5
變化後的尺寸 W'（mm）	=B1-B6

求「收縮率（%）」的表

全收縮率 S（%）	10.8
目前的含水率 m1（%）	12
變化後的含水率 m2（%）	8
纖維飽和點 F（%）	30
收縮率 r（%）	=B1*(MIN(B2,B4)-MIN(B3,B4))/B4

求「由可容許的尺寸變化算出的含水率變化幅度」的表

原尺寸 W（mm）	800
全收縮率 S（%）	7.8
纖維飽和點 F（%）	30
可容許的尺寸變化 ΔWmax（mm）	2
含水率每 1% 的尺寸變化（mm）	=B1*(B2/100)/B3
可容許的含水率變化幅度 Δm（%）	=B4/B5

貼上後，B 欄上方的列是輸入欄，最後一列是自動計算的結果。
第 1 個表是柳杉弦切（7.5%）寬 600 mm、含水率 15% → 10%，B6 是 7.5（mm）、B7 是 592.5（mm）。「MIN(B3,B5)」是含水率高於纖維飽和點時，以纖維飽和點為上限的式子。第 2 個表是水楢弦切（10.8%）、含水率 12% → 8%，B5 是 1.44（%）。第 3 個表是胡桃木弦切（7.8%）寬 800 mm、容許 2 mm，B5 是 2.08（mm）、B6 約 0.96（%）。
含水率上升（膨脹）時，在 m2 輸入較大的值，B6 會變成負數，表示變大這麼多。「*」是乘法，「/」是除法。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「收縮量（含水率變化造成的尺寸變化）」的表

原尺寸 W（mm）	600
全收縮率 S（%）	7.5
目前的含水率 m1（%）	15
變化後的含水率 m2（%）	10
纖維飽和點 F（%）	30
尺寸變化 ΔW（mm）	=B1(B2/100)(MIN(B3,B5)-MIN(B4,B5))/B5
變化後的尺寸 W'（mm）	=B1-B6

求「收縮率（%）」的表

全收縮率 S（%）	10.8
目前的含水率 m1（%）	12
變化後的含水率 m2（%）	8
纖維飽和點 F（%）	30
收縮率 r（%）	=B1*(MIN(B2,B4)-MIN(B3,B4))/B4

求「由可容許的尺寸變化算出的含水率變化幅度」的表

原尺寸 W（mm）	800
全收縮率 S（%）	7.8
纖維飽和點 F（%）	30
可容許的尺寸變化 ΔWmax（mm）	2
含水率每 1% 的尺寸變化（mm）	=B1*(B2/100)/B3
可容許的含水率變化幅度 Δm（%）	=B4/B5

可以直接使用和 Excel 相同的公式（MIN 也是相同的函數名稱）。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 B 欄改成自己的數值。

用 Python 計算的方法

width_mm = 600           # 原尺寸 W（mm）
shrinkage_total = 7.5    # 全收縮率 S（%）。柳杉弦切（弦向）的參考值
moisture_now = 15        # 目前的含水率 m1（%）
moisture_after = 10      # 變化後的含水率 m2（%）
fsp = 30                 # 纖維飽和點 F（%）

# 高於纖維飽和點的含水率不影響尺寸，所以設定上限
m1 = min(moisture_now, fsp)
m2 = min(moisture_after, fsp)

# 收縮量 ΔW = W × (S ÷ 100) × (m1 − m2) ÷ F
delta_mm = width_mm * (shrinkage_total / 100) * (m1 - m2) / fsp
shrink_rate = shrinkage_total * (m1 - m2) / fsp      # 收縮率 r（%）
width_after = width_mm - delta_mm                    # 變化後的尺寸
per_percent = width_mm * (shrinkage_total / 100) / fsp   # 含水率每 1% 的尺寸變化
print(f"尺寸變化: {delta_mm:.3f} mm（正值為收縮，負值為膨脹）")
print(f"收縮率: {shrink_rate:.3f} %, 變化後的尺寸: {width_after:.3f} mm")
print(f"含水率每 1%: {per_percent:.4f} mm")

# 反算：要把尺寸變化控制在 allow_mm 以內的含水率變化幅度
allow_mm = 2
delta_moisture = allow_mm / per_percent
print(f"要把尺寸變化控制在 {allow_mm} mm 以內，含水率的變化要在 ±{delta_moisture:.2f} % 以內")

# 一年的伸縮：平衡含水率在 10% ⇄ 15% 之間變動時
swing_mm = width_mm * (shrinkage_total / 100) * (15 - 10) / fsp
print(f"一年的伸縮幅度: {swing_mm:.3f} mm（在中間製作則 ±{swing_mm / 2:.3f} mm）")

只用標準函式庫就能執行。先用 min() 以纖維飽和點為含水率的上限，再照公式做乘除。把開頭的尺寸、全收縮率、含水率改成自己的數值後執行。徑切時在 shrinkage_total 輸入徑向的全收縮率（柳杉是 2.7），長度方向輸入 0.2 左右。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

收縮量（含水率變化造成的尺寸變化）

ΔW = W × (S ÷ 100) × (m₁ − m₂) ÷ F

\Delta W = W \cdot \frac{S}{100} \cdot \frac{m_1 - m_2}{F}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>Δ</mi><mi>W</mi><mo>=</mo><mi>W</mi><mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac><mi>S</mi><mn>100</mn></mfrac><mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac><mrow><msub><mi>m</mi><mn>1</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>m</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mi>F</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

Delta W = W * (S / 100) * (m_1 - m_2) / F

W*(S/100)*(m1 - m2)/F

DeltaW := W*(S/100)*(m1 - m2)/F;

DeltaW = W*(S/100)*(m1 - m2)/F;  % W 是尺寸(mm)，S 是全收縮率(%)，m1、m2 是含水率(%)，F 是纖維飽和點(%)

ΔW = W (S/100) (m_1 − m_2)/F

收縮率（%）與由收縮率求收縮量

r = S × (m₁ − m₂) ÷ F,  ΔW = W × r ÷ 100

r = S \cdot \frac{m_1 - m_2}{F},\quad \Delta W = W \cdot \frac{r}{100}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi><mo>=</mo><mi>S</mi><mo>&#x22C5;</mo>
    <mfrac><mrow><msub><mi>m</mi><mn>1</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>m</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mi>F</mi></mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mi>Δ</mi><mi>W</mi><mo>=</mo><mi>W</mi><mo>&#x22C5;</mo><mfrac><mi>r</mi><mn>100</mn></mfrac>
  </mrow>
</math>

r = S * (m_1 - m_2) / F,  Delta W = W * r / 100

{S*(m1 - m2)/F, W*(S*(m1 - m2)/F)/100}

r := S*(m1 - m2)/F;  DeltaW := W*r/100;

r = S*(m1 - m2)/F; DeltaW = W*r/100;  % r 是收縮率(%)

r = S (m_1 − m_2)/F, ΔW = W r/100

反算：由可容許的尺寸變化求含水率變化幅度

Δm = ΔW_max ÷ (W × S ÷ 100) × F

\Delta m = \frac{\Delta W_{\max}}{W \cdot S / 100} \cdot F

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>Δ</mi><mi>m</mi><mo>=</mo>
    <mfrac><mrow><mi>Δ</mi><msub><mi>W</mi><mi>max</mi></msub></mrow><mrow><mi>W</mi><mo>&#x22C5;</mo><mi>S</mi><mo>/</mo><mn>100</mn></mrow></mfrac>
    <mo>&#x22C5;</mo><mi>F</mi>
  </mrow>
</math>

Delta m = (Delta W_max) / (W * S / 100) * F

DeltaWmax/(W*S/100)*F

Deltam := DeltaWmax/(W*S/100)*F;

Deltam = DeltaWmax/(W*S/100)*F;  % DeltaWmax 是可容許的尺寸變化(mm)

Δm = ΔW_max/(W S/100) F

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是木材乾燥收縮的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只根據執行結果的數值回答（不要心算或推測）。

柳杉弦切板（弦向的全收縮率 7.5%，是含水率從纖維飽和點 30% 降到 0% 時的值）寬 600 mm，含水率從 15% 降到 10%。
請分別求出下列數值。含水率高於纖維飽和點（30%）時，請以 30% 計算。
1. 收縮量（mm。ΔW = 寬度 × (全收縮率 ÷ 100) × (目前的含水率 − 變化後的含水率) ÷ 纖維飽和點）
2. 收縮率（%。全收縮率 × 含水率的變化 ÷ 纖維飽和點）和變化後的尺寸（mm）
3. 同一片板如果是徑切（徑向的全收縮率 2.7%）時的收縮量（mm）
4. 這片弦切板要把尺寸變化控制在 2 mm 以內，可容許的含水率變化幅度（%。2 ÷ (寬度 × 全收縮率 ÷ 100 ÷ 纖維飽和點)）

請列出計算用的公式和執行結果的數值。