有 3 種用法：(1) 由測量值、平均數、標準差求 z 分數；(2) z 分數與機率互相換算（只輸入其中一個）；(3) 求兩個 z 分數之間的機率。請只在想使用的那一組欄位輸入。
請只在其中一種用法的欄位輸入，其他欄位保持空白。機率請輸入 0～1 的數值（例：97.5% 就輸入 0.975）。
計算結果與圖表
在左側輸入欄輸入數值，按下「計算」，結果和圖表就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入測量值 \(x\)、平均數 \(\mu\)、標準差 \(\sigma\)，就能一次算出 z 分數（標準分數），以及比這個值小的機率
- 不必查「標準常態分布表（z 表）」，z 分數與機率可以雙向換算（z 分數→機率，也能由機率反推 z 分數）
- 也能馬上算出兩個 z 分數之間的機率（例如介於 −1.96 與 1.96 之間的機率）
- 這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
本計算機的前提是「資料呈常態分布（以平均數為中心、左右對稱的鐘形）」。分布形狀嚴重偏斜的資料不適用。
這個計算有什麼用？
標準分數與 PR 值：了解自己在全體中的位置（學校、考試）
在平均 65 分、標準差 5 分的考試考 75 分，就是 \(z = 2\)。如果分數呈常態分布，就落在前約 2.3%（\(1 - \Phi(2) \approx 0.0228\)）的位置，換算成百分等級（PR 值，表示贏過百分之多少的人）大約是 PR 97～98。T 分數（\(T = 50 + 10 \times z\)）則是 70。
把原始分數換算成百分等級，或用數字讀出「差幾分」實際上差多少，即使是滿分和平均都不同的考試也能比較，這是 z 分數最貼近生活的應用。
用同一把量尺比較不同科目或考試的成績
「英文 80 分（平均 70 分、標準差 10 分）」和「數學 65 分（平均 50 分、標準差 15 分）」，看原始分數好像英文比較高，但換算成 z 分數後兩者都是 \(z = 1\)，位置相同。
即使單位、滿分、評分寬嚴不同，用 z 分數就能以「在群體中高出多少」來公平比較。不同考卷的分數換算、績效評比的標準化等，也都運用了這個概念。
看懂兒童的生長曲線（育兒、保健）
台灣的兒童健康手冊採用世界衛生組織（WHO）的兒童生長標準，用百分位的曲線評估身高、體重。WHO 的標準也可以用 z 分數（SD 分數）表示，也就是離平均有幾個標準差（SD）。
例如 ±2SD（\(z = \pm 2\)）的外側各約 2.3%，相當於第 2.3 與第 97.7 百分位；手冊上第 97 百分位的線約是 \(z = 1.88\)。這些線是醫師判斷是否需要持續觀察成長的參考之一（每個孩子的成長速度不同，醫師會看變化趨勢再判斷）。了解曲線的意義，健檢時的說明就比較容易看懂。
工廠的品質管理：會有多少產品不合規格（製造業）
產品尺寸或重量的變異常接近常態分布，把規格的上限、下限換算成 z 分數，就能估計不良率。規格在平均數 \(\pm 3\sigma\) 的位置時，超出規格的約 0.3%（\(2 \times (1 - \Phi(3)) \approx 0.0027\)）。
品質改善活動「六標準差（Six Sigma）」的名稱，也是來自這個 z 分數（離平均幾個 σ）的概念。
金融的風險管理：「有 99% 的機率，損失不超過這裡」（銀行、投資）
銀行和資產管理公司會用「風險值（VaR）」這個指標，衡量持有資產的損失風險。假設報酬率呈常態分布，「有 99% 的機率損失不超過這個範圍」的邊界，就是 z 分數 \(\Phi^{-1}(0.99) \approx 2.33\)，也就是離平均數 2.33 個標準差的位置。
全世界金融機構風險計算的基礎，都用到這個「機率→z 分數」的反向換算。
公式與圖表
z 分數的定義（離平均數有幾個標準差）
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(z\)
\(=\)
\((\)
\(x\)
\(-\)
\(\mu\)
\()\)
\(\div\)
\(\sigma\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(z\)：z 分數
\(=\)
\((\)
①
\(x\)：測量值
\(-\)
②
\(\mu\)：平均數
\()\)
\(\div\)
③
\(\sigma\)：標準差
用文字讀公式
①
從
\(x\)：測量值
②
減去
\(\mu\)：平均數
，
③
再除以
\(\sigma\)：標準差
，
④
就得到
\(z\)：z 分數
。
簡單範例
在平均 65 分、標準差 5 分的考試考了 75 分的人，z 分數是
\(z\)：z 分數
\(=\)
\((\)
分數（75）
\(-\)
平均數（65）
\()\)
\(\div\)
標準差（5）
\((75 - 65) \div 5 = 10 \div 5 = 2\)
思考重點
z 分數（標準分數）是表示「離平均數有幾個標準差」的數。z 分數為正表示比平均數高，為負表示比平均數低，0 就剛好等於平均數。
即使是單位或滿分不同的資料，換算成 z 分數（這個換算稱為標準化）後，也能用同一把量尺比較。心理測驗、教育評量常用的 T 分數也是這個概念：\(T = 50 + 10 \times z\)（例子中的 \(z = 2\) 相當於 T 分數 70）。
由 z 分數求「比 \(Z\) 小的機率」
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(x<Z)\)
\(=\)
\(\Phi(Z)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
比 \(Z\) 小的機率
\(=\)
①
左側的面積 \(\Phi(Z)\)
用文字讀公式
①
把 z 分數 \(Z\) 代入累積分布函數 \(\Phi\)（phi），求出
\(\Phi(Z)\) 的值
（\(\Phi(Z)\) 是標準常態分布曲線在 \(Z\) 左側的面積），
②
這就是
比 \(Z\) 小的機率 \(P(x<Z)\)
。
簡單範例
z 分數為 2 時，比 2 小的機率是
比 2 小的機率
\(=\)
累積分布函數的值 \(\Phi(2)\)
\(\Phi(2) \approx 0.97725\ \ (97.7\%)\)
思考重點
\(\Phi\) 的值，以前要查課本後面附的「標準常態分布表（z 表）」。本計算機可以代替這張 z 表。
相反的一側「比 \(Z\) 大的機率」，是用全體的機率 1 減去它：\(1 - \Phi(Z)\)。由機率反推 z 分數時，則使用反函數 \(\Phi^{-1}\)（例：\(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\)）。本計算機兩個方向都能換算。
介於 \(-Z\) 與 \(Z\) 之間的機率（兩側合計）
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(-Z<x<Z)\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\Phi(Z)\)
\(-\)
\(1\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
介於 \(-Z\) 與 \(Z\) 之間的機率
\(=\)
②
2 倍（兩側）
\(\times\)
①
左側的面積 \(\Phi(Z)\)
\(-\)
③
全體的機率 \(1\)
用文字讀公式
①
把
\(\Phi(Z)\) 的值（\(Z\) 左側的面積）
②
乘以
2（左右對稱，所以算 2 份）
，
③
再減去
全體的機率 \(1\)
，
④
就得到
介於 \(-Z\) 與 \(Z\) 之間的機率
。
簡單範例
z 分數為 1.96 時（\(\Phi(1.96) \approx 0.975\)），介於 −1.96 與 1.96 之間的機率是
介於 −1.96 與 1.96 之間的機率
\(=\)
2 倍
\(\times\)
累積分布函數的值（0.975）
\(-\)
全體的機率（1）
\(2 \times 0.975 - 1 = 1.95 - 1 = 0.95\ \ (95\%)\)
思考重點
這個式子適用於 \(Z\) 為 0 以上時。標準常態分布以 0 為中心左右對稱，所以「從 \(-Z\) 到 \(Z\)」的面積，等於把 \(Z\) 左側的面積 \(\Phi(Z)\) 乘以 2，再減去重複算到的全體（1）。
落在外側（兩端）的機率是它的餘事件：\(1 - (2\Phi(Z) - 1)\)。例子中的 \(Z = 1.96\)，內側是 95%、外側是 5%；統計檢定中常出現的「顯著水準 5%」的邊界，就是這個 z 分數。
介於兩個 z 分數 \(Z_1\)、\(Z_2\) 之間的機率
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(Z_1<x<Z_2)\)
\(=\)
\(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
\(\Phi(Z_1)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
介於 \(Z_1\) 與 \(Z_2\) 之間的機率
\(=\)
①
左側的面積 \(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
②
左側的面積 \(\Phi(Z_1)\)
用文字讀公式
①
從
上限 \(Z_2\) 左側的面積 \(\Phi(Z_2)\)
②
減去
下限 \(Z_1\) 左側的面積 \(\Phi(Z_1)\)
，
③
就得到
介於 \(Z_1\) 與 \(Z_2\) 之間的機率
。
簡單範例
\(Z_1 = -1\)、\(Z_2 = 0\) 時（\(\Phi(0) = 0.5\)、\(\Phi(-1) \approx 0.15866\)），介於 −1 與 0 之間的機率是
介於 −1 與 0 之間的機率
\(=\)
上限左側的面積 \(\Phi(0)\)
\(-\)
下限左側的面積 \(\Phi(-1)\)
\(0.5 - 0.15866 = 0.34134\ \ (34.1\%)\)
思考重點
只是「用到較大一方的面積，減去到較小一方的面積」，所以不論 \(Z_1\)、\(Z_2\) 是多少（兩個都是負數也可以）都能使用。
輸入 \(Z_1 = -1\)、\(Z_2 = 1\)，會得到約 0.683（68.3%）。可以用這個式子確認常態分布有名的參考標準「平均數 ± 1 個標準差內約有 68%」（68–95–99.7 規則）。
z 分數是表示「離平均數有幾個標準差」、衡量資料位置的共同量尺。換算成 z 分數，就能比較單位不同的資料，再用累積分布函數 \(\Phi\) 換算成「到這個值為止的機率（面積）」。
符號與用語解說
符號
| \(z\) | z（z 分數） | 表示某個值離平均數有幾個標準差的數，用 \(z = (x - \mu) \div \sigma\) 求出。為正表示比平均數高，為負表示比平均數低。本頁中，像用法 (2)、(3) 那樣自己指定的 z 分數，用大寫 \(Z\) 來區分。 |
| \(x\) | x | 測量值，例如考試分數或身高，是想換算成 z 分數的原始值。 |
| \(\mu\) | mu | 平均數，也就是分布高峰中心的位置。是希臘字母，相當於英文的 m。 |
| \(\sigma\) | sigma | 標準差，代表資料分散程度的大小。數值越大，高峰越低越寬。是希臘字母，相當於英文的 s。 |
| \(\Phi(Z)\) | phi Z | 標準常態分布（平均數 0、標準差 1）的累積分布函數，傳回「比 \(Z\) 小的機率」，也就是曲線在 \(Z\) 左側的面積。 |
| \(\Phi^{-1}\) | phi inverse（Φ 的反函數） | 和 \(\Phi\) 方向相反的函數，由「機率（面積）」傳回「對應的 z 分數」。（例：\(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\)） |
| \(Z_1,\ Z_2\) | Z 下標 1、Z 下標 2 | 用法 (3) 中指定的兩個 z 分數。\(Z_1\) 是左側（較小的一方）、\(Z_2\) 是右側（較大的一方）的邊界。 |
用語
| z 分數 | 表示某個值「離平均數有幾個標準差」、沒有單位的數，也稱為標準分數或 z 值。最大的特點是能把單位或滿分不同的資料，放在同一把量尺上比較。 |
| 標準化 | 把原始值換算成 z 分數。任何常態分布的資料，經過標準化後都能用平均數 0、標準差 1 的標準常態分布來處理。 |
| 標準常態分布 | 平均數 0、標準差 1 的常態分布，是 z 分數世界的分布，用來當作所有常態分布機率計算的「共同量尺」。 |
| 常態分布 | 以平均數為中心、左右對稱呈鐘形分散的分布，也常稱為常態分配。考試分數、身高、產品重量的變異等，生活中許多資料都接近這個形狀。 |
| 累積分布函數 | 傳回「小於或等於該值的機率」的函數。標準常態分布的累積分布函數用符號 \(\Phi\)（phi）表示。因為是把曲線左側的面積累加起來，所以叫這個名字。 |
| 標準常態分布表 | 整理 z 分數與 \(\Phi\) 的值（面積）對應關係的數表，也稱為 z 表，附在高中課本或統計書籍的後面。本頁的用法 (2) 可以代替這張表。 |
| T 分數 | 把 z 分數換算成「平均數 50、1 個標準差為 10」的值（\(T = 50 + 10 \times z\)），常用於心理測驗與教育評量，是 z 分數貼近生活的應用。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
| 平均數（國小高年級、國中七年級） |
|
| 正負數的計算（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 數據分析與標準差（高一「一維數據分析」，15～16 歲） |
|
| 常態分布與面積的看法（高中選修數學，17～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「z 分數」的表格
| 測量值 x | 75 |
| 平均數 μ | 65 |
| 標準差 σ | 5 |
| z 分數 | =(B1-B2)/B3 |
求「比 z 分數小的機率 P(x<Z)」的表格
| z 分數 Z | 2 |
| P(x<Z) | =NORM.S.DIST(B1,TRUE) |
求「介於 −Z 與 Z 之間的機率」的表格
| z 分數 Z | 1.96 |
| Φ(Z) | =NORM.S.DIST(B1,TRUE) |
| 介於 −Z 與 Z 之間的機率 | =2*B2-1 |
求「介於兩個 z 分數 Z1、Z2 之間的機率」的表格
| 左側 Z1 | -1 |
| 右側 Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =NORM.S.DIST(B1,TRUE) |
| Φ(Z2) | =NORM.S.DIST(B2,TRUE) |
| 介於 Z1 與 Z2 之間的機率 | =B4-B3 |
貼上表格後，B 欄的數字就能當作輸入欄使用。「NORM.S.DIST（值，TRUE）」是相當於累積分布函數 \(\Phi\) 的函數，TRUE 代表「傳回累積值（左側的面積）」。
第 1 個表格改變測量值、平均數、標準差（B1～B3），B4 就會顯示 z 分數（範例的值 B4 為 2）。第 2 個表格由 z 分數（B1）求機率（B2），範例的值 B2 約為 0.97725（97.7%）。
第 3 個表格輸入 z 分數 1.96，就會得到介於 −1.96 與 1.96 之間的機率（B3）約 0.95（95%）。第 4 個表格是兩個 z 分數之間的機率，範例的值（−1 與 0）B5 約為 0.34134（34.1%）。
相反地，想「由機率求 z 分數」時，請使用「=NORM.S.INV（機率）」（例：`=NORM.S.INV(0.975)` 約為 1.95996）。
第 1 個表格改變測量值、平均數、標準差（B1～B3），B4 就會顯示 z 分數（範例的值 B4 為 2）。第 2 個表格由 z 分數（B1）求機率（B2），範例的值 B2 約為 0.97725（97.7%）。
第 3 個表格輸入 z 分數 1.96，就會得到介於 −1.96 與 1.96 之間的機率（B3）約 0.95（95%）。第 4 個表格是兩個 z 分數之間的機率，範例的值（−1 與 0）B5 約為 0.34134（34.1%）。
相反地，想「由機率求 z 分數」時，請使用「=NORM.S.INV（機率）」（例：`=NORM.S.INV(0.975)` 約為 1.95996）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「z 分數」的表格
| 測量值 x | 75 |
| 平均數 μ | 65 |
| 標準差 σ | 5 |
| z 分數 | =(B1-B2)/B3 |
求「比 z 分數小的機率 P(x<Z)」的表格
| z 分數 Z | 2 |
| P(x<Z) | =NORMSDIST(B1) |
求「介於 −Z 與 Z 之間的機率」的表格
| z 分數 Z | 1.96 |
| Φ(Z) | =NORMSDIST(B1) |
| 介於 −Z 與 Z 之間的機率 | =2*B2-1 |
求「介於兩個 z 分數 Z1、Z2 之間的機率」的表格
| 左側 Z1 | -1 |
| 右側 Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =NORMSDIST(B1) |
| Φ(Z2) | =NORMSDIST(B2) |
| 介於 Z1 與 Z2 之間的機率 | =B4-B3 |
在 Google 試算表中，用「NORMSDIST（值）」計算累積分布函數 \(\Phi\)（作用和 Excel 的「NORM.S.DIST（值，TRUE）」相同，但不必指定 TRUE）。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再改變 B 欄的數字即可。
結果和 Excel 版相同：第 1 個表格由 75、65、5 算出 z 分數 2，第 2 個表格由 z 分數 2 算出機率約 0.97725。
由機率求 z 分數時，請使用「=NORMSINV（機率）」（例：`=NORMSINV(0.975)` 約為 1.95996）。
結果和 Excel 版相同：第 1 個表格由 75、65、5 算出 z 分數 2，第 2 個表格由 z 分數 2 算出機率約 0.97725。
由機率求 z 分數時，請使用「=NORMSINV（機率）」（例：`=NORMSINV(0.975)` 約為 1.95996）。
用 Python 計算的方法
import math
def phi(z):
# 標準常態分布的累積分布函數 Φ(z)（用誤差函數 erf 計算）
return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))
x = 75 # 測量值
mean = 65 # 平均數
sd = 5 # 標準差
z_score = (x - mean) / sd # z 分數
p_less_than_z = phi(z_score) # 比 z 分數小的機率 P(x<Z)
z = 1.96
p_between_minus_z_and_z = 2 * phi(z) - 1 # 介於 -z 與 z 之間的機率
z1, z2 = -1, 0
p_between_z1_z2 = phi(z2) - phi(z1) # 介於 z1 與 z2 之間的機率
print(f"z 分數：{z_score}")
print(f"P(x<Z)：{p_less_than_z}")
print(f"介於 -z 與 z 之間的機率：{p_between_minus_z_and_z}")
print(f"介於 z1 與 z2 之間的機率：{p_between_z1_z2}")
只用標準函式庫的 math.erf（誤差函數），就能計算累積分布函數 \(\Phi\)。需要反方向（機率→z 分數）時，請使用標準函式庫 statistics 模組的 NormalDist().inv_cdf()（例：`statistics.NormalDist().inv_cdf(0.975)` 約為 1.95996）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
z 分數的定義（離平均數有幾個標準差）
z = (x − μ) ÷ σ
z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow>
<mi>σ</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z = (x - mu)/sigma
(x - mu)/sigma
z := (x - mu)/sigma;
z = (x - mu)/sigma;
z = (x-μ)/σ
由 z 分數求「比 \(Z\) 小的機率」
P(x<Z) = Φ(Z)
P(x<Z) = \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(x<Z) = Phi(Z)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z);
p = normcdf(Z);
P(x<Z) = Φ(Z)
介於 \(-Z\) 與 \(Z\) 之間的機率（兩側合計）
P(−Z<x<Z) = 2Φ(Z) − 1
P(-Z<x<Z) = 2\Phi(Z) - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>Z</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn>
</mrow>
</math>
P(-Z<x<Z) = 2 Phi(Z) - 1
2 CDF[NormalDistribution[0, 1], Z] - 1
with(Statistics): 2*CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z) - 1;
p = 2*normcdf(Z) - 1;
P(-Z<x<Z) = 2Φ(Z) - 1
介於兩個 z 分數 \(Z_1\)、\(Z_2\) 之間的機率
P(Z₁<x<Z₂) = Φ(Z₂) − Φ(Z₁)
P(Z_1<x<Z_2) = \Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(Z_1<x<Z_2) = Phi(Z_2) - Phi(Z_1)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z2] - CDF[NormalDistribution[0, 1], Z1]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z2) - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z1);
p = normcdf(Z2) - normcdf(Z1);
P(Z1<x<Z2) = Φ(Z2) - Φ(Z1)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是統計計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。 有人在平均 65 分、標準差 5 分的考試中考了 75 分。 1. 請求出這個人的 z 分數。 2. 請求出分數低於這個值的機率 P(x<Z)（使用標準常態分布的累積分布函數 Φ；可以使用 Python 的標準函式庫，例如 math.erf 或 statistics.NormalDist）。 3. 也請求出 z 分數介於 −1.96 與 1.96 之間的機率。 請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
常態分布機率計算機（常態分配、範圍機率、z 分數）
由平均數與標準差，計算落在指定範圍內的機率、前百分之幾
標準差計算機（母體標準差、樣本標準差）
由一串數值算出母體標準差、樣本標準差、變異數與平均數
