請輸入膠囊（圓柱兩端各接一個半球的立體）的半徑和圓柱部分的高。會顯示表面積（S ＝ 4πr² ＋ 2πrh）和明細，以及 cm²、m² 的單位換算。
半徑和高請用相同的單位，只輸入半形數字（不加單位，只輸入數字。例如 3 cm 就輸入「3」）。「高」是扣掉兩端半球、只有中間圓柱部分的高。只知道膠囊整體的長度（全長）時，請輸入全長減去直徑（半徑 × 2）的值。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入半徑和圓柱部分的高，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入半徑和圓柱部分的高，就能當場求出膠囊（圓柱兩端各接一個半球的立體）的表面積（\(S = 4\pi r^2 + 2\pi r h\)）
- 同時顯示明細：球的部分的表面積（\(4\pi r^2\)）和圓柱側面的面積（\(2\pi r h\)）
- 同時顯示面積的單位換算（用 cm 輸入時換成 m²，用 m 輸入時換成 cm²）
- 計算結果也會用 3D 圖形顯示，可以用滑鼠或手指滑動旋轉，確認形狀
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
半徑和高請用相同的單位輸入（cm 就都用 cm，m 就都用 m）。「高」是扣掉兩端半球、只有圓柱部分的高（不是膠囊整體的長度）。球、圓柱等其他立體的表面積和體積，請使用各自的專用頁面。
這個計算有什麼用？
估算藥品膠囊的包衣用量（製藥）
藥品膠囊有時會加上包衣（薄膜），用來遮蓋味道和氣味，或讓藥不在胃而在腸裡溶解。需要的包衣材料量和膠囊的表面積成正比。
半徑 0.35 cm、圓柱部分的高 1.2 cm（全長約 1.9 cm，常見的大小）的膠囊，1 粒的表面積是 \(4\pi \times 0.35^2 + 2\pi \times 0.35 \times 1.2 \approx 4.2\,\mathrm{cm^2}\)。做 10 萬粒，合計要包覆約 42 m² 的膜，這就是準備材料量的根據。
估算瓦斯儲槽的塗裝面積（工業、設備）
液化石油氣等的壓力儲槽，常用耐壓的「圓筒兩端是半球」的膠囊形。重新塗防鏽漆時，要由表面積估算需要的油漆量。
半徑 1 m、圓筒部分長 4 m 的儲槽，表面積是 \(4\pi \times 1^2 + 2\pi \times 1 \times 4 = 12\pi \approx 37.7\,\mathrm{m^2}\)。如果 1 桶油漆可以塗 30 m²，就需要 2 桶，這樣的叫貨計算用這個公式就能完成（實際上還要多加一點管線和支架的部分）。
計算香腸腸衣的材料量（食品製造）
香腸是用叫做腸衣的外皮包住絞肉、幾乎是膠囊形的食品。腸衣的需要量由每 1 條的表面積決定。
半徑 1 cm、圓柱部分長 13 cm 的香腸，1 條的表面積是 \(4\pi \times 1^2 + 2\pi \times 1 \times 13 = 30\pi \approx 94.2\,\mathrm{cm^2}\)。做 1000 條，估計需要約 9.4 m² 的腸衣（實際上還要多留一些綁結的部分）。
思考儲熱水桶的散熱和保溫材（居家、節能）
熱泵熱水器或儲熱式電熱水器的儲水桶，也常用兩端圓圓的圓筒形（接近膠囊的形狀）。熱水的熱會從水桶表面散失，所以散熱量和要包覆的保溫材用量，都由表面積決定。
半徑 0.3 m、圓筒部分高 1.2 m 的水桶，表面積是 \(4\pi \times 0.3^2 + 2\pi \times 0.3 \times 1.2 \approx 3.4\,\mathrm{m^2}\)。容量相同時，表面積越小的形狀越不容易散熱，這個節能設計的基本道理也能從這個公式來思考。
公式與圖示
膠囊的表面積（基本公式）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(+\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(\times\)
\(h\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑨
膠囊的表面積 \(S\)
\(=\)
①
常數 \(4\)
\(\times\)
②
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
③
半徑 \(r\)
④
平方（同一個數乘 2 次）
\(+\)
⑤
常數 \(2\)
\(\times\)
⑥
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
⑦
半徑 \(r\)
\(\times\)
⑧
圓柱部分的高 \(h\)
用文字讀公式
①
常數 \(4\)
、
②
圓周率 \(\pi\)
和
③
半徑 \(r\)
的
④
平方（同一個數乘 2 次）
相乘，得到球的部分的表面積；
⑤
常數 \(2\)
、
⑥
圓周率 \(\pi\)
、
⑦
半徑 \(r\)
和
⑧
圓柱部分的高 \(h\)
相乘，得到圓柱側面的面積。
⑨
這兩個相加，就得到
膠囊的表面積 \(S\)
。
簡單範例
半徑 3 cm、圓柱部分的高 10 cm（全長 16 cm）的膠囊，表面積是
膠囊的表面積 \(S\)
\(=\)
常數 \(4\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
平方
\(+\)
常數 \(2\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
\(\times\)
圓柱部分的高（10 cm）
\(4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi\)
\(2 \times \pi \times 3 \times 10 = 60\pi\)
\(36\pi + 60\pi = 96\pi \approx 301.6\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
膠囊由「中間的圓柱部分」和「兩端的 2 個半球」組成。2 個半球合起來剛好是 1 個球，所以前半的 \(4\pi r^2\) 就是球表面積的公式。後半的 \(2\pi r h\) 是圓柱側面的面積；圓柱上下的底面（圓）和半球相連、在內側，所以不算進表面積。
「高 \(h\)」只是圓柱部分的高。膠囊整體的長度（全長）是 \(h + 2r\)，所以知道全長時，請先用「全長 − 直徑」算出 \(h\)，再代入公式。
球的部分的表面積（兩端的半球合起來是 1 個球）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_1\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
球的部分的表面積 \(S_1\)
\(=\)
①
常數 \(4\)
\(\times\)
②
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
③
半徑 \(r\)
④
平方（同一個數乘 2 次）
用文字讀公式
①
常數 \(4\)
、
②
圓周率 \(\pi\)
和
③
半徑 \(r\)
的
④
平方（同一個數乘 2 次）
相乘，就得到
⑤
球的部分的表面積 \(S_1\)
。
簡單範例
半徑 3 cm 的膠囊，球的部分的表面積是
球的部分的表面積 \(S_1\)
\(=\)
常數 \(4\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
平方
\(3 \times 3 = 9\)
\(4 \times \pi \times 9 = 36\pi \approx 113.1\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
膠囊左右兩端是把球剛好切成一半的「半球」。左右 2 個半球合起來又變回 1 個球，所以可以直接用球表面積的公式 \(S = 4\pi r^2\)（一半的面積乘以 2，結果就是整整 1 個球）。
「半徑的平方乘以 4 個圓面積（常數 4）」這個形式，表示球的表面積「剛好是同半徑圓面積的 4 倍」。
圓柱側面的面積（剪開就是長方形）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_2\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(\times\)
\(h\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
圓柱側面的面積 \(S_2\)
\(=\)
①
常數 \(2\)
\(\times\)
②
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
③
半徑 \(r\)
\(\times\)
④
圓柱部分的高 \(h\)
用文字讀公式
①
常數 \(2\)
、
②
圓周率 \(\pi\)
和
③
半徑 \(r\)
相乘（得到圓周長），再乘以
④
圓柱部分的高 \(h\)
，就得到
⑤
圓柱側面的面積 \(S_2\)
。
簡單範例
半徑 3 cm、圓柱部分的高 10 cm 的膠囊，圓柱側面的面積是
圓柱側面的面積 \(S_2\)
\(=\)
常數 \(2\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
\(\times\)
圓柱部分的高（10 cm）
\(2 \times \pi \times 3 = 6\pi\)
\(6\pi \times 10 = 60\pi \approx 188.5\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
把圓柱的側面用剪刀直直剪開攤平，就變成 1 張長方形（展開圖）。長方形的長是底面的圓周長（\(2\pi r\)），寬是高（\(h\)），所以側面的面積用「圓周長 × 高」＝ \(2\pi r h\) 求出。
一般圓柱的表面積還要加上上下兩個底面（2 個圓 \(2\pi r^2\)），但膠囊的底面和兩端的半球相連、不會露在表面，所以只算側面。
面積的單位換算（cm² → m²）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_{\mathrm{m^2}}\)
\(=\)
\(S_{\mathrm{cm^2}}\)
\(\div\)
\(10000\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
以 m² 為單位的面積 \(S_{\mathrm{m^2}}\)
\(=\)
①
以 cm² 為單位的面積 \(S_{\mathrm{cm^2}}\)
\(\div\)
②
1 m² 等於幾 cm² \(10000\)
用文字讀公式
①
以 cm² 為單位的面積 \(S_{\mathrm{cm^2}}\)
除以
②
1 m² 等於幾 cm² \(10000\)
，就得到
③
以 m² 為單位的面積 \(S_{\mathrm{m^2}}\)
。
簡單範例
把半徑 3 cm、圓柱部分的高 10 cm 的膠囊表面積約 301.6 cm² 換成 m²
以 m² 為單位的面積
\(=\)
以 cm² 為單位的面積（301.6）
\(\div\)
1 m² 等於幾 cm²（10000）
\(301.6 \div 10000 = 0.03016\,\mathrm{m^2}\)
思考重點
面積的換算率是長度換算率的平方。\(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\)，所以 \(1\,\mathrm{m^2}\) 是 \(100 \times 100\)，也就是 \(10000\,\mathrm{cm^2}\)。容易弄錯的地方是：不是「100 倍」，而是 1 萬倍。
反過來，由 m² 換成 cm² 時要乘以 10000。本計算機會同時顯示用 cm 輸入時的 m² 值，以及用 m 輸入時的 cm² 值。
膠囊的表面積用「球的部分（4πr²）＋ 圓柱側面（2πrh）」求出。重點是兩端的 2 個半球剛好是 1 個球，圓柱部分只算側面。請注意高 h 不是膠囊整體的長度，而是扣掉兩端半球、只有圓柱部分的高。
符號與用語解說
符號
| \(S\) | S | 常用來表示面積的符號，可以聯想英文 surface（表面）或 square（平方）來記。本頁用來表示膠囊整體的表面積。 |
| \(S_1\) | S 下標 1 | 本頁用來表示「球的部分的表面積」（\(4\pi r^2\)）的符號。右下角的小 1 是下標，意思是「第 1 個部分」。 |
| \(S_2\) | S 下標 2 | 本頁用來表示「圓柱側面的面積」（\(2\pi r h\)）的符號。右下角的小 2 是下標，意思是「第 2 個部分」。 |
| \(r\) | r | 膠囊的半徑（粗細的一半），圓柱部分和兩端的半球共用。取自英文 radius（半徑）的字首，長度是直徑的一半。 |
| \(h\) | h | 圓柱部分的高（扣掉兩端半球、中間筆直部分的長度），取自英文 height（高度）的字首。膠囊整體的長度是 \(h + 2r\)。 |
| \(\pi\) | pi | 表示圓周率的希臘字母。它是圓周長 ÷ 直徑的值，\(3.14159\ldots\) 無限延續下去。國小用的「3.14」是它的近似值。 |
| \(r^2\) | r 的平方 | 同一個數 \(r\) 乘 2 次的值（\(r \times r\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘 2 次」。 |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 平方公分 | 面積的單位。邊長 1 cm 的正方形的面積是 1 cm²，讀作「平方公分」。 |
| \(\mathrm{m^2}\) | 平方公尺 | 面積的單位。邊長 1 m 的正方形的面積是 1 m²，且 \(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\)。 |
用語
| 膠囊 | 在圓柱上下（或左右）的面上，緊貼著同半徑半球的立體。藥品膠囊、瓦斯儲槽等，生活中和工業產品裡常見的形狀。 |
| 半球 | 用通過中心的平面把球剛好切成一半的立體。膠囊的兩端就是半球，2 個合起來是 1 個球。 |
| 表面積 | 立體整個表面的面積，相當於用紙包住立體時「紙的面積」。膠囊的表面積是球的部分和圓柱側面的合計。 |
| 側面積 | 柱形立體側邊一圈的面的面積（側面的面積）。圓柱的側面剪開後是長方形，用圓周長 × 高（\(2\pi r h\)）求出。 |
| 展開圖 | 把立體剪開、攤平成 1 張平面的圖。圓柱側面的展開圖是「長＝圓周長、寬＝高」的長方形，是側面積公式的基礎。 |
| 圓周長 | 圓一圈的長度，用直徑 × 圓周率（\(2\pi r\)）求出。在圓柱側面的面積中，扮演「長方形的長」的角色。 |
| 圓周率 | 表示圓周長是直徑幾倍的數。不管多大的圓都是同一個值，用符號 \(\pi\) 表示（約 3.14）。 |
| 單位換算 | 把同一個量改用別的單位表示。面積的重點是：長度換算率（1 m ＝ 100 cm）的平方，就是面積的換算率（1 m² ＝ 10000 cm²）。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
| 圓面積與圓周長（國小高年級，10～12 歲） |
|
| 面積的單位（國小三～四年級，8～10 歲） |
|
| 圓柱的展開圖與側面積（國小高年級，10～12 歲） |
|
| 球的表面積（國中～高中，12～18 歲） |
|
| 圓周率與用符號代表數（國中，12～15 歲） |
|
| 小數的計算（國小五年級，10～11 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「膠囊的表面積」的表格
| 半徑 r | 3 |
| 圓柱部分的高 h | 10 |
| 膠囊的表面積 | =4*PI()*B1^2+2*PI()*B1*B2 |
求「球的部分的表面積」的表格
| 半徑 r | 3 |
| 球的部分的表面積（4πr²） | =4*PI()*B1^2 |
求「圓柱側面的面積」的表格
| 半徑 r | 3 |
| 圓柱部分的高 h | 10 |
| 圓柱側面的面積（2πrh） | =2*PI()*B1*B2 |
求「由 cm² 換成 m² 的單位換算」的表格
| 以 cm² 表示的面積 | 301.6 |
| 以 m² 表示的面積 | =B1/10000 |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上方的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式裡的「PI()」是傳回圓周率 π（3.14159…）的 Excel 函數，「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘號，「/」是除號，「^」是乘方（乘幾次）的符號。
例如第一個表格的 B3 會顯示約 301.593（因為用 cm 輸入，所以是 cm²）。第二個表格的 B2 約 113.097，第三個表格的 B3 約 188.496，第四個表格的 B2 是 0.03016。只要把輸入欄的數值改成您自己的膠囊尺寸即可使用。
公式裡的「PI()」是傳回圓周率 π（3.14159…）的 Excel 函數，「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘號，「/」是除號，「^」是乘方（乘幾次）的符號。
例如第一個表格的 B3 會顯示約 301.593（因為用 cm 輸入，所以是 cm²）。第二個表格的 B2 約 113.097，第三個表格的 B3 約 188.496，第四個表格的 B2 是 0.03016。只要把輸入欄的數值改成您自己的膠囊尺寸即可使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「膠囊的表面積」的表格
| 半徑 r | 3 |
| 圓柱部分的高 h | 10 |
| 膠囊的表面積 | =4*PI()*B1^2+2*PI()*B1*B2 |
求「球的部分的表面積」的表格
| 半徑 r | 3 |
| 球的部分的表面積（4πr²） | =4*PI()*B1^2 |
求「圓柱側面的面積」的表格
| 半徑 r | 3 |
| 圓柱部分的高 h | 10 |
| 圓柱側面的面積（2πrh） | =2*PI()*B1*B2 |
求「由 cm² 換成 m² 的單位換算」的表格
| 以 cm² 表示的面積 | 301.6 |
| 以 m² 表示的面積 | =B1/10000 |
和 Excel 相同的公式（包含 PI() 函數）可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的膠囊尺寸即可。
用 Python 計算的方法
import math
radius = 3 # 半徑（這個例子是 cm）
height = 10 # 圓柱部分的高（和半徑用相同的單位。注意不是全長）
sphere_area = 4 * math.pi * radius ** 2 # 球的部分的表面積（兩端 2 個半球＝1 個球，這個例子是 cm2）
lateral_area = 2 * math.pi * radius * height # 圓柱側面的面積（這個例子是 cm2）
surface_area = sphere_area + lateral_area # 膠囊的表面積（這個例子是 cm2）
print(f"球的部分的表面積：{sphere_area} cm2")
print(f"圓柱側面的面積：{lateral_area} cm2")
print(f"膠囊的表面積：{surface_area} cm2")
只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率 π，「**」是乘方（平方），「*」是乘號。請改寫開頭的半徑和圓柱部分的高後執行（這是用 cm 輸入的例子。用 m 輸入時面積是 m²；要把 cm² 換成 m²，就除以 10000）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
膠囊的表面積（基本公式）
S = 4πr² + 2πrh
S = 4 \pi r^{2} + 2 \pi r h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>r</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2 + 2 pi r h
4*Pi*r^2 + 2*Pi*r*h
S := 4*Pi*r^2 + 2*Pi*r*h;
S = 4*pi*r^2 + 2*pi*r*h;
S = 4πr^2 + 2πrh
球的部分的表面積（兩端的半球合起來是 1 個球）
S₁ = 4πr²
S_1 = 4 \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_1 = 4 pi r^2
4*Pi*r^2
S1 := 4*Pi*r^2;
s1 = 4*pi*r^2;
S_1 = 4πr^2
圓柱側面的面積（剪開就是長方形）
S₂ = 2πrh
S_2 = 2 \pi r h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>⁢</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>r</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_2 = 2 pi r h
2*Pi*r*h
S2 := 2*Pi*r*h;
s2 = 2*pi*r*h;
S_2 = 2πrh
面積的單位換算（cm² → m²）
S[m²] = S[cm²] ÷ 10000
S_{\mathrm{m^2}} = S_{\mathrm{cm^2}} \div 10000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>10000</mn>
</mrow>
</math>
S_(m^2) = S_(cm^2) -: 10000
sCm2/10000
sM2 := sCm2/10000;
s_m2 = s_cm2/10000;
S(m²) = S(cm²)/10000
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一個半徑 3 cm、圓柱部分的高 10 cm 的膠囊形（圓柱兩端各接一個半球的立體）。 請分別求出： 1. 球的部分的表面積（4πr²）是多少 cm² 2. 圓柱側面的面積（2πrh）是多少 cm² 3. 膠囊整體的表面積是多少 cm² 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
DataChef 的特色
簡單又免費
免費且無使用次數限制
不需專業知識，操作直覺又簡單
不需專業知識，操作直覺又簡單
免註冊會員
開啟頁面即可立即使用
無須登錄任何個人資料
無須登錄任何個人資料
安全又安心
通訊全程高度加密
按下「下載」後自動刪除檔案
按下「下載」後自動刪除檔案
高速
顯示與轉換都快速順暢，毫無等待壓力
無浮水印
沒有浮水印
無須標註來源出處
無須標註來源出處
可商業使用
可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
球體積計算機（V＝4/3 × π × 半徑的 3 次方）
計算膠囊兩端半球的來源「球」的體積，也淺顯解說球的性質
圓柱體積計算機（V ＝ πr²h）
計算膠囊中間部分「圓柱」的體積，也解說「底面積 × 高」的想法
