請選擇矩陣大小（2×2～4×4），並在格子中輸入元素。反矩陣只在方陣（列數＝行數）時才有意義，而且只有行列式不為 0 時才存在（為 0 時會顯示「不存在」）。
元素請用半形數字輸入（可以用小數和負數）。
計算結果
在左邊選擇矩陣大小、輸入元素後按下「計算」，反矩陣和計算過程就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 能當場算出 2×2、3×3、4×4 方陣的反矩陣 \(A^{-1}\)
- 同時顯示行列式 \(\det(A)\) 的值，並判斷反矩陣是否存在（是不是可逆矩陣）
- 2×2 以公式「\(A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)」，3×3、4×4 以伴隨矩陣的方法顯示計算過程
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表（MINVERSE）和 Python 使用的公式，都整理在這個頁面
只有方陣（列數＝行數的矩陣）中行列式不為 0 的矩陣才有反矩陣。矩陣的加法、乘法、轉置請看姊妹頁「矩陣計算機」，行列式的詳細計算過程請看「行列式計算機」。
這個計算有什麼用？
一次解出聯立一次方程式
方程式個數和未知數個數相同的聯立一次方程式，可以用係數矩陣 \(A\) 寫成 \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\)。兩邊同時從左邊乘以 \(A^{-1}\)，就得到 \(\boldsymbol{x} = A^{-1}\boldsymbol{b}\)。所以只要有反矩陣，做一次乘法就能得到解。
當只改變右邊的 \(\boldsymbol{b}\)、反覆求解時（例如結構分析或電路分析），這個方法特別有威力。如果反矩陣不存在（行列式為 0），就表示這個方程組不是恰好只有一組解。
把電腦繪圖、機器人的坐標變換「還原」
在 3D 繪圖、遊戲和機器人控制中，旋轉、縮放、移動等變換都是用矩陣乘法計算。要從變換後的坐標回到變換前的坐標，就要用反矩陣。
例如在「從攝影機看的坐標」和「整個世界的坐標」之間切換（觀察矩陣 view matrix），或推算螢幕上點選的位置在 3D 空間中的哪裡，幾乎每一個畫面都會用到反矩陣。
解開以矩陣為金鑰的密碼（希爾密碼）
把文字換成數字再乘以矩陣，訊息就變成密文（希爾密碼）。收件人只要乘以金鑰矩陣的反矩陣，就能還原成原本的訊息。
「矩陣做的事，由反矩陣復原」這一組關係，正好就是加密與解密，是最能直接體會反矩陣概念的例子。（實際上數字是用除以 26 的餘數來處理，所以金鑰必須是在這個數系中有反矩陣的矩陣。）
計算經濟的波及效果（產業關聯分析）
像「汽車產量增加時，鋼鐵和電力要多生產多少」這種產業之間的波及效果，是把產業間的交易整理成矩陣 \(A\)，再乘以 \((I - A)^{-1}\)（李昂提夫逆矩陣）來計算。
政府公布公共建設或大型活動的經濟效益時常用這個方法（在台灣，行政院主計總處會編製產業關聯表），是反矩陣支撐公共決策的代表例子。
從資料求出最適合的直線（迴歸分析、AI 的基礎）
迴歸分析（最小平方法）會在廣告費和營業額等資料中畫出「最吻合的直線」，它的解就是用反矩陣寫成：\(\hat{\boldsymbol{\beta}} = (X^{\mathsf{T}}X)^{-1}X^{\mathsf{T}}\boldsymbol{y}\)（正規方程式的解）。
這個公式出現在每一本統計和機器學習的教科書中，反矩陣正位於 AI 從資料學習趨勢的起點。
公式
反矩陣的定義（相乘後得到單位矩陣的矩陣）
數學寫法
（一般的數學式）
\(A\)
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(I\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(A\)：原矩陣
②
\(A^{-1}\)：反矩陣
\(=\)
③
\(I\)：單位矩陣
用文字讀公式
①
\(A\)：原矩陣
乘以
②
\(A^{-1}\)：反矩陣
，就會得到
③
\(I\)：單位矩陣（從左上到右下的對角線是 1、其餘全是 0 的矩陣）
簡單範例
\(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) 的反矩陣是 \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}\)（求法見下一個公式）。實際相乘來驗證：
\(A\)：原矩陣
\(A^{-1}\)：反矩陣
\(=\)
\(I\)：單位矩陣
\(\begin{pmatrix} 4 \times 0.6 + 7 \times (-0.2) & 4 \times (-0.7) + 7 \times 0.4 \\ 2 \times 0.6 + 6 \times (-0.2) & 2 \times (-0.7) + 6 \times 0.4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
思考重點
反矩陣就是「數的倒數的矩陣版」。就像數有 \(a \times \dfrac{1}{a} = 1\)（3 乘以 \(\dfrac{1}{3}\) 就回到 1），矩陣也有 \(A A^{-1} = I\)。單位矩陣 \(I\) 是「乘了也不會改變對方的矩陣」，扮演數字 1 的角色。
這裡相乘的順序哪一邊都可以：\(A A^{-1} = A^{-1} A = I\)。而且就像數字 0 沒有倒數一樣，有些矩陣也沒有反矩陣。有沒有反矩陣，可以用行列式 \(\det(A)\) 是不是 0 來判斷。（高中課本稱反矩陣為「反方陣」、單位矩陣為「單位方陣」；日本的課本則把單位矩陣寫成 \(E\)。）
2×2 反矩陣的公式
數學寫法
（一般的數學式）
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{ad - bc}\)
\(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(A^{-1}\)：反矩陣
\(=\)
②
\(\dfrac{1}{ad - bc}\)：行列式的倒數
①
元素重新排列後的矩陣
用文字讀公式
①
設 \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)，把
元素重新排列後的矩陣（\(a\) 和 \(d\) 對調，\(b\) 和 \(c\) 變號）
的每個元素乘以
②
\(\dfrac{1}{ad - bc}\)：行列式的倒數
，就會得到
③
\(A^{-1}\)：反矩陣
簡單範例
\(A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}\) 的反矩陣是
\(ad - bc = 4 \times 6 - 7 \times 2 = 24 - 14 = 10\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}\)
思考重點
記法是三個步驟：「左上和右下（\(a\) 和 \(d\)）對調、右上和左下（\(b\) 和 \(c\)）變號、除以行列式 \(ad - bc\)」。
當 \(ad - bc = 0\) 時就變成「除以 0」，這個公式不能用。也就是說，行列式為 0 的矩陣沒有反矩陣（本頁的計算機也會顯示「不存在」）。
使用伴隨矩陣的方法（3×3 以上也能用的一般公式）
數學寫法
（一般的數學式）
\(A^{-1}\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{\det(A)}\)
\(\operatorname{adj}(A)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(A^{-1}\)：反矩陣
\(=\)
②
\(\dfrac{1}{\det(A)}\)：行列式的倒數
①
\(\operatorname{adj}(A)\)：伴隨矩陣
用文字讀公式
①
把
\(\operatorname{adj}(A)\)：伴隨矩陣（把每個元素的餘因子排好，再把列與行互換的矩陣）
的每個元素乘以
②
\(\dfrac{1}{\det(A)}\)：行列式的倒數
，就會得到
③
\(A^{-1}\)：反矩陣
簡單範例
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}\) 用餘因子展開計算行列式，再求反矩陣：
\(\det(A) = 1 \times (1 \times 0 - 4 \times 6) - 2 \times (0 \times 0 - 4 \times 5) + 3 \times (0 \times 6 - 1 \times 5)\)
\(= -24 + 40 - 15 = 1\)
\(A^{-1} = \dfrac{1}{1} \operatorname{adj}(A) = \begin{pmatrix} -24 & 18 & 5 \\ 20 & -15 & -4 \\ -5 & 4 & 1 \end{pmatrix}\)
思考重點
伴隨矩陣 \(\operatorname{adj}(A)\) 的做法是：對每個位置計算「刪去第 \(i\) 列與第 \(j\) 行後的子行列式，再乘上正負號 \((-1)^{i+j}\)」（這就是餘因子），排好之後，最後把列與行互換（轉置）。2×2 公式中「重新排列後的矩陣」，其實正是這個伴隨矩陣。
手算時，另一種常見的方法是高斯-喬丹消去法：把單位矩陣並排在矩陣旁邊，再做列運算。兩種方法答案相同；本計算機顯示的是伴隨矩陣法的中間值。
反矩陣 \(A^{-1}\) 是「相乘後得到單位矩陣 \(I\) 的另一半」，也就是數的倒數的矩陣版，只有 \(\det(A) \neq 0\) 的方陣才有。2×2 用「對調、變號、除以行列式」的公式，3×3 以上用伴隨矩陣（或高斯-喬丹消去法）求出。反矩陣是解聯立一次方程式時廣泛使用的工具。
符號與用語解說
符號
| \(A\) | A | 矩陣的名稱。習慣上用大寫英文字母表示矩陣。 |
| \(A^{-1}\) | A 的反矩陣（A inverse） | 矩陣 \(A\) 的反矩陣。右上的 \(-1\) 是「−1 次方」的寫法，和數的倒數 \(a^{-1} = \dfrac{1}{a}\) 是同樣的概念（但矩陣不會寫成 \(\dfrac{1}{A}\) 這樣的分數）。 |
| \(I\) | I（單位矩陣） | 單位矩陣：從左上到右下的對角線元素是 1、其餘全是 0 的方陣。乘以任何矩陣都不會改變對方，扮演「數字 1」的角色。有時寫成 \(I_2\)、\(I_n\) 來表示大小，日本的課本則寫成 \(E\)。 |
| \(\det(A),\ |A|\) | A 的行列式 | 矩陣 \(A\) 的行列式。這個值不為 0 時反矩陣存在，為 0 時不存在。也常用直線括起來的 \(|A|\) 寫法。 |
| \(\operatorname{adj}(A)\) | A 的伴隨矩陣 | 矩陣 \(A\) 的伴隨矩陣：把每個元素的餘因子排好再轉置的矩陣。取英文 adjugate（舊稱 adjoint）的前三個字母，寫成 adj。 |
| \(a_{ij}\) | a 下標 i j | 矩陣 \(A\) 第 \(i\) 列第 \(j\) 行的元素（由上往下第 \(i\) 列、由左往右第 \(j\) 行的數）。右下的小字（下標）表示「位置」。 |
用語
| 反矩陣 | 相乘後得到單位矩陣的另一個矩陣，是數的「倒數」的矩陣版，寫成 \(A^{-1}\)。高中課本稱為「反方陣」，也有人叫逆矩陣。只有行列式不為 0 的方陣才有，用來解聯立一次方程式、把變換還原等。 |
| 單位矩陣 | 對角線（左上到右下）是 1、其餘全是 0 的方陣，高中課本稱為「單位方陣」。乘以任何矩陣都不會改變對方，相當於數字「1」。 |
| 方陣 | 列數和行數相同（排成正方形）的矩陣。反矩陣和行列式都只對方陣討論。 |
| 行列式 | 由方陣決定的一個數。可用來判斷：\(\det(A) \neq 0\) 時反矩陣存在。求法在姊妹頁「行列式計算機」有詳細說明。 |
| 可逆矩陣 | 行列式不為 0 的方陣，也稱為非奇異矩陣，有反矩陣。行列式為 0 的矩陣稱為奇異矩陣，沒有反矩陣。 |
| 餘因子 | 從矩陣刪去第 \(i\) 列和第 \(j\) 行後，剩下的小矩陣的行列式（子行列式）再乘上正負號 \((-1)^{i+j}\)。是組成伴隨矩陣的零件。 |
| 伴隨矩陣 | 把每個位置的餘因子排好，再把列與行互換（轉置）的矩陣，寫成 \(\operatorname{adj}(A)\)。除以行列式就是反矩陣。注意：在較進階的書中，英文的 adjoint 常指另一種矩陣（共軛轉置），所以英文名稱用 adjugate 比較不會混淆。 |
| 高斯-喬丹消去法 | 把矩陣 \(A\) 和單位矩陣 \(I\) 並排，反覆做列運算，直到左半邊變成 \(I\)，這時右半邊就是 \(A^{-1}\)。大型矩陣主要用這個方法。 |
| 線性代數 | 處理矩陣與向量的數學領域。大學理工科系多在一、二年級列為必修，是電腦繪圖、統計、AI 等應用的基礎。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議事先了解的基礎知識。
| 正負數的四則運算（國中，12～15 歲） |
|
| 倒數（國小高年級～國中） |
|
| 矩陣的基礎與乘法（高中，15～18 歲；大學的線性代數） |
|
| 行列式（高中，15～18 歲；大學的線性代數） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「2×2 反矩陣」的表格
| 矩陣 A 的第 1 列 | 4 | 7 |
| 矩陣 A 的第 2 列 | 2 | 6 |
| 反矩陣 A⁻¹ | =MINVERSE(B1:C2) |
求「3×3 反矩陣」的表格
| 矩陣 A 的第 1 列 | 1 | 2 | 3 |
| 矩陣 A 的第 2 列 | 0 | 1 | 4 |
| 矩陣 A 的第 3 列 | 5 | 6 | 0 |
| 反矩陣 A⁻¹ | =MINVERSE(B1:D3) |
只用 MINVERSE 函數就能求出反矩陣。指定方陣的範圍（第一個表格是 B1:C2），答案就會以同樣大小的矩陣，從輸入公式的儲存格往右下自動展開（溢位功能；舊版 Excel 要先選取答案大小的範圍，再用 Ctrl+Shift+Enter 輸入公式）。
第一個表格的結果：第 1 列是 0.6、-0.7，第 2 列是 -0.2、0.4。第二個表格：第 1 列是 -24、18、5，第 2 列是 20、-15、-4，第 3 列是 -5、4、1。
如果把行列式為 0（沒有反矩陣）的矩陣交給 MINVERSE，會傳回 #NUM！錯誤。行列式本身可以用 MDETERM 函數確認。
第一個表格的結果：第 1 列是 0.6、-0.7，第 2 列是 -0.2、0.4。第二個表格：第 1 列是 -24、18、5，第 2 列是 20、-15、-4，第 3 列是 -5、4、1。
如果把行列式為 0（沒有反矩陣）的矩陣交給 MINVERSE，會傳回 #NUM！錯誤。行列式本身可以用 MDETERM 函數確認。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「2×2 反矩陣」的表格
| 矩陣 A 的第 1 列 | 4 | 7 |
| 矩陣 A 的第 2 列 | 2 | 6 |
| 反矩陣 A⁻¹ | =MINVERSE(B1:C2) |
求「3×3 反矩陣」的表格
| 矩陣 A 的第 1 列 | 1 | 2 | 3 |
| 矩陣 A 的第 2 列 | 0 | 1 | 4 |
| 矩陣 A 的第 3 列 | 5 | 6 | 0 |
| 反矩陣 A⁻¹ | =MINVERSE(B1:D3) |
可以直接使用和 Excel 相同的 MINVERSE 函數。請把整個表格複製，貼到 A1 儲存格。答案會從輸入公式的儲存格往右下自動展開。
第一個表格的結果：第 1 列是 0.6、-0.7，第 2 列是 -0.2、0.4；第二個表格：第 1 列是 -24、18、5，第 2 列是 20、-15、-4，第 3 列是 -5、4、1。
第一個表格的結果：第 1 列是 0.6、-0.7，第 2 列是 -0.2、0.4；第二個表格：第 1 列是 -24、18、5，第 2 列是 20、-15、-4，第 3 列是 -5、4、1。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
A = [[4, 7], [2, 6]]
def determinant(matrix): # 行列式（沿第 1 列做餘因子展開，遞迴計算）
n = len(matrix)
if n == 1:
return matrix[0][0]
total = 0
for j in range(n):
minor = [row[:j] + row[j + 1:] for row in matrix[1:]] # 刪去第 1 列和第 j 行的子矩陣
total += (-1) ** j * matrix[0][j] * determinant(minor)
return total
def inverse(matrix): # 反矩陣（伴隨矩陣除以行列式）
n = len(matrix)
det = Fraction(determinant(matrix))
if det == 0:
return None # 行列式為 0 時沒有反矩陣
inverse_rows = []
for i in range(n):
row = []
for j in range(n):
# 第 (i, j) 元素 = 刪去第 j 列和第 i 行的子行列式 x 正負號 / 行列式（同時完成轉置）
minor = [r[:i] + r[i + 1:] for k, r in enumerate(matrix) if k != j]
row.append((-1) ** (i + j) * determinant(minor) / det)
inverse_rows.append(row)
return inverse_rows
inverse_matrix = inverse(A)
if inverse_matrix is None:
print("反矩陣不存在（det(A) = 0）")
else:
for row in inverse_matrix:
print([float(x) for x in row])
只用標準函式庫就能執行。使用以分數保持精確值的 fractions，所以除法也不會產生誤差。把開頭的 A 改成您自己的矩陣（只要是方陣，4×4 以上也可以）再執行。這個例子會印出第 1 列 [0.6, -0.7]、第 2 列 [-0.2, 0.4]。正式的數值計算，一般會用矩陣專用的函式庫 NumPy（numpy.linalg.inv(A)）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
反矩陣的定義（相乘後得到單位矩陣的矩陣）
AA⁻¹ = A⁻¹A = I
A A^{-1} = A^{-1} A = I
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>A</mi>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mi>A</mi>
<mo>=</mo>
<mi>I</mi>
</mrow>
</math>
A A^-1 = A^-1 A = I
A . Inverse[A]
A . LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
I = A * inv(A);
AA^(-1) = A^(-1)A = I
2×2 反矩陣的公式
A⁻¹ = 1/(ad − bc) × [d, −b; −c, a]
A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>-</mo><mi>b</mi><mi>c</mi></mrow>
</mfrac>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mtable>
<mtr><mtd><mi>d</mi></mtd><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>b</mi></mrow></mtd></mtr>
<mtr><mtd><mrow><mo>-</mo><mi>c</mi></mrow></mtd><mtd><mi>a</mi></mtd></mtr>
</mtable>
<mo>)</mo>
</mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(ad - bc) [[d, -b], [-c, a]]
Inverse[{{a, b}, {c, d}}]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(Matrix([[a, b], [c, d]]));
B = inv(A);
A^(-1) = 1/(ad − bc) (■(d&−b@−c&a))
使用伴隨矩陣的方法（3×3 以上也能用的一般公式）
A⁻¹ = adj(A)/det(A)
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>det</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
<mi>adj</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
A^-1 = 1/(det(A)) "adj"(A)
Inverse[A]
LinearAlgebra:-MatrixInverse(A);
B = inv(A);
A^(-1) = adj(A)/det(A)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是矩陣計算的助理。請實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值作答（不要用心算或猜測作答）。 請分別求出以下兩個方陣的反矩陣。 1. A = [[4, 7], [2, 6]] 2. B = [[1, 2], [2, 4]] 每一個都請先列出行列式的值，以及反矩陣是否存在；如果存在，請列出反矩陣的元素。最後，也請執行驗證：原矩陣與反矩陣的乘積是單位矩陣。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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無須標註來源出處
無須標註來源出處
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可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
矩陣計算機（加法、減法、乘法、轉置、次方）
計算矩陣本身請用這一頁。列、行、元素等矩陣的基礎也在那一頁說明
行列式計算機（二階、三階、四階）
決定反矩陣是否存在的行列式 det(A)。薩魯斯法則與餘因子展開的詳細計算過程請看這一頁
