Z 值（檢定統計量）或 5 種機率中，請只在其中一個欄位輸入。其餘的值會全部算出來（Z 值 → p 值、p 值 → Z 值，兩個方向都能換算）。
只要輸入一個項目。機率請輸入 0～1 的數值（例：5% 就輸入 0.05）。
計算結果與圖表
在左側輸入欄輸入 Z 值（或機率），按下「計算」，結果和圖表就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入用 Z 檢定等求出的檢定統計量（Z 值），就能一次算出左尾、右尾與雙尾檢定的 p 值（顯著機率）
- 也能由 p 值反推 Z 值（例：求雙尾 p 值 0.05 對應的 Z 值 1.96），可以用來查拒絕域的邊界（臨界值）
- 同時算出「0 到 Z 之間」「−Z 到 Z 之間」的機率，也可以代替標準常態分布表（z 表）使用
- 這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
本計算機計算的是檢定統計量可視為服從標準常態分布（平均數 0、標準差 1）時（Z 檢定等）的 p 值。樣本少時使用的 t 檢定等，使用其他分布的檢定，p 值會稍有不同。
這個計算有什麼用？
評估新藥、新療法是否有效（醫學研究）
新藥的臨床試驗會用假設檢定確認「用藥組和未用藥組的差異，是否在偶然的範圍內」，而 p 值就是判斷的依據。例如檢定統計量 \(Z = 2.5\) 時，雙尾 p 值約 0.012，可以解讀成「如果藥物沒有效果，出現這麼大差異的機率約 1.2%」。
全世界的醫學論文都用這種方式報告效果。了解 p 值的意思，就能把健康新聞讀得更深入一層（實際的醫療判斷，是由專家綜合考量 p 值、效果的大小和副作用來決定）。
網站的 A/B 測試（行銷）
「換了按鈕顏色，點擊率提高了。但這會不會只是偶然？」A/B 測試的檢定就是用來確認這件事。例如檢定統計量 \(Z = 2.17\) 時，雙尾 p 值約 0.03，小於顯著水準 0.05，所以可以判斷為「很難用偶然解釋的改善」。
網路公司每天都用 p 值，決定要不要採用設計或文案的變更。
工廠的品質管理——製程的平均是否偏移（製造業）
用抽樣檢驗的資料，檢定產品重量或尺寸的平均是否偏離目標。例如檢定統計量 \(Z = 2\) 時，雙尾 p 值約 0.046，在顯著水準 5% 下就判斷「製程發生了某種變化」，並著手找原因。
p 值的強項是能區分「偶然的變動」和「真正的異常」，要不要停機，可以用數字而不是憑感覺來判斷。
看懂論文裡的「p < 0.05」（心理學、經濟學等）
學術論文中經常出現「p < 0.05，達顯著」「p = 0.003」這類寫法。在雙尾檢定中，p < 0.05 對應「\(|Z|\) 超過 1.96」，p < 0.01 則對應超過約 2.58。
了解這個對應關係，在畢業專題、碩士論文中就能正確報告統計結果，也更容易理解閱讀論文時要注意的一點：「顯著不一定代表重要（差異的大小是另一回事）」。
分辨民調、問卷的差異是否在誤差範圍內
像「總統施政滿意度比上個月上升 2 個百分點」這樣的變化，是真的改變，還是調查的變動（誤差），也可以用假設檢定確認。例如檢定統計量 \(Z = 1\) 時，雙尾 p 值約 0.32，屬於「即使沒有差異，大約每 3 次也會偶然發生 1 次」的程度，所以判斷為在誤差範圍內比較自然。
在為新聞裡的數字或喜或憂之前，先想想「這個差異顯著嗎？」——這是生活中很實用的統計觀點。
公式與圖表
左尾 p 值（左尾檢定使用的面積）
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(x<Z)\)
\(=\)
\(\Phi(Z)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
左尾 p 值 \(P(x<Z)\)
\(=\)
①
左側的面積 \(\Phi(Z)\)
用文字讀公式
①
求出
把檢定統計量 \(Z\) 代入累積分布函數 \(\Phi\)（phi）得到的值
（\(\Phi(Z)\) 是標準常態分布曲線在 \(Z\) 左側的面積），
②
這就是
左尾 p 值 \(P(x<Z)\)
簡單範例
檢定統計量為 −1.5 時，左尾 p 值是
左尾 p 值
\(=\)
左側的面積 \(\Phi(-1.5)\)
\(\Phi(-1.5) \approx 0.066807\ \ (6.7\%)\)
思考重點
左尾檢定（單尾檢定的一種）用在想確認「是否比標準小太多」的時候（例：零食的內容量是否比標示少太多）。
\(Z\) 往負的方向越大，左尾 p 值就越小。「如果虛無假設正確，偶然小到這種程度是很少見的」，這就成為懷疑虛無假設的有力證據。
右尾 p 值（右尾檢定使用的面積）
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(x>Z)\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\(\Phi(Z)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
右尾 p 值 \(P(x>Z)\)
\(=\)
②
全體的機率 \(1\)
\(-\)
①
左側的面積 \(\Phi(Z)\)
用文字讀公式
①
把
左側的面積 \(\Phi(Z)\)
②
從
全體的機率 \(1\)
中減去，
③
就得到
右尾 p 值 \(P(x>Z)\)
簡單範例
檢定統計量為 2 時（\(\Phi(2) \approx 0.97725\)），右尾 p 值是
右尾 p 值
\(=\)
全體的機率 \(1\)
\(-\)
左側的面積（0.97725）
\(1 - 0.97725 = 0.02275\ \ (2.3\%)\)
思考重點
右尾檢定用在想確認「是否比標準大太多」「改善後是否真的增加了」的時候。
標準常態分布曲線下的面積總共是 1（100%），所以 \(Z\) 右側的面積可以用「全體的 1 − 左側的面積」求出。
雙尾 p 值（雙尾檢定使用的面積）
圖表
數學寫法
（一般的數學式）
\(P\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\((\)
\(1\)
\(-\)
\(\Phi(|Z|)\)
\()\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
雙尾 p 值 \(P\)
\(=\)
③
2 倍（兩尾）
\(\times\)
\((\)
②
全體的機率 \(1\)
\(-\)
①
左側的面積 \(\Phi(|Z|)\)
\()\)
用文字讀公式
①
把
\(Z\) 的絕對值 \(|Z|\) 左側的面積 \(\Phi(|Z|)\)
②
從
全體的機率 \(1\)
中減去，求出右側一個尾端的面積，
③
再乘上
2 倍（左右兩個尾端）
，
④
就得到
雙尾 p 值 \(P\)
簡單範例
檢定統計量為 1.96 時（\(\Phi(1.96) \approx 0.975\)），雙尾 p 值是
雙尾 p 值
\(=\)
2 倍
\(\times\)
\((\)
全體的機率 \(1\)
\(-\)
左側的面積（0.975）
\()\)
\(2 \times (1 - 0.975) = 2 \times 0.025 = 0.05\ \ (5\%)\)
思考重點
雙尾檢定把「太大或太小」任一方向的偏差都視為有意義的差異，是實際研究和調查中最常用的檢定。使用絕對值 \(|Z|\)，是為了讓 \(Z\) 為負時也算作「同樣大小的偏差」，左右對稱地處理。
像範例這樣 \(Z = 1.96\) 時，雙尾 p 值幾乎剛好是 0.05。統計學上最有名的邊界（臨界值）就是這樣來的：在顯著水準 5% 的雙尾檢定中，「\(|Z|\) 大於 1.96 就拒絕虛無假設」。
p 值（顯著機率）是「假設虛無假設正確時，出現和觀測結果一樣或更極端結果的機率」。知道 Z 值後，p 值就是標準常態分布尾端的面積（左尾：\(\Phi(Z)\)，右尾：\(1-\Phi(Z)\)，雙尾：\(2(1-\Phi(|Z|))\)）。p 值小於或等於顯著水準（例如 0.05）時，就拒絕虛無假設。
符號與用語解說
符號
| \(P\) | P | p 值（顯著機率）。假設虛無假設正確時，偶然得到和觀測結果一樣或更極端結果的機率。越小，就表示「越難用偶然來解釋」。 |
| \(Z\) | Z | 檢定統計量（Z 值）。由資料計算、可視為服從標準常態分布的值。本頁由 Z 值求 p 值；z 分數本身的計算，請看相關頁面「z 分數計算機」。 |
| \(\Phi(Z)\) | phi Z | 標準常態分布（平均數 0、標準差 1）的累積分布函數。傳回「小於 \(Z\) 的機率」，也就是曲線在 \(Z\) 左側的面積。 |
| \(\Phi^{-1}\) | phi inverse（Φ 的反函數） | 和 \(\Phi\) 反方向的函數。由「機率（面積）」傳回「對應的 Z 值」。本計算機由 p 值反推 Z 值時就是用這個函數。（例：\(\Phi^{-1}(0.975) \approx 1.96\)） |
| \(|Z|\) | Z 的絕對值 | 去掉 \(Z\) 正負號後的大小。雙尾檢定把正的一側和負的一側的偏離，都算作同樣的「極端程度」，所以使用絕對值。（例：\(|-1.5| = 1.5\)） |
| \(\alpha\) | alpha | 顯著水準。事先決定「p 值小於或等於這個值就拒絕虛無假設」的基準機率，習慣上常用 0.05（5%）或 0.01（1%）。 |
用語
| p 值 | 又稱顯著機率。假設虛無假設正確時，得到和觀測結果一樣或更極端結果的機率。p 值越小，表示「這個結果越難認為是偶然出現的」，拒絕虛無假設的根據也越強。 |
| 假設檢定 | 先假設「沒有差異」，再用 p 值衡量實際資料在這個假設下有多難發生，以判斷是否放棄這個假設的程序。想法類似反證法：很少發生的事情發生了，就懷疑原本的假設。 |
| 虛無假設 | 像「兩組之間沒有差異」「沒有效果」這樣，想要否定的預設假設，記為 H₀。p 值是在虛無假設正確的前提下計算的。相反的主張稱為對立假設。 |
| 對立假設 | 和虛無假設相反的主張（「有差異」「有效果」），記為 H₁。虛無假設被拒絕時，就接受對立假設。 |
| 顯著水準 | 作為拒絕虛無假設基準的機率，符號是 \(\alpha\)（alpha）。規則是在檢定之前就要決定，最常用的是 0.05。p 值小於或等於顯著水準時，就稱為「統計上顯著」。 |
| 拒絕 | 根據檢定的結果，認為虛無假設「很難是正確的」而放棄它。p 值小於或等於顯著水準時就拒絕。要注意的是，無法拒絕時，意思並不是「虛無假設正確」，而是「拒絕的根據不足」。 |
| 雙尾檢定 | 把「太大」「太小」任一方向的偏差都視為差異的檢定。p 值是分布兩側尾端面積的和。無法事先決定方向時，這是標準的選擇。 |
| 單尾檢定 | 只檢查「偏大」（右尾）或「偏小」（左尾）其中一個方向偏差的檢定。用在理論上已經決定要檢查的方向時，p 值只有一側尾端的面積。 |
| 檢定統計量 | 為了檢定而由資料計算出的值。在 Z 檢定中，是換成可視為服從標準常態分布的形式（Z 值），表示離平均數有幾個標準差。 |
| 標準常態分布 | 平均數 0、標準差 1 的常態分布（左右對稱的鐘形）。曲線下的面積代表機率，全體面積剛好是 1。Z 檢定的 p 值就是以這個分布尾端的面積計算的。 |
| 臨界值 | 「超過這裡就拒絕虛無假設」的檢定統計量邊界值。顯著水準 5% 的雙尾檢定是 \(|Z| \approx 1.96\)，1% 則是 \(|Z| \approx 2.576\)。用本計算機由 p 值反推 Z 值就能確認。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 機率的基礎（國中九年級，14～15 歲） |
|
| 數據分析與標準差（高一「一維數據分析」，15～16 歲） |
|
| 常態分布與面積的看法（高中選修數學，17～18 歲） |
|
| 假設檢定的概念（大學統計學） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「左尾 p 值」的表格
| Z 值（檢定統計量） | -1.5 |
| 左尾 p 值 P(x<Z) | =NORM.S.DIST(B1,TRUE) |
求「右尾 p 值」的表格
| Z 值（檢定統計量） | 2 |
| 右尾 p 值 P(x>Z) | =1-NORM.S.DIST(B1,TRUE) |
求「雙尾 p 值」的表格
| Z 值（檢定統計量） | 1.96 |
| 雙尾 p 值 | =2*(1-NORM.S.DIST(ABS(B1),TRUE)) |
貼上後，B1 是 Z 值的輸入欄，B2 會自動算出 p 值。
「NORM.S.DIST（值，TRUE）」是相當於累積分布函數 \(\Phi\)（Z 左側的面積）的函數，TRUE 表示「以累積值（左側的面積）傳回」。「ABS」傳回絕對值（去掉正負號的大小）。
第 1 個表格的 B2 約為 0.0668（約 6.7%），第 2 個約為 0.02275（約 2.3%），第 3 個約為 0.05（5%）。只要把 B1 改成您自己的 Z 值即可。
反過來「想由 p 值求 Z 值」時，請用「=NORM.S.INV（機率）」（例：雙尾 p 值 0.05 對應的 Z 值是 `=NORM.S.INV(1-0.05/2)`，約 1.95996）。
「NORM.S.DIST（值，TRUE）」是相當於累積分布函數 \(\Phi\)（Z 左側的面積）的函數，TRUE 表示「以累積值（左側的面積）傳回」。「ABS」傳回絕對值（去掉正負號的大小）。
第 1 個表格的 B2 約為 0.0668（約 6.7%），第 2 個約為 0.02275（約 2.3%），第 3 個約為 0.05（5%）。只要把 B1 改成您自己的 Z 值即可。
反過來「想由 p 值求 Z 值」時，請用「=NORM.S.INV（機率）」（例：雙尾 p 值 0.05 對應的 Z 值是 `=NORM.S.INV(1-0.05/2)`，約 1.95996）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「左尾 p 值」的表格
| Z 值（檢定統計量） | -1.5 |
| 左尾 p 值 P(x<Z) | =NORMSDIST(B1) |
求「右尾 p 值」的表格
| Z 值（檢定統計量） | 2 |
| 右尾 p 值 P(x>Z) | =1-NORMSDIST(B1) |
求「雙尾 p 值」的表格
| Z 值（檢定統計量） | 1.96 |
| 雙尾 p 值 | =2*(1-NORMSDIST(ABS(B1))) |
在 Google 試算表中，用「NORMSDIST（值）」計算累積分布函數 \(\Phi\)（和 Excel 的「NORM.S.DIST（值，TRUE）」作用相同，但不需要 TRUE）。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再修改 B1 的 Z 值即可。
結果和 Excel 版相同：第 1 個表格約 0.0668，第 2 個約 0.02275，第 3 個約 0.05。
反過來由 p 值求 Z 值時，請用「=NORMSINV（機率）」（例：`=NORMSINV(1-0.05/2)` 約為 1.95996）。
結果和 Excel 版相同：第 1 個表格約 0.0668，第 2 個約 0.02275，第 3 個約 0.05。
反過來由 p 值求 Z 值時，請用「=NORMSINV（機率）」（例：`=NORMSINV(1-0.05/2)` 約為 1.95996）。
用 Python 計算的方法
import math
def phi(z):
# 標準常態分布的累積分布函數 Φ(z)（用誤差函數 erf 計算）
return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))
z = 1.96 # Z 值（檢定統計量）
p_left = phi(z) # 左尾 p 值 P(x<Z)
p_right = 1 - phi(z) # 右尾 p 值 P(x>Z)
p_two_sided = 2 * (1 - phi(abs(z))) # 雙尾 p 值
print(f"左尾 p 值：{p_left}")
print(f"右尾 p 值：{p_right}")
print(f"雙尾 p 值：{p_two_sided}")
只用標準函式庫的 math.erf（誤差函數）就能計算累積分布函數 \(\Phi\)。請修改開頭的 Z 值後執行。
需要反方向（p 值 → Z 值）時，請用標準函式庫 statistics 模組的 NormalDist().inv_cdf()（例：雙尾 p 值 0.05 對應的 Z 值是 `statistics.NormalDist().inv_cdf(1 - 0.05/2)`，約 1.95996）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
左尾 p 值（左尾檢定使用的面積）
P = Φ(Z)
P = \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P = Phi(Z)
CDF[NormalDistribution[0, 1], z]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), z);
p = normcdf(z);
P = Φ(Z)
右尾 p 值（右尾檢定使用的面積）
P = 1 − Φ(Z)
P = 1 - \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P = 1 - Phi(Z)
1 - CDF[NormalDistribution[0, 1], z]
with(Statistics): 1 - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), z);
p = 1 - normcdf(z);
P = 1 - Φ(Z)
雙尾 p 值（雙尾檢定使用的面積）
P = 2(1 − Φ(|Z|))
P = 2\left(1 - \Phi(|Z|)\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mo>(</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mo>|</mo><mi>Z</mi><mo>|</mo><mo>)</mo>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P = 2(1 - Phi(|Z|))
2 (1 - CDF[NormalDistribution[0, 1], Abs[z]])
with(Statistics): 2*(1 - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), abs(z)));
p = 2*(1 - normcdf(abs(z)));
P = 2(1 - Φ(|Z|))
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是統計計算助理。請實際執行 Python 程式碼來完成以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 Z 檢定算出的檢定統計量是 Z = 2.5。假設檢定統計量服從標準常態分布（可以使用 math.erf、statistics.NormalDist 等 Python 標準函式庫）。 請分別求出： 1. 左尾 p 值 P(x<Z) 2. 右尾 p 值 P(x>Z) 3. 雙尾 p 值 P(x<−Z 或 x>Z) 4. 在顯著水準 0.05 的雙尾檢定中，能否拒絕虛無假設 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
z 分數計算機（標準分數、z 值與機率互相換算）
由測得的值、平均數、標準差算出 z 分數，也可以代替 z 表使用
常態分布機率計算機（常態分配、範圍機率、z 分數）
由平均數與標準差，計算落在指定範圍內的機率，或是前百分之多少
