請選擇轉換方向並輸入數值。「直角坐標 → 極坐標」請輸入 x 坐標和 y 坐標；「極坐標 → 直角坐標」請輸入極徑 r 和極角 θ（並選擇它的單位）。
請用半形輸入數值。可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。直角坐標的 x、y 空白時當成 0。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入數值，按下「計算」，結果和坐標平面圖就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 能把直角坐標 \(P(x,\ y)\) 當場轉換成極坐標 \(P(r,\ \theta)\)。極徑以 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) 這樣化簡根號後的精確值表示；極角若是特殊角，就以 π 的分數精確值表示
- 極角 \(\theta\) 以 \(0 \le \theta < 2\pi\) 的範圍為主，同時列出 \(-\pi < \theta \le \pi\) 範圍的值（不論課本或參考書用哪一種，都能對答案）
- 也能反過來轉換（極坐標 → 直角坐標）。輸入極徑 \(r\) 和極角 \(\theta\)（度、π 的分數或弧度的小數），就會以 \(\left(-2,\ 2\sqrt{3}\right)\) 這樣的精確值求出 \(x = r\cos\theta\)、\(y = r\sin\theta\)
- 可以用計算過程一步一步確認由 \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) 和點所在的象限決定極角的「象限修正」
- 結果也能從坐標平面圖確認。圖上淡淡地畫著同心圓（極徑的刻度）和放射狀的線（極角的刻度），一眼就能看出極徑 \(r\) 和極角 \(\theta\) 的位置
本頁的對象是高中學到的平面上的極坐標。直角坐標的 \(x\)、\(y\) 可以輸入分數和小數（有理數），但不能輸入 √3 這樣的無理數。因此，只有點在坐標軸上或在 45° 系列的角度時，極角才會以 π 的分數精確值表示（30°、60° 系列的角，tanθ 是 1/√3 這樣的無理數，不會由有理數的 \(x\)、\(y\) 得到）。反方向的極坐標 → 直角坐標，則 30°、45° 倍數的特殊角全部都能精確計算。
這個計算有什麼用？
航空管制與船舶雷達（用距離和方位掌握位置）
機場的管制雷達和船舶雷達，用電波反射回來的時間測量「離這裡的距離」，用天線朝向的方向測量「方位」。所以它們測到的，一開始就是極坐標 \(\left(r,\ \theta\right)\)。
但管制員的螢幕和航海圖是以水平、鉛直的坐標構成的，所以在儀器內部，會用 \(x = r\cos\theta\)、\(y = r\sin\theta\) 把測得的距離和方位轉換成直角坐標。本頁的轉換，正是連接「用距離和方向測量的儀器」和「用水平、鉛直來繪圖的螢幕」的橋梁。
自動駕駛與掃地機器人的距離感測器
自動駕駛車和掃地機器人上的雷射距離感測器（LiDAR）會一邊旋轉，一邊大量量測「在這個方向、這麼遠的地方有東西反射了光」。每一筆量測都是方向（角度）和距離的組合，也就是極坐標。
要把收集到的點畫成地圖，就要把每個點轉換成直角坐標再合在一起。先掌握周圍的地圖再規劃路線，是自動駕駛的基本流程，而這個坐標轉換就是起點。
氣象雷達與颱風路徑圖
氣象雷達也是一邊轉動天線一邊發出電波，以「方位與距離」接收雨和雪反射回來的訊號。電視氣象報告中的雨量回波圖，就是把這些極坐標的資料轉換成地圖的水平、鉛直坐標所畫出來的。
颱風消息中「颱風中心位於鵝鑾鼻東南方約 300 公里的海面上」這種說法，也是極坐標的思考方式，標到地圖上時就會轉換成直角坐標。
做圓周運動的機械與遊樂設施的設計
像摩天輪的車廂、齒輪的齒、電風扇的扇葉這類繞著中心轉的東西，用「到中心的距離固定、只有方向改變」來思考，設計會簡單很多。用極坐標只要固定距離 \(r\)、改變角度 \(\theta\)，零件的配置就非常容易。
但圖面和 CNC 工具機用的是水平、鉛直的坐標，所以最後要把每個位置轉換成直角坐標再交出去。
電腦繪圖與遊戲中的圓形配置和動作
把敵人等距排在主角周圍、朝四面八方發射子彈、讓攝影機繞著目標轉——這些用「到中心的距離」和「角度」來思考最自然，把角度平均分配就能決定配置。
畫面是用水平、鉛直的坐標來繪製的，所以每一個畫面都會用 \(x = r\cos\theta\)、\(y = r\sin\theta\) 轉換位置。正是因為有這個轉換，圓周運動才容易寫成程式。
公式與圖示
從極坐標到直角坐標（點的位置的兩種說法）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(x\)
\(=\)
\(r\)
\(\cos\theta\)
\(y\)
\(=\)
\(r\)
\(\sin\theta\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(x\) 坐標
\(=\)
①
極徑 \(r\)
②
極角 \(\theta\) 的餘弦 \(\cos\theta\)
④
\(y\) 坐標
\(=\)
極徑 \(r\)
極角 \(\theta\) 的正弦 \(\sin\theta\)
用文字讀公式
①
把到極點（原點）的距離，也就是
極徑 \(r\)
②
乘以
極角 \(\theta\) 的餘弦 \(\cos\theta\)
，
③
就得到
\(x\) 坐標
。
④
把同一個極徑乘以正弦 \(\sin\theta\)，就得到
\(y\) 坐標
簡單範例
把極坐標 \(P\left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\)（到極點的距離是 2，方向是從極軸轉 60°）化成直角坐標
\(x\) 坐標
\(=\)
極徑 \(2\)
\(\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\)
\(y\) 坐標
\(=\)
極徑 \(2\)
\(\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(x = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\)
\(y = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)
\(P\left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right) \rightarrow P\left(1,\ \sqrt{3}\right)\)
思考重點
這是用兩種說法表示同一個點的位置。「往右 \(x\)、往上 \(y\)」是直角坐標 \((x,\ y)\)；「從基準點出發，朝著從基準方向轉 \(\theta\) 的方向走距離 \(r\)」是極坐標 \((r,\ \theta)\)。就像約朋友見面時，「車站往東 300 m、往北 400 m 的地方」和「離車站 500 m、大約東北方向的地方」的差別。
極坐標的基準點稱為極點，基準方向（從極點往右的射線）稱為極軸。把極坐標疊在坐標平面上時，極點對準原點，極軸對準 \(x\) 軸的正向。
為什麼 \(x = r\cos\theta\)、\(y = r\sin\theta\)？想一想半徑 1 的圓（單位圓）就明白了。在單位圓上，位於角 \(\theta\) 方向的點，水平位置是 \(\cos\theta\)，鉛直位置是 \(\sin\theta\)。當半徑變成 \(r\)，整張圖放大 \(r\) 倍，所以兩個位置也都乘以 \(r\)。
極徑 \(r\)（到極點的距離）
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\)
②
極徑 \(r\)
\(=\)
①
\(x\) 坐標與 \(y\) 坐標的平方和的平方根
用文字讀公式
①
把
\(x\) 坐標的平方加上 \(y\) 坐標的平方再開根號的 \(\sqrt{x^2 + y^2}\)
②
就是
極徑 \(r\)
簡單範例
點 \(P\left(3,\ 4\right)\) 的極徑是
極徑 \(r\)
\(=\)
\(\sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
思考重點
這就是國中八年級學到的畢氏定理本身。把原點、點 \((x,\ 0)\) 和 \(P\) 連起來，就得到兩股為 \(x\)、\(y\) 的直角三角形，原點到 \(P\) 的距離（斜邊）就是 \(\sqrt{x^2 + y^2}\)。
答案中的根號通常寫成把平方因數提出來的化簡形式，例如 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)。本計算機也會顯示化簡後的形式。
在極坐標中，極徑 \(r\) 取大於或等於 0 的值。距離不會是負數，所以轉換得到的 \(r\) 一定不是負數。
極角 \(\theta\)（由 tanθ 和象限求出）
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(\tan\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{y}{x}\)
②
極角 \(\theta\) 的正切 \(\tan\theta\)
\(=\)
①
\(y\) 坐標除以 \(x\) 坐標
用文字讀公式
①
把
\(y\) 坐標除以 \(x\) 坐標
，
②
就得到
極角 \(\theta\) 的正切 \(\tan\theta\)
（不過光靠這個式子無法決定唯一的 \(\theta\)，要看點 \(P\) 在哪一個象限來確定）
簡單範例
點 \(P\left(-1,\ 1\right)\) 的極角（\(x\) 為負、\(y\) 為正，所以點在第二象限）是
正切 \(\tan\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(x < 0,\ y > 0\right)\)
思考重點
在 \(0 \le \theta < 2\pi\) 的範圍內，滿足 \(\tan\theta = -1\) 的角有 \(\dfrac{3}{4}\pi\)（135°）和 \(\dfrac{7}{4}\pi\)（315°）兩個。哪一個才對，要看點 \(P\) 所在的象限決定。\(P(-1,\ 1)\) 的 \(x\) 為負、\(y\) 為正，在第二象限（左上），所以選 \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\)。這就是象限修正。
計算機或試算表的 \(\arctan\)（反正切）只會傳回 \(-\dfrac{\pi}{2}\) 到 \(\dfrac{\pi}{2}\) 之間的角，所以第二、第三象限的點無法直接得到極角，要依象限把 \(\arctan\) 得到的角加上 \(\pi\) 等來修正（本計算機會在計算過程中顯示這個修正）。
\(x = 0\) 的點（在 \(y\) 軸上）無法計算 \(\dfrac{y}{x}\)，這時要看圖判斷 \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) 或 \(\dfrac{3}{2}\pi\)。想要對所有點都適用的方法，可以選同時滿足 \(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\) 和 \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\) 的 \(\theta\)，就不必依象限分情況。
表示同一點的極坐標不只一種
數學寫法
（一般的數學式）
\(P\left(r,\ \theta\right)\)
\(=\)
\(P\left(r,\ \theta + 2n\pi\right)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
極坐標為 \(\left(r,\ \theta\right)\) 的點 \(P\)
\(=\)
②
極角加上一圈 \(2\pi\) 的 \(n\) 倍後的點
用文字讀公式
①
極坐標為 \(\left(r,\ \theta\right)\) 的點 \(P\)
②
和
極角加上一圈 \(2\pi\) 的 \(n\) 倍後的點
，指的是同一個點（\(n\) 為整數）
簡單範例
寫出和極坐標 \(P\left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\) 表示同一點的其他極坐標
\(P\left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\)
\(=\)
\(P\left(2,\ \dfrac{7}{3}\pi\right)\)
\(=\)
\(P\left(2,\ -\dfrac{5}{3}\pi\right)\)
\(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{6}{3}\pi = \dfrac{7}{3}\pi\)
\(\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{6}{3}\pi = -\dfrac{5}{3}\pi\)
思考重點
在直角坐標中，一個點只對應一組 \((x,\ y)\)，但極坐標不是這樣。轉一整圈（\(2\pi\) = 360°）後又朝向同一個方向，所以極角加減 \(2\pi\) 幾次都是同一個點。
因為答案不唯一，作答時要先約定範圍。常見的有 \(0 \le \theta < 2\pi\)（0° 以上、未滿 360°）和 \(-\pi < \theta \le \pi\)（大於 −180°、小於或等於 180°）兩種，不同課本採用的不一樣。本計算機兩種答案都會顯示。
極點（原點）比較特別。它的距離是 0，所以 \(r = 0\)，但沒有方向，所以極角無法決定。極點的極坐標寫成 \(\left(0,\ \theta\right)\)（\(\theta\) 為任意值），通常寫成 \(\left(0,\ 0\right)\)。
平面上的點，可以用直角坐標 \(\left(x,\ y\right)\)（水平與鉛直的位置）表示，也可以用極坐標 \(\left(r,\ \theta\right)\)（到極點的距離和從極軸量起的方向）表示。極坐標 → 直角坐標用 \(x = r\cos\theta\)、\(y = r\sin\theta\)；反方向用 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\) 和 \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\)，再依點所在的象限做象限修正決定極角。極角相差整圈的倍數時是同一個點，所以答案要在 \(0 \le \theta < 2\pi\) 等固定範圍內表示。
符號與用語解說
符號
| \(P\) | P | 常用來表示平面上的點的字母，取自英文 point（點）的第一個字母。像 \(P\left(1,\ 2\right)\) 這樣，在後面的括號中寫出該點的坐標。 |
| \(O\) | O | 表示原點（極點）的字母，取自英文 origin（原點）的第一個字母。在極坐標中，這個點是量距離的起點。 |
| \(x,\ y\) | x、y | 直角坐標中的水平（\(x\) 軸方向）和鉛直（\(y\) 軸方向）位置，兩者都可以是負數。 |
| \(r\) | r | 表示極徑（極點到點的距離）的字母，取自英文 radius（半徑）的第一個字母。在極坐標中是大於或等於 0 的實數。 |
| \(\theta\) | theta | 用來表示極角的希臘字母。在數學中習慣用它來表示角度。 |
| \(\left(r,\ \theta\right)\) | r、theta | 極坐標的寫法，前面是距離（極徑），後面是方向（極角）。外觀和直角坐標的 \(\left(x,\ y\right)\) 一樣，使用時一定要先說明是哪一種坐標。台灣的課本常用方括號寫成 \(\left[r,\ \theta\right]\)，以便和直角坐標區分。 |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | cosine theta、sine theta | 三角比（三角函數）。在半徑 1 的圓（單位圓）上，位於角 \(\theta\) 方向的點，水平位置是 \(\cos\theta\)，鉛直位置是 \(\sin\theta\)。這是極坐標轉換成直角坐標的關鍵。 |
| \(\tan\theta\) | tangent theta | 三角比之一，定義為 \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)。在坐標平面上 \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\)（鉛直變化除以水平變化，也就是通過原點和該點的直線的斜率），是求極角的線索。 |
| \(\arctan\) | arctangent | 正切的反運算（也寫成 \(\tan^{-1}\)），傳回「滿足 \(\tan\theta = k\) 的角 \(\theta\)」。傳回的角只在 \(-\dfrac{\pi}{2}\) 到 \(\dfrac{\pi}{2}\) 之間，所以第二、第三象限的角需要象限修正。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率（約 3.14159）。在弧度法中，轉半圈的角 \(180^{\circ}\) 剛好是 \(\pi\)。希臘字母 \(\pi\) 據說來自希臘文中表示「周長」的詞的字首。 |
| \(n\) | n | 常用來表示整數的字母，取自英文 number 的第一個字母。在本頁表示極角錯開幾圈，也包括負整數（反方向轉）和 0（不轉）。 |
用語
| 直角坐標 | 用「水平多少、鉛直多少」的一組數 \(\left(x,\ y\right)\) 表示點的位置的方法。是從國中七年級就開始使用的最普通的坐標，也稱為笛卡兒坐標。 |
| 極坐標 | 用「到基準點的距離 \(r\)」和「從基準方向量起的角 \(\theta\)」這一組 \(\left(r,\ \theta\right)\) 表示點的位置的方法，曲線也可以用 \(r\) 和 \(\theta\) 的極方程式表示。在高中的三角函數單元學到。 |
| 極點 | 在極坐標中作為量距離基準的點。疊在坐標平面上時對準原點 \(O\)。 |
| 極軸 | 在極坐標中作為量角基準的射線。從極點出發，疊在坐標平面上時對準 \(x\) 軸的正半部。 |
| 極徑 | 極點到點 \(P\) 的距離 \(r\)。嚴格來說，連接極點和 \(P\) 的線段（或射線）也叫向徑，長度就是 \(r\)。取大於或等於 0 的值。 |
| 極角 | 從極軸逆時針量起，極點到點 \(P\) 方向的角 \(\theta\)（複數的情況稱為輻角）。加上一整圈（\(2\pi\)）方向不變，所以答案通常在 \(0 \le \theta < 2\pi\) 或 \(-\pi < \theta \le \pi\) 的範圍內表示。 |
| 象限 | 坐標平面被兩條坐標軸分成的 4 個區域。右上是第一象限，從那裡逆時針依序是第二、第三、第四象限。知道點在哪一個象限，是確定極角的線索。 |
| 象限修正 | 一圈內滿足 \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\) 的角有兩個，所以要選出符合點所在象限的那一個（例如把用 \(\arctan\) 求出的銳角加上 \(\pi\)），這種修正就是象限修正。 |
| 單位圓 | 以原點為圓心、半徑 1 的圓。這個圓上位於角 \(\theta\) 方向的點，坐標是 \(\left(\cos\theta,\ \sin\theta\right)\)，是極坐標轉換公式的基礎。 |
| 弧度法 | 用半徑 1 的圓的弧長來量角的大小的方法，單位是弧度（rad），\(180^{\circ} = \pi\) 弧度。在高中三角函數之後，弧度比度更常作為標準單位。 |
| 特殊角 | \(30^{\circ}\)、\(45^{\circ}\)、\(60^{\circ}\) 以及相關的角（這些角加上 \(90^{\circ}\) 的倍數）。三角比的值可以精確寫成 \(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 等，課本和考試的題目大多使用這些角。 |
| 極方程式 | 用 \(r\) 和 \(\theta\) 的關係式表示曲線。例如 \(r = 2\) 是以原點為圓心、半徑 2 的圓，\(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) 是從原點出發、斜率為 1 的射線。圓、螺線這類由到中心的距離決定的圖形，用極方程式寫會比用直角坐標簡單得多。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表中的內容是最快的方法。
| 坐標平面（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 平方根與根號的運算（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 畢氏定理（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 三角比與單位圓（高一～高二，15～17 歲） |
|
| 弧度法（高二，16～17 歲） |
|
| 極坐標（高中，16～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「直角坐標 → 極坐標」的表格
| x 坐標 | 3 |
| y 坐標 | 4 |
| 極徑 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 極角 θ（弧度，0 ≤ θ < 2π） | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 極角 θ（度） | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
求「極坐標 → 直角坐標」的表格
| 極徑 r | 2 |
| 極角 θ（度） | 60 |
| x 坐標 = r cosθ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| y 坐標 = r sinθ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
求「表示同一點的其他極角」的表格
| 極角 θ（度） | 60 |
| 錯開幾圈 n（整數，可以是負數） | 1 |
| 錯開後的極角（度） | =B1+360*B2 |
貼上後，上面幾列是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。
第 1 個表格的 ATAN2（x 坐標，y 坐標）會傳回已做好象限修正的角（大於 −π、小於或等於 π），再用 MOD 對 2π 取餘數，就變成 0 以上、未滿 2π 的角。例子中的點 (3, 4) 得到 r = 5，θ ≈ 0.9273（約 53.13 度）。
第 2 個表格的 RADIANS 把度換成弧度。例子中 r = 2、θ = 60 度，得到 x = 1，y ≈ 1.7320508（= √3）。Excel 算出的是小數，需要 √3 或 π 的分數這種精確值時，請使用本頁的計算機。
第 3 個表格寫出表示同一點的其他極坐標。例子中的 60 度加上一整圈 360 度是 420 度；n = −1 時是 −300 度，這些都是同一個點。
第 1 個表格的 ATAN2（x 坐標，y 坐標）會傳回已做好象限修正的角（大於 −π、小於或等於 π），再用 MOD 對 2π 取餘數，就變成 0 以上、未滿 2π 的角。例子中的點 (3, 4) 得到 r = 5，θ ≈ 0.9273（約 53.13 度）。
第 2 個表格的 RADIANS 把度換成弧度。例子中 r = 2、θ = 60 度，得到 x = 1，y ≈ 1.7320508（= √3）。Excel 算出的是小數，需要 √3 或 π 的分數這種精確值時，請使用本頁的計算機。
第 3 個表格寫出表示同一點的其他極坐標。例子中的 60 度加上一整圈 360 度是 420 度；n = −1 時是 −300 度，這些都是同一個點。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「直角坐標 → 極坐標」的表格
| x 坐標 | 3 |
| y 坐標 | 4 |
| 極徑 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 極角 θ（弧度，0 ≤ θ < 2π） | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 極角 θ（度） | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
求「極坐標 → 直角坐標」的表格
| 極徑 r | 2 |
| 極角 θ（度） | 60 |
| x 坐標 = r cosθ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| y 坐標 = r sinθ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
求「表示同一點的其他極角」的表格
| 極角 θ（度） | 60 |
| 錯開幾圈 n（整數，可以是負數） | 1 |
| 錯開後的極角（度） | =B1+360*B2 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式（ATAN2 的引數順序也一樣是「x 坐標，y 坐標」）。把表格整個複製並貼到 A1 儲存格，再把數值改成您自己的值。
用 Python 計算的方法
import math
# 直角坐標 → 極坐標
x_coordinate = 3
y_coordinate = 4
radius = math.sqrt(x_coordinate ** 2 + y_coordinate ** 2)
argument = math.atan2(y_coordinate, x_coordinate) # 已包含象限修正（−π < θ ≤ π）
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # 移到 0 ≤ θ < 2π 的範圍
print(f"極徑 r = {radius}")
print(f"極角 θ = {argument} rad（{math.degrees(argument)} 度）")
# 極坐標 → 直角坐標
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"x 坐標 = {r * math.cos(theta)}")
print(f"y 坐標 = {r * math.sin(theta)}")
math.atan2(y, x) 會傳回已做好象限修正的極角，所以和 arctan 不同，第二、第三象限的點也能得到正確的方向。它的引數順序是「y, x」，和坐標的寫法相反，這是容易出錯的地方。這個例子的前半把點 (3, 4) 轉換，執行後會顯示 r = 5.0、θ ≈ 0.9272952180016122 rad（約 53.13 度）；後半是 r = 2、θ = 60° 的反向轉換，得到 x ≈ 1.0000000000000002、y ≈ 1.7320508075688772（= √3）。x 不是剛好 1，是小數（浮點數）的捨入誤差造成的；要得到精確值，就要像本頁的計算機一樣用符號計算。使用標準函式庫的 cmath 模組，cmath.polar(complex(3, 4)) 也能一次求出極徑和極角（−π < θ ≤ π）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
從極坐標到直角坐標（點的位置的兩種說法）
x = r cosθ, y = r sinθ
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>x</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>cos</mi><mi>θ</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</math>
x = r cos theta, y = r sin theta
{x, y} = {r Cos[theta], r Sin[theta]}
x := r*cos(theta); y := r*sin(theta);
[x, y] = pol2cart(theta, r);
x = r cos θ, y = r sin θ
極徑 \(r\)（到極點的距離）
r = √(x² + y²)
r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(x^2 + y^2)
r = Sqrt[x^2 + y^2]
r := sqrt(x^2 + y^2);
r = hypot(x, y);
r = √(x^2 + y^2)
極角 \(\theta\)（由 tanθ 和象限求出）
tanθ = y/x
\tan\theta = \dfrac{y}{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>tan</mi><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
tan theta = y/x
theta = ArcTan[x, y]
theta := arctan(y, x);
theta = atan2(y, x);
tan θ = y/x
表示同一點的極坐標不只一種
(r, θ) = (r, θ + 2nπ)
\left(r,\ \theta\right) = \left(r,\ \theta + 2n\pi\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo>
<mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>π</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(r, theta) = (r, theta + 2 n pi)
theta + 2 n Pi
theta + 2*n*Pi;
theta2 = theta + 2*n*pi;
(r, θ) = (r, θ + 2nπ)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（平面上的極坐標）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。 1. 把直角坐標的點 (3, 4) 轉換成極坐標 (r, θ)。請列出極徑 r 和極角 θ（範圍 0 ≤ θ < 2π，同時用弧度和度表示）。 2. 把極坐標的點 (2, 60°) 轉換成直角坐標 (x, y)。請用小數列出 x 和 y，可以的話也列出含 √ 的精確值。 在 Python 中請使用 math.atan2 和 math.sqrt，並列出所用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
複數極式轉換計算機（附絕對值、輻角與象限修正的過程和複數平面圖）
對複數 z=a+bi 做同樣「距離與方向」計算的頁面。本頁轉換平面上的點，那一頁則轉換成極式 r(cosθ+i sinθ)
三角函數計算機（sin、cos、tan 的值與角度，附單位圓圖）
可以附單位圓圖，確認轉換時用到的 cos θ、sin θ、tan θ 的值
度與弧度換算計算機（附 π 的分數精確值與單位圓圖）
想在度與弧度之間換算極角的單位時使用，以精確值計算像 60° 和 π/3 這樣的對應
