多邊形內角、外角計算機（內角和、外角和、正多邊形反推）

「求 n 邊形的角」模式請輸入角（頂點）的數量 n；「反推是正幾邊形」模式請輸入正多邊形一個角的大小。

計算模式

角（頂點）的數量 n

已知角的種類

角的大小（度）

請用半形數字輸入。角（頂點）的數量 n 是 3～360 的整數，角的大小可以用小數或 900/7 這樣的分數。

計算結果與圖形

在左邊的輸入欄填入角（頂點）的數量，按下「計算」，結果和正多邊形的圖就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖示
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

只要輸入角（頂點）的數量，就能當場算出 \(n\) 邊形（3～360）的內角和 \(180^\circ \times (n - 2)\)、外角和 \(360^\circ\)，以及正 \(n\) 邊形一個內角與外角的大小
像正七邊形的一個內角 \(\dfrac{900}{7}^\circ\) 這樣除不盡的角，也會同時以精確值（分數）和小數顯示，還能看到「分成 \((n-2)\) 個三角形」這個想法的計算過程
反過來，也能由一個內角（或外角）的大小反推「是正幾邊形」。頂點數不是整數時，會判定為「不是正多邊形」
計算結果會顯示正多邊形的圖，可以親眼確認一個內角、外角的位置，以及用對角線分成三角形的樣子（角的數量太多時，會省略圖和對角線）

本頁對外角的說明，是以沒有凹陷的多邊形（凸多邊形）為前提。

這個計算有什麼用？

檢查測量誤差（土地測量、製作地圖）

測量土地界址時，會把基地看成多邊形，測量每個頂點的角度。把測得的內角全部加起來，確認和理論值 \(180^\circ \times (n - 2)\) 差多少（閉合差），就能發現測量失誤或儀器的誤差。
這種驗算是測量實務中天天在做的基本步驟，也是多邊形內角和公式直接用在現場品質管理的例子。

磁磚的鋪排、蜂巢的形狀（設計、自然）

像地板磁磚那樣，只用一種正多邊形把平面毫無縫隙地鋪滿，一個頂點周圍（\(360^\circ\)）就必須剛好放得下整數個內角。也就是說，只有內角是 \(360^\circ\) 因數的正三角形（\(60^\circ\)）、正方形（\(90^\circ\)）、正六邊形（\(120^\circ\)）這 3 種能鋪滿，正五邊形（\(108^\circ\)）一定會留下縫隙。
蜂巢是正六邊形，一般也解釋為這是能用較少材料、毫無縫隙地隔出空間的形狀。

用程式畫圖形（程式設計教育、機器人）

用 Scratch 或機器人程式畫正多邊形時，要重複「前進一點、轉一點」。這時轉的角度不是內角而是外角（\(360^\circ \div n\)），正五邊形每次轉 \(72^\circ\)，轉完一圈圖形就會封閉。
這也是國中小程式設計課的經典題材，「外角和 \(= 360^\circ\)（一圈）」的想法直接變成了程式。

相機的光圈與光芒的形狀（攝影、光學產品）

相機鏡頭的光圈，是用多片葉片形成接近正多邊形的開口來調節光量。葉片的片數（＝多邊形角的數量）會改變夜景光源放射出的光芒條數，以及散景的形狀。
在產品設計上，正多邊形的角的數量和角度，直接成了決定成像風格的要素。

公式與圖示

\(n\) 邊形的內角和

圖示

數學寫法（一般的數學式）

\(S\) \(=\) \(180^\circ\) \(\times\) \((n - 2)\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ \(n\) 邊形的內角和 \(S\) \(=\) ② 三角形內角和 \(180^\circ\) \(\times\) ① 三角形的個數 \(n - 2\)

用文字讀公式

① 從 \(n\) 邊形的一個頂點畫對角線切開後得到的三角形的個數 \(n - 2\) ，乘以

② 三角形內角和 \(180^\circ\) ，就得到

③ \(n\) 邊形的內角和 \(S\) 。

簡單範例

五邊形（\(n = 5\)）可以用對角線分成 \(5 - 2 = 3\) 個三角形，所以內角和是

五邊形的內角和 \(=\) 三角形內角和（\(180^\circ\)） \(\times\) 三角形的個數（3 個）

\(180^\circ \times (5 - 2) = 180^\circ \times 3 = 540^\circ\)

思考重點

為什麼是 \(n - 2\) 個？從 \(n\) 邊形的一個頂點出發，除了自己和左右相鄰的兩個頂點，可以向其餘 \(n - 3\) 個頂點畫對角線。這 \(n - 3\) 條對角線把多邊形切成 \(n - 2\) 個三角形，而這些三角形的內角全部合起來，剛好就是多邊形的內角。所以是「\(n - 2\) 個三角形內角和 \(180^\circ\)」。用四邊形驗證：一條對角線分成 2 個三角形，所以是 \(180^\circ \times 2 = 360^\circ\)。三角形不必分割，\(180^\circ \times 1 = 180^\circ\)，和我們熟悉的值一致。

多邊形的外角和

圖示

數學寫法（一般的數學式）

文字寫法（把符號換成文字的公式）

\(T\) \(=\) \(360^\circ\)

① 多邊形的外角和 \(T\) \(=\) ② 剛好一圈的角度 \(360^\circ\)

用文字讀公式

① 多邊形的外角和 \(T\) 不論是幾邊形，都等於

② 剛好一圈的角度 \(360^\circ\) 。

簡單範例

用五邊形驗證：內角和外角的組合（\(180^\circ\)）共有 5 組，減去內角和 \(540^\circ\) 後

五邊形的外角和 \(=\) \(360^\circ\)（剛好一圈）

\(180^\circ \times 5 - 540^\circ = 900^\circ - 540^\circ = 360^\circ\)

思考重點

直覺地說明外角和為什麼「不論幾邊形都是 \(360^\circ\)」：想像沿著多邊形的邊走一圈。每走到一個頂點，身體就要轉向下一條邊的方向，這個「轉向的角度」正好就是外角。走完一圈回到起點時，身體的方向恢復原狀，也就是總共剛好轉了一圈（\(360^\circ\)），所以把外角全部加起來一定是 \(360^\circ\)。也可以用計算確認。每個頂點的內角 + 外角 \(= 180^\circ\)（一直線的角），把 \(n\) 個頂點全部加起來就是 \(180^\circ \times n\)。再減去內角和 \(180^\circ \times (n - 2)\)，剩下的一定是 \(180^\circ \times 2 = 360^\circ\)。角的數量越多，每個外角就越小，但總和不變。另外，這個關係成立的前提是沒有凹陷的多邊形（凸多邊形）。

正 \(n\) 邊形的一個內角

數學寫法（一般的數學式）

\(x\) \(=\) \(180^\circ \times (n - 2)\) \(\div\) \(n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 正 \(n\) 邊形的一個內角 \(x\) \(=\) ① 內角和 \(180^\circ \times (n - 2)\) \(\div\) ② 角的數量 \(n\)

用文字讀公式

① 正多邊形的內角全部相等，所以把內角和 \(180^\circ \times (n - 2)\) 依

② 角的數量 \(n\) 平分，就得到

③ 正 \(n\) 邊形的一個內角 \(x\) 。

簡單範例

正五邊形（\(n = 5\)）的一個內角，是把內角和 \(540^\circ\) 平分成 5 份

正五邊形的一個內角 \(=\) 內角和（\(540^\circ\)） \(\div\) 角的數量（5）

\(180^\circ \times (5 - 2) \div 5 = 540^\circ \div 5 = 108^\circ\)

思考重點

只有「正」多邊形才能這樣平分。一般的五邊形只確定內角和是 \(540^\circ\)，每個內角的大小可以各不相同。也可能除不盡。正七邊形是 \(900^\circ \div 7 = \dfrac{900}{7}^\circ = 128.57\ldots^\circ\)，不是整數。考試作答時，保留 \(\dfrac{900}{7}^\circ\) 這樣的分數（精確值）最保險。也可以用「\(180^\circ -\) 一個外角」來求（利用內角 + 外角 \(= 180^\circ\)）。先用下一個公式求出外角 \(360^\circ \div n\) 再相減，計算常常比較輕鬆。

正 \(n\) 邊形的一個外角（與反推是正幾邊形）

數學寫法（一般的數學式）

\(y\) \(=\) \(360^\circ\) \(\div\) \(n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ 正 \(n\) 邊形的一個外角 \(y\) \(=\) ① 外角和 \(360^\circ\) \(\div\) ② 角的數量 \(n\)

用文字讀公式

① 正多邊形的外角也全部相等，所以把外角和 \(360^\circ\) 依

② 角的數量 \(n\) 平分，就得到

③ 正 \(n\) 邊形的一個外角 \(y\) 。

簡單範例

正五邊形（\(n = 5\)）的一個外角，以及反過來「外角是 \(72^\circ\) 時是正幾邊形」

正五邊形的一個外角 \(=\) 外角和（\(360^\circ\)） \(\div\) 角的數量（5）

\(360^\circ \div 5 = 72^\circ\)

\(360^\circ \div 72^\circ = 5\)

思考重點

這個公式也能反過來用。只要知道一個外角的大小 \(y\)，角的數量就是 \(n = 360^\circ \div y\)。例如外角是 \(40^\circ\)，\(360^\circ \div 40^\circ = 9\)，就是正九邊形。如果除不盡，就不存在有這個大小外角的正多邊形（像 \(360^\circ \div 50^\circ = 7.2\) 這樣，頂點數不是整數）。想由一個內角 \(x\) 反推時，先用內角 + 外角 \(= 180^\circ\) 換成外角 \(y = 180^\circ - x\)，再計算 \(360^\circ \div y\)。本計算機的反推模式也是同樣的步驟。

從一個頂點畫對角線，把 \(n\) 邊形分成 \(n - 2\) 個三角形，就能求出內角和 \(180^\circ \times (n - 2)\)。外角和不論幾邊形，都是剛好一圈的 \(360^\circ\)。正 \(n\) 邊形的角全部相等，所以一個內角是內角和 \(\div\ n\)，一個外角是 \(360^\circ \div n\)；反過來，也能由一個角的大小反推是正幾邊形。

符號與用語解說

符號

\(n\)	n	角（頂點）的數量。五邊形就是 \(n = 5\)。取自 number（數）字首的 \(n\)，常用來表示個數。
\(S\)	S	本頁用來表示內角和的字母。一般認為取自表示總和的 Sum 字首，常用來表示總量或面積。
\(T\)	T	本頁用來表示外角和的字母，取自表示總計的 Total 字首。
\(x,\ y\)	x、y	表示所求角的大小的字母。課本和講義習慣像「設一個內角為 \(x^\circ\)」這樣，把未知數設為 \(x\)。
\(^\circ\)	度	角度單位「度」的符號。把一圈平分成 360 份，每份的角就是 \(1^\circ\)。一般認為一圈定為 360，是因為 360 的因數很多，容易平分。

用語

多邊形	由 3 條以上的線段（直的線）圍成的圖形。三角形、四邊形、五邊形……的總稱，有 \(n\) 個角就稱為「\(n\) 邊形」。
頂點	多邊形的角的點，也就是邊與邊相交的點，\(n\) 邊形有 \(n\) 個。角的數量、頂點的數量和邊的數量全部相同。
內角	多邊形內側的角。\(n\) 邊形和頂點數一樣，有 \(n\) 個內角。
外角	多邊形的一邊延長成直線後，與相鄰的邊所夾的角。同一個頂點的內角和外角合起來是一直線的角（\(180^\circ\)）。
內角和	把內角全部加起來的角度，\(n\) 邊形是 \(180^\circ \times (n - 2)\)。三角形 \(180^\circ\)、四邊形 \(360^\circ\)、五邊形 \(540^\circ\)，角每多一個就增加 \(180^\circ\)。
外角和	在每個頂點各取一個外角，全部加起來的角度。只要是沒有凹陷的多邊形，不論幾邊形都剛好是一圈的 \(360^\circ\)。
正多邊形	邊長全部相等、內角也全部相等的多邊形，例如正三角形、正方形、正五邊形。正因為角全部相等，才能用「內角和 ÷ 角的數量」求出一個內角。
對角線	連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段。從一個頂點出發，除了自己和左右相鄰的頂點，可以畫 \(n - 3\) 條，把多邊形切成 \(n - 2\) 個三角形。
三角形內角和	不論什麼形狀的三角形，三個內角加起來一定是 \(180^\circ\) 的性質。多邊形的內角和公式，就是把多邊形分成三角形後利用這個性質得到的。
平角	一直線的角，大小是 \(180^\circ\)，剛好是半圈。「內角 + 外角 \(= 180^\circ\)」就是因為邊和它的延長線成一直線，也就是形成平角。
凸多邊形	沒有凹陷的多邊形，也就是每個內角都小於 \(180^\circ\) 的多邊形。本頁對外角的說明（外角和 \(= 360^\circ\)）以凸多邊形為前提。

建議先了解的基礎知識

為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。

三角形內角和（國小五年級～國中八年級）	知道不論什麼形狀的三角形，三個內角加起來一定是 \(180^\circ\) 了解多邊形的角的問題，全都以這個 \(180^\circ\) 為基礎
角度與旋轉（國小四年級，9～10 歲）	知道轉一圈是 \(360^\circ\)，半圈（一直線的角＝平角）是 \(180^\circ\) 對用量角器測量的「角的大小」有概念
多邊形與對角線（國小～國中八年級）	了解頂點、邊、角的意思，能把五邊形、六邊形等名稱和角的數量連結起來知道對角線是「連接不相鄰頂點的線段」
除法與分數（國小五年級～國中七年級）	會用直式計算 \(540 \div 5 = 108\) 這樣的除法除不盡時，能把答案保留成 \(\dfrac{900}{7}\) 這樣的分數（精確值）
一元一次方程式（國中七年級，12～13 歲）	能解 \(180 \times (n - 2) = 1080\) 這樣的方程式，反推「內角和是 \(1080^\circ\) 的多邊形是幾邊形」（本頁反推模式的想法）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「n 邊形的內角和」的表格

角（頂點）的數量 n	5
內角和 S	=180*(B1-2)

求「正 n 邊形的一個內角」的表格

角（頂點）的數量 n	5
一個內角 x	=180*(B1-2)/B1

求「正 n 邊形的一個外角」的表格

角（頂點）的數量 n	5
一個外角 y	=360/B1

「反推是正幾邊形（由一個內角）」的表格

一個內角（度）	108
一個外角（度）	=180-B1
頂點數 n = 360 ÷ 外角	=360/B2

貼上後，上方的列是輸入欄，下方的列會自動算出結果。
「*」是乘號，「/」是除號。
第一個表格是求五邊形（n = 5）內角和的例子，答案是 540。第二、第三個表格是正五邊形的一個內角和外角，分別是 108 和 72。
第四個表格是反推。輸入內角 108，外角是 72、頂點數是 5，可知是正五邊形。如果頂點數是 7.2 這樣的非整數，就不存在有這個角的正多邊形。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「n 邊形的內角和」的表格

角（頂點）的數量 n	5
內角和 S	=180*(B1-2)

求「正 n 邊形的一個內角」的表格

角（頂點）的數量 n	5
一個內角 x	=180*(B1-2)/B1

求「正 n 邊形的一個外角」的表格

角（頂點）的數量 n	5
一個外角 y	=360/B1

「反推是正幾邊形（由一個內角）」的表格

一個內角（度）	108
一個外角（度）	=180-B1
頂點數 n = 360 ÷ 外角	=360/B2

和 Excel 相同的公式可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 n 或角的大小改成您自己的數值即可。

用 Python 計算的方法

from fractions import Fraction

# 求 n 邊形的角（vertex_count = 角（頂點）的數量）
vertex_count = 7

interior_sum = 180 * (vertex_count - 2)
regular_interior = Fraction(interior_sum, vertex_count)
regular_exterior = Fraction(360, vertex_count)
print(f"內角和：{interior_sum}°")
print("外角和：360°")
print(f"正 {vertex_count} 邊形的一個內角：{regular_interior}° ≈ {float(regular_interior):.2f}°")
print(f"正 {vertex_count} 邊形的一個外角：{regular_exterior}° ≈ {float(regular_exterior):.2f}°")

# 反推：由一個內角的大小求是正幾邊形
interior_angle = Fraction(150)
exterior_angle = 180 - interior_angle
polygon_count = Fraction(360) / exterior_angle
if polygon_count.denominator == 1 and polygon_count >= 3:
    print(f"內角 {interior_angle}° 的正多邊形：正 {polygon_count} 邊形")
else:
    print(f"不存在內角 {interior_angle}° 的正多邊形（360 ÷ 外角 = {polygon_count}）")

使用標準函式庫的 fractions 模組，像 900/7° 這樣除不盡的角也能保持分數、沒有捨入誤差地計算。這個範例的前半是正七邊形（vertex_count = 7）的計算，一個內角會顯示成「900/7° ≈ 128.57°」。後半是由內角 150° 反推，得到外角 30°、頂點數 12，顯示「正 12 邊形」。請改寫數值後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

\(n\) 邊形的內角和

S = 180° × (n − 2)

S = 180^{\circ} \times (n - 2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

S = 180^circ xx (n - 2)

S = 180 (n - 2) Degree

S := 180*(n - 2);

S = 180*(n - 2);

S = 180° × (n − 2)

多邊形的外角和

T = 360°

T = 360^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>360</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

T = 360^circ

T = 360 Degree

T := 360;

T = 360;

T = 360°

正 \(n\) 邊形的一個內角

x = 180° × (n − 2) / n

x = \frac{180^{\circ} \times (n - 2)}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup><mo>&#x00D7;</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (180^circ xx (n - 2))/n

x = (180 (n - 2)/n) Degree

x := 180*(n - 2)/n;

x = 180*(n - 2)/n;

x = 180° × (n − 2) / n

正 \(n\) 邊形的一個外角（與反推是正幾邊形）

y = 360° / n

y = \frac{360^{\circ}}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msup><mn>360</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

y = (360^circ)/n

y = (360/n) Degree

y := 360/n;

y = 360/n;

y = 360° / n

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學（平面幾何）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

針對正七邊形，請分別列出：
1. 內角和（度）
2. 一個內角的大小（約分後的分數和小數都要）
3. 一個外角的大小（約分後的分數和小數都要）
另外，請用「先換成一個外角，再用 360° 去除」的步驟，求出一個內角是 140° 的正多邊形是正幾邊形。

Python 請使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出使用的公式和執行結果的數值。