由互不影響（獨立）的兩件事各自的機率，一次算出「兩個都發生」「至少一個發生」等機率。請以 0～1 的數值輸入機率（例：30% 就輸入 0.3）。
請以 0～1 的數值輸入機率（例：30% 就輸入 0.3）。
計算結果與圖形
在左側輸入欄輸入兩個機率，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入兩件事（事件）各自的機率，馬上就能知道「兩個都發生的機率 \(P(A \cap B)\)」與「至少一個發生的機率 \(P(A \cup B)\)」
- 「只有其中一個發生的機率 \(P(A \Delta B)\)」「兩個都不發生的機率」「只有 A 發生的機率」等也會同時一起算出來
- 像「旅行第 1 天放晴的機率是 50%，第 2 天放晴的機率是 30%，兩天都放晴的機率是多少？」這樣的計算，一次就能完成
- 這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
只適用於兩件事互不影響（獨立）的情況。像骰子和硬幣這樣，一方的結果與另一方無關就可以使用；但像「抽籤後不放回、再抽第 2 次」這樣，一方的結果會改變另一方機率的情況，就不能使用。
這個計算有什麼用？
估算旅行或活動「兩天都放晴的機率」
第 1 天放晴的機率是 50%、第 2 天放晴的機率是 30% 的話，兩天都放晴的機率只有 \(0.5 \times 0.3 = 0.15\)（15%）。（這是把兩天的天氣簡化為獨立時的概算。）
「兩件事都順利」的機率要把各自的機率相乘，所以往往比想像中小很多。心裡有這個數字的概念，安排行程的方式也會跟著改變。
估算申請多個校系時「至少錄取一個的機率」（升學、求職、抽籤）
大學個人申請時，如果第一志願校系錄取的機會是 50%，另一個校系是 30%，至少錄取一個的機率是 \(0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65\)（65%）。（這是把兩個校系的結果簡化為互相獨立時的情況。）
面對人生的重大選擇時，「多一個選項，整體成功的機率能提高多少」，可以用數字確認，而不只是憑感覺。
用數字確認備份有多安心（資料、防災）
把同樣的資料存在 2 顆一年內故障機率各為 1% 的硬碟上，兩顆同時壞掉、資料全部遺失的機率會降到 \(0.01 \times 0.01 = 0.0001\)（萬分之一）。（前提是故障互相獨立。）
「做雙重準備，風險就會以乘法變小」，從照片的備份到防災用品分開存放，這個原理是各種準備的基礎。
正確理解醫療說明（手術與治療的綜合風險）
醫師說明「手術成功率 90%，術後不發生併發症的機率 95%」時，兩者都順利的機率是 \(0.9 \times 0.95 = 0.855\)（85.5%）。（這是把兩者視為獨立時的參考值。）
在選擇治療方式這類攸關人生的重大決定中，能自己算出多個機率疊加時的「整體展望」，有助於做出令自己信服的決定。
產品的品質管理（多個零件全部都是良品的機率）
使用 2 個良率 99% 零件的產品，2 個都是良品的機率是 \(0.99 \times 0.99 = 0.9801\)（98.01%）。
製造業的品管人員會依零件數量重複這個計算，估算整個產品的合格率，並反推每個零件容許的不良率。
公式與圖示
餘事件（A 不發生的機率）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(A')\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\(P(A)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(P(A')\)：A 不發生的機率
\(=\)
①
\(1\)：全體的機率
\(-\)
②
\(P(A)\)：A 發生的機率
用文字讀公式
①
從
\(1\)：全體的機率
②
減去
\(P(A)\)：A 發生的機率
，
③
就得到
\(P(A')\)：A 不發生的機率
簡單範例
抽中獎的機率是 0.2 時，沒抽中的機率是
\(P(A')\)：沒抽中
\(=\)
\(1\)：全體的機率
\(-\)
抽中（0.2）
\(1 - 0.2 = 0.8\ \ (80\%)\)
思考重點
「發生的機率」和「不發生的機率」加起來，一定等於全體的機率 1。所以用 1 減去「發生的機率」，就能知道「不發生的機率」。\(A'\)（讀作 A prime）是「A 不發生」這個事件（餘事件）的符號，有些書也寫成 \(A^c\) 或 \(\overline{A}\)。
積事件（A 與 B 都發生的機率）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(P(A \cap B)\)：A 與 B 都發生的機率
\(=\)
①
\(P(A)\)：A 發生的機率
\(\times\)
②
\(P(B)\)：B 發生的機率
用文字讀公式
①
把
\(P(A)\)：A 發生的機率
②
乘以
\(P(B)\)：B 發生的機率
，
③
就得到
\(P(A \cap B)\)：A 與 B 都發生的機率
簡單範例
旅行第 1 天放晴的機率是 0.5、第 2 天放晴的機率是 0.3 時，兩天都放晴的機率是
\(P(A \cap B)\)：兩天都放晴
\(=\)
第 1 天放晴（0.5）
\(\times\)
第 2 天放晴（0.3）
\(0.5 \times 0.3 = 0.15\ \ (15\%)\)
思考重點
為什麼「且」要用乘法？A 發生占全體的 \(P(A)\)，而在這之中 B 也發生又占 \(P(B)\)。這是「比例中的比例」，所以要相乘。50% 中的 30%，就是 \(0.5 \times 0.3 = 0.15\)（15%）。
上圖右邊的正方形，是把全體看成面積 1 的正方形，寬取 \(P(A)\)、高取 \(P(B)\)。「A 和 B 都發生」是左下角的長方形，它的面積就是 \(P(A) \times P(B)\)。左邊的文氏圖只是用來表示「是哪一部分」，圓的面積和機率的大小並不對應。
不過，這個公式只適用於 A 和 B 互不影響（獨立）的情況。像「抽籤後不放回、再抽第 2 次」這樣，一方的結果會改變另一方機率的情況，就不能使用。
和事件（A 或 B 至少一個發生的機率）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A \cap B)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(P(A \cup B)\)：至少一個發生的機率
\(=\)
①
\(P(A)\)：A 發生的機率
\(+\)
②
\(P(B)\)：B 發生的機率
\(-\)
③
\(P(A \cap B)\)：兩個都發生的機率
用文字讀公式
①
把
\(P(A)\)：A 發生的機率
②
加上
\(P(B)\)：B 發生的機率
，
③
再減去一次
\(P(A \cap B)\)：兩個都發生的機率
，
④
就得到
\(P(A \cup B)\)：至少一個發生的機率
簡單範例
第 1 天放晴的機率是 0.5、第 2 天放晴的機率是 0.3 時（兩天都放晴的機率是 0.5 × 0.3 = 0.15），至少有一天放晴的機率是
\(P(A \cup B)\)：至少一天放晴
\(=\)
第 1 天放晴（0.5）
\(+\)
第 2 天放晴（0.3）
\(-\)
兩天都放晴（0.15）
\(0.5 + 0.3 - 0.15 = 0.65\ \ (65\%)\)
思考重點
為什麼要減去 \(P(A \cap B)\)？如果直接相加 \(P(A) + P(B)\)，「兩個都發生」的情況會在 A 的部分和 B 的部分各算一次，總共算了兩次。所以要減去一次重複的部分 \(P(A \cap B)\) 來調整。這種計數的規則稱為排容原理。
對稱差（只有其中一個發生的機率）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(A \Delta B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(2P(A \cap B)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(P(A \Delta B)\)：只有其中一個發生的機率
\(=\)
①
\(P(A)\)：A 發生的機率
\(+\)
②
\(P(B)\)：B 發生的機率
\(-\)
③
\(2P(A \cap B)\)：兩個都發生的機率的 2 倍
用文字讀公式
①
把
\(P(A)\)：A 發生的機率
②
加上
\(P(B)\)：B 發生的機率
，
③
再減去
\(2P(A \cap B)\)：兩個都發生的機率的 2 倍
，
④
就得到
\(P(A \Delta B)\)：只有其中一個發生的機率
簡單範例
事件 A 發生的機率是 0.5、事件 B 發生的機率是 0.4 時（兩個都發生的機率是 0.5 × 0.4 = 0.2），只有其中一個發生的機率是
\(P(A \Delta B)\)：只有其中一個發生
\(=\)
A 發生（0.5）
\(+\)
B 發生（0.4）
\(-\)
兩個都發生（0.2）的 2 倍
\(0.5 + 0.4 - 2 \times 0.2 = 0.5\ \ (50\%)\)
思考重點
和事件（至少一個）只減去一次重複的部分，所以「兩個都發生」的情況還留著；對稱差則要把「兩個都發生」的情況完全排除，所以要把被算了兩次的重複部分減去兩次。
兩個獨立的事件，基本規則是：「且（兩個都發生）」用乘法，「或（至少一個發生）」用加法再減去重複的部分。
符號與用語解說
符號
| \(P(A)\) | P of A | 事件 A 發生的機率。P 是英文「機率」Probability 的第一個字母。 |
| \(A'\) | A prime（餘事件） | 表示「A 不發生」這個事件（餘事件），也寫成 \(A^c\) 或 \(\overline{A}\)。可用 \(P(A') = 1 - P(A)\) 求出。 |
| \(\cap\) | 交集 | 表示「且」的符號。\(A \cap B\) 是「A 與 B 都發生」這個事件，在文氏圖中就是兩個圓重疊的部分。 |
| \(\cup\) | 聯集 | 表示「或」的符號。\(A \cup B\) 是「A 與 B 至少一個發生」這個事件，在文氏圖中就是兩個圓合起來的全部範圍。 |
| \(\Delta\) | delta（對稱差） | 表示「只有其中一個」的符號。\(A \Delta B\) 是「A、B 只有其中一個發生（不會兩個都發生）」這個事件。 |
用語
| 事件 | 像「擲骰子擲出 6 點」「明天會下雨」這樣，會發生或不會發生的事情。數學上把這種事情稱為「事件」，並取 A、B 等名稱來處理。 |
| 獨立 | 一方的結果不會影響另一方發生的機率。骰子的點數和硬幣的正反面是獨立的；但「抽籤後不放回、再抽 1 次」時，第 1 次的結果會改變第 2 次的機率，所以不是獨立的。這個計算機只適用於獨立的情況。 |
| 餘事件 | 指該事件「不發生」這個相反的事件。如果發生的機率是 0.2，不發生的機率（餘事件的機率）就是 \(1 - 0.2 = 0.8\)。 |
| 積事件 | 兩個事件「都發生」的事件，也就是 A 與 B 的交集。符號是 \(A \cap B\)（讀作「A 交集 B」）。如果是獨立事件，機率可以用乘法 \(P(A) \times P(B)\) 求出。 |
| 和事件 | 兩個事件「至少一個發生」的事件，也就是 A 與 B 的聯集。符號是 \(A \cup B\)（讀作「A 聯集 B」）。機率的求法是相加後，再減去一次重複的 \(P(A \cap B)\)。 |
| 對稱差 | 兩個事件中「只有其中一個發生（不會兩個都發生）」的情況。符號是 \(A \Delta B\)，在邏輯上也稱為互斥或（XOR）。 |
| 互斥 | 兩個事件不會同時發生。例如：擲一次骰子時，「擲出偶數」和「擲出奇數」是互斥事件。請注意，這和「獨立」是不同的概念。 |
| 排容原理 | 計算「或」的機率時，直接相加會把兩個都發生的情況算兩次，所以要把重複的部分減掉一次，這種計數的規則就是排容原理。它是和事件公式 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\) 的基礎。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這張表的內容是最快的捷徑。
| 機率的基礎（國中九年級，14～15 歲） |
|
| 比率與百分率（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 分數的乘法（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 集合與文氏圖（高一，15～16 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「A 不發生的機率（餘事件）」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.2 |
| A 不發生的機率 P(A') | =1-B1 |
求 A 與 B「都發生的機率」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| 事件 B 發生的機率 P(B) | 0.3 |
| 兩個都發生的機率 P(A∩B) | =B1*B2 |
求 A 或 B「至少一個發生的機率」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| 事件 B 發生的機率 P(B) | 0.3 |
| 至少一個發生的機率 P(A∪B) | =B1+B2-B1*B2 |
求「只有其中一個發生的機率（對稱差）」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| 事件 B 發生的機率 P(B) | 0.3 |
| 只有其中一個發生的機率 P(AΔB) | =B1+B2-2*B1*B2 |
貼上後，A 欄是各列的名稱，B 欄是數值。上方幾列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式中的「B1」「B2」代表「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘法的符號。只要把輸入欄的數值改成自己的機率，就能直接使用。
以第 2 個表格為例，B3 會顯示 0.5 × 0.3 = 0.15。只有第 1 個餘事件的表格，輸入欄只有 B1 一格，結果顯示在 B2。
公式中的「B1」「B2」代表「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘法的符號。只要把輸入欄的數值改成自己的機率，就能直接使用。
以第 2 個表格為例，B3 會顯示 0.5 × 0.3 = 0.15。只有第 1 個餘事件的表格，輸入欄只有 B1 一格，結果顯示在 B2。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「A 不發生的機率（餘事件）」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.2 |
| A 不發生的機率 P(A') | =1-B1 |
求 A 與 B「都發生的機率」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| 事件 B 發生的機率 P(B) | 0.3 |
| 兩個都發生的機率 P(A∩B) | =B1*B2 |
求 A 或 B「至少一個發生的機率」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| 事件 B 發生的機率 P(B) | 0.3 |
| 至少一個發生的機率 P(A∪B) | =B1+B2-B1*B2 |
求「只有其中一個發生的機率（對稱差）」的表格
| 事件 A 發生的機率 P(A) | 0.5 |
| 事件 B 發生的機率 P(B) | 0.3 |
| 只有其中一個發生的機率 P(AΔB) | =B1+B2-2*B1*B2 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格後，上方幾列是輸入欄，最後一列是自動計算的結果。
只要把輸入欄的數值改成自己的機率，就能直接使用。
只要把輸入欄的數值改成自己的機率，就能直接使用。
用 Python 計算的方法
p_a = 0.5 # 事件 A 發生的機率
p_b = 0.3 # 事件 B 發生的機率
p_both = p_a * p_b # 兩個都發生 P(A∩B)
p_at_least_one = p_a + p_b - p_both # 至少一個發生 P(A∪B)
p_exactly_one = p_a + p_b - 2 * p_both # 只有其中一個發生 P(AΔB)
p_neither = 1 - p_at_least_one # 兩個都不發生
print(f"兩個都發生的機率：{p_both}")
print(f"至少一個發生的機率：{p_at_least_one}")
print(f"只有其中一個發生的機率：{p_exactly_one}")
print(f"兩個都不發生的機率：{p_neither}")
只用標準函式庫就能執行。把開頭 p_a 與 p_b 的值改成想計算的機率後執行即可。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
餘事件（A 不發生的機率）
P(A′) = 1 − P(A)
P(A') = 1 - P(A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<msup><mi>A</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A') = 1 - P(A)
1 - pA
pNotA := 1 - pA;
p_not_a = 1 - p_a;
P(A′) = 1 - P(A)
積事件（A 與 B 都發生的機率）
P(A∩B) = P(A) × P(B)
P(A \cap B) = P(A) \times P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) xx P(B)
pA*pB
pAandB := pA*pB;
p_a_and_b = p_a*p_b;
P(A∩B) = P(A) × P(B)
和事件（A 或 B 至少一個發生的機率）
P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A∩B)
P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A nn B)
pA + pB - pA*pB
pAorB := pA + pB - pA*pB;
p_a_or_b = p_a + p_b - p_a*p_b;
P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
對稱差（只有其中一個發生的機率）
P(AΔB) = P(A) + P(B) − 2P(A∩B)
P(A \Delta B) = P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>Δ</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mn>2</mn>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A Delta B) = P(A) + P(B) - 2 P(A nn B)
pA + pB - 2*pA*pB
pAxorB := pA + pB - 2*pA*pB;
p_a_xor_b = p_a + p_b - 2*p_a*p_b;
P(AΔB) = P(A) + P(B) - 2P(A∩B)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是機率計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。 事件 A 發生的機率是 0.5，事件 B 發生的機率是 0.3，A 與 B 互相獨立。 請分別求出下列各值。 1. A 與 B 都發生的機率 P(A∩B) 2. A 或 B（至少一個）發生的機率 P(A∪B) 3. 只有其中一個發生的機率 P(AΔB) 4. 兩個都不發生的機率 請以表格列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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可商業使用
可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
兩個事件的機率（由兩個已知值反推其餘）
由已知的兩個機率，一次反推出其餘的機率
重複試驗的機率（連續 n 次、至少 1 次）
計算連續 n 次都發生的機率，以及 n 次中至少發生 1 次的機率
