抽樣調查計算機（捉放法、推估母體中的個數）

請依照想調查的內容選擇模式，再輸入調查結果。「捉放法」推估池塘魚數等的總數；「推估母體中的個數」推估全體中符合條件的個數（不良品的總數等）。

要推估什麼

第 1 次做標記的數量

第 2 次捕捉的數量

其中有標記的數量

母體總個數

抽出的樣本個數

樣本中符合的個數

個數請輸入半形整數。抽樣調查的答案是推估值，所以會同時顯示除法的精確值（分數）和「約 ○」的概數。

計算結果與圖表

在左側輸入欄輸入調查結果，按下「計算」，推估值和帶狀圖就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖表
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

像池塘裡的魚這樣「無法全部數完的群體」，可以用捉放法（做上標記後放回，再捕捉一次，看有標記的比率）推估總數
已知母體的總個數時（例：產品 3,000 個），可以由隨機抽出的樣本結果（例：100 個中有 2 個不良品），推估母體中符合條件的個數（全部的不良品數）
和國中課本一樣，附比例式（內項乘積 = 外項乘積）的計算過程。答案同時以除法的精確值（分數）和「約 ○」的概數表示
可以用帶狀圖比較「樣本中的比率」和「母體中的比率」，看出兩者相同

抽樣調查的推估，前提是樣本像抽籤一樣沒有偏差地選出（隨機抽樣）。結果終究只是推估值，和實際的數量會有誤差。

這個計算有什麼用？

調查魚類與野生動物的族群數量（生態調查、環境保育）

調查池塘裡的魚、山上的鹿、湖裡的外來魚等「無法全部數完的生物數量」時，實際上就會用到本頁的捉放法。在漁業資源管理和外來種移除中，族群數量的推估值是決定捕撈上限和移除規模的基本資料。
這個方法的前提是：標記不會脫落、調查期間個體的進出（出生、死亡、移動）很少，以及有標記的個體會和其他個體充分混合。實際調查時，會在時間和方法上下工夫，盡量接近這些前提。

工廠的抽樣檢驗（品質管理）

像電池的壽命測試、罐頭內容物的檢查這種「一檢查產品就會損壞、不能再賣」的檢驗，無法做全面調查。這時會隨機抽出樣本檢查，再由樣本中的不良品比率推估全部的不良品數。
由樣本 100 個中有 2 個不良品，推估「全部約 60 個」，是品質管理最基本的工具之一。

民意調查與收視率（社會調查）

「總統施政滿意度」等民意調查，並不是調查全台灣所有的選舉人，而是從隨機選出的一千人到數千人規模的樣本，推估全體的比率。電視收視率也是由樣本戶推估出全體觀眾的比率。
抽樣調查的威力在於：只要樣本是隨機選出的，即使樣本不多，也能相當準確地推估全體（誤差的大小取決於樣本數）。實際的調查還會加上加權等步驟，避免地區或年齡層的偏差，但基礎就是「由樣本的比率推估全體」這個想法。

選舉的開票速報

選舉開票時，只開出一部分的票，就能大致看出各候選人的得票率走向，這是因為把已開出的票當作樣本，推估全體得票的比率。
把樣本中的比率套用到全體，和本頁的比例式是同樣的想法。不過，先開出的票常常集中在某些地區，並不是隨機抽樣，所以開票初期的比率可能會有很大的偏差。這也說明了「樣本要沒有偏差」有多重要。

公式與圖表

捉放法（推估總數）

帶狀圖

數學寫法（一般的數學式）

\(x\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(n\) \(\div\) \(k\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 整個池塘的魚數 \(x\) \(=\) ① 做標記的數量 \(m\) \(\times\) ② 第 2 次捕捉的數量 \(n\) \(\div\) ③ 其中有標記的數量 \(k\)

用文字讀公式

① 把第 1 次捕捉並做標記的數量 \(m\)

② 乘上第 2 次捕捉的數量 \(n\) ，

③ 再除以其中有標記的數量 \(k\) ，

④ 就得到整個池塘的魚數 \(x\) 的推估值

簡單範例

替池塘裡 50 條魚做標記後放回，幾天後捕到 30 條，其中 6 條有標記時，整個池塘的魚數是

整個池塘的魚數 \(x\) \(=\) 做標記的數量（50 條） \(\times\) 第 2 次捕捉的數量（30 條） \(\div\) 有標記的數量（6 條）

\(x = \dfrac{50 \times 30}{6} = \dfrac{1500}{6} = 250\)

思考重點

這條公式成立的理由是：可以認為「整個池塘中有標記的比率」和「第 2 次捕捉的魚中有標記的比率」幾乎相等。只要有標記的魚平均混在池塘裡，不管從哪裡撈，混合的比例應該都差不多。所以設整個池塘的魚數為 \(x\)，列出比例式 \(x : m = n : k\)（總數：有標記的數量），再用下一張卡片的「內項乘積 = 外項乘積」來解，就會得到這條公式。答案終究只是推估值。真的全部數一遍可能會是不同的數，但不必把池水抽乾就能估出總數，正是這個方法的價值。

比例式的性質（內項乘積 = 外項乘積）

數學寫法（一般的數學式）

\(a\) \(:\) \(b\) \(=\) \(c\) \(:\) \(d\)

\(b \times c\) \(=\) \(a \times d\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

外項 \(a\) \(:\) 內項 \(b\) \(=\) 內項 \(c\) \(:\) 外項 \(d\)

① 內項乘積 \(b \times c\) \(=\) ② 外項乘積 \(a \times d\)

用文字讀公式

① 比例式成立時，把內側的兩項（\(b\) 和 \(c\)）相乘得到的內項乘積 \(b \times c\) ，

② 和把外側的兩項（\(a\) 和 \(d\)）相乘得到的外項乘積 \(a \times d\) ，一定相等

簡單範例

解池塘魚數例子中的比例式 \(x : 50 = 30 : 6\)

內項乘積 \(50 \times 30\) \(=\) 外項乘積 \(x \times 6\)

\(50 \times 30 = x \times 6\)

\(6x = 1500\)

\(x = \dfrac{1500}{6} = 250\)

思考重點

比例式 \(a : b = c : d\) 的意思是「\(a\) 與 \(b\) 的比，等於 \(c\) 與 \(d\) 的比」，寫成分數就和 \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\) 一樣。兩邊同乘 \(b \times d\)，分母就消掉了，得到 \(a \times d = b \times c\)，也就是「外項乘積 = 內項乘積」。用分數的形式看，就是熟悉的「交叉相乘」。比例式中只有一個未知數 \(x\) 時，利用這個性質就能化成關於 \(x\) 的方程式來解。抽樣調查的推估，就是這個性質的應用。

推估母體中符合的個數

帶狀圖

數學寫法（一般的數學式）

\(x\) \(=\) \(N\) \(\times\) \(k\) \(\div\) \(n\)

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ 母體中符合的個數 \(x\) \(=\) ① 母體總個數 \(N\) \(\times\) ② 樣本中符合的個數 \(k\) \(\div\) ③ 樣本數 \(n\)

用文字讀公式

① 把母體總個數 \(N\)

② 乘上樣本中符合的個數 \(k\) ，

③ 再除以抽出的樣本個數 \(n\) ，

④ 就得到母體中符合的個數 \(x\) 的推估值

簡單範例

從 3,000 個產品中隨機抽出 100 個檢查，發現 2 個不良品時，全部的不良品數是

全部的不良品數 \(x\) \(=\) 母體總個數（3,000 個） \(\times\) 樣本中的不良品（2 個） \(\div\) 樣本數（100 個）

\(x = \dfrac{3000 \times 2}{100} = \dfrac{6000}{100} = 60\)

思考重點

想法和捉放法一樣，視「母體中符合條件的比率」和「樣本中符合條件的比率」幾乎相等。也可以理解成把整個母體 \(N\) 乘上 \(\dfrac{k}{n}\)（樣本中的比率）。設符合的個數為 \(x\)，列出比例式 \(N : x = n : k\)（總個數：符合的個數），再用「內項乘積 = 外項乘積」來解，就會得到這條公式。只有在樣本像抽籤一樣沒有偏差地選出（隨機抽樣）時，這個推估才成立。例如工廠檢驗時只檢查「最先生產的 100 個」，當天機器狀況的偏差就會直接反映在結果上，推估就不準確。

兩種模式的推估，都建立在「母體中的比率和隨機抽出的樣本中的比率幾乎相等」這個想法上。只要解比例式（內項乘積 = 外項乘積），不必全部數完就能推估全體。答案終究只是推估值，所以一般會用「約 ○」的概數回答。至於「要把誤差控制在一定範圍內需要多少樣本」這種調查設計，請看相關頁面的樣本數計算機。

符號與用語解說

符號

\(x\)	x	用來表示還不知道的數（未知數）的文字。本頁把想求的推估值（「整個池塘的魚數」「母體中符合的個數」）設為 \(x\) 來列比例式。用 \(x\) 表示未知數的習慣，可以追溯到 17 世紀的數學書。
\(m\)	m	本頁中指「第 1 次捕捉並做標記的數量」。記成英文「標記」mark 的字首就容易想起來。也常和 \(n\) 成對，用來表示個數。
\(n\)	n	樣本的個數（第 2 次捕捉的數量、抽出來調查的個數）。取自 number（數）的字首，是表示個數的常用文字。統計上習慣把樣本數寫成 \(n\)。
\(k\)	k	樣本中符合的個數（有標記的數量、不良品數等）。和 \(n\)、\(m\) 一樣，是常用來表示個數或編號的文字。
\(N\)	大寫 N	母體的總個數。為了和樣本個數 \(n\)（小寫）區分，統計上習慣把較大的群體寫成大寫。
\(a : b\)	a 比 b	表示比的寫法。「:」是比的符號，讀作「比」。像 \(a : b = c : d\) 這樣，用等號連接兩個比的式子就是比例式。
\(\approx\)	約等於	表示「幾乎相等」的符號，也可以讀作「約」「大約」。抽樣調查的答案是推估值，所以不用等號，而是用這個符號或「約」來表示。

用語

抽樣調查	只調查母體的一部分（樣本），來推估全體情況的調查。用在無法全部數完、或一調查就會損壞的東西上。
普查	把母體全部一個不漏地調查的方式（全面調查）。行政院主計總處每 10 年辦理的人口及住宅普查、學校的健康檢查都是例子。全部調查雖然準確，但太花時間或費用、或檢驗會損壞產品時，就改用抽樣調查。
母體	想調查的整個群體，例如池塘裡所有的魚、工廠生產的所有產品、全台灣的選舉人等。
樣本	從母體中抽出、實際調查的一部分。
樣本數	樣本中包含的個數（樣本大小）。樣本數越大，推估的誤差就越小。
隨機抽樣	像抽籤一樣，讓每一個被選中的機率都相同來抽出樣本。沒有人刻意挑選，是抽樣調查的推估能夠成立的大前提。
捉放法	替捕到的個體做上標記（記號）後放回，隔一段時間再捕捉一次，由有標記的比率推估總數的方法，又稱標記重捕法。國中自然（生物）在估算族群數量時會學到，實際上也用在魚類和野生動物的數量調查。
比例式	像 \(a : b = c : d\) 這樣，表示兩個比相等的式子。有「內項乘積 = 外項乘積」的性質，可以用來求未知的數。
內項	比例式 \(a : b = c : d\) 內側的 \(b\) 和 \(c\)。內項乘積和外項乘積相等。
外項	比例式 \(a : b = c : d\) 外側的 \(a\) 和 \(d\)。內項乘積和外項乘積相等。
比率	某部分在全體中所占的大小，用比較量除以基準量求出。抽樣調查建立在「比率在母體和樣本中都相同」這個想法上。
概數	大約的數。用四捨五入等方法取到方便的位數。抽樣調查的答案是推估值，所以一般會用「約 250」這樣的概數回答。
四捨五入	取到某一位的概數時，看下一位的數字：4 以下就捨去，5 以上就進位。
推估	由已知的部分資訊估計全體的情況。抽樣調查求出的答案，就是在這個意義上稱為「推估值」。
誤差	推估值與實際值之間的差距。抽樣調查的結果一定有誤差，樣本數越大，誤差就越小。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表格中的內容是最快的方法。

比率與百分率（國小五年級，10～11 歲）	了解比率是「比較量在基準量中所占的大小」，可以用比較量除以基準量求出能把「20%」「2 成」寫成 0.2 這樣的小數
比與比例式（國小六年級～國中七年級，11～13 歲）	了解 \(a : b\) 這個比的意思，也知道前項和後項同乘（或同除）一個數，比不會改變能用比例式的性質（內項乘積 = 外項乘積），求出 \(x : 4 = 6 : 8\) 這類式子中的 \(x\)
代數式與一元一次方程式（國中七年級，12～13 歲）	能把未知的數設為 \(x\)，由題目列出式子能把 \(6x = 1200\) 這類方程式的兩邊同除以一個數來求解
概數與四捨五入（國小四年級，9～10 歲）	能用四捨五入取到指定位數的概數（例：166.6 的個位數四捨五入，取到十位數的概數是 170）能把除不盡的除法答案用分數或概數表示

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

求「捉放法（推估總數）」的表格

第 1 次做標記的數量 m	50
第 2 次捕捉的數量 n	30
其中有標記的數量 k	6
總數的推估值 x = m×n÷k	=B1*B2/B3
小數第一位四捨五入的概數	=ROUND(B4,0)

確認「比例式的性質（內項乘積 = 外項乘積）」的表格

外項 a（總數，池塘例子的答案）	250
內項 b（做標記的數量）	50
內項 c（第 2 次捕捉的數量）	30
外項 d（其中有標記的數量）	6
內項乘積 b×c	=B2*B3
外項乘積 a×d	=B1*B4

求「推估母體中符合的個數」的表格

母體總個數 N	3000
抽出的樣本個數 n	100
樣本中符合的個數 k	2
符合個數的推估值 x = N×k÷n	=B1*B3/B2
小數第一位四捨五入的概數	=ROUND(B4,0)

貼上後，上方幾列（調查結果）就是輸入欄，下方幾列會自動算出結果。
第 1 個表格是池塘魚數的例子（標記 50 條、第 2 次捕捉 30 條中有 6 條有標記），答案是 250。除不盡時 B4 會顯示小數，請把經過 ROUND 函數的 B5 當作「約 ○」的答案。
第 2 個表格把答案 250 代入比例式 x : 50 = 30 : 6 的 x，確認內項乘積（B5）和外項乘積（B6）都是 1500，兩者相等。
第 3 個表格是 3,000 個產品、樣本 100 個中有 2 個不良品的例子，答案是 60。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

求「捉放法（推估總數）」的表格

第 1 次做標記的數量 m	50
第 2 次捕捉的數量 n	30
其中有標記的數量 k	6
總數的推估值 x = m×n÷k	=B1*B2/B3
小數第一位四捨五入的概數	=ROUND(B4,0)

確認「比例式的性質（內項乘積 = 外項乘積）」的表格

外項 a（總數，池塘例子的答案）	250
內項 b（做標記的數量）	50
內項 c（第 2 次捕捉的數量）	30
外項 d（其中有標記的數量）	6
內項乘積 b×c	=B2*B3
外項乘積 a×d	=B1*B4

求「推估母體中符合的個數」的表格

母體總個數 N	3000
抽出的樣本個數 n	100
樣本中符合的個數 k	2
符合個數的推估值 x = N×k÷n	=B1*B3/B2
小數第一位四捨五入的概數	=ROUND(B4,0)

可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把調查結果改成您自己的數值。

用 Python 計算的方法

from fractions import Fraction

# 捉放法：推估整個池塘的魚數
marked_first = 50       # 第 1 次捕捉並做標記的數量 m
caught_second = 30      # 第 2 次捕捉的數量 n
marked_in_second = 6    # 第 2 次捕捉中有標記的數量 k

estimated_total = Fraction(marked_first * caught_second, marked_in_second)
# 加上 Fraction(1, 2) 再捨去小數部分，0.5 一定會進位
approx_total = int(estimated_total + Fraction(1, 2))
print(f"總數的推估值（分數）：{estimated_total}")
print(f"總數的推估值（概數）：約 {approx_total}")

# 推估母體中符合的個數
population = 3000       # 母體總個數 N
sample_size = 100       # 抽出的樣本個數 n
sample_hits = 2         # 樣本中符合的個數 k

estimated_count = Fraction(population * sample_hits, sample_size)
approx_count = int(estimated_count + Fraction(1, 2))
print(f"符合個數的推估值（分數）：{estimated_count}")
print(f"符合個數的推估值（概數）：約 {approx_count}")

使用標準函式庫的 fractions 模組，即使除不盡，也能以分數計算，不會有四捨五入造成的誤差。前半是池塘魚數的例子（標記 50 條、第 2 次捕捉 30 條中有 6 條有標記），會顯示「250」；後半是 3,000 個產品、樣本 100 個中有 2 個不良品的例子，會顯示「60」。請改成您的調查結果後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

捉放法（推估總數）

x = m × n ÷ k

x = \dfrac{m \times n}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>n</mi></mrow>
      <mi>k</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (m*n)/k

(m*n)/k

x := m*n/k;

x = m*n/k;

x = (m×n)/k

比例式的性質（內項乘積 = 外項乘積）

a : b = c : d ⇔ a × d = b × c

a : b = c : d \iff ad = bc

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>:</mo><mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi><mo>:</mo><mi>d</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

a : b = c : d <=> a*d = b*c

a*d == b*c

a*d = b*c;

a*d == b*c

a : b = c : d ⇔ a×d = b×c

推估母體中符合的個數

x = N × k ÷ n

x = \dfrac{N \times k}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>N</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (N*k)/n

(N*k)/n

x := N*k/n;

x = N*k/n;

x = (N×k)/n

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學計算助理（國中的抽樣調查）。請實際執行 Python 程式碼來完成以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。

用捉放法推估池塘裡魚的總數。
先捕捉 50 條魚，做上標記後放回池中。幾天後捕捉 30 條魚，其中 6 條有標記。
請分別列出：
1. 設總數為 x 的比例式（x：做標記的數量 = 第 2 次捕捉的數量：其中有標記的數量）
2. 用「內項乘積 = 外項乘積」求解的過程
3. 整個池塘魚數的推估值（除不盡時，同時寫出最簡分數，以及小數第一位四捨五入的概數）

在 Python 中請用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出使用的公式和執行結果的數值。