請輸入每次的機率和重複的次數。會同時計算事件 A 和事件 B 兩者，也會顯示組合的機率。
機率請輸入 0～1 的數值（例：25% 就輸入 0.25），次數請輸入 1～1000 的整數。即使只想查 1 個事件，也請在事件 B 填入暫時的值（例如 0.5 和 1）。
計算結果
在左側輸入欄輸入機率和次數，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入「每次的機率」和「重複的次數」，馬上就能知道連續 \(n\) 次都發生的機率
- 「至少發生 1 次的機率」「一次都沒發生的機率」也會同時一起算出來
- 可以同時計算 A、B 兩個事件，也能求出「A 至少發生 1 次、B 一次都沒發生的機率」這類組合
- 這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
只適用於「每次的機率都相同，而且每次的結果互不影響（獨立）」的情況。骰子、硬幣、有公布機率的抽卡等都可以使用；但像「抽出的籤不放回、繼續再抽」這樣每次機率都會改變的情況，就不能使用。
這個計算有什麼用？
估算遊戲抽卡、抽籤的中獎機會
「中獎機率 1% 的抽卡抽 100 次，總該中 1 次吧」，實際算算看，至少中 1 次的機率是 \(1 - 0.99^{100} \approx 0.634\)（63.4%），也就是每 3 個人就有 1 個人抽了 100 次還是全部槓龜。
懂得「至少 1 次」的公式，就能用數字而不是憑感覺，規劃要課金多少、挑戰幾次。
健康檢查遇到「偽陽性」也不慌的知識（醫療）
即使沒有生病，檢查結果也可能出現「陽性」（偽陽性），每次大約有幾 % 的機率會發生。假設每次 5%，連續 10 年每年做健康檢查，至少遇到 1 次偽陽性的機率高達 \(1 - 0.95^{10} \approx 0.4\)（40%）。
知道「檢查出異常＝生病」並不成立，而是「檢查做多了，誰都可能遇到一次」，收到複檢通知時也比較能冷靜面對。這是能用數字整理人生重大不安、最實用的應用之一。
如何解讀「未來 30 年的發震機率」（防災）
台灣地震模型（TEM）針對各個孕震構造公布的「未來 30 年發震機率」，和這個「至少發生 1 次的機率」是以同樣的概念為基礎。（實際的評估會使用考慮地震週期性、更精密的機率模型。）
懂了這個公式，就能體會「今年沒發生，不代表就變安全了」，以及期間拉得越長，機率會穩定地往上累積，有助於做出投保地震險、儲備防災物資等防災判斷。
產品的品質管理（所有零件都沒問題的機率）
裝了 10 個不良率 0.5% 零件的產品，連一個不良零件都沒有的機率是 \((1 - 0.005)^{10} \approx 0.951\)（95.1%）。
零件越多，「全部都沒問題」的機率就越低，所以製造業會用這個公式估算整個產品的合格率，並反推每個零件容許的不良率。
思考抽獎要參加幾次才比較有機會中
參加中獎機率 10% 的抽獎 7 次，至少中 1 次的機率是 \(1 - 0.9^{7} \approx 0.52\)（52%），終於超過五成。
能算出「要做幾次，機會才會有一半左右」，就比較容易判斷要把參加與挑戰的心力花在哪裡。
公式
連續 \(n\) 次都發生的機率
數學寫法
（一般的數學式）
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
\(P\)
\(=\)
\(p\)
\(n\)
③
\(P\)：連續 \(n\) 次都發生的機率
\(=\)
①
\(p\)：每次發生的機率
②
\(n\)：試驗次數
用文字讀公式
①
把
\(p\)：每次發生的機率
②
依
\(n\)：試驗次數
重複相乘，
③
就得到
\(P\)：連續 \(n\) 次都發生的機率
簡單範例
硬幣正面（機率 0.5）連續出現 3 次的機率是
\(P\)：連續 3 次
\(=\)
每次的機率（0.5）
試驗次數（3 次）
\(0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125\ \ (12.5\%)\)
思考重點
這個公式只適用於「每次的機率都相同，而且不受前一次結果影響（獨立）」的情況。骰子、硬幣、有公布機率的抽卡等都可以使用；但像「抽出的籤不放回」這樣每次機率都會改變的情況，就不能使用。
\(n\) 次中一次都沒發生的機率
數學寫法
（一般的數學式）
\(P\)
\(=\)
\((1-p)\)
\(n\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(P\)：一次都沒發生的機率
\(=\)
①
\((1-p)\)：每次不發生的機率
②
\(n\)：試驗次數
用文字讀公式
①
把
\((1-p)\)：每次「不發生」的機率
②
依
\(n\)：試驗次數
重複相乘，
③
就得到
\(P\)：一次都沒發生的機率
簡單範例
中獎機率 0.25 的抽卡抽 4 次，4 次全部沒中的機率是
\(P\)：4 次全部沒中
\(=\)
每次沒中的機率（0.75）
試驗次數（4 次）
\(0.75 \times 0.75 \times 0.75 \times 0.75 \approx 0.316\ \ (31.6\%)\)
思考重點
「每次不發生的機率」用餘事件的概念，以「1 −（每次發生的機率）」求出。中獎機率是 0.25 的話，沒中的機率就是 \(1 - 0.25 = 0.75\)。
\(n\) 次中至少發生 1 次的機率
數學寫法
（一般的數學式）
\(P\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\((1-p)\)
\(n\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(P\)：至少發生 1 次的機率
\(=\)
③
\(1\)：全體的機率
\(-\)
①
\((1-p)\)：每次不發生的機率
②
\(n\)：試驗次數
用文字讀公式
①
把
\((1-p)\)：每次「不發生」的機率
②
依
\(n\)：試驗次數
重複相乘，求出「一次都沒發生的機率」，
③
再用
\(1\)：全體的機率
減去它，
④
就得到
\(P\)：至少發生 1 次的機率
簡單範例
中獎機率 0.25 的抽卡抽 4 次，至少中 1 次的機率是
\(P\)：至少中 1 次
\(=\)
\(1\)：全體的機率
\(-\)
每次沒中的機率（0.75）
試驗次數（4 次）
\(0.75 \times 0.75 \times 0.75 \times 0.75 \approx 0.316\)
\(1 - 0.316 = 0.684\ \ (68.4\%)\)
思考重點
如果想直接計算「至少 1 次」，就得把「恰好 1 次」「恰好 2 次」……全部加起來，非常麻煩。相反的一面（餘事件）「一次都沒發生」只要 1 個式子就能算出，所以用全體的機率 1 減去它，這就是這個公式最重要的重點。
另外，次數再怎麼增加，機率也只會越來越接近 1（100%），絕對不會變成 100%。「中獎機率 1% 的抽卡抽 100 次，至少中 1 次的機率也只有約 63%」。
重複試驗的機率，基本就是「把每次的機率依次數重複相乘」。「至少 1 次」的訣竅，是先求出餘事件「一次都沒發生的機率」，再用全體的 1 減去它。
符號與用語解說
符號
| \(p\) | p | 1 次試驗中該事件發生的機率。（例：抽卡的中獎機率 0.25） |
| \(n\) | n | 重複的次數。（例：抽 4 次就是 \(n = 4\)） |
| \(p^n\) | p 的 n 次方 | 把 \(p\) 連乘 \(n\) 次的值。右上角的小 \(n\) 是表示「乘 \(n\) 次」的指數。（例：\(0.5^3 = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125\)） |
| \(1-p\) | 1 減 p | 1 次試驗中該事件「不發生」的機率（餘事件的機率）。 |
| \(P\) | 大寫 P | 想求的機率。在這個頁面中代表「連續 \(n\) 次都發生的機率」「至少發生 1 次的機率」等。 |
用語
| 事件 | 像「擲骰子擲出 6 點」「抽籤抽中」這樣，會發生或不會發生的事情。數學上把這種事情稱為「事件」。 |
| 試驗 | 像擲骰子、抽籤這樣「結果由機率決定的行為」，每做一次就是一次試驗。這個頁面的公式處理的是同一個試驗重複 \(n\) 次的情況。 |
| 獨立 | 前一次的結果不會影響下一次發生的機率。骰子和硬幣不論擲幾次，每次的機率都相同，所以是獨立的。 |
| 重複試驗 | 在相同條件下把同一個試驗重複做很多次。台灣在高中數學學到的「獨立重複試驗」，就是這個頁面公式的正式名稱，也是二項分布的基礎。 |
| 餘事件 | 指該事件「不發生」這個相反的事件。「至少發生 1 次」的餘事件是「一次都沒發生」，這樣換個說法，就是這個頁面第 3 個公式的關鍵。 |
| 次方 （指數） |
把同一個數連乘好幾次的計算。像 \(0.5^3\) 這樣，寫在右上角的小數字（指數）表示要乘的次數。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
| 機率的基礎（國中九年級，14～15 歲） |
|
| 次方與指數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 餘事件的概念（國中九年級～高中） |
|
| 小數的乘法（國小五年級，10～11 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「連續 n 次都發生的機率」的表格
| 每次發生的機率 p | 0.25 |
| 重複的次數 n | 4 |
| 連續 n 次都發生的機率 | =B1^B2 |
求「n 次中一次都沒發生的機率」的表格
| 每次發生的機率 p | 0.25 |
| 重複的次數 n | 4 |
| 一次都沒發生的機率 | =(1-B1)^B2 |
求「至少發生 1 次的機率」的表格
| 每次發生的機率 p | 0.25 |
| 重複的次數 n | 4 |
| 至少發生 1 次的機率 | =1-(1-B1)^B2 |
貼上後，B1 和 B2 是輸入欄，B3 是自動計算的結果。
「^」是次方（乘幾次）的符號。「=B1^B2」的意思是「把 B1 的值連乘 B2 次」。
以第 3 個表格為例，B3 會顯示約 0.684（約 68%）。只要把 B1 和 B2 改成自己的數值就能使用。
「^」是次方（乘幾次）的符號。「=B1^B2」的意思是「把 B1 的值連乘 B2 次」。
以第 3 個表格為例，B3 會顯示約 0.684（約 68%）。只要把 B1 和 B2 改成自己的數值就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「連續 n 次都發生的機率」的表格
| 每次發生的機率 p | 0.25 |
| 重複的次數 n | 4 |
| 連續 n 次都發生的機率 | =B1^B2 |
求「n 次中一次都沒發生的機率」的表格
| 每次發生的機率 p | 0.25 |
| 重複的次數 n | 4 |
| 一次都沒發生的機率 | =(1-B1)^B2 |
求「至少發生 1 次的機率」的表格
| 每次發生的機率 p | 0.25 |
| 重複的次數 n | 4 |
| 至少發生 1 次的機率 | =1-(1-B1)^B2 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把 B1 和 B2 改成自己的數值即可。
用 Python 計算的方法
probability_per_trial = 0.25 # 每次的機率
number_of_trials = 4 # 重複的次數
p_every_time = probability_per_trial ** number_of_trials # 連續 n 次都發生的機率
p_never = (1 - probability_per_trial) ** number_of_trials # 一次都沒發生的機率
p_at_least_once = 1 - p_never # 至少發生 1 次的機率
print(f"連續 {number_of_trials} 次都發生的機率：{p_every_time}")
print(f"一次都沒發生的機率：{p_never}")
print(f"至少發生 1 次的機率：{p_at_least_once}")
只用標準函式庫就能執行。「**」是次方（n 次方）的符號。把開頭的機率和次數改掉後執行即可。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
連續 \(n\) 次都發生的機率
P = pⁿ
P = p^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
P = p^n
p^n
P := p^n;
P = p^n;
P = p^n
\(n\) 次中一次都沒發生的機率
P = (1 − p)ⁿ
P = (1-p)^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</math>
P = (1 - p)^n
(1 - p)^n
P := (1 - p)^n;
P = (1 - p)^n;
P = (1 - p)^n
\(n\) 次中至少發生 1 次的機率
P = 1 − (1 − p)ⁿ
P = 1 - (1-p)^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</math>
P = 1 - (1 - p)^n
1 - (1 - p)^n
P := 1 - (1 - p)^n;
P = 1 - (1 - p)^n;
P = 1 - (1 - p)^n
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是機率計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。 每次中獎機率為 0.25 的抽卡，抽 4 次。每次的結果互相獨立。 請分別求出下列各值。 1. 4 次全部中獎的機率 2. 4 次全部沒中的機率 3. 至少中 1 次的機率 請列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
DataChef 的特色
簡單又免費
免費且無使用次數限制
不需專業知識，操作直覺又簡單
不需專業知識，操作直覺又簡單
免註冊會員
開啟頁面即可立即使用
無須登錄任何個人資料
無須登錄任何個人資料
安全又安心
通訊全程高度加密
按下「下載」後自動刪除檔案
按下「下載」後自動刪除檔案
高速
顯示與轉換都快速順暢，毫無等待壓力
無浮水印
沒有浮水印
無須標註來源出處
無須標註來源出處
可商業使用
可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
兩個獨立事件的機率（交集、聯集、至少一個發生）
由兩個機率計算「兩個都發生」「至少一個發生」等機率
兩個事件的機率（由兩個已知值反推其餘）
由已知的兩個機率，一次反推出其餘的機率
常態分布機率計算機（常態分配、範圍機率、z 分數）
由平均數與標準差，計算落在指定範圍內的機率
