請用逗號（,）隔開，輸入 2 個以上要求最小公倍數的數。3 個以上的數也能一起算，並顯示質因數分解的過程和最大公因數（GCD）。
請用逗號（,）隔開輸入 2 個以上的正整數（例：4, 6）。不能使用 0、小數和負數。
計算結果
在左邊的輸入欄用逗號隔開輸入數字，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要用逗號（,）隔開輸入 2 個以上的數，馬上就能知道最小公倍數（LCM）
- 「4 和 6 的最小公倍數是多少？」當然沒問題，「12、18、30 的最小公倍數是多少？」這樣 3 個以上的數也能一起算
- 會顯示附有每個數質因數分解的計算過程，不只知道答案，也能了解「為什麼是這樣」
- 也會同時顯示最大公因數（GCD）供參考
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
只能輸入正整數（1, 2, 3,…）。最小公倍數是在正整數之間計算的，所以不能輸入 0、小數和負數。
這個計算有什麼用？
分數加減法的「通分」（最常用到的地方）
計算 \(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\) 時，要把分母 4 和 6 化成同樣的數。這時用的共同分母就是最小公倍數 \(\mathrm{lcm}(4,6) = 12\)，可以算成 \(\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\)。
直接把分母相乘得到的 24 也能算，但用最小公倍數可以讓數字保持較小，之後約分也比較輕鬆。從國小數學到大人的工作，這是最小公倍數最常派上用場的時候。
求公車或火車「下一次同時發車」的時間
每 12 分鐘一班和每 18 分鐘一班的公車同時發車後，下一次同時發車是 \(\mathrm{lcm}(12,18) = 36\) 分鐘後。
週期不同的兩件事何時重疊，可以用最小公倍數求出。這是國小數學的經典應用題，也是思考班表或活動週期時的實用工具。
讓包裝數量不同的商品「剛好一樣多」的採買
一包 10 根的熱狗和一包 8 個的麵包，想要剛好一樣多、不留剩下時，最少各需要 \(\mathrm{lcm}(10,8) = 40\) 個——也就是熱狗 4 包、麵包 5 包。
從烤肉的採買到工廠的材料訂購，常常需要把包裝單位不同的東西湊成一樣多。
齒輪咬合的設計（機械、鐘錶）
12 齒和 18 齒的齒輪咬合轉動時，一開始咬合的兩個齒要再次相遇，是在轉過 \(\mathrm{lcm}(12,18) = 36\) 齒的時候（小齒輪轉 3 圈、大齒輪轉 2 圈）。
機械設計時，為了避免總是同樣的齒互相碰撞而磨損不均，實際上會盡量讓齒數互質，讓最小公倍數變大。
天干地支一輪——「六十甲子」與「花甲」是 60 年的原因
傳統的干支紀年，把十天干（10 種）和十二地支（12 種）組合起來為每一年命名（例如甲子年、乙丑年）。組合輪完一圈、回到同樣名稱的年份，要經過 \(\mathrm{lcm}(10,12) = 60\) 年，這就是「六十甲子」，也是 60 歲稱為「花甲」的由來。
週期不同的東西組合起來回到原狀所需的長度，自古以來在曆法和天文的計算中就是最小公倍數本身。
公式
兩個數的最小公倍數（用最大公因數的公式）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\mathrm{lcm}(a,\,b)\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\div\)
\(\gcd(a,\,b)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
最小公倍數 \(\mathrm{lcm}(a,b)\)
\(=\)
①
第 1 個數 \(a\)
\(\times\)
②
第 2 個數 \(b\)
\(\div\)
③
最大公因數 \(\gcd(a,b)\)
用文字讀公式
①
把
第 1 個數 \(a\)
②
乘以
第 2 個數 \(b\)
，
③
再除以
最大公因數 \(\gcd(a,b)\)
，
④
就得到
最小公倍數 \(\mathrm{lcm}(a,b)\)
簡單範例
4 和 6 的最小公倍數（4 和 6 的最大公因數是 2）：
4 和 6 的最小公倍數
\(=\)
第 1 個數（4）
\(\times\)
第 2 個數（6）
\(\div\)
最大公因數（2）
\(4 \times 6 \div 2 = 24 \div 2 = 12\)
思考重點
直接把兩個數相乘，兩數共同的部分（最大公因數）會被算進去 2 次，所以除掉 1 次，剩下的就是最小公倍數。
最大公因數是 1（互質）時，除以 1 也不會變，所以最小公倍數就是兩數直接相乘 \(\mathrm{lcm}(a,b) = a \times b\)（例：8 和 9 就是 \(8 \times 9 = 72\)）。
用質因數分解求（3 個以上的數也適用）
數學寫法
（一般的數學式）
\(L\)
\(=\)
\(p_1^{\,a_1} \times p_2^{\,a_2} \times \cdots \times p_k^{\,a_k}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
最小公倍數 \(L\)
\(=\)
①
出現的每個質數各取最高次方，全部相乘
用文字讀公式
①
把每個數做質因數分解，
出現的每個質數各取最高次方，全部相乘
，
②
就得到
最小公倍數 \(L\)
簡單範例
12、18、30 可以質因數分解成 \(12 = 2^2 \times 3\)、\(18 = 2 \times 3^2\)、\(30 = 2 \times 3 \times 5\)，出現的質數 2、3、5 的最高次方分別是 \(2^2\)、\(3^2\)、\(5\)，所以最小公倍數是：
12、18、30 的最小公倍數 \(L\)
\(=\)
各質數最高次方的乘積 \(2^2 \times 3^2 \times 5\)
\(2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\)
思考重點
為什麼要選「最高」的次方？因為最小公倍數必須是每個數的倍數。例如要成為 \(12 = 2^2 \times 3\) 的倍數，需要 2 個 2，所以 2 的次方要配合出現過的最大值 2。每個質數都配合「需要最多的那個數」——這就是這個方法的想法。台灣課本常用的短除法，也是同樣的道理。
這個頁面計算機的計算過程，也是用這個質因數分解的方法顯示。
3 個以上的數的最小公倍數（每次 2 個依序求）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\mathrm{lcm}(a,\,b,\,c)\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(m,\,c)\)
\(m\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
3 個數全部的最小公倍數
\(=\)
②
\(m\) 和 \(c\) 的最小公倍數
①
\(a\) 和 \(b\) 的最小公倍數 \(m\)
\(=\)
\(a\) 和 \(b\) 的最小公倍數 \(\mathrm{lcm}(a,b)\)
用文字讀公式
①
先求出
\(a\) 和 \(b\) 的最小公倍數 \(m\)
，
②
接著求出
\(m\) 和 \(c\) 的最小公倍數
，
③
就是
3 個數全部的最小公倍數
（4 個以上時，重複同樣的步驟就可以）
簡單範例
求 12、18、30 的最小公倍數，先求 12 和 18 的最小公倍數（36），再求 36 和 30 的最小公倍數：
12、18、30 的最小公倍數
\(=\)
「12 和 18 的最小公倍數（36）」和 30 的最小公倍數
\(\mathrm{lcm}(12,\,18) = 36\)
\(\mathrm{lcm}(36,\,30) = 180\)
思考重點
不論從哪 2 個數開始算，答案都一樣（計算的順序不影響結果）。這個頁面的計算機，也是用這種「每次 2 個依序求」的方法，不管幾個數都能一起算。
最小公倍數的基本求法是「把每個數做質因數分解，每個出現的質數選最高次方相乘」。兩個數的話，「兩數相乘再除以最大公因數」最快；3 個以上的數，也可以每次 2 個依序求出來。
符號與用語解說
符號
| \(\mathrm{lcm}(a,b)\) | lcm | 表示 \(a\) 和 \(b\) 的最小公倍數的符號，取自英文 least common multiple 的字首，也寫成大寫 LCM。台灣的課本常寫成 \([a, b]\)。 |
| \(\gcd(a,b)\) | gcd | 表示 \(a\) 和 \(b\) 的最大公因數的符號，取自英文 greatest common divisor 的字首（英語國家也稱為 GCF，greatest common factor）。台灣的課本常寫成 \((a, b)\)。 |
| \(2^2\) | 2 的 2 次方 | 把同一個數相乘的次數，小小地寫在右上角（次方）。\(2^2 = 2 \times 2 = 4\)、\(3^2 = 3 \times 3 = 9\)。 |
| \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) | p 1、p 2 | 把質因數分解中出現的質數，由小到大排列。右下的小數字（下標）表示「第幾個質數」。 |
| \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) | a 1、a 2 | 每個質數在質因數分解中出現的最大指數（相乘的次數）。 |
| \(m\) | m | 途中先求出的「前 2 個數的最小公倍數」。每次 2 個依序求 3 個以上的數的最小公倍數時使用。 |
用語
| 倍數 | 把某個數乘以 1 倍、2 倍、3 倍……得到的數。6 的倍數是 6, 12, 18, 24,…。 |
| 公倍數 | 2 個以上的數共同的倍數。4 和 6 的公倍數有 12, 24, 36,…，有無限多個。 |
| 最小公倍數 | 公倍數中最小的一個，英文是 least common multiple（LCM）。這個頁面要求的就是這個值。 |
| 因數 | 可以整除某個數的整數。12 的因數是 1, 2, 3, 4, 6, 12。 |
| 最大公因數 | 2 個以上的數共同的因數（公因數）中最大的一個，英文是 greatest common divisor（GCD）。常和最小公倍數一起使用，這個頁面也會顯示供參考。 |
| 質數 | 除了 1 和自己以外沒有其他因數、2 以上的整數（2, 3, 5, 7, 11,…）。1 不是質數。 |
| 質因數分解 | 把整數寫成只有質數相乘的形式。例：\(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\)。 |
| 互質 | 兩個數的最大公因數是 1（沒有共同的質因數）。互質的兩個數的最小公倍數，就是兩數直接相乘。 |
| 通分 | 把分母不同的分數化成同樣的分母。用分母的最小公倍數當共同分母最簡單，這也是最小公倍數最常用到的地方。 |
| 短除法 | 台灣課本求最大公因數和最小公倍數的常用方法。把幾個數並排，用它們共同的質數依序往下除，左邊的除數相乘就是最大公因數，左邊的除數和最下面的商全部相乘就是最小公倍數。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 九九乘法與除法（國小二～三年級，7～9 歲） |
|
| 因數與倍數（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 通分（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 質數與質因數分解（國小六年級，11～12 歲。國中七年級再深入） |
|
| 指數（次方）的表示法（國中七年級，12～13 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
「兩個數的最小公倍數（用最大公因數的公式）」的計算表
| 第 1 個數 a | 4 |
| 第 2 個數 b | 6 |
| 最小公倍數 lcm(a, b) | =B1*B2/GCD(B1,B2) |
「3 個以上的數的最小公倍數」的計算表
| 第 1 個數 | 12 |
| 第 2 個數 | 18 |
| 第 3 個數 | 30 |
| 最小公倍數 | =LCM(B1,B2,B3) |
「每次 2 個依序求」的計算表
| 第 1 個數 | 12 |
| 第 2 個數 | 18 |
| 第 3 個數 | 30 |
| 先求第 1 和第 2 個數的最小公倍數 m | =LCM(B1,B2) |
| 3 個數全部的最小公倍數 | =LCM(B4,B3) |
貼上後，B 欄上方的儲存格就是輸入欄，最後一列會自動算出結果。
「GCD」是求最大公因數、「LCM」是求最小公倍數的 Excel 函數。公式 2 的質因數分解步驟，LCM 函數會在內部幫您完成。
例如第 1 個表的 B3 會顯示 12，第 2 個表的 B4 會顯示 180。只要把數字改成您自己的值就能使用（LCM 函數可以像「=LCM(B1,B2,B3,B4)」這樣增加數的個數）。
「GCD」是求最大公因數、「LCM」是求最小公倍數的 Excel 函數。公式 2 的質因數分解步驟，LCM 函數會在內部幫您完成。
例如第 1 個表的 B3 會顯示 12，第 2 個表的 B4 會顯示 180。只要把數字改成您自己的值就能使用（LCM 函數可以像「=LCM(B1,B2,B3,B4)」這樣增加數的個數）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
「兩個數的最小公倍數（用最大公因數的公式）」的計算表
| 第 1 個數 a | 4 |
| 第 2 個數 b | 6 |
| 最小公倍數 lcm(a, b) | =B1*B2/GCD(B1,B2) |
「3 個以上的數的最小公倍數」的計算表
| 第 1 個數 | 12 |
| 第 2 個數 | 18 |
| 第 3 個數 | 30 |
| 最小公倍數 | =LCM(B1,B2,B3) |
「每次 2 個依序求」的計算表
| 第 1 個數 | 12 |
| 第 2 個數 | 18 |
| 第 3 個數 | 30 |
| 先求第 1 和第 2 個數的最小公倍數 m | =LCM(B1,B2) |
| 3 個數全部的最小公倍數 | =LCM(B4,B3) |
Google 試算表也有 LCM 函數和 GCD 函數，可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把數字改成您自己的值。
用 Python 計算的方法
import math
numbers = [330, 75, 450, 225] # 要求最小公倍數的數（2 個以上）
least_common_multiple = math.lcm(*numbers)
greatest_common_divisor = math.gcd(*numbers)
print(f"最小公倍數 LCM: {least_common_multiple}")
print(f"（參考）最大公因數 GCD: {greatest_common_divisor}")
只用標準函式庫就能執行（math.lcm 需要 Python 3.9 以上）。「*numbers」是把串列裡的值一個一個傳給函式的寫法，不管幾個數都能直接計算。請改寫開頭串列中的數字後執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
兩個數的最小公倍數（用最大公因數的公式）
lcm(a, b) = a × b ÷ gcd(a, b)
\mathrm{lcm}(a, b) = \dfrac{a \times b}{\gcd(a, b)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>b</mi></mrow>
<mrow><mi>gcd</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lcm(a, b) = (a xx b) / (gcd(a, b))
a*b/GCD[a, b]
L := a*b/igcd(a, b);
L = a*b/gcd(a, b);
lcm(a, b) = (a × b)/gcd(a, b)
用質因數分解求（3 個以上的數也適用）
L = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></msubsup>
</mrow>
</math>
L = p_1^(a_1) xx p_2^(a_2) xx cdots xx p_k^(a_k)
Product[p[i]^a[i], {i, 1, k}]
L := product(p[i]^a[i], i = 1 .. k);
L = prod(p.^a);
L = p_1^(a_1) × p_2^(a_2) × ⋯ × p_k^(a_k)
3 個以上的數的最小公倍數（每次 2 個依序求）
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
\mathrm{lcm}(a, b, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a, b),\ c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>lcm</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
LCM[LCM[a, b], c]
L := ilcm(ilcm(a, b), c);
L = lcm(lcm(a, b), c);
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是整數計算的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 對於 330, 75, 450, 225 這 4 個數，請分別求出下列的值： 1. 最小公倍數（LCM） 2. 最大公因數（GCD） 3. 每個數的質因數分解 請列出計算用的公式，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
分數計算機（分數的加減乘除）
附計算過程，計算分數的加減乘除（通分時會用到最小公倍數）
