최소공배수를 구할 수를 쉼표(,)로 구분해 2개 이상 입력해 주세요. 3개 이상의 수도 한 번에 계산할 수 있으며, 소인수분해 풀이 과정과 최대공약수(GCD)도 보여 줍니다.
자연수를 쉼표(,)로 구분해 2개 이상 입력해 주세요(예: 4, 6). 0, 소수점이 있는 수, 음수는 쓸 수 없습니다.
계산 결과
왼쪽 입력란에 수를 쉼표로 구분해 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
목차
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 수를 쉼표(,)로 구분해 2개 이상 넣기만 하면 최소공배수(LCM)를 바로 알 수 있습니다
- ‘4와 6의 최소공배수는?’은 물론 ‘12, 18, 30의 최소공배수는?’처럼 3개 이상의 수도 한 번에 계산할 수 있습니다
- 각 수의 소인수분해가 들어간 풀이 과정을 보여 주므로 답뿐 아니라 ‘왜 그렇게 되는지’도 알 수 있습니다
- 참고로 최대공약수(GCD)도 함께 보여 줍니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel, Google 스프레드시트, Python에 바로 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
입력할 수 있는 것은 자연수(1, 2, 3, …)뿐입니다. 최소공배수는 자연수끼리 생각하는 계산이므로 0, 소수점이 있는 수, 음수는 입력할 수 없습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
분수의 덧셈·뺄셈을 위한 ‘통분’(가장 큰 쓰임새)
\(\dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6}\)을 계산하려면 분모 4와 6을 같게 맞춰야 합니다. 이때 쓰는 공통분모가 최소공배수 \(\mathrm{lcm}(4,6) = 12\)로, \(\dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} = \dfrac{5}{12}\)가 됩니다.
분모끼리 곱한 24를 써도 계산은 되지만, 최소공배수를 쓰면 수가 작아져 마지막 약분도 쉬워집니다. 초등학교 수학부터 실무까지 최소공배수가 가장 많이 쓰이는 곳입니다.
버스나 전철이 ‘다음에 동시에 출발하는’ 시각 구하기
같은 정류장에서 12분 간격과 18분 간격으로 출발하는 두 버스 노선이 동시에 출발했다면, 다음에 다시 동시에 출발하는 것은 \(\mathrm{lcm}(12,18) = 36\)분 뒤입니다.
주기가 다른 두 가지가 다시 맞아떨어지는 순간은 최소공배수로 구할 수 있습니다. 학교 수학의 단골 문장제이면서, 시간표나 일정을 생각할 때 실제로 쓰이는 도구입니다.
묶음 수가 다른 상품을 ‘딱 같은 개수’로 맞춰 사기
소시지는 한 봉지에 10개, 빵은 한 봉지에 8개가 들어 있을 때, 남는 것 없이 같은 개수로 맞추려면 가장 적게 사도 \(\mathrm{lcm}(10,8) = 40\)개씩, 즉 소시지 4봉지와 빵 5봉지가 필요합니다.
묶음 단위가 다른 것을 맞추는 일은 캠핑 장보기부터 공장의 자재 발주까지 여러 곳에서 생깁니다.
톱니바퀴 맞물림 설계(기계·시계)
톱니 수가 12인 톱니바퀴와 18인 톱니바퀴가 맞물려 돌 때, 처음 맞물렸던 톱니끼리 다시 만나는 것은 \(\mathrm{lcm}(12,18) = 36\)개의 톱니만큼 진행했을 때(작은 톱니바퀴가 3바퀴, 큰 톱니바퀴가 2바퀴 돌았을 때)입니다.
기계 설계에서는 같은 톱니끼리만 자주 부딪쳐 한쪽만 닳지 않도록, 톱니 수를 서로소로 정해 최소공배수를 크게 하는 경우가 많습니다.
달력이 한 바퀴 도는 주기, ‘환갑’이 60세인 이유
옛 달력에서는 해마다 십간(갑, 을, 병, …의 10가지)과 십이지(자, 축, 인, …의 12가지)를 짝지은 이름(갑자년, 을축년, …)을 붙였습니다. 이 짝이 한 바퀴 돌아 태어난 해와 같은 이름으로 돌아오는 것이 \(\mathrm{lcm}(10,12) = 60\)년 뒤이고, 이것이 ‘육십갑자’와 ‘환갑 = 60세’의 유래입니다.
주기가 다른 것의 조합이 원래대로 돌아오기까지의 길이는 달력과 천문 계산에서 예로부터 최소공배수 그 자체였습니다.
공식
두 수의 최소공배수(최대공약수를 쓰는 공식)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b)\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\div\)
\(\gcd(a,\,b)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
최소공배수 \(\mathrm{lcm}(a,b)\)
\(=\)
①
첫 번째 수 \(a\)
\(\times\)
②
두 번째 수 \(b\)
\(\div\)
③
최대공약수 \(\gcd(a,b)\)
공식을 말로 읽으면
①
첫 번째 수(\(a\))
와
②
두 번째 수(\(b\))
를 곱하고
③
최대공약수(\(\gcd(a,b)\))
로 나누면
④
최소공배수(\(\mathrm{lcm}(a,b)\))
가 됩니다
간단한 예
4와 6의 최소공배수는(4와 6의 최대공약수가 2이므로)
4와 6의 최소공배수
\(=\)
첫 번째 수(4)
\(\times\)
두 번째 수(6)
\(\div\)
최대공약수(2)
\(4 \times 6 \div 2 = 24 \div 2 = 12\)
이해의 핵심
두 수를 그대로 곱하면 두 수에 공통인 부분(최대공약수)이 두 번 들어갑니다. 그 겹친 부분을 한 번 나누어 없앤 것이 최소공배수입니다.
최대공약수가 1일 때(두 수가 서로소일 때)는 나누어도 변하지 않으므로 그대로 \(\mathrm{lcm}(a,b) = a \times b\)가 됩니다(예: 8과 9라면 \(8 \times 9 = 72\)).
소인수분해로 구하기(3개 이상의 수에도 쓸 수 있음)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(L\)
\(=\)
\(p_1^{\,a_1} \times p_2^{\,a_2} \times \cdots \times p_k^{\,a_k}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
최소공배수 \(L\)
\(=\)
①
나타나는 소수마다 가장 큰 거듭제곱을 모두 곱한 것
공식을 말로 읽으면
①
각 수를 소인수분해해서
나타나는 소수마다 가장 큰 거듭제곱을 모두 곱한 것
을 만들면
②
최소공배수(\(L\))
가 됩니다
간단한 예
12, 18, 30의 최소공배수는 \(12 = 2^2 \times 3\), \(18 = 2 \times 3^2\), \(30 = 2 \times 3 \times 5\)로 소인수분해되고, 나타나는 소수 2, 3, 5의 가장 큰 거듭제곱이 각각 \(2^2\), \(3^2\), \(5\)이므로
12, 18, 30의 최소공배수 \(L\)
\(=\)
각 소수의 가장 큰 거듭제곱의 곱 \(2^2 \times 3^2 \times 5\)
\(2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\)
이해의 핵심
왜 ‘가장 큰 지수’를 고르냐 하면, 최소공배수는 모든 수의 배수여야 하기 때문입니다. 예를 들어 \(12 = 2^2 \times 3\)의 배수가 되려면 2가 2개 필요하므로, 2의 지수는 나타나는 것 중 가장 큰 2로 맞춥니다. 소수마다 ‘가장 많이 필요로 하는 수’에 맞추는 것이 이 방법의 핵심입니다.
이 페이지의 계산기가 보여 주는 풀이 과정도 이 소인수분해 방법을 씁니다.
3개 이상인 수의 최소공배수(2개씩 차례로 구하기)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b,\,c)\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(m,\,c)\)
\(m\)
\(=\)
\(\mathrm{lcm}(a,\,b)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
세 수 전체의 최소공배수
\(=\)
②
\(m\)과 \(c\)의 최소공배수
①
\(a\)와 \(b\)의 최소공배수 \(m\)
\(=\)
\(a\)와 \(b\)의 최소공배수 \(\mathrm{lcm}(a,b)\)
공식을 말로 읽으면
①
먼저
\(a\)와 \(b\)의 최소공배수(\(m\))
를 구해 두고
②
다음으로
\(m\)과 \(c\)의 최소공배수
를 구하면
③
세 수 전체의 최소공배수
가 됩니다(4개 이상일 때도 같은 일을 되풀이하면 됩니다)
간단한 예
12, 18, 30의 최소공배수는 먼저 12와 18의 최소공배수(36)를 구하고, 다음으로 그 36과 30의 최소공배수를 구하면 되므로
12, 18, 30의 최소공배수
\(=\)
‘12와 18의 최소공배수(36)’와 30의 최소공배수
\(\mathrm{lcm}(12,\,18) = 36\)
\(\mathrm{lcm}(36,\,30) = 180\)
이해의 핵심
어느 두 수부터 시작해도 답은 같습니다(순서를 바꾸어도 결과는 변하지 않습니다). 이 페이지의 계산기도 이 ‘2개씩 차례로’라는 생각으로 몇 개든 계산합니다.
최소공배수는 ‘각 수를 소인수분해해서 나타나는 소수마다 가장 큰 거듭제곱을 골라 곱한다’가 기본입니다. 두 수라면 ‘두 수의 곱 ÷ 최대공약수’가 지름길이고, 3개 이상이라면 2개씩 차례로 구하면 됩니다.
용어·기호 해설
기호
| \(\mathrm{lcm}(a,b)\) | 엘시엠 에이 비 | \(a\)와 \(b\)의 최소공배수를 나타내는 기호입니다. 영어 least common multiple의 머리글자로, 대문자로 LCM이라고도 씁니다. |
| \(\gcd(a,b)\) | 지시디 에이 비 | \(a\)와 \(b\)의 최대공약수를 나타내는 기호입니다. 영어 greatest common divisor의 머리글자입니다. 영어권에서는 GCF(greatest common factor)라고도 합니다. |
| \(2^2\) | 2의 제곱 | 같은 수를 곱한 횟수를 오른쪽 위에 작게 쓴 것(거듭제곱)입니다. \(2^2 = 2 \times 2 = 4\), \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)입니다. |
| \(p_1, p_2, \ldots, p_k\) | 피 일, 피 이 | 소인수분해에 나타나는 소수를 작은 순서대로 늘어놓은 것입니다. 오른쪽 아래의 작은 숫자(첨자)는 ‘몇 번째 소수인지’를 나타냅니다. |
| \(a_1, a_2, \ldots, a_k\) | 에이 일, 에이 이 | 각 소수에 대해, 소인수분해에 나타난 것 중 가장 큰 지수(곱하는 횟수)입니다. |
| \(m\) | 엠 | 중간에 구해 두는 ‘처음 두 수의 최소공배수’입니다. 3개 이상인 수의 최소공배수를 2개씩 차례로 구할 때 씁니다. |
용어
| 배수 | 어떤 수를 1배, 2배, 3배, … 한 수입니다. 6의 배수는 6, 12, 18, 24, …입니다. |
| 공배수 | 2개 이상의 수에 공통인 배수입니다. 4와 6의 공배수는 12, 24, 36, …으로 끝없이 있습니다. |
| 최소공배수 | 공배수 중에서 가장 작은 수입니다. 영어로는 least common multiple(LCM)이라고 하며, 이 페이지에서 구하는 값입니다. |
| 약수 | 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 정수입니다. 12의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 12입니다. |
| 최대공약수 | 2개 이상의 수에 공통인 약수(공약수) 중에서 가장 큰 수입니다. 영어로는 greatest common divisor(GCD)라고 합니다. 최소공배수와 짝으로 쓰이는 경우가 많아 이 페이지에서도 참고로 보여 줍니다. |
| 소수 | 1과 자기 자신 외에는 약수가 없는 2 이상의 정수입니다(2, 3, 5, 7, 11, …). 0.5 같은 ‘소수점이 있는 수’와는 다른 말이며, 1은 소수가 아닙니다. |
| 소인수분해 | 정수를 소수만의 곱으로 나타내는 것입니다. 예: \(12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3\) |
| 서로소 | 두 수의 최대공약수가 1인 것(공통 소인수가 없는 것)을 말합니다. 서로소인 두 수의 최소공배수는 두 수의 곱 그 자체입니다. |
| 통분 | 분모가 다른 분수를 같은 분모로 맞추는 것입니다. 맞출 분모로는 분모끼리의 최소공배수를 쓰는 것이 가장 간단하며, 최소공배수가 가장 흔하게 쓰이는 곳입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 곱셈구구와 나눗셈(초등학교 2~3학년, 7~9세) |
|
| 배수와 약수(초등학교 5학년, 10~11세) |
|
| 통분(초등학교 5학년, 10~11세) |
|
| 소수와 소인수분해(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 거듭제곱의 표현(중학교 1학년, 12~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘두 수의 최소공배수(최대공약수를 쓰는 공식)’를 구하는 표
| 첫 번째 수 a | 4 |
| 두 번째 수 b | 6 |
| 최소공배수 lcm(a, b) | =B1*B2/GCD(B1,B2) |
‘3개 이상인 수의 최소공배수’를 구하는 표
| 첫 번째 수 | 12 |
| 두 번째 수 | 18 |
| 세 번째 수 | 30 |
| 최소공배수 | =LCM(B1,B2,B3) |
‘2개씩 차례로 구하는’ 표
| 첫 번째 수 | 12 |
| 두 번째 수 | 18 |
| 세 번째 수 | 30 |
| 먼저 첫 번째와 두 번째의 최소공배수 m | =LCM(B1,B2) |
| 세 수 전체의 최소공배수 | =LCM(B4,B3) |
붙여 넣으면 B열의 위쪽 칸이 입력값이 되고, 마지막 행이 자동 계산 결과가 됩니다.
Excel에서는 ‘GCD’가 최대공약수, ‘LCM’이 최소공배수를 구하는 함수입니다. LCM 함수는 공식 2의 소인수분해를 대신 해 줍니다.
첫 번째 표의 B3에는 12, 두 번째 표의 B4에는 180이 표시됩니다. 숫자만 바꾸면 그대로 쓸 수 있습니다(LCM 함수는 ‘=LCM(B1,B2,B3,B4)’처럼 더 많은 수도 받을 수 있습니다).
Excel에서는 ‘GCD’가 최대공약수, ‘LCM’이 최소공배수를 구하는 함수입니다. LCM 함수는 공식 2의 소인수분해를 대신 해 줍니다.
첫 번째 표의 B3에는 12, 두 번째 표의 B4에는 180이 표시됩니다. 숫자만 바꾸면 그대로 쓸 수 있습니다(LCM 함수는 ‘=LCM(B1,B2,B3,B4)’처럼 더 많은 수도 받을 수 있습니다).
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘두 수의 최소공배수(최대공약수를 쓰는 공식)’를 구하는 표
| 첫 번째 수 a | 4 |
| 두 번째 수 b | 6 |
| 최소공배수 lcm(a, b) | =B1*B2/GCD(B1,B2) |
‘3개 이상인 수의 최소공배수’를 구하는 표
| 첫 번째 수 | 12 |
| 두 번째 수 | 18 |
| 세 번째 수 | 30 |
| 최소공배수 | =LCM(B1,B2,B3) |
‘2개씩 차례로 구하는’ 표
| 첫 번째 수 | 12 |
| 두 번째 수 | 18 |
| 세 번째 수 | 30 |
| 먼저 첫 번째와 두 번째의 최소공배수 m | =LCM(B1,B2) |
| 세 수 전체의 최소공배수 | =LCM(B4,B3) |
Google 스프레드시트에도 LCM 함수와 GCD 함수가 그대로 있으므로 Excel과 같은 수식을 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고 숫자만 바꾸어 쓰세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
numbers = [330, 75, 450, 225] # 최소공배수를 구할 수(2개 이상)
least_common_multiple = math.lcm(*numbers)
greatest_common_divisor = math.gcd(*numbers)
print(f"최소공배수(LCM): {least_common_multiple}")
print(f"(참고) 최대공약수(GCD): {greatest_common_divisor}")
표준 라이브러리만으로 동작합니다(math.lcm은 Python 3.9 이상에서 쓸 수 있습니다). ‘*numbers’는 리스트의 값을 하나씩 함수에 넘기는 표기로, 수가 몇 개든 그대로 계산할 수 있습니다. 맨 위 리스트의 수를 바꾸어 실행하세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
두 수의 최소공배수(최대공약수를 쓰는 공식)
lcm(a, b) = a × b ÷ gcd(a, b)
\mathrm{lcm}(a, b) = \dfrac{a \times b}{\gcd(a, b)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>×</mo><mi>b</mi></mrow>
<mrow><mi>gcd</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
lcm(a, b) = (a xx b) / (gcd(a, b))
a*b/GCD[a, b]
L := a*b/igcd(a, b);
L = a*b/gcd(a, b);
lcm(a, b) = (a × b)/gcd(a, b)
소인수분해로 구하기(3개 이상의 수에도 쓸 수 있음)
L = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times \cdots \times p_k^{a_k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>L</mi>
<mo>=</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>1</mn><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mn>2</mn><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub></msubsup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msubsup><mi>p</mi><mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mi>k</mi></msub></msubsup>
</mrow>
</math>
L = p_1^(a_1) xx p_2^(a_2) xx cdots xx p_k^(a_k)
Product[p[i]^a[i], {i, 1, k}]
L := product(p[i]^a[i], i = 1 .. k);
L = prod(p.^a);
L = p_1^(a_1) × p_2^(a_2) × ⋯ × p_k^(a_k)
3개 이상인 수의 최소공배수(2개씩 차례로 구하기)
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
\mathrm{lcm}(a, b, c) = \mathrm{lcm}(\mathrm{lcm}(a, b),\ c)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<mi>lcm</mi><mo>⁡</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>lcm</mi><mo>⁡</mo><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow>
</mrow>
</math>
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
LCM[LCM[a, b], c]
L := ilcm(ilcm(a, b), c);
L = lcm(lcm(a, b), c);
lcm(a, b, c) = lcm(lcm(a, b), c)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 정수 계산 도우미입니다. 다음 계산을 실제로 Python 코드를 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 330, 75, 450, 225의 4개 수에 대해 다음을 각각 구해 주세요. 1. 최소공배수(LCM) 2. 최대공약수(GCD) 3. 각 수의 소인수분해 사용한 식과 실행 결과의 수치를 함께 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
분수 계산기(분수의 사칙연산)
분수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈을 풀이 과정과 함께 계산합니다(통분에 최소공배수를 씁니다)
