등비수열 계산기(제n항·첫째항부터 제n항까지의 합·무한등비급수)

첫째항(수열의 처음 수), 공비(한 항씩 나아갈 때마다 곱하는 수), 항수(몇 번째 항까지 구할지)를 입력하고 ‘계산’을 누르세요. 수열의 앞부분의 항, 제n항, 첫째항부터 제n항까지의 합을 한꺼번에 계산합니다. 아래 일반항의 식은 입력란과 연결되어 있어서 첫째항·공비·항수 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다. 공비의 절댓값이 1보다 작을 때는 무한히 더해 나갔을 때의 합(무한등비급수의 합)도 보여 줍니다.

첫째항 a

공비 r

항수 n

첫째항과 공비에는 소수나 음수도 쓸 수 있습니다. 항수 n은 양의 정수(1~1000)로 입력하세요.

계산 결과·그래프

왼쪽 입력란에 첫째항, 공비, 항수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 그래프가 표시됩니다.

이 페이지에서 할 수 있는 것
이 계산은 어디에 쓰일까요?
사용법
공식과 그래프
용어·기호 해설
- 기호
- 용어
먼저 알아 두면 좋은 내용
Excel로 계산하는 방법
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
Python으로 계산하는 방법
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
ChatGPT에게 물어서 계산하는 방법
DataChef의 특징
관련 기능
NumberChef 계산기 목록

이 페이지에서 할 수 있는 것

첫째항(처음 수), 공비(한 항마다 곱하는 수), 항수의 세 가지만 넣으면 등비수열의 제 \(n\) 항과 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 한꺼번에 구할 수 있습니다
‘3, 6, 12, 24, …처럼 2배씩 늘어나는 수열의 10번째 수는? 모두 더하면 얼마?’ 같은 수열 문제에 그대로 쓸 수 있습니다
첫째항과 공비에는 소수나 음수도 쓸 수 있습니다(절반씩 되는 수열은 공비를 ‘0.5’, 부호가 번갈아 바뀌는 수열은 공비를 음수로 합니다)
공비의 절댓값이 1보다 작을 때는 무한히 더해 나갔을 때의 합(무한등비급수의 합)도 함께 보여 줍니다
수열의 항이 배로 배로(곡선을 그리듯이) 늘어나는 모습을 계산 결과와 함께 그래프로도 확인할 수 있습니다. 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다

등비수열(이웃한 항의 비가 항상 같은, 즉 같은 수를 곱하며 나아가는 수열)에만 쓸 수 있습니다. 5, 8, 11, …처럼 ‘같은 수를 더해서’ 늘어나는 수열(등차수열)에는 등차수열 계산기를 이용하세요.

이 계산은 어디에 쓰일까요?

복리로 돈이 늘어나는 구조 내다보기(돈 계획)

이자에도 이자가 붙는 ‘복리’에서는 잔액이 매년 같은 배율로 늘어나는 등비수열이 됩니다. 원금 100만 원을 연이율 3%의 복리로 운용하면 잔액은 매년 1.03배가 되어, 10년 후에는 \(100 \times 1.03^{10} \fallingdotseq 134.4\)만 원입니다(이율이 10년 동안 일정하다고 가정한 경우).
‘○년 후에 얼마가 될까?’는 등비수열의 제 \(n\) 항의 계산 그 자체입니다. 매년 같은 금액씩 늘어나는 ‘단리’(등차수열)와의 차이는 ‘더해서 늘어나는가, 곱해서 늘어나는가’입니다.

세균과 세포의 증식 어림하기(생물·식품 위생)

분열로 늘어나는 세균은 한 번 분열할 때마다 수가 2배가 되는, 공비가 2인 등비수열입니다. 가령 20분에 한 번 분열하는 세균이 1마리 있으면, 6시간 후(18번 분열한 후)에는 \(2^{18} = 262144\)마리로 26만 마리가 넘습니다(영양과 공간이 충분하고 죽지 않고 계속 분열한다는 이상적인 가정입니다).
‘음식을 상온에 두면 안 된다’고 하는 이유도 이렇게 배로 배로 늘어나는 방식(지수적인 증가)에 있습니다.

종이를 접으면 두께는 배로 배로 늘어난다(지수적인 증가 실감하기)

두께 0.1 mm인 복사 용지를 한 번 접으면 두께는 2배가 됩니다. 접을 때마다 2배가 되는, 공비가 2인 등비수열입니다. 계산으로는 10번 접으면 \(0.1 \times 2^{10} = 102.4\) mm(약 10 cm), 23번 접으면 약 839 m로 롯데월드타워(555 m)보다 높아집니다.
실제로 종이는 물리적으로 7~8번 정도밖에 접을 수 없지만, ‘겨우 23번 배로 늘렸을 뿐인데 롯데월드타워보다 높다’는 계산은 등비수열의 증가 방식이 덧셈의 감각을 훨씬 넘어선다는 것을 알려 줍니다.

튀어 오르는 공의 높이가 줄어드는 정도 계산하기(물리·스포츠)

떨어뜨릴 때마다 튀어 오르는 높이가 바로 앞의 60%가 되는 공이 있다고 합시다. 높이 2 m에서 떨어뜨리면 튀어 오르는 높이는 공비가 0.6인 등비수열로 줄어들어, 5번째에는 \(2 \times 0.6^{5} \fallingdotseq 0.16\) m(약 16 cm)까지 낮아집니다.
진동이나 소리의 감쇠, 약의 혈중 농도가 줄어드는 방식 등 ‘매번 같은 비율로 줄어드는’ 현상은 공비가 1보다 작은 등비수열로 모델링합니다.

음악의 음계는 진동수의 등비수열(음악·악기)

피아노 등에서 쓰는 평균율의 음계는 반음 올라갈 때마다 소리의 진동수가 약 1.0595배(정확히는 2의 12제곱근배)가 되는 등비수열입니다. 라 음(440 Hz)에서 반음을 12개 올라가면 \(440 \times (\sqrt[12]{2})^{12} = 880\) Hz로, 딱 한 옥타브 위의 라가 됩니다.
‘어느 반음 사이도 같은 비율’이기 때문에 어느 조로 옮겨도 같은 울림으로 연주할 수 있습니다. 음악의 바탕에 등비수열이 쓰이고 있는 것입니다.

공식과 그래프

제 \(n\) 항을 구하는 식(일반항)

그래프

수학 표기 (일반적인 수식)

\(a_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(r\) \(n-1\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

④ 제 \(n\) 항(\(a_n\)) \(=\) ① 첫째항(\(a\)) \(\times\) ② 공비(\(r\)) ③ 나아가는 항의 수(\(n-1\))

공식을 말로 읽으면

① 첫째항(\(a\)) 에

② 공비(\(r\)) 를

③ 나아가는 항의 수(\(n-1\)) 만큼 거듭해서 곱하면

④ 제 \(n\) 항(\(a_n\)) 이 됩니다

간단한 예

첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열(3, 6, 12, 24, …)의 제5항은

제5항(\(a_5\)) \(=\) 첫째항(3) \(\times\) 공비(2) 나아가는 항의 수(5 − 1 = 4)

\(3 \times 2^{4} = 3 \times 16 = 48\)

이해의 핵심

곱하는 횟수가 \(n\)이 아니라 \(n-1\)이 된다는 점이 가장 헷갈리기 쉬운 부분입니다. 제1항부터 제 \(n\) 항까지 공비를 곱하는 횟수는 ‘나아가는 횟수’이므로 \(n\)보다 1 작은 \(n-1\)번입니다. 예를 들어 제1항부터 제3항까지는 곱셈을 2번(\(3-1\)번)만 합니다. 공비 \(r\)이 \(1\)보다 작은 양수(예: 0.5)이면 항은 점점 작아져서 \(0\)에 가까워지고, 음수(예: \(-2\))이면 항의 부호가 번갈아 바뀝니다. 어느 경우든 식을 그대로 쓸 수 있습니다.

첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 구하는 식(공비가 \(1\)이 아닐 때)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \((1 - r^{n})\) \(\div\) \((1 - r)\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

④ 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합(\(S_n\)) \(=\) ① 첫째항(\(a\)) \(\times\) ② 1 − 공비의 \(n\)제곱(\(1 - r^n\)) \(\div\) ③ 1 − 공비(\(1 - r\))

공식을 말로 읽으면

① 첫째항(\(a\)) 에

② 1 − 공비의 \(n\)제곱(\(1 - r^n\)) 을 곱한 다음

③ 1 − 공비(\(1 - r\)) 로 나누면

④ 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합(\(S_n\)) 이 됩니다

간단한 예

첫째항이 3, 공비가 2인 등비수열(3, 6, 12, 24, …)의 첫째항부터 제5항까지의 합은

제5항까지의 합(\(S_5\)) \(=\) 첫째항(3) \(\times\) 1 − 공비의 5제곱(\(1 - 2^5 = -31\)) \(\div\) 1 − 공비(\(1 - 2 = -1\))

\(3 \times (1 - 2^{5}) = 3 \times (-31) = -93\)

\(-93 \div (1 - 2) = -93 \div (-1) = 93\)

이해의 핵심

공비가 1보다 크면 예처럼 분자(\(1 - r^n\))도 분모(\(1 - r\))도 음수가 되지만, 음수끼리의 나눗셈으로 서로 상쇄되므로 답은 제대로 양수가 됩니다. 교과서에서는 분자와 분모에 각각 \(-1\)을 곱해 부호를 바꾼 \(S_n = \dfrac{a(r^n - 1)}{r - 1}\)의 꼴도 자주 씁니다(완전히 같은 식이며, 공비가 1보다 클 때 계산하기 쉬운 꼴입니다). 공비가 \(1\)일 때는 분모 \(1 - r\)이 \(0\)이 되어 버리므로 이 식을 쓸 수 없습니다. 그때는 다음 식을 씁니다.

공비가 \(1\)일 때의 합을 구하는 식

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(S_n\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(n\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

③ 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합(\(S_n\)) \(=\) ① 첫째항(\(a\)) \(\times\) ② 항수(\(n\))

공식을 말로 읽으면

① 첫째항(\(a\)) 에

② 항수(\(n\)) 를 곱하면

③ 첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합(\(S_n\)) 이 됩니다

간단한 예

첫째항이 5, 공비가 1인 등비수열(5, 5, 5, 5, …)의 첫째항부터 제4항까지의 합은

제4항까지의 합(\(S_4\)) \(=\) 첫째항(5) \(\times\) 항수(4)

\(5 \times 4 = 20\)

이해의 핵심

공비가 \(1\)인 등비수열은 모든 항이 첫째항과 같은 수(5, 5, 5, …)로 늘어설 뿐입니다. 그래서 합은 단순히 ‘첫째항 × 개수’로 구할 수 있습니다. 두 번째 식을 쓸 수 없는 \(r = 1\)인 경우의 전용 방법이라고 기억해 두세요(이 계산기도 \(r = 1\)일 때는 자동으로 이 식으로 계산합니다).

무한등비급수의 합을 구하는 식(공비의 절댓값이 \(1\)보다 작을 때)

그래프

수학 표기 (일반적인 수식)

\(S\) \(=\) \(a\) \(\div\) \((1 - r)\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

③ 무한히 더해 나갔을 때의 합(\(S\)) \(=\) ① 첫째항(\(a\)) \(\div\) ② 1 − 공비(\(1 - r\))

공식을 말로 읽으면

① 첫째항(\(a\)) 을

② 1 − 공비(\(1 - r\)) 로 나누면

③ 무한히 더해 나갔을 때의 합(\(S\)) 이 됩니다

간단한 예

첫째항이 100, 공비가 0.5인 등비수열(100, 50, 25, 12.5, …)을 무한히 더해 나가면

무한히 더한 합(\(S\)) \(=\) 첫째항(100) \(\div\) 1 − 공비(1 − 0.5 = 0.5)

\(100 \div (1 - 0.5) = 100 \div 0.5 = 200\)

이해의 핵심

이 식을 쓸 수 있는 것은 공비의 절댓값이 \(1\)보다 작을(\(-1 < r < 1\)) 때뿐입니다. 이때 항은 점점 \(0\)에 가까워지므로, 무한히 더해 나가도 합은 일정한 값(이 예에서는 200)에 한없이 가까워집니다. 이것을 ‘수렴한다’고 하며, 수렴하는 값이 무한등비급수의 합 \(S\)입니다. 공비의 절댓값이 \(1\) 이상이면 더할 때마다 합이 얼마든지 커지므로(또는 부호가 바뀌며 불안정해지므로) 무한히 더한 합은 정해지지 않습니다. 이 계산기도 공비의 절댓값이 \(1\)보다 작을 때만 이 값을 보여 줍니다. 사실 두 번째 식에서 \(n\)을 점점 크게 하면 \(r^n\)이 \(0\)에 가까워지고, \(S_n = \dfrac{a(1 - r^n)}{1 - r}\)이 \(\dfrac{a}{1 - r}\)에 가까워집니다. 이것이 이 식의 정체입니다.

등비수열은 ‘같은 수(공비)를 계속 곱해 가는 수열’입니다. 제 \(n\) 항은 ‘첫째항에 공비를 \(n-1\)번 곱한 값’, 합은 ‘첫째항 × (1 − 공비의 \(n\)제곱) ÷ (1 − 공비)’(공비가 \(1\)일 때는 ‘첫째항 × 항수’)로 구할 수 있습니다. 공비의 절댓값이 \(1\)보다 작으면 무한히 더해 나간 합도 \(a \div (1 - r)\)로 구할 수 있습니다.

용어·기호 해설

기호

\(a\)	에이	첫째항입니다. 수열의 맨 처음 항(수)입니다. 3, 6, 12, 24, …인 수열이면 3에 해당합니다.
\(r\)	알	공비입니다. 다음 항으로 나아갈 때마다 곱하는 일정한 수입니다. 3, 6, 12, 24, …이면 2입니다. 영어 ratio(비)의 첫 글자이며, 소수나 음수일 때도 있습니다.
\(n\)	엔	항수입니다. 몇 번째 항까지 생각하는지를 나타내는 양의 정수입니다. ‘제10항까지’이면 \(n = 10\)입니다.
\(a_n\)	에이 엔	제 \(n\) 항입니다. 수열의 \(n\)번째 수입니다. 오른쪽 아래의 작은 문자(첨자)가 ‘몇 번째인지’를 나타냅니다. 제 \(n\) 항을 \(n\)에 대한 식으로 나타낸 것을 ‘일반항’이라고 합니다.
\(r^{n-1}\)	알의 엔 빼기 일 제곱	공비 \(r\)을 \(n-1\)번 곱한 수(거듭제곱)입니다. 제1항에서 제 \(n\) 항으로는 \(n-1\)번 나아가므로, 곱하는 횟수는 항의 개수 \(n\)보다 1 작습니다(제1항에서 제3항으로는 2번 나아감).
\(S_n\)	에스 엔	첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합입니다. \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)을 한꺼번에 나타낸 기호로, 영어 sum(합)의 첫 글자입니다.
\(S\)	에스	무한등비급수의 합입니다. 항을 무한히 더해 나갈 때 가까워지는 값입니다. \(S_\infty\)(에스 무한대)로 쓰기도 합니다.
\(\cdots\)	점 점 점(말줄임표)	‘같은 규칙으로 이어진다’는 것을 나타내는 기호입니다. 3, 6, 12, 24, …라고 쓰면 ‘이다음에도 계속 2배가 된다’는 뜻입니다.

용어

수열	수를 한 줄로 늘어놓은 것입니다. 늘어놓은 수 하나하나를 ‘항’이라고 합니다. 고등학교 2학년(16~17세) 수학에서 배우는 단원입니다.
등비수열	이웃한 항의 비가 항상 같은 수열입니다. 3, 6, 12, 24, …(매번 2를 곱함) 같은 수열입니다. ‘비가 같은 수열’이라서 등비수열이라고 합니다.
항	수열에 늘어놓은 수 하나하나입니다. 처음부터 차례로 제1항, 제2항, …이라고 합니다.
첫째항	수열의 맨 처음 항입니다. 제1항을 말합니다. 기호로는 \(a\)나 \(a_1\)로 씁니다.
공비	등비수열에서 다음 항으로 나아갈 때마다 곱하는 일정한 수입니다. 어느 이웃한 두 항으로 ‘뒤 ÷ 앞’의 나눗셈을 해도 같은 값이 됩니다. 소수(0.5이면 절반씩 됨)나 음수(부호가 번갈아 바뀜)여도 괜찮습니다.
거듭제곱	같은 수를 여러 번 곱하는 것입니다. \(2^5\)(2의 5제곱)은 \(2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32\)를 말하며, 오른쪽 위의 작은 수(지수)가 곱하는 횟수를 나타냅니다. 중학교 1학년에서 배웁니다.
일반항	제 \(n\) 항을 \(n\)에 대한 식으로 나타낸 것입니다. 등비수열의 일반항은 \(a_n = a r^{n-1}\)이며, \(n\)에 번호를 넣으면 그 항의 값을 바로 알 수 있습니다.
무한등비급수	등비수열의 항을 무한히 더해 나간 것입니다. 공비의 절댓값이 \(1\)보다 작을 때만 합이 일정한 값 \(\dfrac{a}{1-r}\)로 수렴합니다. 고등학교 3학년 ‘미적분’에서 배우는 내용이지만, 생각 자체는 ‘더할 때마다 늘어나는 양이 점점 작아진다’는 단순한 것입니다.
수렴	계속 더할수록(또는 항을 나아갈수록) 일정한 값에 한없이 가까워지는 것입니다. 100 + 50 + 25 + 12.5 + …는 더할수록 200에 가까워지므로 ‘200에 수렴한다’고 합니다.
등차수열	이웃한 항의 차가 항상 같은 수열입니다. 5, 8, 11, 14, …(매번 3을 더함) 같은 수열입니다. 같은 수를 ‘곱하는’ 등비수열과는 늘어나는 방식이 다르므로 이 페이지의 식은 쓸 수 없습니다.

먼저 알아 두면 좋은 내용

이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.

규칙 찾기·수의 배열(초등학교 4~6학년, 9~12세)	‘3, 6, 12, 24, …’ 같은 수의 배열에서 ‘2배씩 되고 있다’는 규칙을 찾을 수 있는 것 표로 만들어 ‘번호’와 ‘값’의 대응을 생각할 수 있는 것
소수·분수의 곱셈(초등학교 5~6학년, 10~12세)	\(64 \times 0.5 = 32\)처럼 0.5를 곱하면 절반이 된다는 것을 아는 것 1보다 작은 수를 곱하면 답이 원래 수보다 작아진다는 것을 아는 것
정수와 유리수(중학교 1학년, 12~13세)	\((-2) \times (-2) = 4\) 같은, 음수끼리의 곱셈을 할 수 있는 것(공비가 음수인 수열에서 부호가 번갈아 바뀌는 이유입니다) \((-93) \div (-1) = 93\) 같은, 음수끼리의 나눗셈을 할 수 있는 것
문자와 식·거듭제곱(중학교 1학년, 12~13세)	\(2^5 = 32\) 같은 거듭제곱(오른쪽 위의 작은 수만큼 곱함)을 계산할 수 있는 것 \(n - 1\)에 \(n = 10\)을 대입해 9를 얻는 것과 같은 대입 계산을 할 수 있는 것
혼합 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세)	거듭제곱과 괄호 안을 먼저 계산하는 것(\(3 \times (1 - 2^5)\)은 \(2^5\) → 괄호 안 → 곱셈의 순서)

Excel로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘제n항’을 구하는 표(첫째항 3, 공비 2, 항수 10)

첫째항 a	3
공비 r	2
항수 n	10
제n항	=B1*B2^(B3-1)

‘첫째항부터 제n항까지의 합’을 구하는 표

첫째항 a	3
공비 r	2
항수 n	10
첫째항부터 제n항까지의 합	=IF(B2=1,B1B3,B1(1-B2^B3)/(1-B2))

‘무한등비급수의 합’을 구하는 표(공비의 절댓값이 1보다 작을 때)

첫째항 a	100
공비 r	0.5
무한히 더해 나갔을 때의 합	=B1/(1-B2)

붙여 넣으면 위쪽 셀이 입력란이 되고, 맨 아래 셀이 자동 계산 결과가 됩니다.
수식 안의 ‘B1’, ‘B2’는 ‘그 셀의 숫자를 쓴다’는 뜻이고, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱입니다(B2^(B3-1)은 ‘공비의 (항수 − 1)제곱’).
두 번째 표의 IF(B2=1, …)는 ‘공비가 1이면 첫째항 × 항수, 그렇지 않으면 합의 공식으로 계산한다’는 경우 나누기입니다(공비가 1이면 합의 공식의 분모가 0이 되기 때문입니다).
예를 들어 첫 번째 표라면 B4에 1536(제10항), 두 번째 표라면 B4에 3069(합), 세 번째 표라면 B3에 200이 표시됩니다. 입력란을 원하는 숫자로 바꾸기만 하면 쓸 수 있습니다.

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘제n항’을 구하는 표(첫째항 3, 공비 2, 항수 10)

첫째항 a	3
공비 r	2
항수 n	10
제n항	=B1*B2^(B3-1)

‘첫째항부터 제n항까지의 합’을 구하는 표

첫째항 a	3
공비 r	2
항수 n	10
첫째항부터 제n항까지의 합	=IF(B2=1,B1B3,B1(1-B2^B3)/(1-B2))

‘무한등비급수의 합’을 구하는 표(공비의 절댓값이 1보다 작을 때)

첫째항 a	100
공비 r	0.5
무한히 더해 나갔을 때의 합	=B1/(1-B2)

Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력란(B1~B3)을 원하는 숫자로 바꾸세요.

Python으로 계산하는 방법

first_term = 3        # 첫째항
common_ratio = 2      # 공비
number_of_terms = 10  # 항수

# 제n항 = 첫째항 × 공비의 (n - 1)제곱
nth_term = first_term * common_ratio ** (number_of_terms - 1)
# 첫째항부터 제n항까지의 합 = 첫째항 × (1 - 공비의 n제곱) ÷ (1 - 공비)  ※공비가 1이면 첫째항 × 항수
if common_ratio == 1:
    sum_of_terms = first_term * number_of_terms
else:
    sum_of_terms = first_term * (1 - common_ratio ** number_of_terms) / (1 - common_ratio)
# 수열의 앞부분 10개 항(확인용)
sequence = [first_term * common_ratio ** k for k in range(min(number_of_terms, 10))]

print(f"수열의 앞부분: {sequence}")
print(f"제{number_of_terms}항: {nth_term}")
print(f"첫째항부터 제{number_of_terms}항까지의 합: {sum_of_terms}")

표준 라이브러리만으로 작동합니다. 맨 앞의 세 숫자(첫째항, 공비, 항수)를 바꿔서 실행하세요. 이 예에서는 제10항에 1536, 합에 3069.0이 표시됩니다. 공비의 절댓값이 1보다 작을 때의 무한등비급수의 합도 알고 싶다면 마지막에 ‘print(first_term / (1 - common_ratio))’라는 한 줄을 더합니다.

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

제 \(n\) 항을 구하는 식(일반항)

aₙ = a × rⁿ⁻¹

a_n = a r^{n-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <msup><mi>r</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a_n = a r^(n-1)

a*r^(n - 1)

an := a*r^(n - 1);

a_n = a*r^(n - 1);

a_n = ar^(n - 1)

첫째항부터 제 \(n\) 항까지의 합을 구하는 식(공비가 \(1\)이 아닐 때)

Sₙ = a(1 − rⁿ) ÷ (1 − r)

S_n = \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r} \quad (r \neq 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mi>a</mi>
        <mo>(</mo>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>r</mi><mi>n</mi></msup>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S_n = (a(1 - r^n))/(1 - r)

a*(1 - r^n)/(1 - r)

Sn := a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a*(1 - r^n)/(1 - r);

S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)

공비가 \(1\)일 때의 합을 구하는 식

Sₙ = a × n

S_n = a n \quad (r = 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>a</mi>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

S_n = a n

a*n

Sn := a*n;

S_n = a*n;

S_n = an

무한등비급수의 합을 구하는 식(공비의 절댓값이 \(1\)보다 작을 때)

S = a ÷ (1 − r)

S = \dfrac{a}{1 - r} \quad (|r| < 1)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>a</mi>
      <mrow>
        <mn>1</mn>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <mi>r</mi>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

S = a/(1 - r)

a/(1 - r)

S := a/(1 - r);

S = a/(1 - r);

S = a/(1 - r)

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

당신은 등비수열 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 제n항은 a_n = a × r^(n-1), 합은 S_n = a(1 - r^n)/(1 - r)(r = 1일 때는 S_n = a × n), |r| < 1일 때의 무한등비급수의 합은 S = a/(1 - r)로 구하세요.

1. 첫째항 3, 공비 2인 등비수열의 제10항과, 첫째항부터 제10항까지의 합
2. 첫째항 100, 공비 0.5인 등비수열의 제6항과, 첫째항부터 제6항까지의 합, 그리고 무한히 더해 나갔을 때의 합
3. 첫째항 3, 공비 -2인 등비수열의 제6항과, 첫째항부터 제6항까지의 합

계산에 쓴 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.