구관(구를 평면으로 잘라 낸 돔 모양)의 ‘밑면의 반지름 \(r\)’, ‘구의 반지름 \(R\)’, ‘높이 \(h\)’ 중 아는 두 항목에만 수를 입력하세요. 나머지 한 항목을 거꾸로 계산한 다음, 둥근 곡면 부분의 넓이(\(2\pi Rh\)), 밑면의 원의 넓이, 그 합계를 계산합니다.
입력하는 것은 두 항목뿐입니다(나머지 한 항목은 비워 둡니다). 길이는 0보다 큰 수(소수도 가능)로, 단위는 세 항목을 똑같이 맞추세요(예: 모두 cm). 넓이는 입력한 단위의 제곱(cm라면 cm²)이 됩니다. \(r\)과 \(R\)을 입력한 경우 높이 \(h\)의 답이 두 가지(얕은 구관과 깊은 구관) 나올 수 있습니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란의 세 항목 중 아는 두 개를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 구관(구를 평면으로 싹둑 잘라 낸 돔 같은 모양)의 겉넓이를 바로 알 수 있습니다
- ‘밑면의 반지름 \(r\)’, ‘구의 반지름 \(R\)’, ‘높이 \(h\)’ 중 아는 두 가지만 넣으면 됩니다. 나머지 하나도 자동으로 거꾸로 계산합니다
- 둥근 곡면 부분의 넓이(\(2\pi Rh\)), 밑면(자른 면의 원)의 넓이, 그 합계를 계산 과정과 함께 보여 줍니다
- 계산한 구관을 3D 그림으로도 보여 줍니다(마우스로 끌어서 돌릴 수 있습니다)
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
넓이는 입력한 길이 단위의 제곱(cm로 입력하면 cm²)이 됩니다. 대상은 ‘구를 평면으로 곧게 잘라 낸 모양’(자른 면이 원이 되는 모양)입니다. 돔 지붕·그릇·렌즈·물 위로 나온 부표 등이 이 모양에 해당합니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
천체 투영관이나 돔 지붕의 넓이 어림하기(건축)
천체 투영관(플라네타륨)·천문대·돔 야구장의 둥근 지붕은 바로 구관 모양입니다. 지붕재나 도장의 양은 곡면의 넓이 \(2\pi Rh\)로 어림할 수 있습니다.
예를 들어 지름 16 m(밑면의 반지름 8 m), 높이 4 m인 돔이라면 원래 구의 반지름은 \(R = (4^2 + 8^2) \div (2 \times 4) = 10\) m, 지붕의 넓이는 \(2\pi \times 10 \times 4 \fallingdotseq 251\,\mathrm{m^2}\)로 계산할 수 있습니다.
렌즈의 둥근 정도(곡률 반지름) 재기(광학·안경)
안경이나 콘택트렌즈의 표면은 구관 모양이며, 그 둥근 정도는 ‘원래 구의 반지름’(곡률 반지름)으로 나타냅니다. 렌즈 기술자가 쓰는 구면계라는 도구는 렌즈 표면의 폭 \(2r\)과 솟아오른 높이 \(h\)를 재고, 공식 6(\(R = (h^2 + r^2) \div 2h\))으로 원래 구의 반지름을 구합니다.
예를 들어 반지름 6 mm의 범위에서 솟아오른 높이가 0.9 mm라면 곡률 반지름은 \((0.9^2 + 6^2) \div 1.8 \fallingdotseq 20.5\) mm입니다.
돔 모양 케이크의 코팅 양 어림하기(요리·제과)
돔 모양의 케이크(반구)에 초콜릿이나 글라사주(윤기 나는 코팅)를 입힐 때 필요한 양은 겉면의 넓이에 비례합니다. 지름 12 cm인 반구 케이크라면 \(R = h = 6\) cm이므로 곡면의 넓이는 \(2\pi \times 6 \times 6 \fallingdotseq 226\,\mathrm{cm^2}\)입니다.
‘틀의 크기를 2배로 하면 코팅은 몇 배 필요한가’(넓이이므로 약 4배) 같은 어림에도 쓸 수 있습니다.
물에 뜬 부표의 ‘보이는 부분’의 넓이(바다·배)
구 모양의 부표가 물에 뜨면 수면 위로 나온 부분은 구관이 됩니다. 반지름 15 cm인 부표가 수면 위로 10 cm 나와 있다면 공기에 닿아 있는 넓이는 \(2\pi \times 15 \times 10 \fallingdotseq 942\,\mathrm{cm^2}\)입니다.
구 전체의 겉넓이 \(4\pi R^2 \fallingdotseq 2827\,\mathrm{cm^2}\)에서 빼면, 물에 잠긴 넓이(오염 방지 도장이 필요한 범위)가 약 \(1885\,\mathrm{cm^2}\)라는 것을 알 수 있습니다.
인공위성의 전파가 닿는 범위의 넓이(우주·통신)
인공위성에서 전파가 닿는 지구 위의 범위(풋프린트)는 지구 겉면의 일부, 즉 구관으로 어림할 수 있습니다. 덮는 넓이는 지구의 반지름 \(R \fallingdotseq 6371\) km와 범위의 깊이 \(h\)를 써서 \(2\pi Rh\)로 어림합니다(실제 설계에서는 전파 세기의 분포 등도 고려합니다).
‘위성을 더 높이 올리면 덮는 범위가 얼마나 넓어지는가’ 같은 통신망 계획은 이 공식의 생각이 바탕이 됩니다.
공식과 그림
구관(둥근 곡면 부분)의 넓이
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(S_1\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(R\)
\(\times\)
\(h\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
구관의 곡면의 넓이 \(S_1\)
\(=\)
④
상수 \(2\)
\(\times\)
③
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
①
구의 반지름 \(R\)
\(\times\)
②
구관의 높이 \(h\)
공식을 말로 읽으면
①
구의 반지름(\(R\))
에
②
구관의 높이(\(h\))
를 곱하고
③
원주율(\(\pi\))
을 곱한 뒤
④
상수(\(2\))
를 한 번 더 곱하면
⑤
구관의 곡면의 넓이(\(S_1\))
가 됩니다
간단한 예
반지름 10 cm인 구를 꼭대기에서 높이 5 cm인 곳에서 잘라 낸 구관의 둥근 곡면 부분의 넓이는
구관의 곡면의 넓이 \(S_1\)
\(=\)
상수 \(2\)
\(\times\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
구의 반지름(10 cm)
\(\times\)
높이(5 cm)
\(2 \times \pi \times 10 \times 5 = 100\pi \fallingdotseq 314.2\,\mathrm{cm^2}\)
이해의 핵심
신기하게도 이 공식에는 밑면의 반지름 \(r\)이 나오지 않습니다. 구관의 곡면의 넓이는 ‘원래 구의 반지름 \(R\)’과 ‘높이 \(h\)’ 두 값만으로 정해집니다. 게다가 \(2\pi Rh\)는 ‘반지름 \(R\), 높이 \(h\)인 원기둥의 옆넓이’와 똑같습니다. 구를 같은 두께로 둥글게 썰면 가장자리에 가까운 조각이든 한가운데 조각이든 곡면의 넓이가 같다는, 고대 그리스의 수학자 아르키메데스가 발견한 아름다운 성질입니다.
\(h = 2R\)(구 전체)을 넣으면 \(2\pi R \times 2R = 4\pi R^2\)이 되어 구의 겉넓이 공식과 딱 맞는다는 것도 확인할 수 있습니다.
밑면(자른 면의 원)의 넓이
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(S_2\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
밑면의 원의 넓이 \(S_2\)
\(=\)
③
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
①
밑면의 반지름 \(r\)
②
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
공식을 말로 읽으면
①
밑면의 반지름(\(r\))
을
②
제곱(같은 수를 2번 곱하기)
하고
③
원주율(\(\pi\))
을 곱하면
④
밑면의 원의 넓이(\(S_2\))
가 됩니다
간단한 예
밑면(자른 면의 원)의 반지름이 3 cm인 구관의 밑면의 넓이는
밑면의 원의 넓이 \(S_2\)
\(=\)
원주율 \(\pi\)
\(\times\)
밑면의 반지름(3 cm)
제곱
\(\pi \times 3^{2} = 9\pi \fallingdotseq 28.3\,\mathrm{cm^2}\)
이해의 핵심
이것은 보통의 ‘원의 넓이 = 원주율 × 반지름의 제곱’ 공식 그대로입니다. 구를 어디에서 자르든 평면으로 자른 면은 반드시 원이 되므로, 밑면의 넓이는 원의 넓이 공식으로 구할 수 있습니다.
겉넓이의 합계(곡면 + 밑면)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(S\)
\(=\)
\(2\pi R h\)
\(+\)
\(\pi r^2\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
겉넓이의 합계 \(S\)
\(=\)
①
곡면의 넓이 \(2\pi Rh\)
\(+\)
②
밑면의 넓이 \(\pi r^2\)
공식을 말로 읽으면
①
구관의 곡면의 넓이(\(2\pi Rh\), 공식 1)
에
②
밑면의 원의 넓이(\(\pi r^2\), 공식 2)
를 더하면
③
겉넓이의 합계(\(S\))
가 됩니다
간단한 예
반지름 10 cm인 구를 높이 5 cm로 잘라 낸 구관(밑면의 반지름은 \(\sqrt{75} \fallingdotseq 8.66\) cm)의 겉넓이의 합계는
겉넓이의 합계 \(S\)
\(=\)
곡면의 넓이(\(100\pi\) cm²)
\(+\)
밑면의 넓이(\(75\pi\) cm²)
\(2\pi \times 10 \times 5 + \pi \times (\sqrt{75})^{2} = 100\pi + 75\pi\)
\(100\pi + 75\pi = 175\pi \fallingdotseq 549.8\,\mathrm{cm^2}\)
이해의 핵심
‘겉넓이의 합계’는 구에서 잘라 낸 속이 꽉 찬 덩어리(구결)를 밖에서 보았을 때의 겉면 전체의 넓이입니다(둥근 곡면 + 자른 면의 원).
돔 지붕의 넓이처럼 ‘둥근 곡면만’ 알고 싶을 때는 공식 1의 \(S_1 = 2\pi Rh\)(계산 결과의 ‘구관(둥근 곡면 부분)의 넓이’) 값을 쓰세요.
밑면의 반지름 \(r\) 구하는 법(\(R\)과 \(h\)를 알 때)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{2Rh - h^{2}}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
밑면의 반지름 \(r\)
\(=\)
①
\(2Rh - h^2\)의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
값 \(2Rh - h^2\)(구의 반지름 × 높이의 2배에서 높이의 제곱을 뺀 값)의 제곱근
을 구하면
②
밑면의 반지름(\(r\))
이 됩니다
간단한 예
반지름 10 cm인 구를 높이 5 cm로 잘라 낸 구관의 밑면(자른 면의 원)의 반지름은
밑면의 반지름 \(r\)
\(=\)
\(2 \times 10 \times 5 - 5^2\)(= 75)의 제곱근
\(r = \sqrt{2 \times 10 \times 5 - 5^{2}} = \sqrt{100 - 25}\)
\(r = \sqrt{75} \fallingdotseq 8.66\,\mathrm{cm}\)
이해의 핵심
구의 중심, 밑면의 원의 중심, 자른 면의 가장자리 세 점을 이으면 직각삼각형이 생깁니다. 여기에 피타고라스 정리를 쓰면 \(r^2 = R^2 - (R-h)^2 = 2Rh - h^2\)이 되어 이 공식을 이끌어 낼 수 있습니다.
루트 안의 값은 \(2Rh - h^2 = h(2R - h)\)로 바꿀 수 있으므로, 높이 \(h\)가 구의 지름 \(2R\) 이하이기만 하면 0 이상이 되어 반드시 계산할 수 있습니다.
높이 \(h\) 구하는 법(\(r\)과 \(R\)을 알 때, 답은 두 가지)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(h\)
\(=\)
\(R\)
\(\pm\)
\(\sqrt{R^{2} - r^{2}}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
구관의 높이 \(h\)
\(=\)
①
구의 반지름 \(R\)
\(\pm\)
②
\(R^2 - r^2\)의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
구의 반지름(\(R\))
에
②
값 \(R^2 - r^2\)(구의 반지름의 제곱에서 밑면의 반지름의 제곱을 뺀 값)의 제곱근
을 더한 것과 뺀 것(±의 두 가지)이
③
구관의 높이(\(h\))
가 됩니다
간단한 예
반지름 2 m인 구를 밑면의 반지름이 1 m가 되도록 잘라 낼 때 구관의 높이는
구관의 높이 \(h\)
\(=\)
구의 반지름(2 m)
\(\pm\)
\(2^2 - 1^2\)(= 3)의 제곱근
\(h = 2 \pm \sqrt{2^{2} - 1^{2}} = 2 \pm \sqrt{3} \fallingdotseq 2 \pm 1.732\)
\(h = 2 - \sqrt{3} \fallingdotseq 0.268, \quad h = 2 + \sqrt{3} \fallingdotseq 3.732\)
이해의 핵심
답이 두 가지 나오는 것은 같은 크기의 자른 면이라도 ‘얕게 잘라 내는 경우(꼭대기 쪽의 작은 구관)’와 ‘깊게 잘라 내는 경우(나머지 큰 구관)’의 두 가지가 있기 때문입니다. 두 높이를 더하면 반드시 구의 지름 \(2R\)이 됩니다(예에서는 \(0.268 + 3.732 = 4 = 2R\)).
또 \(r = R\)(구의 가장 굵은 곳에서 자름)일 때는 \(\sqrt{R^2 - r^2} = 0\)이 되어 답은 \(h = R\) 한 가지, 즉 정확히 반구입니다.
구의 반지름 \(R\) 구하는 법(\(r\)과 \(h\)를 알 때)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(R\)
\(=\)
\((\)
\(h^{2}\)
\(+\)
\(r^{2}\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(2h\)
\()\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
구의 반지름 \(R\)
\(=\)
\((\)
①
높이 \(h\)의 제곱
\(+\)
②
밑면의 반지름 \(r\)의 제곱
\()\)
\(\div\)
\((\)
③
높이 \(h\)의 2배 \(2h\)
\()\)
공식을 말로 읽으면
①
높이 \(h\)의 제곱
에
②
밑면의 반지름 \(r\)의 제곱
을 더하고
③
높이 \(h\)의 2배(\(2h\))
로 나누면
④
구의 반지름(\(R\))
이 됩니다
간단한 예
밑면의 반지름 3 cm, 높이 2 cm인 돔 모양(구관)의 원래 구의 반지름은
구의 반지름 \(R\)
\(=\)
\((\)
높이의 제곱(\(2^2 = 4\))
\(+\)
반지름의 제곱(\(3^2 = 9\))
\()\)
\(\div\)
\((\)
높이의 2배(\(4\))
\()\)
\(R = \dfrac{2^{2} + 3^{2}}{2 \times 2} = \dfrac{4 + 9}{4} = \dfrac{13}{4} = 3.25\,\mathrm{cm}\)
이해의 핵심
‘둥근 공의 일부만’ 남은 모양(접시 조각·렌즈·돔)으로 원래 구의 크기를 되살릴 수 있는 공식입니다. 자른 면의 반지름 \(r\)과 거기서부터 솟아오른 높이 \(h\) 두 가지만 재면 원래 구의 반지름을 알 수 있습니다.
렌즈나 거울 표면의 둥근 정도를 나타내는 ‘곡률 반지름’을 재는 도구(구면계)도 바로 이 공식으로 계산합니다.
구관의 둥근 곡면의 넓이는 ‘2 × 원주율 π × 구의 반지름 R × 높이 h’만으로 구할 수 있습니다(밑면의 반지름 r이 나오지 않는 것이 핵심). 자른 면의 원까지 포함한 겉넓이의 합계는 여기에 원의 넓이 πr²를 더하기만 하면 됩니다. r, R, h는 어느 두 값을 알면 나머지 하나도 계산할 수 있습니다.
용어·기호 해설
기호
| \(S\) | 에스 | 넓이를 나타낼 때 자주 쓰는 기호입니다. 영어 surface(겉면)나 square(사각형·제곱)의 첫 글자로, 이 페이지에서는 구관의 겉넓이를 나타냅니다. |
| \(R\) | 알(대문자) | 원래 구(잘라 내기 전의 통째의 구)의 반지름입니다. 영어 radius(반지름)의 첫 글자로, 소문자 \(r\)과 구별하기 위해 대문자로 씁니다. |
| \(r\) | 알(소문자) | 밑면(자른 면의 원)의 반지름입니다. 같은 ‘반지름’이라도 대문자 \(R\)(구의 반지름)과는 다른 길이이므로 주의하세요. |
| \(h\) | 에이치 | 구관의 높이입니다. 자른 면에서 구면의 꼭대기까지의 거리이며, 영어 height(높이)의 첫 글자입니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율입니다. 원주가 지름의 몇 배인지를 나타내는 상수로, 약 3.14159…로 끝없이 이어지는 수입니다. 초등학교에서는 3.14로 계산합니다. |
| \(r^2\) | 알의 제곱 | 같은 수 \(r\)을 2번 곱한 값(\(r \times r\))입니다. 오른쪽 위의 작은 2는 ‘2번 곱한다’는 뜻의 지수입니다(예: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)). |
| \(\sqrt{\phantom{0}}\) | 루트(제곱근) | 제곱하면 그 수가 되는 0 이상의 수를 나타내는 기호입니다(예: \(\sqrt{75}\)는 ‘제곱하면 75가 되는 수’로 약 8.66). |
| \(\pm\) | 플러스마이너스 | ‘더하는 경우와 빼는 경우 모두 답이 된다’는 뜻의 기호입니다. 공식 5에서 높이 \(h\)의 답이 두 가지 나온다는 것을 나타냅니다. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 제곱센티미터 | 넓이의 단위입니다. 한 변이 1 cm인 정사각형의 넓이가 1 cm²입니다. 이 계산기의 넓이는 ‘입력한 길이 단위의 제곱’이 됩니다(m로 입력하면 m²). |
용어
| 구관 | 구를 하나의 평면으로 싹둑 잘랐을 때 생기는 둥근 곡면 부분입니다. 영어로는 spherical cap(구의 뚜껑)이라고 합니다. 돔 지붕·그릇·콘택트렌즈 같은 모양입니다. |
| 구결 | 구를 하나의 평면으로 잘라 낸 ‘속이 꽉 찬 덩어리’입니다. 그 겉면은 구관(둥근 곡면)과 밑면(자른 면의 원)으로 이루어져 있으며, 이 페이지의 ‘겉넓이의 합계’는 구결의 겉면 전체의 넓이에 해당합니다. |
| 반구 | 구를 중심을 지나는 평면으로 정확히 절반으로 자른 모양입니다. 높이 \(h\)가 구의 반지름 \(R\)과 같은(\(h = R\)) 특별한 구관입니다. |
| 겉넓이 | 입체도형의 겉면 전체의 넓이입니다. ‘표면적’이라고도 합니다. 부피(속의 양)와는 다른 양으로, 칠할 넓이·포장지의 넓이 등을 생각할 때 씁니다. |
| 곡면 | 평평하지 않고 둥글게 굽은 면입니다. 구관의 ‘둥근 부분’은 곡면이고, 자른 면의 원은 평면입니다. |
| 피타고라스 정리 | 직각삼각형에서 ‘직각을 낀 두 변의 제곱의 합 = 빗변의 제곱’이 성립한다는 정리입니다. 공식 4~6의 거꾸로 구하는 공식은 구의 단면에 생기는 직각삼각형에 이 정리를 써서 이끌어 낸 것입니다. |
| 제곱근 | 제곱하면 그 수가 되는 수입니다. 기호는 \(\sqrt{\phantom{0}}\)(루트)입니다. 거꾸로 구하는 공식 4·공식 5에서 ‘제곱한 계산을 되돌리기’ 위해 나옵니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 원의 넓이와 원주율(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 거듭제곱과 지수(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 구의 겉넓이 공식(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 제곱근(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 피타고라스 정리(중학교 2~3학년, 13~15세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘구관(곡면)의 넓이’를 구하는 표
| 구의 반지름 R | 10 |
| 구관의 높이 h | 5 |
| 구관(곡면)의 넓이 | =2*PI()*B1*B2 |
‘밑면(자른 면의 원)의 넓이’를 구하는 표
| 밑면의 반지름 r | 3 |
| 밑면의 원의 넓이 | =PI()*B1^2 |
‘겉넓이의 합계’를 구하는 표(R과 h로)
| 구의 반지름 R | 10 |
| 구관의 높이 h | 5 |
| 밑면의 반지름 r(자동 계산) | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
| 겉넓이의 합계 | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
‘밑면의 반지름 r’을 거꾸로 구하는 표
| 구의 반지름 R | 10 |
| 구관의 높이 h | 5 |
| 밑면의 반지름 r | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
‘높이 h’를 거꾸로 구하는 표(답은 두 가지)
| 밑면의 반지름 r | 1 |
| 구의 반지름 R | 2 |
| 높이 h(해 1, 얕은 구관) | =B2-SQRT(B2^2-B1^2) |
| 높이 h(해 2, 깊은 구관) | =B2+SQRT(B2^2-B1^2) |
‘구의 반지름 R’을 거꾸로 구하는 표
| 밑면의 반지름 r | 3 |
| 구관의 높이 h | 2 |
| 구의 반지름 R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
붙여 넣으면 A열에 항목 이름, B열에 수가 들어갑니다. 위쪽 행이 입력 칸이고, 마지막 행의 수식이 입력 칸의 값으로 자동 계산합니다.
‘PI()’는 원주율 π(3.14159…)를 돌려주는 함수, ‘SQRT()’는 제곱근(루트)을 구하는 함수입니다. ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(제곱)의 기호입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B3에 약 314.16, 세 번째 표라면 B4에 약 549.78이 표시됩니다. 다섯 번째 표는 높이의 답이 두 가지 나오는 예(약 0.268과 약 3.732)입니다. 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
‘PI()’는 원주율 π(3.14159…)를 돌려주는 함수, ‘SQRT()’는 제곱근(루트)을 구하는 함수입니다. ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(제곱)의 기호입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B3에 약 314.16, 세 번째 표라면 B4에 약 549.78이 표시됩니다. 다섯 번째 표는 높이의 답이 두 가지 나오는 예(약 0.268과 약 3.732)입니다. 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸기만 하면 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘구관(곡면)의 넓이’를 구하는 표
| 구의 반지름 R | 10 |
| 구관의 높이 h | 5 |
| 구관(곡면)의 넓이 | =2*PI()*B1*B2 |
‘밑면(자른 면의 원)의 넓이’를 구하는 표
| 밑면의 반지름 r | 3 |
| 밑면의 원의 넓이 | =PI()*B1^2 |
‘겉넓이의 합계’를 구하는 표(R과 h로)
| 구의 반지름 R | 10 |
| 구관의 높이 h | 5 |
| 밑면의 반지름 r(자동 계산) | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
| 겉넓이의 합계 | =2*PI()*B1*B2+PI()*B3^2 |
‘밑면의 반지름 r’을 거꾸로 구하는 표
| 구의 반지름 R | 10 |
| 구관의 높이 h | 5 |
| 밑면의 반지름 r | =SQRT(2*B1*B2-B2^2) |
‘높이 h’를 거꾸로 구하는 표(답은 두 가지)
| 밑면의 반지름 r | 1 |
| 구의 반지름 R | 2 |
| 높이 h(해 1, 얕은 구관) | =B2-SQRT(B2^2-B1^2) |
| 높이 h(해 2, 깊은 구관) | =B2+SQRT(B2^2-B1^2) |
‘구의 반지름 R’을 거꾸로 구하는 표
| 밑면의 반지름 r | 3 |
| 구관의 높이 h | 2 |
| 구의 반지름 R | =(B2^2+B1^2)/(2*B2) |
Excel과 같은 수식(PI()·SQRT() 함수 포함)을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 칸의 수를 자신의 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
ball_radius = 10 # 구의 반지름 R(이 예에서는 cm)
cap_height = 5 # 구관의 높이 h
base_radius = math.sqrt(2 * ball_radius * cap_height - cap_height ** 2) # 밑면의 반지름 r(거꾸로 계산)
cap_area = 2 * math.pi * ball_radius * cap_height # 구관(곡면)의 넓이
base_area = math.pi * base_radius ** 2 # 밑면의 원의 넓이
total_area = cap_area + base_area # 겉넓이의 합계
print(f"밑면의 반지름 r: {base_radius} cm")
print(f"구관(곡면)의 넓이: {cap_area} cm2")
print(f"밑면의 원의 넓이: {base_area} cm2")
print(f"겉넓이의 합계: {total_area} cm2")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. ‘math.pi’가 원주율 π, ‘math.sqrt()’가 제곱근(루트), ‘**’가 거듭제곱(제곱)의 기호입니다. 맨 위의 구의 반지름과 높이를 바꿔 실행하세요(cm로 입력한 경우의 예입니다). r과 h로 구의 반지름을 거꾸로 구하고 싶을 때는 ‘ball_radius = (cap_height ** 2 + base_radius ** 2) / (2 * cap_height)’로 바꿉니다.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
구관(둥근 곡면 부분)의 넓이
S₁ = 2πRh
S_1 = 2\pi R h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn>
<mi>π</mi>
<mi>R</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
S_1 = 2 pi R h
2*Pi*R*h
S1 := 2*Pi*R*h;
S1 = 2*pi*R*h;
S_1 = 2πRh
밑면(자른 면의 원)의 넓이
S₂ = πr²
S_2 = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S_2 = pi r^2
Pi*r^2
S2 := Pi*r^2;
S2 = pi*r^2;
S_2 = πr^2
겉넓이의 합계(곡면 + 밑면)
S = 2πRh + πr²
S = 2\pi R h + \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>π</mi><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>+</mo>
<mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 2 pi R h + pi r^2
2*Pi*R*h + Pi*r^2
S := 2*Pi*R*h + Pi*r^2;
S = 2*pi*R*h + pi*r^2;
S = 2πRh + πr^2
밑면의 반지름 \(r\) 구하는 법(\(R\)과 \(h\)를 알 때)
r = √(2Rh − h²)
r = \sqrt{2Rh - h^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<mn>2</mn><mi>R</mi><mi>h</mi>
<mo>−</mo>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(2Rh - h^2)
Sqrt[2*R*h - h^2]
r := sqrt(2*R*h - h^2);
r = sqrt(2*R*h - h^2);
r = √(2Rh − h^2)
높이 \(h\) 구하는 법(\(r\)과 \(R\)을 알 때, 답은 두 가지)
h = R ± √(R² − r²)
h = R \pm \sqrt{R^{2} - r^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>h</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi>
<mo>±</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>R</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
h = R +- sqrt(R^2 - r^2)
Solve[r^2 + (R - h)^2 == R^2, h]
solve(r^2 + (R - h)^2 = R^2, h);
h = [R - sqrt(R^2 - r^2), R + sqrt(R^2 - r^2)];
h = R ± √(R^2 − r^2)
구의 반지름 \(R\) 구하는 법(\(r\)과 \(h\)를 알 때)
R = (h² + r²) ÷ (2h)
R = \dfrac{h^{2} + r^{2}}{2h}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mn>2</mn><mi>h</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
R = (h^2 + r^2) / (2h)
(h^2 + r^2)/(2*h)
R := (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2*h);
R = (h^2 + r^2)/(2h)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 산수·수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 반지름 10 cm인 구를 꼭대기에서 높이 5 cm인 곳에서 평면으로 잘라 구관(돔 모양)을 만듭니다. 다음 값을 각각 구하세요. 1. 밑면(자른 면의 원)의 반지름 r(r = √(2Rh − h²)) 2. 구관의 둥근 곡면 부분의 넓이(S₁ = 2πRh) 3. 밑면의 원의 넓이(S₂ = πr²) 4. 겉넓이의 합계(S = S₁ + S₂) 계산에 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
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관련 기능
구의 부피 계산기(V = 4/3 × π × 반지름의 세제곱)
자르기 전 ‘통째의 구’의 부피를 반지름으로 계산합니다
원 계산기(반지름·지름·원주·넓이 한 번에 계산)
구관의 밑면(자른 면의 원)의 반지름·원주·넓이를 한꺼번에 계산합니다
