피타고라스 정리 계산기(두 변으로 나머지 한 변 구하기)

직각삼각형의 세 변 a, b, c(c는 빗변) 가운데 알고 있는 두 변에만 길이를 입력해 주세요. 피타고라스 정리로 나머지 한 변을 계산하고, 두 각의 크기, 넓이, 둘레의 길이, 빗변을 밑변으로 할 때의 높이도 한 번에 표시합니다.

변 a(직각을 낀 변)

변 b(직각을 낀 변)

변 c(빗변)

입력하는 것은 두 변뿐입니다(나머지 한 변의 칸은 비워 둡니다). 길이는 0보다 큰 수(소수도 가능)로 넣고, 단위는 세 변 모두 같게 맞춰 주세요(예: 모두 cm).

계산 결과·도형

왼쪽 입력란에 알고 있는 두 변의 길이를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.

이 페이지에서 할 수 있는 것
이 계산은 어디에 쓰일까요?
사용법
공식과 그림
용어·기호 해설
- 기호
- 용어
먼저 알아 두면 좋은 내용
Excel로 계산하는 방법
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
Python으로 계산하는 방법
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
ChatGPT에게 물어서 계산하는 방법
DataChef의 특징
관련 기능
NumberChef 계산기 목록

이 페이지에서 할 수 있는 것

직각삼각형의 세 변 가운데 알고 있는 두 변만 넣으면 피타고라스 정리 \(a^2 + b^2 = c^2\)을 써서 나머지 한 변을 바로 알 수 있습니다
‘세로 3 m, 가로 4 m만 알 때 비스듬한 길이는?’ 같은 빗변(대각선)의 길이를 한 번에 계산할 수 있습니다
나머지 변뿐 아니라 두 각의 크기, 넓이, 둘레의 길이, 빗변을 밑변으로 할 때의 높이도 풀이 과정과 함께 계산합니다
공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다

이 계산기는 직각삼각형(한 각이 정확히 90°인 삼각형)에만 쓸 수 있습니다. 빗변 c는 직각의 맞은편에 있는 가장 긴 변입니다. 직각이 없는 삼각형의 변의 계산에는 쓸 수 없습니다.

이 계산은 어디에 쓰일까요?

사다리로 닿는 높이 어림하기(DIY·건설 현장)

길이 5 m인 사다리를 아래쪽을 벽에서 1.5 m 떨어뜨려 세우면 닿는 높이는 \(\sqrt{5^2 - 1.5^2} = \sqrt{22.75} \fallingdotseq 4.77\)(약 4.8 m)입니다.
사다리는 넘어지지 않도록 아래쪽을 벽에서 떨어뜨려 쓰므로 ‘사다리의 길이 = 닿는 높이’가 되지 않습니다. 작업 전에 이 계산으로 어림하는 것은 건설·전기 공사 같은 현장의 기본입니다.

건축 현장에서 직각 잡기, 3 : 4 : 5의 직각(목수·기초 공사)

두 변을 3 m, 4 m로 잡고 그 양 끝을 잇는 길이가 정확히 5 m이면 그 각은 직각입니다(\(3^2 + 4^2 = 5^2\)이 성립하므로 피타고라스 정리의 역에 따라 직각임을 알 수 있습니다).
이 ‘3 : 4 : 5’를 이용한 직각 잡기는 고대 이집트의 밧줄 측량사부터 오늘날의 기초 공사와 먹매김까지 수천 년 동안 쓰여 온, 피타고라스 정리의 가장 실용적인 쓰임새입니다.

지도·내비게이션의 직선거리 계산(프로그래밍에서도)

동쪽으로 300 m, 북쪽으로 400 m 떨어진 지점까지의 직선거리는 \(\sqrt{300^2 + 400^2} = 500\)(500 m)입니다.
‘세로의 차’와 ‘가로의 차’로 두 점 사이의 거리를 구하는 이 계산(거리 공식)은 피타고라스 정리 그 자체로, 내비게이션, 게임, GPS 등 위치를 다루는 거의 모든 프로그램 안에서 쓰이고 있습니다.

계단·경사로의 비스듬한 길이 구하기(설계·리모델링)

수평 방향으로 3.6 m 나아가면서 높이 2.7 m를 올라가는 계단의 비스듬한 길이는 \(\sqrt{3.6^2 + 2.7^2} = \sqrt{20.25} = 4.5\)(4.5 m)입니다.
계단 난간이나 경사로 판처럼 ‘비스듬한 부재’의 길이는 도면의 세로와 가로 치수로 피타고라스 정리를 써서 구합니다. 자재를 사러 가기 전 견적에 그대로 쓸 수 있습니다.

공식과 그림

피타고라스 정리(세 변의 관계식)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(a^2\) \(+\) \(b^2\) \(=\) \(c^2\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

① 직각을 낀 변(\(a\))의 제곱 \(+\) ② 직각을 낀 변(\(b\))의 제곱 \(=\) ③ 빗변(\(c\))의 제곱

공식을 말로 읽으면

① 직각을 낀 변(\(a\))의 제곱 과

② 직각을 낀 변(\(b\))의 제곱 을 더하면

③ 빗변(\(c\))의 제곱 과 정확히 같아집니다

간단한 예

세 변의 길이가 3, 4, 5인 직각삼각형으로 확인하면

변 a의 제곱(3² = 9) \(+\) 변 b의 제곱(4² = 16) \(=\) 빗변 c의 제곱(5² = 25)

\(3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2\)

이해의 핵심

빗변 \(c\)는 ‘직각의 맞은편’에 있는, 직각삼각형에서 가장 긴 변입니다. 이 관계식은 직각삼각형에서만 성립하고, 거꾸로 세 변이 이 식을 만족하는 삼각형은 반드시 직각삼각형입니다(피타고라스 정리의 역). 건축 현장에서 직각을 확인할 때 쓰는 것이 바로 이 성질입니다.

빗변 \(c\)를 구하는 공식

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(c\) \(=\) \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

② 빗변(\(c\)) \(=\) ① 제곱의 합(\(a^2 + b^2\))의 제곱근

공식을 말로 읽으면

① 제곱의 합(\(a^2 + b^2\))의 제곱근 을 구하면(직각을 낀 두 변을 각각 제곱해서 더하고, 그 제곱근을 구하면)

② 빗변(\(c\)) 이 됩니다

간단한 예

직각을 낀 두 변이 3과 4일 때 빗변은

빗변 \(c\) \(=\) 제곱의 합(3² + 4² = 25)의 제곱근

\(c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)

이해의 핵심

관계식 \(a^2 + b^2 = c^2\)을 ‘\(c =\)’의 꼴로 고쳐 쓴 식입니다. 흔히 하는 실수는 \(\sqrt{a^2} + \sqrt{b^2}\)(= \(a + b\))처럼 계산하는 것입니다. 근호 안의 덧셈을 먼저 모두 계산한 다음, 마지막에 한 번만 제곱근을 구합니다. \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\)이 아니라 \(\sqrt{9 + 16} = 5\)가 정답입니다.

직각을 낀 변(나머지 변)을 구하는 공식

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(b\) \(=\) \(\sqrt{c^2 - a^2}\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

② 나머지 변(\(b\)) \(=\) ① 제곱의 차(\(c^2 - a^2\))의 제곱근

공식을 말로 읽으면

① 제곱의 차(\(c^2 - a^2\))의 제곱근 을 구하면(빗변의 제곱에서 알고 있는 변의 제곱을 빼고, 그 제곱근을 구하면)

② 나머지 변(\(b\)) 이 됩니다

간단한 예

빗변이 13, 직각을 낀 한 변이 5일 때 나머지 변은

나머지 변 \(b\) \(=\) 제곱의 차(13² − 5² = 144)의 제곱근

\(b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12\)

이해의 핵심

뺄셈의 방향에 주의하세요. 반드시 ‘가장 긴 빗변의 제곱’에서 알고 있는 변의 제곱을 뺍니다. 변 \(a\)를 구할 때도 같은 꼴로 \(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)입니다. 만약 뺄셈의 결과가 0 이하가 되면, 그 ‘빗변’은 빗변이 아닙니다(빗변은 반드시 다른 어느 변보다도 깁니다).

빗변을 밑변으로 할 때의 높이

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(h\) \(=\) \(a\) \(\times\) \(b\) \(\div\) \(c\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

④ 빗변을 밑변으로 할 때의 높이(\(h\)) \(=\) ① 직각을 낀 변(\(a\)) \(\times\) ② 직각을 낀 변(\(b\)) \(\div\) ③ 빗변(\(c\))

공식을 말로 읽으면

① 직각을 낀 변(\(a\)) 과

② 직각을 낀 변(\(b\)) 을 곱하고

③ 빗변(\(c\)) 으로 나누면

④ 빗변을 밑변으로 할 때의 높이(\(h\)) 가 됩니다

간단한 예

세 변이 3, 4, 5인 직각삼각형에서 빗변(길이 5인 변)을 밑변으로 볼 때의 높이는

높이 \(h\) \(=\) 변 a(3) \(\times\) 변 b(4) \(\div\) 빗변 c(5)

\(h = 3 \times 4 \div 5 = 12 \div 5 = 2.4\)

이해의 핵심

이 식은 ‘넓이를 두 가지로 나타내는’ 데서 나옵니다. 직각삼각형의 넓이는 직각을 낀 두 변을 쓰면 \(a \times b \div 2\), 빗변을 밑변으로 보면 \(c \times h \div 2\)입니다. 넓이가 같으므로 \(a \times b = c \times h\)이고, 이것을 \(h\)에 대해 풀면 \(h = a \times b \div c\)가 됩니다.

피타고라스 정리는 ‘직각을 낀 두 변의 제곱의 합 = 빗변의 제곱’이라는, 직각삼각형에서만 성립하는 관계식입니다. 두 변을 알면 ‘제곱해서 더하거나(빗변을 구할 때) 빼기(나머지 변을 구할 때) → 제곱근 구하기’의 두 단계로 나머지 한 변을 구할 수 있습니다.

용어·기호 해설

기호

\(a\), \(b\)	에이, 비	직각삼각형에서 직각을 끼고 있는 두 변의 길이입니다. 어느 쪽을 a로 해도 계산 결과는 같습니다.
\(c\)	시	빗변의 길이입니다. 직각의 맞은편에 있는, 직각삼각형에서 가장 긴 변입니다.
\(a^2\)	에이 제곱	같은 수를 두 번 곱한 값(\(a^2 = a \times a\))입니다. 오른쪽 위의 작은 2는 ‘두 번 곱한다’는 뜻의 지수입니다(예: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)).
\(\sqrt{\phantom{x}}\)	루트(근호)	제곱근을 나타내는 기호입니다. \(\sqrt{25}\)는 ‘제곱하면 25가 되는 양수’로 5입니다. \(\sqrt{2}\)처럼 딱 떨어지지 않는 수가 되기도 합니다(약 1.414).
\(\alpha\), \(\beta\)	알파, 베타	각의 이름에 자주 쓰는 그리스 문자입니다. 이 페이지에서는 \(\alpha\)가 변 a와 마주 보는 각, \(\beta\)가 변 b와 마주 보는 각이고, \(\alpha + \beta = 90°\)입니다.
\(\arcsin\)	아크사인	삼각비 \(\sin\)(빗변에 대한 마주 보는 변의 비율)의 값으로 각도를 거꾸로 구하는 계산입니다. 이 계산기의 각도는 이것으로 구합니다. 공학용 계산기에서는 sin⁻¹로 표시됩니다.
\(h\)	에이치	빗변을 밑변으로 볼 때, 직각인 꼭짓점에서 빗변까지의 높이입니다. height(높이)의 첫 글자입니다.

용어

피타고라스 정리	직각삼각형의 세 변 사이에 \(a^2 + b^2 = c^2\)(c는 빗변)이 성립한다는 정리입니다. 고대 그리스의 수학자 피타고라스(기원전 6세기 무렵)의 이름을 땄습니다. 중학교 2학년 수학에서 배웁니다.
구고현의 정리	피타고라스 정리를 동아시아에서 예부터 부르던 이름입니다. 직각을 낀 짧은 변을 구, 긴 변을 고, 빗변을 현이라 하여 ‘구 3, 고 4, 현 5’로 알려져 있으며, 내용은 피타고라스 정리와 똑같습니다.
직각삼각형	세 각 가운데 하나가 정확히 90°(직각)인 삼각형입니다. 피타고라스 정리를 쓸 수 있는 것은 이 모양뿐입니다.
빗변	직각삼각형에서 직각의 맞은편에 있는 변입니다. 세 변 가운데 가장 긴 변이고, 피타고라스 정리에서는 반드시 이 변의 제곱이 등호의 한쪽에 홀로 옵니다.
제곱근	제곱하면 그 수가 되는 수입니다. 25의 제곱근(양수인 쪽)은 5, 2의 제곱근은 \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414\)입니다. 중학교 3학년에서 배웁니다.
피타고라스 수	피타고라스 정리를 정수만으로 만족하는 세 수의 쌍입니다. (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) 등이 유명하며, 계산 연습이나 현장에서 직각을 잡을 때 자주 등장합니다.
피타고라스 정리의 역	세 변이 \(a^2 + b^2 = c^2\)을 만족하는 삼각형은 직각삼각형이라는 정리입니다. 변의 길이를 재기만 해도 ‘직각인지 아닌지’를 확인할 수 있어 건축 현장 등에서 실제로 쓰입니다.

먼저 알아 두면 좋은 내용

이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.

제곱·거듭제곱(중학교 1학년, 12~13세)	\(3^2 = 3 \times 3 = 9\)처럼 ‘제곱’이 같은 수를 두 번 곱하는 것임을 아는 것 소수의 제곱(예: \(1.5^2 = 2.25\))도 계산할 수 있는 것
제곱근(중학교 3학년, 14~15세)	‘제곱하면 25가 되는 양수’를 \(\sqrt{25} = 5\)로 바꿔 말할 수 있는 것 \(\sqrt{2}\)처럼 제곱근이 딱 떨어지지 않는 수가 되는 경우가 있음을 아는 것
삼각형의 기초(초등학교 3~5학년, 8~11세)	직각(90°)이 어느 각인지 그림에서 찾을 수 있는 것 삼각형의 넓이를 ‘밑변 × 높이 ÷ 2’로 구할 수 있는 것
피타고라스 정리(중학교 2학년, 13~14세)	직각삼각형에서 ‘빗변’이 어느 변(직각의 맞은편, 가장 긴 변)인지 구별할 수 있는 것 \(a^2 + b^2 = c^2\)의 \(c\)가 반드시 빗변임을 의식할 수 있는 것

Excel로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

직각삼각형인지 확인하는 표

변 a(직각을 낀 변)	3
변 b(직각을 낀 변)	4
변 c(빗변)	5
a²+b²의 값	=B1^2+B2^2
c²의 값	=B3^2

빗변 c를 구하는 표

변 a(직각을 낀 변)	3
변 b(직각을 낀 변)	4
빗변 c	=SQRT(B1^2+B2^2)

나머지 변 b를 구하는 표

빗변 c	13
알고 있는 변 a	5
나머지 변 b	=SQRT(B1^2-B2^2)

빗변을 밑변으로 할 때의 높이 h를 구하는 표

변 a(직각을 낀 변)	3
변 b(직각을 낀 변)	4
빗변 c	5
높이 h	=B1*B2/B3

붙여 넣으면 위쪽 행이 입력란이 되고, 마지막 행의 수식이 자동 계산 결과가 됩니다.
‘^2’는 제곱, ‘SQRT(…)’는 제곱근(루트)을 구하는 Excel 함수입니다.
첫 번째 표에서는 a²+b²의 값(B4)과 c²의 값(B5)이 같으면 직각삼각형임을 알 수 있습니다(예의 3, 4, 5라면 둘 다 25).
두 번째 표에서는 B3에 빗변의 길이 5가 표시됩니다. 입력란의 수치를 내 변의 길이로 바꾸기만 하면 쓸 수 있습니다.

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

직각삼각형인지 확인하는 표

변 a(직각을 낀 변)	3
변 b(직각을 낀 변)	4
변 c(빗변)	5
a²+b²의 값	=B1^2+B2^2
c²의 값	=B3^2

빗변 c를 구하는 표

변 a(직각을 낀 변)	3
변 b(직각을 낀 변)	4
빗변 c	=SQRT(B1^2+B2^2)

나머지 변 b를 구하는 표

빗변 c	13
알고 있는 변 a	5
나머지 변 b	=SQRT(B1^2-B2^2)

빗변을 밑변으로 할 때의 높이 h를 구하는 표

변 a(직각을 낀 변)	3
변 b(직각을 낀 변)	4
빗변 c	5
높이 h	=B1*B2/B3

Excel과 같은 식(SQRT 함수·^2)을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력란의 수치를 내 변의 길이로 바꿔 보세요.

Python으로 계산하는 방법

import math

side_a = 3.0   # 직각을 낀 변 a
side_b = 4.0   # 직각을 낀 변 b

hypotenuse = math.sqrt(side_a ** 2 + side_b ** 2)   # 빗변 c(math.hypot(side_a, side_b)로도 같음)
area = side_a * side_b / 2                          # 넓이
perimeter = side_a + side_b + hypotenuse            # 둘레의 길이
height = side_a * side_b / hypotenuse               # 빗변을 밑변으로 할 때의 높이
angle_alpha = math.degrees(math.asin(side_a / hypotenuse))   # 변 a와 마주 보는 각(도)

print(f"빗변 c: {hypotenuse}")
print(f"넓이: {area}")
print(f"둘레의 길이: {perimeter}")
print(f"빗변을 밑변으로 할 때의 높이: {height}")
print(f"각 α: {angle_alpha}")

# 빗변 c와 한 변 a를 알고 나머지 변 b를 구할 때는
# side_b = math.sqrt(hypotenuse ** 2 - side_a ** 2)

표준 라이브러리의 math만으로 동작합니다. ‘**’가 제곱(거듭제곱), ‘math.sqrt’가 제곱근입니다. 맨 위의 두 변의 길이를 바꿔서 실행해 보세요.

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

피타고라스 정리(세 변의 관계식)

a² + b² = c²

a^2 + b^2 = c^2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>+</mo>
    <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

a^2 + b^2 = c^2

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2;

a^2 + b^2 == c^2

a^2 + b^2 = c^2

빗변 \(c\)를 구하는 공식

c = √(a² + b²)

c = \sqrt{a^2 + b^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

c = sqrt(a^2 + b^2)

Sqrt[a^2 + b^2]

c := sqrt(a^2 + b^2);

c = sqrt(a^2 + b^2);

c = √(a^2 + b^2)

직각을 낀 변(나머지 변)을 구하는 공식

b = √(c² − a²)

b = \sqrt{c^2 - a^2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>&#x2212;</mo>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

b = sqrt(c^2 - a^2)

Sqrt[c^2 - a^2]

b := sqrt(c^2 - a^2);

b = sqrt(c^2 - a^2);

b = √(c^2 - a^2)

빗변을 밑변으로 할 때의 높이

h = a × b ÷ c

h = \frac{ab}{c}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>h</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow>
      <mi>c</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

h = (a b)/c

a*b/c

h := a*b/c;

h = a*b/c;

h = ab/c

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

당신은 도형 계산 도우미입니다. 다음 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요).

직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이가 a = 3, b = 4입니다.
다음 값을 각각 구해 주세요.
1. 빗변 c의 길이(피타고라스 정리 c = √(a² + b²))
2. 각 α(변 a와 마주 보는 각)와 각 β(변 b와 마주 보는 각)를 도 단위로
3. 넓이와 둘레의 길이
4. 빗변을 밑변으로 할 때의 높이 h = ab ÷ c

사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.