두 식 ①, ②의 계수와 우변의 수를 입력해 주세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어서 숫자 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다.
소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. x, y의 계수가 빈칸이면 1(x는 1x라는 뜻), 우변이 빈칸이면 0으로 처리합니다. 쓰지 않는 항에는 0을 입력해 주세요.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 두 식의 계수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 풀이 과정과 그래프가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 연립방정식 \(ax + by = c,\ dx + ey = f\)를 계수와 우변의 수만 넣으면 바로 풀 수 있습니다. 계산기에는 손으로 쓸 때와 같은 모양의 연립방정식이 표시되며, 숫자 부분을 직접 고쳐서 계산할 수도 있습니다
- 풀이 방법은 가감법(계수를 맞춰 변끼리 더하거나 빼기)과 대입법(\(y = \)의 꼴로 만들어 대입하기) 중에서 고를 수 있고, 중학교 2학년 교과서와 같은 흐름의 풀이 과정이 표시됩니다
- 계수에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다(분수·소수인 계수는 ‘양변을 몇 배 해서 정수로 고치는’ 단계부터 풀이 과정을 보여 줍니다)
- 해가 딱 한 쌍으로 정해지는 경우뿐 아니라 해가 없는 경우(두 직선이 평행), 해가 무수히 많은 경우(같은 직선)도 이유와 함께 판정합니다. 답은 약분한 분수(정확한 값)로 보여 주고, 분수일 때는 소수도 함께 씁니다. 두 직선의 그래프(교점 = 해)와 두 식에 대입하는 검산도 볼 수 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용으로 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
대상은 미지수가 2개(x, y)인 일차방정식 두 개를 한 쌍으로 묶은 ‘연립일차방정식’입니다. 미지수가 3개 이상인 연립방정식이나 제곱항이 있는 연립방정식은 지원하지 않습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
두 종류 상품의 단가 구하기(장보기·경리)
‘사과 1개와 귤 1개에 3,000원, 사과 2개와 귤 1개에 4,800원’처럼 합계 금액만 적힌 영수증이 2장 있으면, 사과를 \(x\)원, 귤을 \(y\)원으로 놓고 \(x + y = 3000\), \(2x + y = 4800\)이라는 연립방정식을 세워 사과 1,800원, 귤 1,200원으로 단가를 알아낼 수 있습니다.
‘하나하나의 값은 적혀 있지 않지만 묶음의 합계는 안다’는 상황은 경리의 내역 계산이나 견적 나누기에서도 자주 나오는, 연립방정식의 가장 대표적인 쓰임입니다.
요금제가 역전되는 지점 구하기(휴대폰·전기·구독)
기본료 15,000원 + 1 GB당 5,000원인 요금제 A와 기본료 30,000원 + 1 GB당 2,000원인 요금제 B는 월 요금을 \(y\)원, 데이터양을 \(x\) GB로 하면 \(y = 5000x + 15000\), \(y = 2000x + 30000\)이라는 두 식이 되고, 연립해서 풀면 \(x = 5\)(GB)에서 월 요금이 똑같이 40,000원이 된다는 것을 알 수 있습니다.
즉 ‘5 GB보다 많이 쓰면 요금제 B가 이득’입니다. 두 직선의 교점, 곧 역전되는 지점을 구하는 계산은 전기 요금이나 구독 서비스를 비교할 때도 똑같이 쓸 수 있습니다(요금이 사용량에 비례해서 늘어나는 요금제를 가정한 계산입니다).
걸은 거리와 달린 거리 구하기(통학·출퇴근)
집에서 역까지 1,500 m입니다. 분속 60 m로 걷다가 도중부터 분속 150 m로 달려서 15분 만에 도착했다면, 걸은 거리를 \(x\) m, 달린 거리를 \(y\) m로 놓고 거리의 식 \(x + y = 1500\)과 시간의 식 \(\dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 15\)를 세울 수 있습니다. 풀면 걸은 거리 500 m, 달린 거리 1,000 m입니다.
‘합계’와 ‘나누는 방법에 따라 정해지는 또 하나의 양(시간·비용 등)’이라는 두 조건이 갖춰지면 연립방정식이 된다는 유형은 속력 문제뿐 아니라 널리 쓸 수 있습니다.
농도가 다른 액체를 섞는 배합 계산(요리·제조·농업)
농도 5%인 소금물과 10%인 소금물을 섞어서 8%인 소금물 300 g을 만들고 싶을 때, 5%인 쪽을 \(x\) g, 10%인 쪽을 \(y\) g으로 놓으면 전체 양의 식 \(x + y = 300\)과 소금의 양의 식 \(0.05x + 0.1y = 24\)(300 g의 8% = 24 g)를 세울 수 있고, 풀면 5%인 쪽 120 g, 10%인 쪽 180 g입니다.
소독액이나 비료의 희석, 금속의 합금처럼 ‘두 재료를 섞어서 목표 농도로 맞추는’ 상황에서 널리 쓰이는 계산입니다.
손익분기점 구하기(가게·비즈니스)
1개에 8,000원에 파는 상품의 재료비가 1개에 5,000원, 월 임대료 등의 고정비가 90만 원이라면, 월 판매 수를 \(x\)개, 금액을 \(y\)원으로 놓고 매출의 식 \(y = 8000x\)와 비용의 식 \(y = 5000x + 900000\)의 교점을 구하면 \(x = 300\)개, \(y = 240\)만 원입니다. 한 달에 300개가 흑자와 적자의 갈림길(손익분기점)이라는 것을 알 수 있습니다.
사업 계획이나 가격을 정할 때 가장 먼저 확인하는 숫자 중 하나로, 그 내용은 연립방정식 그 자체입니다(판매 가격과 원가가 수량에 관계없이 일정하다는 전제의 계산입니다).
공식과 그래프
연립일차방정식과 그 해
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(ax + by\)
\(=\)
\(c\)
\(dx + ey\)
\(=\)
\(f\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
①의 좌변(\(x\)항과 \(y\)항의 합)
\(=\)
②
①의 우변의 상수 \(c\)
③
②의 좌변(\(x\)항과 \(y\)항의 합)
\(=\)
④
②의 우변의 상수 \(f\)
공식을 말로 읽으면
①
①의 좌변(\(x\)항과 \(y\)항의 합)
이
②
①의 우변의 상수(\(c\))
와 같다는 식과,
③
②의 좌변(\(x\)항과 \(y\)항의 합)
이
④
②의 우변의 상수(\(f\))
와 같다는 식, 이 두 식을 동시에 성립시키는 \(x,\ y\)의 쌍을 ‘해’라고 합니다
간단한 예
① \(x + y = 5\), ② \(2x - y = 1\)일 때, 두 식을 동시에 성립시키는 쌍은 \(x = 2,\ y = 3\)의 한 쌍뿐입니다
①의 좌변 \(x + y\)
\(=\)
①의 우변 \(5\)
②의 좌변 \(2x - y\)
\(=\)
②의 우변 \(1\)
\(x = 2,\ y = 3\)
\(2 + 3 = 5\)
\(2 \times 2 - 3 = 1\)
이해의 핵심
식 \(x + y = 5\) 하나만이라면 성립시키는 쌍은 \((1,\ 4)\), \((2,\ 3)\), \((0.5,\ 4.5)\), …처럼 무수히 많습니다. 다른 식 하나도 동시에 성립시킨다는 조건을 겹치면 답이 한 쌍으로 좁혀집니다.
그래프로 생각하면 식 하나를 성립시키는 점들의 모임은 직선 하나이고, 연립방정식의 해는 ‘두 직선이 만나는 점(교점)’의 좌표입니다. 그래서 두 직선이 평행하면 해가 없고, 두 직선이 완전히 겹치면 해가 무수히 많습니다.
가감법(계수를 맞춰 변끼리 빼기)
수학 표기
(일반적인 수식)
\((ax + by)\)
\(-\)
\((ax + ey)\)
\(=\)
\(c - f\)
\((b - e)y\)
\(=\)
\(c - f\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
①의 좌변
\(-\)
②
②의 좌변(\(x\)의 계수를 ①과 맞춘 것)
\(=\)
③
우변끼리의 차 \(c - f\)
④
\(x\)가 사라지고 \(y\)만 남은 식
\(=\)
우변끼리의 차 \(c - f\)
공식을 말로 읽으면
①
두 식의 \(x\)의 계수를 맞춰 두고,
①의 좌변
에서
②
\(x\)의 계수를 ①과 맞춘 ②의 좌변
을 뺍니다(우변끼리도 똑같이 뺍니다)
③
우변은
우변끼리의 차(\(c - f\))
가 되고,
④
좌변은 \(ax\)끼리 지워져서
\(x\)가 사라지고 \(y\)만 남은 식
이 남습니다. 그다음 양변을 \(y\)의 계수로 나누면 \(y\)를 구할 수 있습니다
간단한 예
① \(x + y = 5\), ② \(2x - y = 1\)에서 \(y\)를 소거합니다. \(y\)의 계수가 \(+1\)과 \(-1\)(절댓값이 같고 부호가 반대)이므로 다시 맞추지 않고 그대로 변끼리 더할 수 있습니다
①의 좌변 \(x + y\)
\(+\)
②의 좌변 \(2x - y\)
\(=\)
우변끼리의 합 \(5 + 1\)
\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
이해의 핵심
뺄지 더할지는 ‘맞춘 계수의 부호’로 정합니다. 맞춘 계수의 부호가 같으면(\(+2\)와 \(+2\) 등) 변끼리 빼고, 부호가 다르면(\(+2\)와 \(-2\) 등) 변끼리 더하면 그 미지수가 사라집니다.
계수가 맞지 않을 때는 식의 양변을 몇 배 해서 맞춥니다. 예를 들어 \(x\)의 계수가 2와 3이라면 최소공배수인 6에 맞추기 위해 ① × 3, ② × 2를 합니다. ‘양변에 같은 수를 곱한다’, ‘좌변끼리, 우변끼리 더하거나 뺀다’는 둘 다 등식의 성질(양변에 같은 조작을 해도 같은 상태가 유지됨)에 바탕을 둔 변형이므로 답은 달라지지 않습니다.
\(x\)와 \(y\) 중 어느 쪽을 소거해도 됩니다. 계수를 맞추는 수고가 적은 쪽을 소거하는 것이 요령입니다.
대입법(\(y = \)의 꼴로 만들어 대입하기)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(y\)
\(=\)
\(px + q\)
\(dx + e(px + q)\)
\(=\)
\(f\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
①을 변형해서 구한 \(y\)
\(=\)
②
\(x\)만의 식 \(px + q\)
③
\(y\)에 \(px + q\)를 대입해서 \(x\)만 남은 ②의 좌변
\(=\)
④
②의 우변의 상수 \(f\)
공식을 말로 읽으면
①
①을 이항과 나눗셈으로 변형해서
①을 변형해서 구한 \(y\)
를
②
\(x\)만의 식(\(px + q\))
의 꼴로 나타내 두고,
③
그것을 ②의 \(y\) 자리에 바꿔 넣으면(대입하면) ②의 좌변은
\(x\)만 남은 ②의 좌변
으로 바뀝니다
④
그다음 그것이
②의 우변의 상수(\(f\))
와 같다는 ‘\(x\)만의 일차방정식’을 풀면 \(x\)를 구할 수 있고, \(y\)는 \(px + q\)에 \(x\)를 대입하면 구할 수 있습니다
간단한 예
① \(x + y = 5\), ② \(2x - y = 1\)에서 ①을 \(y\)에 대하여 풀면 \(y = 5 - x\)가 되므로, 이것을 ②의 \(y\)에 대입합니다
②의 \(y\)에 \(5 - x\)를 대입한 좌변 \(2x - (5 - x)\)
\(=\)
②의 우변 \(1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(3x - 5 = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
이해의 핵심
어느 식을 어느 미지수에 대하여 풀지는 자유입니다. 계수가 1이나 \(-1\)인 미지수를 고르면 변형할 때 분수가 잘 나오지 않아 계산이 편해집니다(이 계산기도 같은 기준으로 고릅니다).
대입할 때는 식 전체를 괄호로 묶어서 바꿔 넣는 것이 요점입니다. \(2x - (5 - x)\)의 괄호를 풀 때 부호를 틀리는 것이 대입법에서 가장 흔한 실수입니다.
가감법과 대입법은 둘 다 ‘미지수 하나를 소거해서 미지수가 하나인 방정식으로 만든다’는 같은 방침의 다른 경로이므로 답은 반드시 같습니다. \(y = 2x + 1\)처럼 처음부터 \(y = \)의 꼴인 식이 있는 문제에는 대입법이 알맞습니다.
해를 한 번에 구하는 공식과, 해가 없는 경우·해가 무수히 많은 경우의 판정
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(x\)
\(=\)
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
\(y\)
\(=\)
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
해 \(x\)
\(=\)
①
계수를 엇갈리게 곱해서 뺀 분수 \(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
④
해 \(y\)
\(=\)
③
계수를 엇갈리게 곱해서 뺀 분수 \(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
공식을 말로 읽으면
①
분모는 \(a\)와 \(e\), \(b\)와 \(d\)를, 분자는 \(c\)와 \(e\), \(b\)와 \(f\)를 엇갈리게 곱해서 뺀
계수로 만든 분수(\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\))
를 계산하면
②
해(\(x\))
가 되고,
③
같은 분모 그대로 분자만 \(af - cd\)로 바꾼
계수로 만든 분수(\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\))
를 계산하면
④
해(\(y\))
가 됩니다
간단한 예
① \(x + y = 5\), ② \(2x - y = 1\)(\(a = 1,\ b = 1,\ c = 5,\ d = 2,\ e = -1,\ f = 1\))이라면
해 \(x\)
\(=\)
계수로 만든 분수 \(\dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{1 \times (-1) - 1 \times 2}\)
\(ae - bd = 1 \times (-1) - 1 \times 2 = -3\)
\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd} = \dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd} = \dfrac{1 \times 1 - 5 \times 2}{-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3\)
이해의 핵심
분모 \(ae - bd\)가 0이 아니면 해는 딱 한 쌍으로 정해집니다. 이 공식은 크라메르 공식이라고 하며, 가감법으로 미지수를 소거한 결과를 계수의 문자 그대로 정리한 것입니다.
분모가 \(ae - bd = 0\)일 때는 나눗셈을 할 수 없어서 해가 한 쌍으로 정해지지 않습니다. 이것은 두 식의 좌변이 비례하는(= 두 직선의 기울기가 같은) 상태로, 우변까지 같은 비라면 같은 직선(해가 무수히 많음), 우변의 비만 어긋나면 평행(해가 없음)입니다. 식으로 쓰면 분자 \(ce - bf\)와 \(af - cd\)도 모두 0이면 해가 무수히 많고, 그렇지 않으면 해가 없습니다.
검산하거나 스프레드시트로 많은 연립방정식을 한꺼번에 풀 때 편리한 공식이지만, 중학교 시험의 답안에서는 가감법·대입법의 풀이 과정을 쓰는 것이 기본입니다.
연립방정식을 푸는 기본 방침은 ‘미지수 하나를 소거해서 미지수가 하나인 방정식으로 만드는’ 것입니다. 가감법은 계수를 맞춰 변끼리 더하거나 빼서 소거하고, 대입법은 \(y = \)의 꼴로 만들어 대입해서 소거합니다. 어느 쪽이든 답은 같습니다. 해가 한 쌍으로 정해지지 않을 때는 두 직선이 평행하거나(해가 없음), 같은 직선이거나(해가 무수히 많음) 둘 중 하나입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(x,\ y\) | 엑스, 와이 | 구하려는 두 수(미지수)를 나타내는 문자입니다. 방정식에서는 ‘아직 모르는 수’에 알파벳의 끝쪽 글자 \(x,\ y,\ z\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) | 에이, 비, 시, 디, 이, 에프 | 계수와 우변의 상수(알고 있는 수)를 일반적으로 나타내는 문자입니다. ‘정해진 수’에는 알파벳의 앞쪽 글자를 쓰는 관례가 있습니다. 이 페이지에서는 ①을 \(ax + by = c\), ②를 \(dx + ey = f\)로 쓰고 있습니다. |
| ①, ② | 식 일, 식 이 | 식에 붙이는 번호입니다. ‘① × 2’, ‘① + ②’처럼 어느 식에 어떤 조작을 했는지 짧게 쓰기 위해 씁니다. 교과서와 답안에서도 쓰는 표기입니다. |
| \(\{\) | 중괄호 | 연립방정식의 왼쪽에 붙이는 큰 괄호입니다. ‘이 두 식을 동시에 성립시킨다’는 뜻의 표시로, 두 식이 한 쌍이라는 것을 나타냅니다. |
| \(ae - bd\) | 에이 이 빼기 비 디 | 해를 한 번에 구하는 공식의 분모에 나오는, 계수를 엇갈리게 곱해서 뺀 값입니다. 0인지 아닌지에 따라 ‘해가 한 쌍으로 정해지는지’가 나뉩니다. 행렬의 말로 하면 계수를 늘어놓은 행렬의 행렬식에 해당합니다. |
| \((x,\ y)\) | 엑스, 와이의 쌍 | 두 값을 한 쌍으로 쓰는 표기입니다. 연립방정식의 해는 \(x\)와 \(y\)의 쌍이므로 \((2,\ 3)\)처럼 쌍으로 씁니다. 그래프에서 점의 좌표를 쓰는 방법과 같습니다. |
용어
| 연립방정식 | 2개 이상의 방정식을 한 쌍으로 묶어서 모든 식을 동시에 성립시키는 미지수의 값을 구하는 문제입니다. 중학교 2학년에서 배웁니다. |
| 미지수가 2개인 일차방정식 | 미지수가 2개이고 모든 항이 일차(제곱이나 미지수끼리의 곱이 없음)인 방정식입니다. \(x + y = 5\)는 미지수가 2개인 일차방정식이며, 그래프는 직선이 됩니다. |
| 해 | 방정식을 성립시키는 미지수의 값입니다. 연립방정식에서는 \(x\)와 \(y\)의 값의 쌍이 해이며, 그래프에서는 두 직선의 교점의 좌표에 해당합니다. |
| 가감법 | 두 식의 계수를 맞추고 좌변끼리, 우변끼리 더하거나 빼서 미지수 하나를 소거해 푸는 방법입니다. 이름은 ‘가(더하기)’와 ‘감(빼기)’에서 왔습니다. |
| 변끼리 | 두 등식의 ‘좌변끼리’, ‘우변끼리’를 한꺼번에 가리키는 말입니다. ‘변끼리 더한다’는 좌변끼리 더한 것과 우변끼리 더한 것을 ‘=’로 이어 새로운 등식을 만드는 것입니다(변끼리 빼는 것도 마찬가지입니다). |
| 대입법 | 한 식을 ‘\(y = \)(\(x\)의 식)’의 꼴로 변형하고, 그것을 다른 식의 \(y\)에 대입해서 미지수 하나를 소거해 푸는 방법입니다. |
| 대입 | 문자 자리에 값이나 식을 바꿔 넣는 것입니다. \(y = 5 - x\)를 \(2x - y = 1\)에 대입하면 \(2x - (5 - x) = 1\)이 됩니다. |
| 소거 | 두 미지수 중 하나를 식에서 없애서 미지수가 하나뿐인 방정식으로 만드는 것입니다. 가감법과 대입법은 둘 다 소거를 위한 방법입니다. |
| 이항 | 등식의 항을 부호를 바꿔 반대쪽 변으로 옮기는 것입니다. \(x + 3 = 7\)의 \(3\)을 이항하면 \(x = 7 - 3\)이 됩니다. ‘양변에서 같은 수를 뺀다’는 조작을 줄인 것입니다. |
| 계수 | 문자 앞에 붙어 있는 수입니다. \(2x\)의 2가 계수입니다. \(x\)처럼 수가 쓰여 있지 않은 항의 계수는 1, \(-y\)의 계수는 \(-1\)로 봅니다. |
| 등식의 성질 | 등식의 양변에 같은 수를 더해도, 빼도, 곱해도, (0이 아닌 수로) 나누어도 등식은 그대로 성립한다는 성질입니다. 양팔 저울의 양쪽에 같은 무게를 올려도 균형이 유지되는 것에 비유됩니다. 가감법·대입법의 변형은 모두 이 성질에 근거합니다. |
| 최소공배수 | 두 수에 공통인 배수 중 가장 작은 수입니다. 가감법에서 계수를 맞출 때 목표로 하는 수로 씁니다(계수가 2와 3이라면 6에 맞춥니다). |
| 평행 | 두 직선이 아무리 늘여도 만나지 않는 것입니다. 연립방정식에서는 두 식의 그래프가 평행하면 교점이 없으므로 ‘해가 없음’이 됩니다. |
| 해가 무수히 많다 | 해가 한 쌍으로 정해지지 않고 무수히 많은 것입니다. 두 식이 같은 직선을 나타내는 경우로, 직선 위의 모든 점이 해가 됩니다. |
| 교점 | 두 그래프가 만나는 점입니다. 연립방정식의 해는 두 식의 그래프(두 직선)의 교점의 좌표와 일치합니다. |
| 검산 | 구한 해를 원래의 두 식에 대입해서 좌변과 우변이 정말 같아지는지 확인하는 것입니다. 연립방정식은 대입하기만 하면 확인할 수 있으므로, 검산하는 습관을 들이면 계산 실수를 스스로 알아차릴 수 있습니다. |
| 크라메르 공식 | 계수에서 바로 해를 계산하는 공식으로, \(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd},\ y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}\)로 쓸 수 있습니다. 스위스의 수학자 크라메르(Cramer, 크래머)의 이름에서 왔습니다. 대학의 선형대수에서 행렬과 함께 배우는 내용이지만, 미지수가 2개인 경우라면 중학교 범위의 계산만으로 확인할 수 있습니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 문자와 식(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 정수와 유리수의 계산(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 등식의 성질과 일차방정식(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 좌표와 그래프(중학교 1~2학년, 12~14세) |
|
| 분수의 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
연립방정식의 해를 구하는 표
| ①의 x의 계수 a | 1 |
| ①의 y의 계수 b | 1 |
| ①의 우변 c | 5 |
| ②의 x의 계수 d | 2 |
| ②의 y의 계수 e | -1 |
| ②의 우변 f | 1 |
| 분모 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 해 x((ce−bf) ÷ (ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| 해 y((af−cd) ÷ (ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
해가 없는 경우·해가 무수히 많은 경우를 판정하는 표
| ①의 x의 계수 a | 1 |
| ①의 y의 계수 b | 1 |
| ①의 우변 c | 3 |
| ②의 x의 계수 d | 2 |
| ②의 y의 계수 e | 2 |
| ②의 우변 f | 6 |
| 분모 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 분자 ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| 분자 af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| 판정 | =IF(B7<>0,"해가 한 쌍으로 정해짐",IF(AND(B8=0,B9=0),"해가 무수히 많음","해가 없음(평행)")) |
검산(두 식에 대입)을 하는 표
| ①의 x의 계수 a | 1 |
| ①의 y의 계수 b | 1 |
| ①의 우변 c | 5 |
| ②의 x의 계수 d | 2 |
| ②의 y의 계수 e | -1 |
| ②의 우변 f | 1 |
| 해 x | 2 |
| 해 y | 3 |
| ①의 좌변 ax+by(c와 일치하면 맞음) | =B1*B7+B2*B8 |
| ②의 좌변 dx+ey(f와 일치하면 맞음) | =B4*B7+B5*B8 |
붙여 넣으면 위쪽 행(계수와 우변)이 입력란이 되고, 아래쪽 행이 자동 계산 결과가 됩니다.
첫 번째 표는 x + y = 5, 2x − y = 1을 푸는 예로, 분모 ae−bd는 −3, 해는 x = 2, y = 3이 됩니다. 분모가 0일 때는 나눗셈이 오류(#DIV/0!)가 되는데, 그것이 ‘해가 한 쌍으로 정해지지 않는다’는 신호입니다.
두 번째 표는 x + y = 3, 2x + 2y = 6의 예로, 판정은 ‘해가 무수히 많음’이 됩니다. ②의 우변 f를 10으로 바꾸면 ‘해가 없음(평행)’으로 바뀝니다.
세 번째 표는 해를 두 식에 대입하는 검산으로, ①의 좌변은 5, ②의 좌변은 1이 되어 각각의 우변과 일치합니다.
첫 번째 표는 x + y = 5, 2x − y = 1을 푸는 예로, 분모 ae−bd는 −3, 해는 x = 2, y = 3이 됩니다. 분모가 0일 때는 나눗셈이 오류(#DIV/0!)가 되는데, 그것이 ‘해가 한 쌍으로 정해지지 않는다’는 신호입니다.
두 번째 표는 x + y = 3, 2x + 2y = 6의 예로, 판정은 ‘해가 무수히 많음’이 됩니다. ②의 우변 f를 10으로 바꾸면 ‘해가 없음(평행)’으로 바뀝니다.
세 번째 표는 해를 두 식에 대입하는 검산으로, ①의 좌변은 5, ②의 좌변은 1이 되어 각각의 우변과 일치합니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
연립방정식의 해를 구하는 표
| ①의 x의 계수 a | 1 |
| ①의 y의 계수 b | 1 |
| ①의 우변 c | 5 |
| ②의 x의 계수 d | 2 |
| ②의 y의 계수 e | -1 |
| ②의 우변 f | 1 |
| 분모 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 해 x((ce−bf) ÷ (ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| 해 y((af−cd) ÷ (ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
해가 없는 경우·해가 무수히 많은 경우를 판정하는 표
| ①의 x의 계수 a | 1 |
| ①의 y의 계수 b | 1 |
| ①의 우변 c | 3 |
| ②의 x의 계수 d | 2 |
| ②의 y의 계수 e | 2 |
| ②의 우변 f | 6 |
| 분모 ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| 분자 ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| 분자 af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| 판정 | =IF(B7<>0,"해가 한 쌍으로 정해짐",IF(AND(B8=0,B9=0),"해가 무수히 많음","해가 없음(평행)")) |
검산(두 식에 대입)을 하는 표
| ①의 x의 계수 a | 1 |
| ①의 y의 계수 b | 1 |
| ①의 우변 c | 5 |
| ②의 x의 계수 d | 2 |
| ②의 y의 계수 e | -1 |
| ②의 우변 f | 1 |
| 해 x | 2 |
| 해 y | 3 |
| ①의 좌변 ax+by(c와 일치하면 맞음) | =B1*B7+B2*B8 |
| ②의 좌변 dx+ey(f와 일치하면 맞음) | =B4*B7+B5*B8 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표 전체를 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 계수와 우변을 내 수로 바꿔 주세요.
Python으로 계산하는 방법
from fractions import Fraction
# ①: a1*x + b1*y = c1
# ②: a2*x + b2*y = c2 (3/4 같은 분수는 Fraction(3, 4)로 씁니다)
a1, b1, c1 = Fraction(1), Fraction(1), Fraction(5)
a2, b2, c2 = Fraction(2), Fraction(-1), Fraction(1)
denominator = a1 * b2 - a2 * b1 # 공식의 분모 ae − bd
if denominator != 0:
x = (c1 * b2 - c2 * b1) / denominator
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / denominator
print(f"해: x = {x}, y = {y}")
print(f"소수로 나타내면: x = {float(x)}, y = {float(y)}")
elif c1 * b2 - c2 * b1 == 0 and a1 * c2 - a2 * c1 == 0:
print("해가 무수히 많음(두 식은 같은 직선을 나타냅니다)")
else:
print("해가 없음(두 직선은 평행하여 교점이 없습니다)")
표준 라이브러리의 fractions 모듈을 쓰면 소수의 반올림 오차 없이 정확한 분수 그대로 계산할 수 있습니다. 이 예는 x + y = 5, 2x − y = 1을 푸는 것으로, 실행하면 ‘해: x = 2, y = 3’이 표시됩니다. 계수와 우변을 바꿔서 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
연립일차방정식과 그 해
ax + by = c, dx + ey = f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>c</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
{(ax + by = c),(dx + ey = f):}
Solve[{a*x + b*y == c, d*x + e*y == f}, {x, y}]
solve({a*x + b*y = c, d*x + e*y = f}, {x, y});
S = solve(a*x + b*y == c, d*x + e*y == f, [x, y])
ax + by = c, dx + ey = f
가감법(계수를 맞춰 변끼리 빼기)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mo>−</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
Simplify[(a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f]
(a*x + b*y) - (a*x + e*y) = c - f;
simplify((a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
대입법(\(y = \)의 꼴로 만들어 대입하기)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
y = px + q,\quad dx + e(px + q) = f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Solve[{y == p*x + q, d*x + e*y == f}, {x, y}]
subs(y = p*x + q, d*x + e*y = f);
subs(d*x + e*y == f, y, p*x + q)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
해를 한 번에 구하는 공식과, 해가 없는 경우·해가 무수히 많은 경우의 판정
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
x = \frac{ce - bf}{ae - bd},\quad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>f</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (ce - bf)/(ae - bd), y = (af - cd)/(ae - bd)
{x, y} = {(c*e - b*f)/(a*e - b*d), (a*f - c*d)/(a*e - b*d)}
x := (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y := (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(연립방정식) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 실제로 Python 코드를 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 연립방정식 x + y = 5, 2x − y = 1을 풀어 주세요. 다음 내용을 각각 보여 주세요. 1. 해 x, y(분수가 되면 약분한 분수와 소수 두 가지로) 2. 가감법(한 미지수의 계수를 맞춰 변끼리 더하거나 빼는 방법)의 풀이 과정 3. 구한 해를 두 식에 대입하는 검산 Python에서는 표준 라이브러리의 fractions 모듈로 정확하게 계산하고, 계산에 쓴 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요. 해가 없거나 무수히 많을 때는 그 이유도 설명해 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
회원가입 불필요
접속 즉시 바로 사용 가능
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
개인정보를 등록하지 않고도 이용할 수 있습니다
안전하고 안심
통신을 강력하게 암호화
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
"다운로드"를 누르면 파일이 자동으로 삭제됩니다
빠른 속도
기다림 없는 쾌적한 표시 속도와 변환 속도
워터마크 없음
워터마크 없음
출처 표기 불필요
출처 표기 불필요
상업적 이용 가능
무료로 상업적 이용 가능
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
일차부정방정식 ax+by=c 정수해 계산기(호제법 풀이 과정)
같은 ax+by=c의 꼴이라도 ‘정수인 해만’ 찾는 방정식입니다. 호제법으로 정수해를 구하는 방법은 여기에서 확인하세요
이차방정식 근의 공식 계산기(판별식·허근)
중학교 3학년에서 배우는 이차방정식은 여기에서 하세요. 근의 공식과 판별식의 풀이 과정과 함께 풉니다
