구하고 싶은 세는 법을 고르고, 종류의 수 n과 뽑는 개수 r(문자열을 다시 나열할 때는 문자열)을 입력하세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어서 숫자 부분을 직접 고쳐 써도 계산할 수 있습니다.
n, r은 정수로 입력하세요(n은 1~1000, r은 0~1000). 답이 수십 자리가 되어도 모든 자리를 정확하게 표시합니다. 문자열을 다시 나열할 때는 30글자까지 입력할 수 있으며, 공백은 무시하고 대문자와 소문자는 다른 문자로 셉니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에서 구하고 싶은 세는 법을 고르고 종류의 수와 개수(또는 문자열)를 넣은 뒤 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 그림이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- \(n\)종류에서 같은 것을 몇 번이든 뽑아도 된다고 하고 \(r\)개를 나열하는 중복순열 \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)을 계산할 수 있습니다(예: 0~9의 10가지 숫자로 만드는 4자리 비밀번호)
- 같은 것을 몇 번이든 뽑아도 된다고 하고 \(r\)개를 뽑는 중복조합 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)을 계산할 수 있습니다(예: 3종류의 주스 중에서 5병 사기)
- TOMATO처럼 같은 문자가 섞인 문자열을 다시 나열하는 방법의 수(같은 것이 있는 순열)도 문자열만 넣으면 계산할 수 있습니다(30글자까지)
- \(n^{r}\), \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\), \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) 중 무엇을 써야 할지 헷갈릴 때를 위해 ‘나열하나? 뽑기만 하나?’, ‘같은 것을 여러 번 뽑아도 되나?’로 정하는 판단 그림을 실었습니다
- 답이 수십 자리가 되어도 반올림하지 않고 모든 자리를 표시하며, 자릿수가 많을 때는 \(1.2345 \times 10^{18}\) 꼴의 어림값도 함께 보여 줍니다
- 동그라미와 칸막이를 이용한 중복조합의 그림 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없는(중복 없는) 순열 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)과 조합 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)만 구하고 싶을 때는 순열·조합 계산기 페이지를 이용하세요.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
비밀번호가 얼마나 뚫리기 어려운지 숫자로 알아보기(보안)
0~9의 10가지 숫자로 같은 숫자를 몇 번 써도 되는 4자리 비밀번호를 만들면 \(10^{4} = 10{,}000\)가지입니다. 한 자리 늘 때마다 10배가 되어 6자리면 100만 가지가 됩니다.
영어 대문자, 소문자, 숫자의 62종류를 쓸 수 있는 비밀번호라면 8글자로 \(62^{8} = 218{,}340{,}105{,}584{,}896\)가지(약 218조 가지)입니다. ‘문자의 종류를 늘리는 것’과 ‘글자 수를 늘리는 것’이 각각 얼마나 효과가 있는지 중복순열의 공식으로 비교할 수 있습니다.
디지털 데이터의 표현력(컴퓨터)
컴퓨터는 0과 1의 2종류만으로 정보를 나타냅니다. 이것을 8개 나열한 1바이트로 나타낼 수 있는 것은 \(2^{8} = 256\)가지이며, ‘1바이트는 256단계’라고 하는 이유가 바로 이것입니다.
사진의 색을 빨강, 초록, 파랑 각각 8비트로 나타내는 풀 컬러는 \(2^{24} = 16{,}777{,}216\)가지, 약 1677만 색이 됩니다. 화면의 색 수, 음질의 비트 수, IP 주소의 개수 등 디지털 기기의 ‘몇 가지를 나타낼 수 있는가’는 모두 중복순열로 계산합니다.
유전 암호가 왜 3글자 단위인가(생명과학)
DNA는 A, T, G, C의 4종류의 염기로 이루어져 있고, 3개가 나란히 놓인 묶음(코돈)이 몸을 만드는 아미노산 1개를 나타냅니다. 같은 염기가 반복되어도 되므로 코돈의 종류는 \(4^{3} = 64\)가지입니다.
몸에서 쓰이는 아미노산은 20종류이므로, 2개씩이라면 \(4^{2} = 16\)가지밖에 되지 않아 부족합니다. 3개씩이면 생명 활동에 충분하다는 것을 중복순열로 확인할 수 있습니다.
선물 세트·발주의 경우의 수(소매·외식)
5종류의 도넛 중에서 같은 종류를 몇 개 골라도 된다고 하고 10개들이 상자를 만드는 방법은, 순서를 따지지 않는 중복조합으로 \({}_{5}\mathrm{H}_{10} = {}_{14}\mathrm{C}_{10} = 1{,}001\)가지입니다.
‘어느 상품을 몇 개’라는 발주나 재고의 구성을 세는 것도 같은 꼴의 계산으로, 상품을 하나 늘리면 관리해야 할 경우가 얼마나 늘어나는지를 느낌이 아니라 숫자로 어림할 수 있습니다.
최단 경로의 수 세기(물류·회로 설계)
바둑판 모양의 길에서 오른쪽으로 3칸, 위로 2칸 가는 최단 경로의 수는 ‘오른쪽, 오른쪽, 오른쪽, 위, 위’라는 5개를 다시 나열하는 방법의 수와 같으므로 \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\)가지입니다. 같은 것이 있는 순열을 그대로 쓸 수 있습니다.
배송 경로의 후보 수나 회로 기판의 배선 패턴 수를 어림하는 데 바탕이 되는 계산으로, 격자가 커지면 선택지가 얼마나 폭발적으로 늘어나는지를 숫자로 보여 줍니다.
공식과 그림
중복순열 \({}_{n}\Pi_{r}\)(중복을 허락하여 \(r\)개 나열하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
\(n\)
\(r\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
중복을 허락하여 \(r\)개 나열하는 방법의 수 \({}_{n}\Pi_{r}\)
\(=\)
①
한 자리에 놓을 수 있는 종류의 수 \(n\)
②
나열하는 개수 \(r\)
공식을 말로 읽으면
①
한 자리에 놓을 수 있는 종류의 수(\(n\))
를
②
나열하는 개수(\(r\))
만큼 거듭해서 곱하면
③
중복을 허락하여 \(r\)개 나열하는 방법의 수(\({}_{n}\Pi_{r}\))
가 됩니다
간단한 예
0~9의 10가지 숫자를 써서 4자리 비밀번호를 만드는 방법의 수는
4자리 비밀번호를 만드는 방법의 수
\(=\)
한 자리에 쓸 수 있는 숫자(10가지)
자릿수(4자리)
\({}_{10}\Pi_{4} = 10^{4} = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10000\)
이해의 핵심
같은 것을 몇 번 뽑아도 되므로, 두 번째 자리에서도 세 번째 자리에서도 고를 수 있는 종류는 \(n\)가지 그대로이고 줄어들지 않습니다. 그래서 매번 \(n\)을 곱하게 되어, \(n\)을 \(r\)번 곱한 \(n^{r}\)이 됩니다.
한 번 뽑을 때마다 선택지가 하나씩 줄어드는 순열 \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = n \times (n-1) \times \cdots\)와의 차이는 이 한 가지뿐입니다. ‘재고가 줄어드는가, 줄어들지 않는가’로 생각하면 구별할 수 있습니다.
\({}_{n}\Pi_{r}\)의 \(\Pi\)는 곱셈(곱)을 나타내는 그리스 문자 파이의 대문자로, 영어 Product(곱)의 첫 글자 P에 해당합니다.
한국의 고등학교 확률과 통계 교과서에서는 \({}_{n}\Pi_{r}\)을 표준 기호로 씁니다. 값은 그대로 \(n^{r}\)으로 쓸 수 있으므로, 답안에는 \(n^{r}\)의 꼴로 계산해 써도 됩니다.
중복조합 \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)(중복을 허락하여 \(r\)개 뽑기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)
\(=\)
\(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
\(r\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
중복을 허락하여 \(r\)개 뽑는 방법의 수
\(=\)
①
○와 칸막이의 자리의 수 \(n+r-1\)
\(\mathrm{C}\)
②
○를 놓을 위치의 수 \(r\)
공식을 말로 읽으면
①
○ \(r\)개와 종류의 경계를 나타내는 칸막이 \(n-1\)개를 나열한
○와 칸막이를 합친 자리의 수(\(n+r-1\))
중에서
②
○를 놓을 위치의 수(\(r\))
를 고르는 방법을 세면
③
중복을 허락하여 \(r\)개 뽑는 방법의 수(\({}_{n}\mathrm{H}_{r}\))
가 됩니다
간단한 예
3종류의 주스(사과, 귤, 포도) 중에서 같은 종류를 몇 병 골라도 된다고 하고 5병을 사는 방법의 수는
3종류에서 5병을 사는 방법의 수
\(=\)
자리의 수(3 + 5 − 1 = 7개)
\(\mathrm{C}\)
○를 놓을 위치의 수(5개)
\({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{3+5-1}\mathrm{C}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = \dfrac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21\)
이해의 핵심
‘뽑기만 하는’ 이야기였는데 왜 조합 \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)로 바뀌는 걸까요? 비밀은 ‘동그라미와 칸막이로 바꾸어 나타내기’에 있습니다. 공식으로 외우기 전에 아래 순서를 따라가 보세요.
먼저 종류의 순서를 사과, 귤, 포도로 정해 둡니다. 그리고 산 주스 1병을 동그라미 ○로, 종류의 경계를 칸막이 |로 나타냅니다. 사과 2병, 귤 1병, 포도 2병을 사면 ○○|○|○○, 사과 3병, 귤 0병, 포도 2병을 사면 ○○○||○○가 됩니다. 1병도 사지 않은 종류는 칸막이 2개가 나란히 붙을 뿐이므로 이것도 나타낼 수 있습니다.
거꾸로 동그라미와 칸막이의 배열을 먼저 보여 주면, 거기서 사는 방법을 정확히 하나 읽어 낼 수 있습니다. 칸막이로 나뉜 3개의 칸을 왼쪽부터 보고, 각 칸의 동그라미 수를 사과, 귤, 포도의 병 수로 읽으면 됩니다. ○○||○○○라면 사과 2병, 귤 0병, 포도 3병입니다. 사는 방법에서 기호의 배열로, 기호의 배열에서 사는 방법으로, 어느 쪽으로 바꾸어도 답이 반드시 하나로 정해지므로, 사는 방법과 기호의 배열은 빠짐없이, 중복 없이 하나씩 대응합니다.
이제 기호의 배열만 세면 됩니다. 칸막이는 3종류를 나누므로 2개(일반적으로 \(n-1\)개), 동그라미는 병의 수만큼 \(r\)개입니다. 기호는 모두 \(n+r-1\)개이고, 왼쪽부터 1, 2, …로 번호를 붙인 자리에 놓입니다. 배열을 하나 정하는 것은 \(n+r-1\)개의 자리 중 동그라미를 놓을 \(r\)개의 자리를 고르는 것과 같습니다. 여기까지 오면 같은 자리를 두 번 고를 수 없는 보통의 조합입니다. 그래서 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)이 됩니다.
동그라미 대신 칸막이를 놓을 자리를 골라도 됩니다. 남은 자리에는 저절로 동그라미가 들어가므로 같은 결과가 되어, \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{n-1}\)로 써도 답은 같습니다.
참고로 \(\mathrm{H}\)는 ‘같은 차수의 항을 모두 모은 것’을 뜻하는 homogeneous(동차)의 첫 글자에서 왔다고 알려져 있습니다. 한국의 고등학교 확률과 통계 교과서에서는 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)을 표준 공식으로 배웁니다.
같은 것이 있는 순열(같은 문자가 섞인 배열)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(N\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\(p!\,q!\,r!\cdots\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
같은 것이 있는 \(n\)개를 나열하는 방법의 수 \(N\)
\(=\)
①
모두 다른 것으로 보고 나열하는 방법의 수 \(n!\)
\(\div\)
②
같은 것끼리 다시 나열하는 방법의 수 \(p! \times q! \times \cdots\)
공식을 말로 읽으면
①
모두 다른 것으로 보고 나열하는 방법의 수(\(n!\))
를
②
같은 것끼리 다시 나열하는 방법의 수(\(p! \times q! \times \cdots\))
로 나누어 겹친 것을 없애면
③
같은 것이 있는 \(n\)개를 나열하는 방법의 수(\(N\))
가 됩니다
간단한 예
TOMATO의 6글자를 다시 나열해서 만들 수 있는 문자열의 수는(T 2개, O 2개, M 1개, A 1개)
TOMATO를 다시 나열하는 방법의 수
\(=\)
6글자를 모두 다른 것으로 본 방법의 수(6!)
\(\div\)
같은 문자끼리 다시 나열하는 방법의 수(2! × 2! × 1! × 1!)
\(N = \dfrac{6!}{2!\,2!\,1!\,1!} = \dfrac{720}{2 \times 2 \times 1 \times 1} = \dfrac{720}{4} = 180\)
이해의 핵심
두 개의 T에 임시로 번호를 붙여 \(\mathrm{T}_1\), \(\mathrm{T}_2\)로 구별하면 6글자가 모두 달라지므로 나열하는 방법은 \(6! = 720\)가지입니다. 그런데 번호를 지우면 \(\mathrm{T}_1\mathrm{T}_2\)와 \(\mathrm{T}_2\mathrm{T}_1\)은 똑같아 보이므로, 같은 배열을 2번씩 센 것이 됩니다.
같은 문자가 \(p\)개 있으면 그 \(p\)개를 다시 나열하는 \(p!\)가지가 모두 같아 보이므로, 문자의 종류마다 \(p!\)로 나눕니다. 1개뿐인 문자는 \(1! = 1\)이므로 써도 쓰지 않아도 답은 같습니다.
여기서 문자의 뜻에 주의하세요. 위의 두 공식의 \(n\)(뽑는 대상이 되는 종류의 수)과 달리, 이 공식의 \(n\)은 나열하는 것 전체의 개수입니다. TOMATO의 문자 종류는 T, O, M, A의 4가지이지만 나열하는 것은 6글자이므로 \(n = 6\)입니다.
분모에 놓이는 \(p,\ q,\ r,\ \dots\)는 종류별 개수이므로, 모두 더하면 반드시 \(p + q + r + \cdots = n\)이 됩니다. TOMATO라면 \(2 + 2 + 1 + 1 = 6\)으로 글자 수와 일치합니다. 이 합이 맞지 않으면 빠뜨렸거나 중복해서 센 것이 있다는 신호입니다. (여기의 \(r\)은 개수를 나타내는 세 번째 문자일 뿐이고, 위의 공식에 나온 ‘뽑는 개수 \(r\)’과는 다릅니다.)
\(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)은 다항계수라고도 부르며, 중복조합과 함께 같은 것이 섞인 배열을 세는 대표적인 방법입니다. 바둑판 모양의 길에서 오른쪽으로 3칸, 위로 2칸 가는 최단 경로의 수가 \(\dfrac{5!}{3!\,2!} = 10\)가지가 되는 것도 이 공식의 응용입니다.
어떤 공식을 쓸까요?(나열·뽑기만 × 중복 있음·없음)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\)
\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)
\({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)
\({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
나열 × 같은 것을 몇 번이든 뽑아도 됨
②
뽑기만 × 같은 것을 몇 번이든 뽑아도 됨
③
나열 × 한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없음
④
뽑기만 × 한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없음
공식을 말로 읽으면
①
순서(역할·순위·자리)까지 구별해서 나열하고, 같은 것을 몇 번이든 뽑아도 된다면
중복순열(\({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\))
을 씁니다
②
뽑힌 구성만 세고, 같은 것을 몇 번이든 뽑아도 된다면
중복조합(\({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\))
을 씁니다
③
순서까지 구별해서 나열하고, 한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없다면
순열(\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\))
을 씁니다
④
뽑힌 구성만 세고, 한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없다면
조합(\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\))
을 씁니다
간단한 예
같은 4와 3이라도 상황이 바뀌면 쓰는 공식이 달라집니다
4종류의 아이스크림 중에서 3개를 사는 방법의 수(같은 맛을 몇 개 사도 됨)
\(=\)
중복조합
4명 중 3명을 뽑아 1위, 2위, 3위를 정하는 방법의 수
\(=\)
순열
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = 20\)
\({}_{4}\mathrm{P}_{3} = 4 \times 3 \times 2 = 24\)
이해의 핵심
이 4가지로 가기 전에 한 단계 앞에 갈림길이 하나 있습니다. \(n\)종류에서 \(r\)개를 뽑는 상황인가요, 아니면 TOMATO의 6글자처럼 이미 눈앞에 있는 것을 모두 나열하는 상황인가요? 뒤의 경우는 뽑는 과정이 없으므로 위의 4가지가 아니라 같은 것이 있는 순열 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)을 씁니다. 먼저 ‘뽑아서 나열하기’와 ‘가진 것을 모두 나열하기’를 구별하세요.
뽑는 상황이라는 것을 확인했다면, 다음 두 가지를 이 순서로 확인합니다. ① 나열하는가, 뽑힌 구성만 세는가. ② 같은 것을 2번 이상 뽑아도 되는가, 한 번 뽑으면 끝인가.
①의 기준은 자리마다 고유한 뜻이 있는지입니다. 1위와 2위, 반장과 부반장, 비밀번호의 첫째 자리와 둘째 자리처럼 자리에 역할이 있으면 나열하는 것이고, 청소 당번 2명이나 장바구니 안의 구성처럼 묶음만 중요하면 뽑기만 하는 것입니다.
②의 기준은 재고가 줄어드는지입니다. 주사위를 여러 번 던지거나, 같은 맛을 몇 개든 사거나, 같은 숫자를 다시 쓰는 것처럼 뽑아도 줄어들지 않으면 중복이 허락되는 것이고, 한 사람이 두 역할을 맡을 수 없거나 같은 제비를 두 번 뽑을 수 없는 것처럼 줄어들면 중복이 없는 것입니다.
\(n^{r}\)과 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)의 차이는 \(r\)이 커질수록 벌어집니다(10종류에서 4개면 \(10^{4} = 10000\)과 \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5040\)). ②를 잘못 판단하면 답이 2배 가까이 달라질 수 있으므로 이 확인은 건너뛰지 마세요.
중복을 허락하여 ‘나열’한다면 중복순열 \({}_{n}\Pi_{r} = n^{r}\), 중복을 허락하여 ‘뽑기만’ 한다면 중복조합 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\), 같은 것이 섞인 것을 모두 나열한다면 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)을 씁니다. 중복조합을 동그라미와 칸막이로 바꾸어 나타내면 보통의 조합 \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)로 바뀐다는 것이 이 단원의 핵심입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(n\) | 엔 | 뽑는 대상이 되는 종류의 수입니다. (예: 3종류의 주스 중에서 뽑는다면 \(n = 3\), 0~9의 숫자를 쓴다면 \(n = 10\)) number(수)의 첫 글자로, 개수를 나타낼 때 자주 씁니다. 다만 같은 것이 있는 순열 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)의 \(n\)만은 뜻이 달라서, 나열하는 것 전체의 개수를 가리킵니다(TOMATO라면 문자의 종류는 4가지이지만 \(n = 6\)). |
| \(r\) | 알 | 중복을 허락하여 뽑는(나열하는) 개수입니다. (예: 주스를 5병 산다면 \(r = 5\), 4자리 비밀번호라면 \(r = 4\)) 순열·조합의 기호 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\), \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)과 같은 위치에 놓는 문자입니다. |
| \(n!\) | n 팩토리얼 | \(n\)부터 \(1\)까지의 정수를 모두 곱한 수로, \(n\)개 모두를 한 줄로 나열하는 방법의 수를 나타냅니다. 단, \(0! = 1\)로 약속합니다. (예: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\Pi_{r}\) | n 파이 r | 중복순열입니다. \(n\)종류에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 뽑아 순서대로 나열하는 방법의 수로, 값은 \(n^{r}\)입니다. \(\Pi\)는 곱을 나타내는 그리스 문자 파이의 대문자로, 영어 Product(곱)의 첫 글자 P에 해당합니다. |
| \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\) | n H r | 중복조합입니다. \(n\)종류에서 중복을 허락하여 \(r\)개를 뽑는, 순서를 구별하지 않는 방법의 수로, 값은 \({}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)입니다. \(\mathrm{H}\)는 ‘같은 차수의 항을 모두 모은 것’을 뜻하는 homogeneous(동차)의 첫 글자에서 왔다고 알려져 있습니다. |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | 순열입니다. \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑아 순서대로 나열하는 방법의 수로, 한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없습니다. P는 순열을 뜻하는 영어 permutation의 첫 글자입니다. |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | 조합입니다. \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑는 방법의 수로, 한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없고 순서도 구별하지 않습니다. C는 조합을 뜻하는 영어 combination의 첫 글자입니다. |
| \(N\) | 대문자 엔 | 이 페이지에서는 같은 것이 있는 배열의 수를 나타내는 문자로 씁니다. number(수)의 첫 글자를 대문자로 쓴 것으로, 구하려는 총수를 나타낼 때 자주 쓰입니다. |
| \(p,\ q\) | 피, 큐 | 같은 것이 있는 순열에서 같은 것이 몇 개씩 있는지를 나타내는 문자입니다. (예: TOMATO라면 T가 \(p = 2\)개, O가 \(q = 2\)개, M이 1개, A가 1개) 3종류 이상이면 \(p,\ q,\ r,\ \dots\)로 이어 씁니다(이 \(r\)은 ‘뽑는 개수 \(r\)’과는 다릅니다). 모두 더하면 반드시 \(p + q + r + \cdots = n\)(나열하는 것 전체의 개수)이 됩니다. |
| \(\bigcirc\)와 \(|\) | 동그라미, 칸막이 | 중복조합을 셀 때 쓰는 기호입니다. ○는 ‘뽑은 1개’, \(|\)(칸막이)는 ‘종류의 경계’를 나타냅니다. ○○|○|○○라면 첫 번째 종류를 2개, 두 번째 종류를 1개, 세 번째 종류를 2개 뽑은 것이 됩니다. |
용어
| 경우의 수 | 일어날 수 있는 경우가 모두 몇 가지인지 센 수입니다. 순열, 조합, 중복순열, 중복조합은 모두 경우의 수를 효율적으로 세기 위한 도구입니다. |
| 중복 | 같은 것이 2번 이상 나타나는 것입니다. 이 단원에서는 ‘같은 것을 2번 이상 뽑아도 된다’는 뜻으로 쓰며, 교과서에서는 ‘중복을 허락하여’라고 표현합니다. |
| 중복순열 | \(n\)종류에서 같은 것을 몇 번이든 뽑아도 된다고 하고 \(r\)개를 뽑아 순서까지 구별해서 나열하는 방법입니다. 그 수는 \(n^{r}\)이고, 기호로는 \({}_{n}\Pi_{r}\)로 씁니다. |
| 중복조합 | \(n\)종류에서 같은 것을 몇 번이든 뽑아도 된다고 하고 \(r\)개를 뽑는, 순서를 구별하지 않는 방법입니다. 그 수는 \({}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r}\)입니다. |
| 같은 것이 있는 순열 | TOMATO처럼 같은 것이 섞인 \(n\)개를 모두 나열하는 방법입니다. 그 수는 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)이며, 같은 것끼리 다시 나열하는 만큼 나누어 겹친 것을 없앱니다. |
| 순열 | \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑아 순서를 구별해서 한 줄로 나열하는 방법입니다. 기호는 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)이고, 한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없습니다. |
| 조합 | \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑기만 하고 순서는 구별하지 않는 방법입니다. 기호는 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)이고, 한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없습니다. |
| 계승 (팩토리얼) | \(n\)부터 \(1\)까지의 정수를 모두 곱하는 계산입니다. 기호는 \(n!\)이고 ‘n 팩토리얼’이라고 읽으며, \(n\)개 모두를 나열하는 방법의 수를 나타냅니다. |
| 칸막이 | 중복조합을 셀 때 종류의 경계를 나타내기 위해 놓는 기호 \(|\)입니다. \(n\)종류를 나누려면 \(n-1\)개가 필요하며, ○와 합친 \(n+r-1\)개의 자리에서 ○의 위치를 고르는 문제로 바꿀 수 있습니다. |
| 다항계수 | 같은 것이 있는 순열의 수 \(\dfrac{n!}{p!\,q!\cdots}\)의 다른 이름입니다. \((a+b+c)^{n}\)을 전개했을 때 각 항의 계수가 이 꼴이 되기 때문에 이렇게 부릅니다. |
| 수형도 | 경우의 수를 빠짐없이, 중복 없이 세기 위해 나뭇가지 모양의 그림으로 모든 경우를 적어 보는 방법입니다. 중복순열은 어느 가지에서나 같은 수의 가지가 뻗어 나가는 수형도에 해당합니다. |
| 최단 경로 | 바둑판 모양의 길에서 돌아가지 않고 목적지까지 가는 길입니다. 오른쪽으로 \(p\)칸, 위로 \(q\)칸 가는 최단 경로의 수는 같은 것이 있는 순열 \(\dfrac{(p+q)!}{p!\,q!}\)로 구할 수 있습니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 곱셈과 나눗셈(초등학교 3~4학년, 9~10세) |
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| 거듭제곱과 지수(중학교 1학년~고등학교, 12~18세) |
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| 경우의 수와 수형도(중학교 2학년, 13~14세) |
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| 계승(고등학교 1학년, 15~16세) |
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| 순열과 조합(고등학교 1학년, 15~16세) |
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Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
중복순열 nΠr을 구하는 표
| 종류의 수 n | 10 |
| 나열하는 개수 r | 4 |
| 중복순열 nΠr | =B1^B2 |
중복조합 nHr을 구하는 표
| 종류의 수 n | 3 |
| 뽑는 개수 r | 5 |
| ○와 칸막이를 합친 자리의 수 | =B1+B2-1 |
| 중복조합 nHr | =COMBIN(B3,B2) |
같은 것이 있는 순열을 구하는 표
| 전체 글자 수 n(TOMATO) | 6 |
| T의 개수 | 2 |
| O의 개수 | 2 |
| M의 개수 | 1 |
| A의 개수 | 1 |
| 나열하는 방법의 수 N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
붙여 넣으면 위쪽 행이 입력란이 되고, 마지막 행이 자동으로 계산된 결과가 됩니다.
‘^’는 거듭제곱 기호, FACT는 계승, COMBIN은 조합(nCr)을 계산하는 Excel 함수입니다.
첫 번째 표는 0~9의 10가지 숫자로 만드는 4자리 비밀번호로, B3에 10000이 표시됩니다.
두 번째 표는 3종류의 주스 중에서 5병을 사는 경우로, B3에 7(= 3 + 5 − 1), B4에 21이 표시됩니다.
세 번째 표는 TOMATO를 다시 나열하는 경우로, B6에 180이 표시됩니다. 같은 문자의 종류가 늘어나면 분모의 FACT를 늘려 곱하세요. =MULTINOMIAL(B2,B3,B4,B5)로도 같은 180을 구할 수 있습니다.
참고로 Excel의 숫자는 유효숫자 15자리까지이므로, 답이 16자리 이상이 되면 끝자리가 반올림됩니다.
‘^’는 거듭제곱 기호, FACT는 계승, COMBIN은 조합(nCr)을 계산하는 Excel 함수입니다.
첫 번째 표는 0~9의 10가지 숫자로 만드는 4자리 비밀번호로, B3에 10000이 표시됩니다.
두 번째 표는 3종류의 주스 중에서 5병을 사는 경우로, B3에 7(= 3 + 5 − 1), B4에 21이 표시됩니다.
세 번째 표는 TOMATO를 다시 나열하는 경우로, B6에 180이 표시됩니다. 같은 문자의 종류가 늘어나면 분모의 FACT를 늘려 곱하세요. =MULTINOMIAL(B2,B3,B4,B5)로도 같은 180을 구할 수 있습니다.
참고로 Excel의 숫자는 유효숫자 15자리까지이므로, 답이 16자리 이상이 되면 끝자리가 반올림됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
중복순열 nΠr을 구하는 표
| 종류의 수 n | 10 |
| 나열하는 개수 r | 4 |
| 중복순열 nΠr | =B1^B2 |
중복조합 nHr을 구하는 표
| 종류의 수 n | 3 |
| 뽑는 개수 r | 5 |
| ○와 칸막이를 합친 자리의 수 | =B1+B2-1 |
| 중복조합 nHr | =COMBIN(B3,B2) |
같은 것이 있는 순열을 구하는 표
| 전체 글자 수 n(TOMATO) | 6 |
| T의 개수 | 2 |
| O의 개수 | 2 |
| M의 개수 | 1 |
| A의 개수 | 1 |
| 나열하는 방법의 수 N | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B3)*FACT(B4)*FACT(B5)) |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다(FACT, COMBIN, MULTINOMIAL은 Google 스프레드시트에도 같은 이름으로 있습니다).
표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 숫자를 자신의 상황에 맞게 바꾸세요.
표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 숫자를 자신의 상황에 맞게 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
from collections import Counter
# 1) 중복순열(n종류에서 중복을 허락하여 r개를 뽑아 순서대로 나열)
kinds = 10 # 종류의 수 n(0~9의 10가지 숫자)
picks = 4 # 나열하는 개수 r(4자리)
repeated_permutations = kinds ** picks
# 2) 중복조합(n종류에서 중복을 허락하여 r개를 뽑기, 순서는 구별하지 않음)
juice_kinds = 3 # 종류의 수 n(3종류의 주스)
bottles = 5 # 뽑는 개수 r(5병)
repeated_combinations = math.comb(juice_kinds + bottles - 1, bottles)
# 3) 같은 것이 있는 순열(같은 문자가 섞인 문자열을 다시 나열)
word = "TOMATO"
letter_counts = Counter(word)
same_item_permutations = math.factorial(len(word))
for count in letter_counts.values():
same_item_permutations //= math.factorial(count)
print(f"중복순열({kinds}종류에서 {picks}개 나열): {repeated_permutations}가지")
print(f"중복조합({juice_kinds}종류에서 {bottles}개 뽑기): {repeated_combinations}가지")
print(f"{word} 다시 나열하기: {same_item_permutations}가지")
표준 라이브러리만으로 동작합니다(math.comb는 Python 3.8 이상). 실행하면 10000, 21, 180이 표시됩니다. Python의 정수에는 자릿수 제한이 없어서 답이 수백 자리가 되어도 정확하게 계산할 수 있습니다. 앞쪽의 숫자와 문자열을 바꾸어 실행하세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
중복순열 \({}_{n}\Pi_{r}\)(중복을 허락하여 \(r\)개 나열하기)
ₙΠᵣ = nʳ
{}_{n}\Pi_{r} = n^{r}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>Π</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<msup><mi>n</mi><mi>r</mi></msup>
</mrow>
</math>
n^r
n^r
repeatedPermutation := n^r;
repeated_permutation = n^r;
n^r
중복조합 \({}_{n}\mathrm{H}_{r}\)(중복을 허락하여 \(r\)개 뽑기)
ₙHᵣ = ₙ₊ᵣ₋₁Cᵣ
{}_{n}\mathrm{H}_{r} = {}_{n+r-1}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{(n+r-1)!}{r!\,(n-1)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>H</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mi>r</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><none/>
</mmultiscripts>
</mrow>
</math>
H(n, r) = C(n+r-1, r)
Binomial[n + r - 1, r]
nHr := binomial(n + r - 1, r);
nhr = nchoosek(n + r - 1, r);
H(n,r) = C(n+r−1, r) = (n+r−1)!/(r!(n−1)!)
같은 것이 있는 순열(같은 문자가 섞인 배열)
N = n! ÷ (p! × q! × r! × ⋯)
N = \dfrac{n!}{p!\,q!\,r!\cdots}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>p</mi><mo>!</mo>
<mi>q</mi><mo>!</mo>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
N = (n!)/(p!q!r!cdots)
Multinomial[p, q, r]
N := factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = factorial(n)/(factorial(p)*factorial(q)*factorial(r));
N = n!/(p!q!r!⋯)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 경우의 수(순열·조합) 계산 도우미입니다. 다음 3가지 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 숫자만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 1. 0~9의 10가지 숫자로 4자리 비밀번호를 만들 때 몇 가지를 만들 수 있습니까? (같은 숫자를 몇 번 써도 됩니다.) 2. 3종류의 주스 중에서 같은 종류를 몇 병 골라도 된다고 하고 5병을 사는 방법은 몇 가지입니까? (고르는 순서는 구별하지 않고 종류별 병 수만 셉니다.) 3. TOMATO의 6글자를 다시 나열해서 만들 수 있는 서로 다른 문자열은 몇 가지입니까? 각각 중복순열, 중복조합, 같은 것이 있는 순열 중 무엇을 썼는지와 그 이유를 밝히고, 실행 결과의 숫자를 보여 주세요. Python에서는 math 모듈(math.comb, math.factorial)과 collections.Counter를 쓰세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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관련 기능
순열·조합 계산기(nPr, nCr)
한 번 뽑은 것은 다시 뽑을 수 없는 경우의 나열하는 방법(순열)과 뽑는 방법(조합)을 계산합니다
원순열·염주순열 계산기(원형으로 나열하는 경우의 수)
원형으로 나열하는 방법(원순열)과 뒤집어서 같아지는 배열을 하나로 보는 염주순열을 계산합니다
