사각뿔(밑면이 정사각형인 피라미드 모양)의 밑면의 한 변의 길이와 높이를 입력하세요. 부피(한 변 × 한 변 × 높이 ÷ 3)와 cm³·m³·L 환산도 보여 줍니다.
밑면의 한 변과 높이는 같은 단위로 맞춰서 수만 입력하세요(단위 없이 수만. 예: 5 cm라면 ‘5’). 높이는 밑면에서 꼭짓점까지의 수직 길이입니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 밑면의 한 변의 길이와 높이를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 3D 그림이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 밑면의 한 변의 길이와 높이만 넣으면 사각뿔(피라미드 모양)의 부피(한 변 × 한 변 × 높이 ÷ 3)를 바로 알 수 있습니다
- 입력한 사각뿔의 모양을 3D 그림으로 보여 줍니다(마우스로 끌어서 빙글 돌릴 수 있습니다)
- 밑넓이와 계산 과정도 보여 주므로 답뿐 아니라 계산의 흐름도 확인할 수 있습니다
- 부피의 단위 환산도 함께 보여 줍니다(cm로 입력했을 때의 L·m³, m로 입력했을 때의 cm³)
- 왜 3으로 나누는지에 대한 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
밑면의 한 변과 높이는 같은 단위로 맞춰서 입력하세요(cm면 둘 다 cm, m면 둘 다 m). 높이는 밑면에서 꼭짓점까지의 수직 길이입니다(비스듬한 모서리의 길이가 아닙니다). 원뿔·삼각뿔 등 다른 입체도형의 부피는 각각의 전용 페이지에서 다룹니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
이집트 피라미드의 크기 실감하기(역사·관광)
기자의 대피라미드(쿠푸왕의 피라미드)는 밑면의 한 변이 약 230 m, 지어졌을 당시의 높이가 약 147 m인 거의 정사각뿔입니다. 부피는 약 \(230 \times 230 \times 147 \div 3 = 2592100\,\mathrm{m^3}\), 즉 약 260만 m³입니다. 한 모서리가 1 m인 정육면체 돌 약 260만 개를 쌓아 올린 셈입니다.
실제 피라미드는 안에 통로와 방이 있고 겉면도 완전히 평평하지 않으므로 어림값이지만, ‘사각뿔의 부피 공식’ 하나로 세계유산의 규모를 수로 파악할 수 있습니다.
원폴 텐트 안의 공기의 양 어림하기(캠핑)
가운데 기둥 하나로 세우는 원폴 텐트는 바닥이 정사각형이면 거의 사각뿔 모양입니다. 바닥 3 m × 3 m, 기둥의 높이 2 m라면 안의 공간은 약 \(3 \times 3 \times 2 \div 3 = 6\,\mathrm{m^3}\)입니다.
텐트 안의 공기의 양을 알면 겨울 캠핑에서 난방이 얼마나 잘 될지, 결로가 생기기 쉬운지 등의 기준을 세우는 데 도움이 됩니다(실제 텐트는 아랫부분이 세워져 있는 것도 많으므로 어림값입니다).
피라미드 모양 지붕 아래 공간의 부피 구하기(건축)
정사각형 건물에 올리는 ‘모임지붕’(정자의 지붕처럼 네 면이 한 점에서 만나는 지붕)은 바로 사각뿔 모양입니다. 바닥 6 m × 6 m, 높이 2 m인 지붕이라면 지붕 밑 공간(다락)은 약 \(6 \times 6 \times 2 \div 3 = 24\,\mathrm{m^3}\)입니다.
지붕 밑 공간의 부피는 환기구의 크기를 계획하거나 단열을 검토할 때 쓰이는 수입니다. 정자나 탑의 지붕 등 주변의 ‘뾰족한 지붕’ 대부분을 이 식으로 어림할 수 있습니다.
거꾸로 된 사각뿔 ‘호퍼’의 용량 계산하기(제조·농업)
공장이나 농가에서 곡물·수지 펠릿·가루를 모아 두었다가 아래로 조금씩 내보내는 깔때기 모양 설비 ‘호퍼’에는 거꾸로 세운 사각뿔 모양이 자주 쓰입니다. 윗면의 한 변 2 m, 깊이 1.5 m라면 용량은 \(2 \times 2 \times 1.5 \div 3 = 2\,\mathrm{m^3}\)(2000 L)입니다.
‘앞으로 몇 톤 더 들어가는가’, ‘하루 분량의 재료를 모아 둘 수 있는가’ 같은 판단은 이 부피 계산이 출발점입니다(실제 설비는 아래 끝이 잘린 각뿔대인 경우도 많은데, 그때는 크고 작은 두 사각뿔의 차로 구합니다).
중학교 수학 시험의 단골 문제 풀기(학습·시험)
각뿔·원뿔의 부피는 중학교 1학년 ‘입체도형의 겉넓이와 부피’에서 배우며, 학교 시험에 꼭 나오는 단골 문제입니다. 예를 들어 ‘밑면의 한 변이 6 cm, 높이가 8 cm인 정사각뿔의 부피는?’이라면 \(6 \times 6 \times 8 \div 3 = 96\,\mathrm{cm^3}\)으로 구할 수 있습니다.
가장 많이 하는 실수는 ‘÷ 3을 잊는 것’이므로, ‘뾰족한 입체도형(뿔)은 기둥의 3분의 1’과 함께 기억해 두면 시험에서 확실히 점수를 얻을 수 있습니다.
공식과 그림
사각뿔의 부피 공식
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V\)
\(=\)
\(a\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
⑤
사각뿔의 부피 \(V\)
\(=\)
①
밑면의 한 변 \(a\)
②
제곱(같은 길이를 2번 곱하기)
\(\times\)
③
높이 \(h\)
\(\div\)
④
3등분하는 수 \(3\)
공식을 말로 읽으면
①
밑면의 한 변(\(a\))
을
②
제곱(같은 길이를 2번 곱하기)
해서 밑넓이를 구하고
③
높이(\(h\))
를 곱한 뒤
④
3등분하는 수(\(3\))
로 나누면
⑤
사각뿔의 부피(\(V\))
가 됩니다
간단한 예
밑면의 한 변 5 cm, 높이 12 cm인 사각뿔의 부피는
사각뿔의 부피 \(V\)
\(=\)
밑면의 한 변(5 cm)
제곱
\(\times\)
높이(12 cm)
\(\div\)
3등분하는 수(3)
\(5 \times 5 = 25\)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
이해의 핵심
왜 3으로 나눌까요? 정육면체(주사위 모양)는 한 꼭짓점에서 칼을 넣으면 합동인 ‘기울어진 사각뿔’ 3개로 꼭 맞게 나눌 수 있습니다. 즉 사각뿔의 부피는 밑면과 높이가 같은 사각기둥(상자)의 부피의 정확히 \(\dfrac{1}{3}\)입니다. ‘\(\times \dfrac{1}{3}\)’을 ‘\(\div 3\)’으로 쓴 것이 이 공식입니다.
높이 \(h\)는 밑면에서 꼭짓점까지의 수직 길이이며, 비스듬한 모서리(꼭짓점으로 향하는 모서리)의 길이가 아니라는 점에 주의하세요. 또 꼭짓점이 밑면의 중심 바로 위에서 벗어난 ‘기울어진 사각뿔’이라도 밑넓이와 높이가 같으면 부피는 같습니다.
각뿔·원뿔에 공통인 부피 공식(밑넓이로 구하기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
뿔의 부피 \(V\)
\(=\)
①
밑넓이 \(S\)
\(\times\)
②
높이 \(h\)
\(\div\)
③
3등분하는 수 \(3\)
공식을 말로 읽으면
①
밑넓이(\(S\))
에
②
높이(\(h\))
를 곱한 뒤
③
3등분하는 수(\(3\))
로 나누면
④
뿔의 부피(\(V\))
가 됩니다
간단한 예
밑넓이 25 cm², 높이 12 cm인 각뿔의 부피는
뿔의 부피 \(V\)
\(=\)
밑넓이(25 cm²)
\(\times\)
높이(12 cm)
\(\div\)
3등분하는 수(3)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
이해의 핵심
이 공식은 사각뿔만의 것이 아니라 삼각뿔·오각뿔 등 모든 각뿔과 원뿔에 공통인 공식입니다(끝이 뾰족한 입체도형인 뿔은 모두 ‘밑넓이 × 높이 ÷ 3’).
사각뿔은 밑면이 정사각형이므로 밑넓이는 \(S = a \times a\)입니다. 이것을 대입한 것이 첫 번째 공식 \(V = \dfrac{1}{3} a^{2} h\)입니다. 원뿔이라면 밑넓이가 원의 넓이 \(S = \pi r^{2}\)입니다.
부피의 단위 환산(cm³ → L)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
L로 나타낸 부피 \(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
①
cm³로 나타낸 부피 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
②
1 L에 들어 있는 cm³의 수 \(1000\)
공식을 말로 읽으면
①
cm³로 나타낸 부피(\(V_{\mathrm{cm^3}}\))
를
②
1 L에 들어 있는 cm³의 수(\(1000\))
로 나누면
③
L로 나타낸 부피(\(V_{\mathrm{L}}\))
가 됩니다
간단한 예
밑면의 한 변 5 cm, 높이 12 cm인 사각뿔의 부피 100 cm³를 L로 바꾸면
L로 나타낸 부피
\(=\)
cm³로 나타낸 부피(100)
\(\div\)
1 L에 들어 있는 cm³의 수(1000)
\(100 \div 1000 = 0.1\,\mathrm{L}\)
이해의 핵심
1 L는 ‘한 모서리가 10 cm인 정육면체’의 부피로, \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\)입니다. 1 L 우유 팩 하나가 딱 1 L = 1000 cm³입니다.
m³로 바꿀 때도 생각은 같습니다. \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\)이므로 \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\)입니다. 부피의 환산 비율은 길이의 환산 비율의 세제곱이 됩니다(넓이는 제곱, 부피는 세제곱. ‘100배’로 틀리기 쉬운 부분입니다).
사각뿔의 부피는 ‘밑넓이(한 변 × 한 변) × 높이 ÷ 3’으로 구합니다. 3으로 나누는 것은 뿔의 부피가 밑면과 높이가 같은 기둥(상자)의 정확히 3분의 1이기 때문입니다. 높이는 밑면에서 꼭짓점까지의 수직 길이를 쓰고, 답의 단위는 길이 단위의 세제곱(cm라면 cm³)입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(V\) | 브이 | 부피를 나타낼 때 자주 쓰는 기호입니다. 영어 volume(부피)의 첫 글자로, 이 페이지에서는 사각뿔의 부피를 나타냅니다. |
| \(a\) | 에이 | 밑면인 정사각형의 한 변의 길이입니다. 밑면의 가로와 세로는 길이가 같으므로 기호 하나로 나타낼 수 있습니다. |
| \(a^2\) | 에이의 제곱 | 같은 수 \(a\)를 2번 곱한 값(\(a \times a\))입니다. 오른쪽 위의 작은 2는 ‘2번 곱한다’는 뜻의 지수입니다. 이 페이지에서는 밑넓이(정사각형의 넓이)를 나타냅니다. |
| \(h\) | 에이치 | 높이입니다. 영어 height(높이)의 첫 글자로, 밑면에서 꼭짓점까지 곧게(수직으로) 잰 길이이며 비스듬한 모서리의 길이가 아닙니다. |
| \(S\) | 에스 | 밑넓이(밑면의 넓이)를 나타낼 때 자주 쓰는 기호입니다. 사각뿔에서는 \(S = a \times a\)입니다. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 세제곱센티미터 | 부피의 단위입니다. 한 모서리가 1 cm인 정육면체의 부피가 1 cm³입니다. 넓이의 단위 cm²(제곱센티미터)와 구별하세요. |
| \(\mathrm{m^3}\) | 세제곱미터 | 부피의 단위입니다. 한 모서리가 1 m인 정육면체의 부피가 1 m³이며, \(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3}\)입니다. |
| \(\mathrm{L}\) | 리터 | 부피(들이)의 단위입니다. 한 모서리가 10 cm인 정육면체의 부피가 1 L이며, \(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)입니다. 우유 팩이나 페트병에서 익숙한 단위입니다. |
용어
| 사각뿔 | 밑면이 사각형이고, 거기서 한 꼭짓점을 향해 뾰족해지는 입체도형입니다. 이 페이지에서는 밑면이 정사각형인 것(피라미드 모양)을 다룹니다. |
| 정사각뿔 | 밑면이 정사각형이고, 꼭짓점이 밑면의 중심 바로 위에 있는 사각뿔입니다. 이집트의 피라미드가 이 모양입니다. 꼭짓점이 바로 위에서 벗어나 있어도 밑넓이와 높이가 같으면 부피는 변하지 않습니다. |
| 각뿔 | 밑면이 다각형(삼각형·사각형·오각형 등)이고, 한 꼭짓점을 향해 뾰족해지는 입체도형을 통틀어 이르는 말입니다. 밑면이 삼각형이면 삼각뿔, 사각형이면 사각뿔이라고 부릅니다. |
| 밑넓이 | 입체도형의 바닥 면(밑면)의 넓이입니다. 사각뿔에서는 밑면인 정사각형의 넓이(한 변 × 한 변)입니다. |
| 부피 | 입체도형이 차지하는 공간의 크기를 수로 나타낸 것입니다. ‘한 모서리가 1 cm인 정육면체(1 cm³)가 몇 개 들어가는가’로 잽니다. |
| 뿔 | 각뿔이나 원뿔처럼 밑면에서 한 꼭짓점을 향해 뾰족해지는 입체도형을 통틀어 이르는 말입니다. 부피는 모두 ‘밑넓이 × 높이 ÷ 3’으로 구합니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 곱셈과 나눗셈(초등학교 3~4학년, 8~10세) |
|
| 정사각형의 넓이(초등학교 5학년, 10~11세) |
|
| 부피의 뜻과 단위(초등학교 6학년, 11~12세) |
|
| 각뿔이라는 입체도형(초등학교 6학년~중학교 1학년, 11~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘사각뿔의 부피’를 구하는 표
| 밑면의 한 변의 길이 | 5 |
| 높이 | 12 |
| 사각뿔의 부피 | =B1^2*B2/3 |
‘각뿔·원뿔에 공통인 부피(밑넓이로 구하기)’를 구하는 표
| 밑넓이 | 25 |
| 높이 | 12 |
| 뿔의 부피 | =B1*B2/3 |
‘cm³를 L로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm³로 나타낸 부피 | 100 |
| L로 나타낸 부피 | =B1/1000 |
붙여 넣으면 A열에 항목 이름, B열에 수가 들어갑니다. 위쪽 행이 입력 칸이고, 마지막 행의 수식이 입력 칸의 값으로 자동 계산합니다.
수식 안의 ‘B1’ ‘B2’는 ‘그 셀에 들어 있는 수를 쓴다’는 뜻이고, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지) 기호입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B3에 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100이 표시됩니다(cm로 입력했으므로 cm³). 두 번째 표는 B3에 100, 세 번째 표는 B2에 0.1이 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 길이로 바꾸기만 하면 됩니다.
수식 안의 ‘B1’ ‘B2’는 ‘그 셀에 들어 있는 수를 쓴다’는 뜻이고, ‘*’는 곱셈, ‘/’는 나눗셈, ‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱하는지) 기호입니다.
예를 들어 첫 번째 표라면 B3에 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100이 표시됩니다(cm로 입력했으므로 cm³). 두 번째 표는 B3에 100, 세 번째 표는 B2에 0.1이 나옵니다. 입력 칸의 수를 자신의 길이로 바꾸기만 하면 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘사각뿔의 부피’를 구하는 표
| 밑면의 한 변의 길이 | 5 |
| 높이 | 12 |
| 사각뿔의 부피 | =B1^2*B2/3 |
‘각뿔·원뿔에 공통인 부피(밑넓이로 구하기)’를 구하는 표
| 밑넓이 | 25 |
| 높이 | 12 |
| 뿔의 부피 | =B1*B2/3 |
‘cm³를 L로 바꾸는 단위 환산’ 표
| cm³로 나타낸 부피 | 100 |
| L로 나타낸 부피 | =B1/1000 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 입력 칸의 수를 자신의 길이로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
a = 5 # 밑면의 한 변의 길이(이 예에서는 cm)
h = 12 # 높이(밑면에서 꼭짓점까지의 수직 길이. a와 같은 단위로)
base_area = a ** 2 # 밑넓이(정사각형의 넓이)
volume = base_area * h / 3 # 사각뿔의 부피(입력 단위의 세제곱. 이 예에서는 cm3)
volume_l = volume / 1000 # cm로 입력한 경우 L(리터)로 바꾼 부피
print(f"밑넓이: {base_area} cm2")
print(f"사각뿔의 부피: {volume} cm3")
print(f"L로 바꾸면: {volume_l} L")
표준 라이브러리만으로 동작합니다. ‘**’가 거듭제곱(제곱), ‘*’가 곱셈, ‘/’가 나눗셈 기호입니다. 맨 위의 한 변과 높이 값을 바꿔 실행하세요(cm로 입력한 경우의 예입니다. m로 입력했을 때 cm³로 바꾸려면 1000000을 곱합니다).
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
사각뿔의 부피 공식
V = a² × h ÷ 3
V = \frac{1}{3} a^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 a^2 h
a^2*h/3
V := a^2*h/3;
V = a^2*h/3;
V = (a^2 × h)/3
각뿔·원뿔에 공통인 부피 공식(밑넓이로 구하기)
V = S × h ÷ 3
V = \frac{1}{3} S h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>S</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 S h
s*h/3
V := S*h/3;
V = s*h/3;
V = (S × h)/3
부피의 단위 환산(cm³ → L)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 산수·수학 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 밑면이 한 변 5 cm인 정사각형이고 높이가 12 cm인 사각뿔이 있습니다. 다음 값을 각각 구하세요. 1. 이 사각뿔의 밑넓이는 몇 cm²인가 2. 이 사각뿔의 부피는 몇 cm³인가(부피 = 밑넓이 × 높이 ÷ 3) 3. 그 부피를 L(리터)로 바꾸면 얼마인가 계산에 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
회원가입 불필요
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상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
직사각형의 넓이 계산기(가로 × 세로)
사각뿔의 밑넓이에 해당하는 ‘정사각형·직사각형의 넓이(가로 × 세로)’를 계산합니다
