곡선의 종류를 고르고, 식의 분모(타원·쌍곡선) 또는 일차항의 계수(포물선)를 입력하세요. 초점, 꼭짓점, 이심률과 함께 쌍곡선은 점근선, 포물선은 준선도 계산합니다.
소수와 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. 분모 a², b²에는 ‘a나 b의 값’이 아니라 ‘식의 분모에 쓰여 있는 수 그대로’를 넣으세요(x²/9이면 9). 빈칸은 1(쓰여 있지 않은 분모·계수는 1)로 계산합니다.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에서 곡선의 종류를 고르고 숫자를 넣은 다음 ‘계산’을 누르면 여기에 초점, 이심률 등의 결과와 그래프가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 타원 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), 쌍곡선 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\), 포물선 \(y^{2} = 4px\)(\(x^{2} = 4py\)도 가능)의 초점, 꼭짓점, 이심률을 분모나 계수만 넣으면 바로 계산할 수 있습니다
- 답은 \(\left(\pm\sqrt{5},\ 0\right)\) 같은 정확한 값(\(\sqrt{\ }\) 포함)과 소수로 모두 표시합니다. \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\)에서 초점을 구하는 풀이 과정도 볼 수 있습니다
- 쌍곡선은 점근선, 포물선은 준선도 구하고, 곡선·초점·점근선·준선·꼭짓점을 그래프로 그립니다
- ‘두 초점으로부터의 거리의 합·차가 일정’, ‘초점과 준선으로부터 같은 거리’라는 정의(교과서와 같은 생각)를 그래프 위에서 확인할 수 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
중심(포물선은 꼭짓점)이 원점에 있는 표준형을 다룹니다. 평행이동한 식(예: \(\dfrac{(x-1)^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\))은 계산할 수 없습니다. 타원의 세로로 긴 꼴·가로로 긴 꼴, 쌍곡선의 좌우·위아래, 포물선의 오른쪽·왼쪽·위쪽·아래쪽 방향에는 모두 대응합니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
행성과 혜성의 궤도 예측(천문학·우주 개발)
행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원 궤도를 그립니다(케플러 제1법칙). 지구 궤도의 이심률은 약 0.017로 거의 원에 가깝고, 핼리 혜성은 약 0.97의 가늘고 긴 타원으로, 약 76년에 걸쳐 태양으로 돌아옵니다.
인공위성이나 탐사선의 궤도 설계도 같은 수학이 바탕이며, 궤도의 모양(타원·포물선·쌍곡선)은 이심률로 분류합니다. 탐사선이 행성의 중력을 뿌리치고 멀어질 때의 궤도는 쌍곡선이 됩니다.
파라볼라 안테나·전조등의 설계(전파·광학)
포물선을 축을 중심으로 회전시킨 곡면(파라볼라)에는 ‘축에 평행하게 들어온 전파나 빛이 반사되어 모두 초점에 모인다’는 성질이 있습니다. 위성 방송의 파라볼라 안테나는 아주 높은 하늘에서 오는 약한 전파를 초점에 있는 수신부에 모읍니다.
자동차 전조등이나 탐조등은 이를 거꾸로 쓰는 것으로, 초점에 둔 광원에서 나온 빛이 반사되어 축에 평행한 곧은 광선이 됩니다. 초점의 위치(이 페이지에서 계산하는 \(p\))가 설계의 핵심입니다.
체외 충격파로 결석을 깨는 치료(의료)
타원에는 ‘한쪽 초점에서 나온 파동이 타원면에서 반사되어 다른 쪽 초점에 모인다’는 성질이 있습니다. 체외충격파쇄석술(ESWL)은 타원면 반사판의 한쪽 초점에서 충격파를 만들고, 다른 쪽 초점을 몸속 결석의 위치에 맞추어, 몸을 절개하지 않고 결석만 깨는 치료법입니다.
초점의 위치를 정확하게 구하는 계산이 그대로 치료의 정밀도로 이어지는 예입니다.
반사 망원경·안테나의 부경(광학 설계)
카세그레인식이라고 부르는 반사 망원경은 포물면의 주경과 쌍곡면의 부경을 조합해, 쌍곡면의 ‘한쪽 초점을 향하는 빛이 반사되어 다른 쪽 초점에 모인다’는 성질을 이용해 빛을 경통 뒤쪽의 접안부까지 이끕니다.
대형 전파 망원경이나 위성 통신 안테나도 같은 구성이 주류이며, 타원·쌍곡선·포물선의 초점의 성질이 한 장치 안에서 조합되어 있습니다.
전파의 도달 시간 차로 위치 구하기(항법·측위)
‘두 지점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 모임은 쌍곡선이 된다’는 정의 자체를 이용한 측위 기술이 있습니다. 로란(LORAN) 같은 쌍곡선 항법에서는 두 송신국에서 온 전파의 도달 시간 차로 자신이 있는 쌍곡선을 알아내고, 다른 송신국 쌍으로 얻은 또 하나의 쌍곡선과의 교점으로 배나 항공기의 위치를 정했습니다.
GPS가 널리 쓰이는 지금도 전파의 시간 차로 위치를 좁혀 가는 생각은 긴급 신고 때 휴대전화의 위치 추정 등에 이어지고 있습니다.
건축·토목의 곡면 구조(발전소의 냉각탑·아치)
발전소의 거대한 냉각탑 가운데 상당수는 쌍곡선을 회전시킨 ‘쌍곡면’ 모양입니다. 곧은 강재를 비스듬히 짜 맞추기만 해도 만들 수 있는 곡면인데도 강도가 높고 재료를 아낄 수 있기 때문입니다.
현수교의 주케이블도 다리 상판의 무게가 수평 방향으로 거의 고르게 걸린다는 조건에서는 포물선이 됩니다(케이블 자신의 무게만으로 늘어져 있을 때는 포물선과 아주 비슷한 다른 곡선인 현수선이 됩니다). 설계도 위에서는 이 페이지에서 다루는 표준형의 식이 모양의 정의로 쓰입니다.
공식과 그림
타원의 초점(\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(-\)
\(b^{2}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
중심에서 초점까지의 거리(\(c\))의 제곱
\(=\)
①
\(x^{2}\)의 분모(\(a^{2}\), 장축의 절반 \(a\)의 제곱)
\(-\)
②
\(y^{2}\)의 분모(\(b^{2}\), 단축의 절반 \(b\)의 제곱)
공식을 말로 읽으면
①
\(x^{2}\)의 분모(\(a^{2}\))
에서
②
\(y^{2}\)의 분모(\(b^{2}\))
를 빼면
③
중심에서 초점까지의 거리(\(c\))의 제곱
이 됩니다(초점은 \(x\)축 위의 두 점 \((\pm c,\ 0)\))
간단한 예
\(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)(\(a^{2} = 25,\ b^{2} = 9\))의 초점은
초점까지의 거리(\(c\))의 제곱
\(=\)
\(x^{2}\)의 분모(25)
\(-\)
\(y^{2}\)의 분모(9)
\(c^{2} = 25 - 9 = 16\)
\(c = \sqrt{16} = 4\)
\(F(4,\ 0),\quad F'(-4,\ 0)\)
이해의 핵심
타원은 ‘두 초점으로부터의 거리의 합이 항상 일정한(\(= 2a\)) 점들의 모임’입니다. 핀 두 개에 실로 만든 고리를 걸고, 실을 팽팽하게 당긴 채 연필을 움직이면 타원을 그릴 수 있는 것이 바로 이 정의입니다.
\(x^{2}\)의 분모가 더 크면 가로로 길고, 초점은 \(x\)축 위의 \((\pm c,\ 0)\)에 있습니다. 반대로 \(y^{2}\)의 분모가 더 큰 세로로 긴 타원에서는 \(c^{2} = b^{2} - a^{2}\)이 되고, 초점은 \(y\)축 위의 \((0,\ \pm c)\)로 옮겨 갑니다. ‘큰 분모에서 작은 분모를 뺀다’고 기억하면 방향을 틀리지 않습니다.
\(a^{2} = b^{2}\)일 때는 \(c = 0\)이 되어, 두 초점이 중심에서 겹친 원이 됩니다. 원은 타원의 특별한 경우입니다.
쌍곡선의 초점과 점근선(\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
중심에서 초점까지의 거리(\(c\))의 제곱
\(=\)
①
\(x^{2}\)의 분모(\(a^{2}\), 꼭짓점까지의 거리 \(a\)의 제곱)
\(+\)
②
\(y^{2}\)의 분모(\(b^{2}\))
공식을 말로 읽으면
①
\(x^{2}\)의 분모(\(a^{2}\))
에
②
\(y^{2}\)의 분모(\(b^{2}\))
를 더하면
③
중심에서 초점까지의 거리(\(c\))의 제곱
이 됩니다(초점은 \(x\)축 위의 두 점 \((\pm c,\ 0)\))
간단한 예
\(\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{16} = 1\)(\(a^{2} = 9,\ b^{2} = 16\))의 초점은
초점까지의 거리(\(c\))의 제곱
\(=\)
\(x^{2}\)의 분모(9)
\(+\)
\(y^{2}\)의 분모(16)
\(c^{2} = 9 + 16 = 25\)
\(c = \sqrt{25} = 5\)
\(F(5,\ 0),\quad F'(-5,\ 0)\)
이해의 핵심
쌍곡선은 ‘두 초점으로부터의 거리의 차가 항상 일정한(\(= 2a\)) 점들의 모임’입니다. 타원은 \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\)(뺄셈), 쌍곡선은 \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\)(덧셈)으로, 부호가 한 군데만 다릅니다. 타원에서는 초점이 꼭짓점보다 안쪽(\(c < a\))에 있지만, 쌍곡선에서는 초점이 꼭짓점보다 바깥쪽(\(c > a\))에 있어서 \(c^{2}\)이 \(a^{2}\)보다 커지기 때문입니다.
쌍곡선에는 곡선이 한없이 가까워지는 두 직선, 즉 점근선 \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\)가 있습니다(예의 쌍곡선에서는 \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\)). 그래프를 그릴 때는 점근선을 먼저 그린 다음 곡선을 그에 맞춰 그리는 것이 기본입니다.
우변이 \(-1\)(\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = -1\))일 때는 위아래로 열리는 쌍곡선이 되고, 초점은 \(y\)축 위의 \((0,\ \pm c)\), 꼭짓점은 \((0,\ \pm b)\), 거리의 차는 \(2b\)로 바뀝니다. \(c\)를 구하는 방법(덧셈)과 점근선은 같습니다.
포물선의 초점과 준선(\(y^{2} = 4px\))
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(PF\)
\(=\)
\(PH\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
초점 \(F\)까지의 거리(\(PF\))
\(=\)
①
준선까지의 거리(\(PH\))
공식을 말로 읽으면
①
포물선이란
준선까지의 거리(\(PH\))
와
②
초점 \(F\)까지의 거리(\(PF\))
가 항상 같은 점 \(P\)들의 모임을 말합니다
간단한 예
\(y^{2} = 8x\)를 표준형 \(y^{2} = 4px\)와 비교하면 \(4p = 8\)이므로
초점 \((2,\ 0)\)까지의 거리
\(=\)
준선 \(x = -2\)까지의 거리
\(4p = 8\)
\(p = \dfrac{8}{4} = 2\)
이해의 핵심
\(y^{2} = 4px\)의 초점은 \(x\)축 위의 \((p,\ 0)\), 준선은 세로 직선 \(x = -p\)입니다. \(p > 0\)이면 오른쪽으로, \(p < 0\)이면 왼쪽으로 열립니다.
\(x\)와 \(y\)를 바꾼 \(x^{2} = 4py\)는 세로로 열리는 포물선이고, 초점은 \((0,\ p)\), 준선은 가로 직선 \(y = -p\)입니다. 중학교 때부터 써 온 \(y = ax^{2}\)의 그래프도 \(x^{2} = \dfrac{1}{a}y\)로 고쳐 쓰면 같은 무리이며, 초점 \(\left(0,\ \dfrac{1}{4a}\right)\)과 준선을 가집니다.
계수를 \(4p\)로 묶어 쓰는 것은 초점과 준선이 딱 \((p,\ 0)\)과 \(x = -p\)라는 깔끔한 꼴이 되기 때문입니다. \(y^{2} = 8x\)처럼 주어지면 먼저 \(4p = 8\)에서 \(p\)를 구하는 것이 첫걸음입니다.
이심률(곡선의 모양을 나타내는 수) \(e\)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(e\)
\(=\)
\(c\)
\(\div\)
\(a\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
이심률(\(e\))
\(=\)
①
중심에서 초점까지의 거리(\(c\))
\(\div\)
②
중심에서 꼭짓점까지의 거리(\(a\))
공식을 말로 읽으면
①
중심에서 초점까지의 거리(\(c\))
를
②
중심에서 꼭짓점(긴 쪽 축의 끝)까지의 거리(\(a\))
로 나누면
③
이심률(\(e\))
이 됩니다
간단한 예
\(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)(\(a = 5,\ c = 4\))의 이심률은
이심률(\(e\))
\(=\)
초점까지의 거리(4)
\(\div\)
꼭짓점까지의 거리(5)
\(e = \dfrac{4}{5} = 0.8\)
이해의 핵심
이심률은 곡선이 ‘원에서 얼마나 동떨어진 모양인가’를 나타내는 수입니다. 원은 \(e = 0\), 타원은 \(0 < e < 1\)(0에 가까울수록 원에 가깝고, 1에 가까울수록 가늘고 깁니다), 포물선은 꼭 \(e = 1\), 쌍곡선은 \(e > 1\)입니다.
타원·쌍곡선·포물선은 얼핏 제각각인 곡선처럼 보이지만, 이심률이라는 하나의 수로 ‘원 → 타원 → 포물선 → 쌍곡선’으로 이어서 정리할 수 있습니다. 이것이 세 곡선을 묶어 이차곡선이라고 부르는 이유 중 하나입니다.
세로로 긴 타원이나 위아래로 열리는 쌍곡선에서는 긴 쪽 축이 \(y\)축이 되므로, 나누는 수는 \(b\)(중심에서 꼭짓점까지의 거리)로 바뀝니다. ‘초점까지의 거리 ÷ 꼭짓점까지의 거리’라고 기억해 두면 어느 방향이든 틀리지 않습니다.
타원은 \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\), 쌍곡선은 \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\)으로 중심에서 초점까지의 거리 \(c\)를 구할 수 있고, 포물선 \(y^{2} = 4px\)의 초점은 \((p,\ 0)\), 준선은 \(x = -p\)입니다. 세 곡선은 ‘초점으로부터의 거리’로 정의되는 한 무리(이차곡선)이며, 모양의 차이는 이심률 \(e\)(타원 \(e < 1\), 포물선 \(e = 1\), 쌍곡선 \(e > 1\))로 정리할 수 있습니다.
용어·기호 해설
기호
| \(a,\ b\) | 에이, 비 | 타원·쌍곡선의 표준형의 분모에 들어가는 양수입니다(\(a^{2}\), \(b^{2}\)의 꼴로 들어갑니다). 타원에서는 \(a\)가 \(x\)축 방향의 반지름(장축이나 단축의 절반), \(b\)가 \(y\)축 방향의 반지름입니다. 쌍곡선에서는 \(a\)가 중심에서 꼭짓점까지의 거리에 해당합니다. ‘정해진 수’를 나타낼 때는 알파벳 앞쪽의 문자 \(a,\ b,\ c\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(c\) | 씨 | 중심에서 초점까지의 거리입니다. 초점의 좌표는 \((\pm c,\ 0)\) 또는 \((0,\ \pm c)\)가 됩니다. \(a\), \(b\)에 이어 세 번째 문자를 씁니다. 타원에서는 \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\), 쌍곡선에서는 \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\)으로 구합니다. |
| \(F,\ F'\) | 에프, 에프 프라임 | 초점을 나타내는 점의 이름입니다. 초점을 뜻하는 영어 focus의 첫 글자입니다. 초점이 두 개인 타원·쌍곡선에서는 두 번째 초점을 \(F'\)(에프 프라임)으로 씁니다. |
| \(P\) | 피 | 곡선 위의 점을 나타내는 이름입니다. 점을 뜻하는 영어 point의 첫 글자입니다. ‘어떤 점 \(P\)를 잡아도 거리의 합이 일정하다’처럼 정의를 말할 때 씁니다. |
| \(PF\) | 피에프 | 점 \(P\)와 초점 \(F\)를 이은 선분의 길이(\(P\)에서 \(F\)까지의 거리)입니다. 두 점의 이름을 나란히 써서 선분의 길이를 나타내는, 도형의 일반적인 표기법입니다. |
| \(H\) | 에이치 | 포물선 위의 점 \(P\)에서 준선에 내린 수선의 발(준선과 만나는 점)을 나타내는 이름입니다. 수선의 발에는 \(H\)를 쓰는 관례가 있습니다(높이를 뜻하는 영어 height의 첫 글자에서 왔다고 합니다). \(P\)에서 준선까지의 거리는 \(PH\)로 씁니다. |
| \(p\) | 피 | 포물선 \(y^{2} = 4px\)에서 꼭짓점부터 초점까지의 거리를 나타내는 수입니다(음수이면 방향이 반대가 됩니다). 초점은 \((p,\ 0)\), 준선은 \(x = -p\)입니다. 초점 거리를 나타내는 parameter(매개변수)의 첫 글자에서 왔다고 합니다. |
| \(e\) | 이 | 이심률입니다. 이심률을 뜻하는 영어 eccentricity의 첫 글자입니다. 원은 \(e = 0\), 타원은 \(0 < e < 1\), 포물선은 \(e = 1\), 쌍곡선은 \(e > 1\)이 됩니다. |
| \(\pm\) | 플러스 마이너스 | ‘+인 경우와 −인 경우 둘 다’를 한꺼번에 쓰는 기호(복부호)입니다. 초점 \((\pm 4,\ 0)\)은 \((4,\ 0)\)과 \((-4,\ 0)\)의 두 점을 한꺼번에 쓴 것입니다. |
| \(\sqrt{\ }\) | 루트 | 제곱근(제곱하면 그 수가 되는 양수)을 나타내는 기호입니다. \(c^{2} = 5\)에서 \(c = \sqrt{5}\)를 구할 때 씁니다. \(\sqrt{5}\)는 약 2.236입니다. |
용어
| 이차곡선 | \(x\)와 \(y\)의 이차식으로 나타내는 곡선입니다. 타원, 쌍곡선, 포물선(과 원)이 여기에 해당합니다. 고등학교 ‘기하’ 과목의 ‘이차곡선’ 단원에서 배웁니다. |
| 원뿔곡선 | 이차곡선의 다른 이름입니다. 원뿔(아이스크림 콘 같은 입체)을 평면으로 자르면, 자르는 각도에 따라 단면이 원·타원·포물선·쌍곡선이 되는 데서 온 이름입니다. |
| 타원 | 두 초점으로부터의 거리의 합이 일정한 점들의 모임입니다. 원을 한 방향으로 눌러 찌그러뜨린 모양이며, 표준형은 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\)입니다. |
| 쌍곡선 | 두 초점으로부터의 거리의 차가 일정한 점들의 모임입니다. 좌우(또는 위아래)로 열린 두 곡선의 쌍이며, 표준형은 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\)입니다. |
| 포물선 | 초점과 준선으로부터 같은 거리에 있는 점들의 모임입니다. 물체를 던졌을 때 날아가는 길의 모양이라서 이런 이름이 붙었습니다. 표준형은 \(y^{2} = 4px\)(또는 \(x^{2} = 4py\))입니다. |
| 초점 | 이차곡선의 모양을 정하는 특별한 점입니다. 타원·쌍곡선에는 두 개, 포물선에는 한 개 있습니다. 빛이나 전파를 초점에 ‘모으는’ 성질이 있으며, 영어 focus(초점)는 라틴어의 ‘화로·아궁이’에서 왔다고 합니다. |
| 준선 | 포물선의 정의에 쓰는 직선입니다. 포물선 위의 어느 점이든 초점까지의 거리와 준선까지의 거리가 같습니다. \(y^{2} = 4px\)의 준선은 \(x = -p\)입니다. |
| 점근선 | 곡선이 한없이 가까워지는(하지만 닿지는 않는) 직선입니다. 쌍곡선 \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\)의 점근선은 \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\)의 두 직선입니다. ‘점근’은 ‘점점 가까워진다’는 뜻입니다. |
| 이심률 | 곡선이 원에서 얼마나 동떨어진 모양인지를 \(e\)라는 하나의 수로 나타낸 것입니다. ‘(초점이) 중심에서 떨어진 정도’라는 뜻에서 온 이름입니다. 원 \(e = 0\), 타원 \(0 < e < 1\), 포물선 \(e = 1\), 쌍곡선 \(e > 1\)로, 이차곡선 전체를 하나의 수로 정리할 수 있습니다. 교과서에 따라서는 다루지 않기도 하지만, 천문학이나 대학 수학에서 자주 씁니다. |
| 장축 | 타원의 중심을 지나는 가장 긴 지름입니다. 가로로 긴 타원에서는 길이가 \(2a\)이고, 초점은 장축 위에 놓입니다. |
| 단축 | 타원의 중심을 지나는 가장 짧은 지름입니다. 가로로 긴 타원에서는 길이가 \(2b\)이고, 장축과 수직으로 만납니다. |
| 꼭짓점 | 곡선과 축(대칭축)이 만나는 점입니다. 타원에는 네 개(장축의 양 끝과 단축의 양 끝), 쌍곡선에는 두 개, 포물선에는 한 개(원점) 있습니다. |
| 표준형 | 중심(포물선은 꼭짓점)을 원점에 둔 가장 간단한 꼴의 식입니다. \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\) 등이 그것이며, 초점이나 꼭짓점을 읽기 쉬워집니다. |
| 제곱근 | 제곱하면 그 수가 되는 수입니다. \(c^{2} = 16\)에서 \(c = 4\)를 구하는 것이 ‘제곱근을 구하는’ 것에 해당합니다. 제곱해서 딱 떨어지지 않는 수의 제곱근은 \(\sqrt{5}\)처럼 근호를 그대로 남겨 쓰는 것이 정확한 표기입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 제곱근(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 좌표평면과 두 점 사이의 거리(중학교 1학년~고등학교 1학년, 12~16세) |
|
| 이차함수의 그래프(중학교 3학년~고등학교 1학년, 14~16세) |
|
| 원의 방정식(고등학교 1학년, 15~16세) |
|
| 분수·비의 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘타원의 초점과 이심률’을 구하는 표(가로로 긴 a² > b²인 경우)
| x²의 분모 a² | 25 |
| y²의 분모 b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| 초점까지의 거리 c = √(c²) | =SQRT(B3) |
| 장축의 길이 2a | =2*SQRT(B1) |
| 단축의 길이 2b | =2*SQRT(B2) |
| 이심률 e = c/a | =B4/SQRT(B1) |
‘쌍곡선의 초점과 점근선’을 구하는 표
| x²의 분모 a² | 9 |
| y²의 분모 b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| 초점까지의 거리 c = √(c²) | =SQRT(B3) |
| 점근선의 기울기 b/a | =SQRT(B2/B1) |
| 이심률 e = c/a | =B4/SQRT(B1) |
‘포물선의 초점과 준선’을 구하는 표(y² = cx)
| x의 계수 c | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| 초점의 x좌표(초점은 (p, 0)) | =B2 |
| 준선 x = −p의 값 | =-B2 |
붙여 넣으면 위쪽 행(분모·계수)이 입력란이 되고, 아래쪽 행이 자동 계산 결과가 됩니다. SQRT는 제곱근(루트)을 구하는 함수입니다.
첫 번째 표는 타원 x²/25 + y²/9 = 1의 예로, c² = 16, c = 4, 장축 10, 단축 6, 이심률 0.8이 됩니다. 세로로 긴(a² < b²) 타원에서는 c²의 식을 ‘=B2-B1’로, 이심률을 ‘=B4/SQRT(B2)’로 바꿔 넣으세요.
두 번째 표는 쌍곡선 x²/9 − y²/16 = 1의 예로, c² = 25, c = 5, 점근선의 기울기 1.333…(= 4/3), 이심률 1.666…(= 5/3)이 됩니다.
세 번째 표는 포물선 y² = 8x의 예로, p = 2, 초점 (2, 0), 준선 x = −2가 됩니다. x² = cy(세로로 열림)일 때는 초점을 (0, p), 준선을 y = −p로 바꿔 읽으세요.
Excel의 답은 소수이므로 √5 같은 정확한 값이 필요할 때는 이 페이지의 계산기를 쓰세요.
첫 번째 표는 타원 x²/25 + y²/9 = 1의 예로, c² = 16, c = 4, 장축 10, 단축 6, 이심률 0.8이 됩니다. 세로로 긴(a² < b²) 타원에서는 c²의 식을 ‘=B2-B1’로, 이심률을 ‘=B4/SQRT(B2)’로 바꿔 넣으세요.
두 번째 표는 쌍곡선 x²/9 − y²/16 = 1의 예로, c² = 25, c = 5, 점근선의 기울기 1.333…(= 4/3), 이심률 1.666…(= 5/3)이 됩니다.
세 번째 표는 포물선 y² = 8x의 예로, p = 2, 초점 (2, 0), 준선 x = −2가 됩니다. x² = cy(세로로 열림)일 때는 초점을 (0, p), 준선을 y = −p로 바꿔 읽으세요.
Excel의 답은 소수이므로 √5 같은 정확한 값이 필요할 때는 이 페이지의 계산기를 쓰세요.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘타원의 초점과 이심률’을 구하는 표(가로로 긴 a² > b²인 경우)
| x²의 분모 a² | 25 |
| y²의 분모 b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| 초점까지의 거리 c = √(c²) | =SQRT(B3) |
| 장축의 길이 2a | =2*SQRT(B1) |
| 단축의 길이 2b | =2*SQRT(B2) |
| 이심률 e = c/a | =B4/SQRT(B1) |
‘쌍곡선의 초점과 점근선’을 구하는 표
| x²의 분모 a² | 9 |
| y²의 분모 b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| 초점까지의 거리 c = √(c²) | =SQRT(B3) |
| 점근선의 기울기 b/a | =SQRT(B2/B1) |
| 이심률 e = c/a | =B4/SQRT(B1) |
‘포물선의 초점과 준선’을 구하는 표(y² = cx)
| x의 계수 c | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| 초점의 x좌표(초점은 (p, 0)) | =B2 |
| 준선 x = −p의 값 | =-B2 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 분모·계수를 원하는 숫자로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
from fractions import Fraction
import math
# 타원 x²/a² + y²/b² = 1의 분모(3/4 같은 분수는 Fraction(3, 4)로 쓸 수 있음)
x_denominator = Fraction(25) # a²
y_denominator = Fraction(9) # b²
# 타원: c² = 큰 분모 − 작은 분모(쌍곡선이면 덧셈으로 바꿈)
c_squared = abs(x_denominator - y_denominator)
c = math.sqrt(c_squared)
semi_major = math.sqrt(max(x_denominator, y_denominator))
print(f"c² = {c_squared}")
print(f"c = √{c_squared} = {c}")
if x_denominator >= y_denominator:
print(f"초점: (±{c}, 0)") # 가로로 긺 → 초점은 x축 위
else:
print(f"초점: (0, ±{c})") # 세로로 긺 → 초점은 y축 위
print(f"이심률 e = c ÷ {semi_major} = {c / semi_major}")
표준 라이브러리만으로 작동합니다. fractions 모듈로 분모를 분수 그대로 다루어, c²까지는 반올림 오차 없는 정확한 값으로 계산합니다(제곱근 math.sqrt만 소수가 됩니다). 이 예는 타원 x²/25 + y²/9 = 1에 대한 것으로, 실행하면 ‘c² = 16’, ‘c = √16 = 4.0’, ‘초점: (±4.0, 0)’, ‘이심률 e = c ÷ 5.0 = 0.8’의 네 줄이 표시됩니다. 쌍곡선 x²/a² − y²/b² = 1을 계산할 때는 c_squared 줄을 ‘x_denominator + y_denominator’로 바꾸세요. 포물선 y² = cx는 p = c/4만 계산하면 되므로 Fraction(8) / 4처럼 바로 구할 수 있습니다.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
타원의 초점(\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
c² = a² − b²
c^{2} = a^{2} - b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 - b^2
c = Sqrt[a^2 - b^2]
c := sqrt(a^2 - b^2);
c = sqrt(a^2 - b^2);
c^2 = a^2 - b^2
쌍곡선의 초점과 점근선(\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
c² = a² + b²
c^{2} = a^{2} + b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2
c = Sqrt[a^2 + b^2]
c := sqrt(a^2 + b^2);
c = sqrt(a^2 + b^2);
c^2 = a^2 + b^2
포물선의 초점과 준선(\(y^{2} = 4px\))
y² = 4px
y^{2} = 4px
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>p</mi><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y^2 = 4px
y^2 == 4 p x
y^2 = 4*p*x;
y^2 == 4*p*x
y^2 = 4px
이심률(곡선의 모양을 나타내는 수) \(e\)
e = c/a
e = \dfrac{c}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>e</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
e = c/a
e = c/a
e := c/a;
e = c/a;
e = c/a
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(기하·이차곡선) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 타원 x²/9 + y²/4 = 1에 대해 다음 내용을 각각 보여 주세요. 1. c² = a² − b²의 값 2. 중심에서 초점까지의 거리 c(√를 남긴 정확한 값과 소수 모두) 3. 초점의 좌표 4. 장축의 길이 2a와 단축의 길이 2b 5. 이심률 e = c/a(정확한 값과 소수 모두) Python에서는 sympy(없으면 fractions와 math)를 쓰고, √5 같은 정확한 값은 sympy.sqrt로 구하세요. 계산에 쓴 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
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전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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관련 기능
원의 방정식 계산기(일반형⇔표준형·중심과 반지름·원과 직선의 위치 관계)
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