절댓값 안의 식 ax + b의 계수 a, b와 우변의 수 c, 비교의 종류(=, <, ≤, >, ≥)를 입력해 주세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어 수 부분을 직접 고쳐 써도 계산할 수 있습니다.
소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. a가 빈칸이면 1(x는 1x라는 뜻), b와 c가 빈칸이면 0으로 처리합니다.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 계수 a, b와 우변의 수 c, 비교의 종류를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 두 가지 풀이 과정과 수직선이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 절댓값이 있는 방정식·부등식 \(|ax+b| = c\), \(< c\), \(\le c\), \(> c\), \(\ge c\)를 계수와 비교의 종류만 고르면 풀 수 있습니다. 해는 기약분수(정확한 값)로 보여 줍니다
- 고등학교 1학년에서 배우는 두 가지 풀이, 즉 ① 기본형(‘\(|X| = c\)이면 \(X = \pm c\)’ 등)과 ② 경우 나누기(\(ax+b \ge 0\)과 \(ax+b < 0\)으로 나누어 절댓값 기호를 없애기)의 풀이 과정을 모두 보여 줍니다. 경우 나누기에서는 각 경우의 해와 그 경우의 조건의 공통부분(해의 확인)까지 한 줄씩 보여 줍니다
- \(c = 0\)이나 \(c < 0\)처럼 헷갈리기 쉬운 경우(해가 한 점뿐, 한 점만 뺀 모든 실수, 해 없음, 모든 실수)도 ‘절댓값은 항상 0 이상’이라는 이유와 함께 바르게 판정합니다
- 부등식의 해의 범위는 수직선 그림으로 보여 줍니다. 경계의 값이 해에 포함되는지(찬 점 ●), 포함되지 않는지(빈 점 ○)도 구별할 수 있습니다
- 계수에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다. 공식의 쉬운 해설과 Excel, Google 스프레드시트, Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
우변은 수 \(c\)만 다룹니다. \(|x-1| < 2x\)처럼 우변에 \(x\)가 들어 있는 꼴이나 \(|x-1| + |x-2|\)처럼 절댓값이 2개 이상 있는 식은 다루지 않습니다(이런 식도 아래 ‘공식과 수직선’에서 소개하는 경우 나누기를 쓰면 손으로 풀 수 있습니다).
이 계산은 어디에 쓰일까요?
부품의 합격 범위 정하기(제조·품질 관리의 공차)
공업 제품의 치수는 ‘설계값 ± 허용 오차’로 관리합니다. 예를 들어 ‘길이 50 mm, 허용 오차 ±0.5 mm’인 부품이라면 합격 조건은 절댓값이 있는 부등식 \(|x - 50| \le 0.5\) 그 자체이고, 해의 범위 \(49.5 \le x \le 50.5\)가 합격 범위입니다.
도면에 쓰는 ‘\(50 \pm 0.5\)’라는 표기(공차)는 이 부등식을 짧게 쓴 것에 해당합니다.
가정에 공급되는 전기의 전압 기준(인프라의 유지 범위)
한국 기준으로 가정용 전기의 표준전압은 220 V이고, 전기사업법 시행규칙(2025년 개정)은 그 허용오차를 위아래 22 V 이내로 정하고 있습니다. 이는 \(|V - 220| \le 22\), 즉 \(198 \le V \le 242\)의 범위입니다.
‘기준값과의 차이의 크기를 일정한 한도 안에 둔다’는 규칙은 수압이나 식품 포장의 내용량 표시 등 여러 분야에 나오며, 모두 절댓값이 있는 부등식으로 쓸 수 있습니다.
프로그램의 기준값 판정(허용 오차·충돌 판정)
프로그래밍에서는 ‘목표값과의 차이가 일정 이하이면 같다고 본다’는 판정을 if abs(x - target) <= eps처럼 씁니다. 소수의 계산 오차를 허용해서 비교할 때나, 게임에서 캐릭터가 목적지에 ‘거의 도착했다’고 판정할 때 흔히 쓰는 방법입니다.
이 한 줄은 절댓값이 있는 부등식 \(|x - t| \le \varepsilon\)을 그대로 코드로 옮긴 것이어서, 해의 범위가 그대로 판정이 통과하는 범위가 됩니다.
실험·측정 오차의 크기 평가하기(과학·검사)
측정값과 참값의 차이(오차)는 양수 쪽으로도 음수 쪽으로도 생깁니다. ‘차이의 크기가 일정 이하인가’를 따질 때는 부호를 없앤 \(|\text{측정값} - \text{기준값}|\)으로 평가하는 것이 기본입니다.
예를 들어 체온계나 체중계의 정확도 표시 ‘±0.1’은 \(|\text{표시값} - \text{참값}| \le 0.1\)이 대체로 보장된다는 뜻이며, 이 범위를 의식하면 측정 결과를 읽는 법이 달라집니다.
공식과 수직선
절댓값이 있는 방정식의 기본형(\(c > 0\)일 때)
수직선으로 보기
수학 표기
(일반적인 수식)
\(X\)
\(=\)
\(c\)
\(,\ \ \)
\(-c\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
\(X\): 절댓값 안의 식
\(=\)
①
\(c\): 양수 쪽
\(,\ \ \)
②
\(-c\): 음수 쪽
공식을 말로 읽으면
①
절댓값 \(|X|\)는 수직선에서 0으로부터의 거리입니다. 0으로부터의 거리가 정확히 \(c\)인 수는
\(c\): 양수 쪽
과
②
\(-c\): 음수 쪽
의 두 개뿐입니다.
③
\(X\): 절댓값 안의 식
은 이 둘 중 하나와 같습니다.
간단한 예
\(|x| = 3\)의 해는 0으로부터의 거리가 3인 수이므로
안의 식 \(x\)
\(=\)
\(3\)
\(,\ \ \)
\(-3\)
\(x = 3,\ \ x = -3\)
이해의 핵심
\(|X| = c\) 꼴의 방정식은 절댓값 안의 식 \(X\)를 한 덩어리로 보고 \(X = \pm c\)로 절댓값 기호를 없애는 것이 기본입니다. 예를 들어 \(|2x - 3| = 5\)라면 \(2x - 3 = 5\)와 \(2x - 3 = -5\)의 두 일차방정식으로 나뉩니다.
이 기본형은 우변의 \(c\)가 양수일 때만 쓸 수 있습니다. \(c = 0\)이면 ‘절댓값 안의 식이 0이 되는 한 점’만 해이고, \(c\)가 음수이면 ‘절댓값은 음수가 될 수 없으므로’ 해가 없습니다(이 계산기는 이런 경우도 이유와 함께 자동으로 판정합니다).
절댓값이 있는 부등식의 기본형(\(<\), \(\le\): 사이의 범위)
수직선으로 보기
수학 표기
(일반적인 수식)
\(-c\)
\(<\)
\(X\)
\(<\)
\(c\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
\(-c\): 음수 쪽 경계
\(<\)
③
\(X\): 절댓값 안의 식
\(<\)
②
\(c\): 양수 쪽 경계
공식을 말로 읽으면
①
\(|X| < c\)(0으로부터의 거리가 \(c\)보다 작음)인 수는
\(-c\): 음수 쪽 경계
보다 오른쪽,
②
\(c\): 양수 쪽 경계
보다 왼쪽에 있습니다.
③
\(X\): 절댓값 안의 식
은 두 경계 사이의 범위에 있습니다.
간단한 예
\(|x| \le 2\)의 해는 0으로부터의 거리가 2 이하인 범위이므로
\(-2\)
\(\le\)
안의 식 \(x\)
\(\le\)
\(2\)
\(-2 \le x \le 2\)
이해의 핵심
등호가 들어간 \(|X| \le c\)에서는 경계의 값 자체도 해에 포함되어 \(-c \le X \le c\)가 됩니다. 수직선에서는 경계를 포함하면 찬 점(●), 포함하지 않으면 빈 점(○)으로 구별해 그립니다.
\(-c < X < c\)는 ‘\(-c < X\) 그리고 \(X < c\)’를 한 줄로 묶어 쓴 것입니다. ‘그리고’이므로 두 조건의 공통부분만 해가 됩니다.
절댓값이 있는 부등식의 기본형(\(>\), \(\ge\): 바깥쪽 범위)
수직선으로 보기
수학 표기
(일반적인 수식)
\(X\)
\(<\)
\(-c\)
\(\ \text{또는}\ \)
\(c\)
\(<\)
\(X\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
\(X\): 절댓값 안의 식
\(<\)
①
\(-c\): 음수 쪽 경계
\(\ \text{또는}\ \)
②
\(c\): 양수 쪽 경계
\(<\)
\(X\): 절댓값 안의 식
공식을 말로 읽으면
①
\(|X| > c\)(0으로부터의 거리가 \(c\)보다 큼)인 수는
\(-c\): 음수 쪽 경계
보다 더 왼쪽이거나
②
\(c\): 양수 쪽 경계
보다 더 오른쪽에 있습니다.
③
\(X\): 절댓값 안의 식
은 두 경계의 바깥쪽 범위 중 어느 한쪽에 있습니다.
간단한 예
\(|x| > 1\)의 해는 0으로부터의 거리가 1보다 큰 범위이므로
안의 식 \(x\)
\(<\)
\(-1\)
\(\ \text{또는}\ \)
\(1\)
\(<\)
안의 식 \(x\)
\(x < -1 \ \text{또는}\ 1 < x\)
이해의 핵심
‘\(<\)이면 사이, \(>\)이면 바깥쪽’으로 묶어서 기억하는 것이 일반적입니다. 비슷한 ‘사이와 바깥쪽’의 생각은 이차부등식(포물선과 \(x\)축의 위치 관계)에서도 나옵니다.
‘\(x < -1\) 또는 \(1 < x\)’에서는 ‘또는’이 중요합니다. 하나의 \(x\)가 두 범위에 동시에 들어갈 수는 없으므로 ‘그리고’와 헷갈리지 않도록 주의하세요(교과서에서는 ‘\(x < -1\) 또는 \(x > 1\)’로 쓰는 경우가 많으며 뜻은 같습니다).
경우를 나누어 절댓값 기호 없애기(어떤 식에도 통하는 방법)
그래프로 보기
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\lvert X \rvert\)
\(=\)
\(X\)
\(\quad (X \ge 0)\)
\(\lvert X \rvert\)
\(=\)
\(-X\)
\(\quad (X < 0)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
\(|X|\): 절댓값
\(=\)
①
\(X\): 그대로
\(\quad (X \ge 0)\)
\(|X|\): 절댓값
\(=\)
②
\(-X\): 부호를 바꾼 것
\(\quad (X < 0)\)
공식을 말로 읽으면
①
안의 식이 0 이상(\(X \ge 0\))이면 절댓값 기호를 없앤 결과는
\(X\): 그대로
이고,
②
안의 식이 음수(\(X < 0\))이면
\(-X\): 부호를 바꾼 것
입니다.
③
\(|X|\): 절댓값
은 안의 식의 부호에 따라 경우를 나누면 항상 기호를 없앨 수 있습니다.
간단한 예
안의 식이 음수인 예: \(X = -5\)일 때 부호를 바꾸어 절댓값 기호를 없애면
\(\lvert -5 \rvert\)
\(=\)
부호를 바꾼 \(-(-5)\)
\(\lvert -5 \rvert = -(-5) = 5\)
이해의 핵심
‘마이너스를 붙였는데 결과는 양수가 된다’는 점이 헷갈리기 쉬운 부분입니다. \(X\) 자체가 음수이면 \(-X\)는 양수가 됩니다(\(X = -5\)이면 \(-X = 5\)).
경우를 나누어 절댓값 기호를 없앴다면, 각 경우의 해가 ‘경우의 조건’(\(X \ge 0\)이나 \(X < 0\)을 \(x\)의 범위로 고친 것)에 맞는지 반드시 확인합니다(해의 확인). 맞지 않는 해는 버리고, 마지막에 각 경우의 해를 합친 것이 답입니다.
경우 나누기는 기본형을 쓸 수 없는 복잡한 식(우변에 \(x\)가 있는 식, 절댓값이 2개 있는 식 등)에도 통하는 만능 방법입니다. 이 계산기의 결과란에서는 풀이 ②로 이 경우 나누기의 풀이 과정과 해의 확인을 보여 줍니다.
절댓값이 있는 방정식·부등식은 우변의 \(c\)가 양수이면 기본형(\(=\)은 \(X = \pm c\), \(<\)는 사이의 범위 \(-c < X < c\), \(>\)는 바깥쪽 범위 \(X < -c\) 또는 \(c < X\))으로 일차방정식·일차부등식으로 고쳐 풀 수 있습니다. 기본형을 쓸 수 없는 식도 안의 식의 부호에 따라 경우를 나누면 반드시 절댓값 기호를 없앨 수 있습니다. 경우를 나누었다면 각 경우의 해와 그 경우의 조건의 공통부분을 확인하는 ‘해의 확인’을 잊지 않는 것이 핵심입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(|x|\) | 엑스의 절댓값 | 절댓값의 기호입니다. 수를 세로 막대 2개 사이에 써서 ‘수직선 위에서 0으로부터 얼마나 떨어져 있는가’(거리)를 나타냅니다. 거리이므로 항상 0 이상이고, \(|5| = 5\), \(|-5| = 5\)입니다. |
| \(X\) | 엑스(대문자) | 이 페이지에서는 절댓값 안의 식 \(ax+b\)(일차식)를 한 덩어리로 보고 바꾸어 놓은 문자입니다. ‘안의 식을 묶어서 하나의 문자로 보면’ 기본형을 그대로 쓸 수 있습니다. |
| \(a,\ b,\ c\) | 에이, 비, 시 | 정해진 수(상수)를 나타낼 때 자주 쓰는 문자입니다. ‘정해진 수’에는 알파벳 앞쪽의 문자 \(a,\ b,\ c\)를 쓰는 관례가 있습니다. 이 페이지에서는 \(a\), \(b\)가 절댓값 안의 식 \(ax+b\)의 계수와 상수항이고, \(c\)가 우변에서 비교하는 수입니다. |
| \(x\) | 엑스 | 구하려는 모르는 수(미지수)입니다. 미지수에는 알파벳 끝쪽의 문자 \(x,\ y,\ z\)를 쓰는 관례가 있으며, 수학자 데카르트의 표기에서 비롯되었다고 합니다. |
| \(\pm\) | 플러스 마이너스 | ‘\(+\)인 경우와 \(-\)인 경우 둘 다’를 한꺼번에 쓰는 기호입니다. \(X = \pm 5\)는 \(X = 5\)와 \(X = -5\)의 두 가지를 묶어서 쓴 것입니다. |
| \(<,\ >\) | 작다, 크다(~보다 작다, ~보다 크다) | 크기를 비교하는 부등호입니다. 기호가 벌어진 쪽이 큰 수입니다. 경계의 값 자체는 포함하지 않습니다(수직선에서는 빈 점 ○으로 나타냅니다). |
| \(\ge,\ \le\) | 크거나 같다, 작거나 같다(~ 이상, ~ 이하) | ‘이상’, ‘이하’를 나타내는 부등호로, 경계의 값 자체도 포함합니다(수직선에서는 찬 점 ●으로 나타냅니다). 일본 교과서처럼 아래쪽을 두 줄로 쓰는 ≧, ≦도 뜻은 같습니다. |
| \(\neq\) | 같지 않다 | ‘같지 않다’를 나타내는 기호입니다. \(x \neq 2\)는 ‘2를 뺀 모든 실수’라는 뜻으로, \(|X| > 0\) 꼴의 해에 나옵니다. |
용어
| 절댓값 | 수직선 위에서 0부터 그 수까지의 거리입니다. 거리이므로 항상 0 이상입니다. 양수는 그대로(\(|5| = 5\)), 음수는 부호를 뗀 값(\(|-5| = 5\))이 됩니다. 중학교 1학년에서 뜻을 배우고, 고등학교 1학년에서 절댓값이 있는 방정식·부등식을 배웁니다. |
| 방정식 | 아직 모르는 수(미지수)가 들어 있는 등식입니다. 등식을 참이 되게 하는 미지수의 값을 ‘해’라 하고, 해를 모두 구하는 것을 ‘방정식을 푼다’고 합니다. |
| 부등식 | 수나 식의 크기 관계를 부등호(\(<\), \(\le\), \(>\), \(\ge\))로 나타낸 식입니다. 해는 하나의 수가 아니라 ‘범위’가 되는 경우가 많고, 수직선으로 나타내면 알기 쉽습니다. |
| 일차식 | \(2x - 3\)처럼 \(x\)의 차수가 1까지만 나오는 식입니다. 이 페이지에서 절댓값 안의 식은 일차식입니다. |
| 경우 나누기 | 상황에 따라 식의 꼴이 달라질 때 ‘~인 경우’, ‘~인 경우’로 나누어 경우마다 따로 푸는 방법입니다. 절댓값은 안의 식의 부호에 따라 기호를 없애는 방법이 달라지므로 경우 나누기의 대표적인 예입니다. |
| 해의 확인 | 구한 답이 전제로 한 조건에 맞는지 확인하는 것입니다. 경우를 나누었다면 각 경우의 해가 ‘경우의 조건’을 만족하는지(범위라면 공통부분이 있는지) 반드시 확인하고, 맞지 않는 해는 버립니다. |
| 공통부분 | 두 범위에 모두 포함되는 부분(‘그리고’에 해당하는 범위)입니다. 수직선 위에 두 범위를 함께 그리고 겹치는 부분을 읽어 내는 것이 일반적인 방법입니다. |
| 수직선 | 수를 직선 위의 점으로 나타낸 그림입니다. 오른쪽으로 갈수록 큰 수입니다. 절댓값(0으로부터의 거리)이나 부등식의 해의 범위를 눈으로 확인하는 데 씁니다. |
| 이항 | 등식이나 부등식의 항을 부호를 바꾸어 반대쪽 변으로 옮기는 것입니다. \(2x - 3 = 5\)의 \(-3\)을 우변으로 옮기면 \(2x = 5 + 3\)이 됩니다. |
| 실수 | 수직선 위에 놓을 수 있는 모든 수입니다. 정수, 분수, 소수뿐 아니라 \(\sqrt{2}\)나 원주율 같은 수도 포함합니다. |
| 해 없음 | 조건을 만족하는 \(x\)가 하나도 없는 것입니다. 예를 들어 \(|x| = -2\)는 절댓값이 음수가 될 수 없으므로 해가 없습니다. |
| 모든 실수 | \(x\)가 어떤 값이든 성립하는 것입니다. 예를 들어 \(|x| \ge -1\)은 절댓값이 항상 0 이상이므로 언제나 성립합니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 이해하고’ 쓸 수 있도록, 미리 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 정수와 유리수, 수직선(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 절댓값의 뜻(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 일차방정식(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 일차부등식(중학교 2학년, 13~14세)과 연립일차부등식(고등학교 1학년, 15~16세) |
|
| 분수의 계산(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
|ax+b| = c의 해를 구하는 표
| x의 계수 a | 2 |
| 상수항 b | -3 |
| 우변의 수 c | 5 |
| 해 1(안의 식이 c가 되는 x) | =(B3-B2)/B1 |
| 해 2(안의 식이 −c가 되는 x) | =(-B3-B2)/B1 |
|ax+b| ≤ c의 해의 범위를 구하는 표
| x의 계수 a | 2 |
| 상수항 b | -3 |
| 우변의 수 c | 5 |
| 범위의 왼쪽 끝 | =MIN((B3-B2)/B1,(-B3-B2)/B1) |
| 범위의 오른쪽 끝 | =MAX((B3-B2)/B1,(-B3-B2)/B1) |
해를 대입해 확인하는 표(검산)
| x의 계수 a | 2 |
| 상수항 b | -3 |
| 확인할 x | 4 |
| |ax+b|의 값 | =ABS(B1*B3+B2) |
붙여 넣으면 위쪽 행(계수와 우변의 수)이 입력란이 되고, 아래쪽 행은 자동으로 계산된 결과가 됩니다.
첫 번째 표는 |2x − 3| = 5의 예로, 해 1은 4, 해 2는 −1이 됩니다. c에 0 이하의 수를 넣어도 계산상의 수치는 나오지만, 실제 해는 ‘c = 0이면 한 점뿐, c가 음수이면 해 없음’이므로 주의하세요(이 페이지의 계산기는 자동으로 판정합니다).
두 번째 표는 |2x − 3| ≤ 5의 해의 범위 −1 ≤ x ≤ 4를 구하는 표로, MIN이 왼쪽 끝, MAX가 오른쪽 끝입니다. >, ≥일 때는 이 두 값의 ‘바깥쪽’이 해의 범위입니다.
세 번째 표는 검산용입니다. 해 x = 4를 대입하면 ABS(절댓값을 구하는 함수)의 값이 우변의 5로 돌아오는 것을 확인할 수 있습니다.
첫 번째 표는 |2x − 3| = 5의 예로, 해 1은 4, 해 2는 −1이 됩니다. c에 0 이하의 수를 넣어도 계산상의 수치는 나오지만, 실제 해는 ‘c = 0이면 한 점뿐, c가 음수이면 해 없음’이므로 주의하세요(이 페이지의 계산기는 자동으로 판정합니다).
두 번째 표는 |2x − 3| ≤ 5의 해의 범위 −1 ≤ x ≤ 4를 구하는 표로, MIN이 왼쪽 끝, MAX가 오른쪽 끝입니다. >, ≥일 때는 이 두 값의 ‘바깥쪽’이 해의 범위입니다.
세 번째 표는 검산용입니다. 해 x = 4를 대입하면 ABS(절댓값을 구하는 함수)의 값이 우변의 5로 돌아오는 것을 확인할 수 있습니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
|ax+b| = c의 해를 구하는 표
| x의 계수 a | 2 |
| 상수항 b | -3 |
| 우변의 수 c | 5 |
| 해 1(안의 식이 c가 되는 x) | =(B3-B2)/B1 |
| 해 2(안의 식이 −c가 되는 x) | =(-B3-B2)/B1 |
|ax+b| ≤ c의 해의 범위를 구하는 표
| x의 계수 a | 2 |
| 상수항 b | -3 |
| 우변의 수 c | 5 |
| 범위의 왼쪽 끝 | =MIN((B3-B2)/B1,(-B3-B2)/B1) |
| 범위의 오른쪽 끝 | =MAX((B3-B2)/B1,(-B3-B2)/B1) |
해를 대입해 확인하는 표(검산)
| x의 계수 a | 2 |
| 상수항 b | -3 |
| 확인할 x | 4 |
| |ax+b|의 값 | =ABS(B1*B3+B2) |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 계수와 우변의 수를 자신의 수치로 고쳐 써 주세요.
Python으로 계산하는 방법
from fractions import Fraction
# |a*x + b| ? c 를 풉니다(3/4 같은 분수는 Fraction(3, 4)로 쓸 수 있습니다)
a = Fraction(2) # x의 계수
b = Fraction(-3) # 상수항(절댓값 안)
c = Fraction(5) # 우변의 수
sign = "<=" # "=", "<", "<=", ">", ">=" 중에서 고릅니다
lower = (-c - b) / a # 안의 식이 -c가 되는 x
upper = (c - b) / a # 안의 식이 c가 되는 x
left, right = min(lower, upper), max(lower, upper)
if c > 0:
if sign == "=":
print(f"해: x = {left}, {right}")
elif sign in ("<", "<="):
print(f"해: {left} {sign} x {sign} {right}")
else:
flipped = "<" if sign == ">" else "<="
print(f"해: x {flipped} {left} 또는 {right} {flipped} x")
elif c == 0:
boundary = -b / a # 안의 식이 0이 되는 x
if sign in ("=", "<="):
print(f"해: x = {boundary}")
elif sign == "<":
print("해 없음")
elif sign == ">":
print(f"해: x ≠ {boundary}")
else:
print("모든 실수")
else:
# 절댓값은 항상 0 이상이므로 음수 c와의 비교는 자동으로 결정됩니다
if sign in (">", ">="):
print("모든 실수")
else:
print("해 없음")
표준 라이브러리의 fractions 모듈을 쓰면 소수의 반올림 오차 없이 정확한 분수 그대로 계산할 수 있습니다. 이 예는 |2x − 3| ≤ 5를 푸는 것으로, 실행하면 ‘해: -1 <= x <= 4’가 표시됩니다. 계수와 비교의 종류(sign)를 고쳐 쓰고 실행해 주세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
절댓값이 있는 방정식의 기본형(\(c > 0\)일 때)
|X| = c ⇔ X = ±c (c > 0)
\lvert X \rvert = c \iff X = \pm c \quad (c > 0)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo>=</mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>X</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) = c iff X = +-c
Solve[Abs[x] == c, x, Reals]
solve(abs(x) = c, x);
solve(abs(x) == c, x)
|X| = c ⇔ X = ±c (c > 0)
절댓값이 있는 부등식의 기본형(\(<\), \(\le\): 사이의 범위)
|X| < c ⇔ −c < X < c
\lvert X \rvert < c \iff -c < X < c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo><</mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mo>−</mo><mi>c</mi><mo><</mo><mi>X</mi><mo><</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) < c iff -c < X < c
Reduce[Abs[x] < c, x, Reals]
solve(abs(x) < c, x);
solve(abs(x) < c, x, 'ReturnConditions', true)
|X| < c ⇔ −c < X < c
절댓값이 있는 부등식의 기본형(\(>\), \(\ge\): 바깥쪽 범위)
|X| > c ⇔ X < −c 또는 c < X
\lvert X \rvert > c \iff X < -c \ \text{또는}\ c < X
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo>
<mo>></mo><mi>c</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>X</mi><mo><</mo><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mtext> 또는 </mtext>
<mi>c</mi><mo><</mo><mi>X</mi>
</mrow>
</math>
abs(X) > c iff X < -c or c < X
Reduce[Abs[x] > c, x, Reals]
solve(abs(x) > c, x);
solve(abs(x) > c, x, 'ReturnConditions', true)
|X| > c ⇔ X < −c 또는 c < X
경우를 나누어 절댓값 기호 없애기(어떤 식에도 통하는 방법)
|X| = X (X ≥ 0), |X| = −X (X < 0)
\lvert X \rvert = \begin{cases} X & (X \ge 0) \\ -X & (X < 0) \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>|</mo><mi>X</mi><mo>|</mo><mo>=</mo>
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left left">
<mtr>
<mtd><mi>X</mi></mtd>
<mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>≥</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
</mtr>
<mtr>
<mtd><mo>−</mo><mi>X</mi></mtd>
<mtd><mo>(</mo><mi>X</mi><mo><</mo><mn>0</mn><mo>)</mo></mtd>
</mtr>
</mtable>
</mrow>
</mrow>
</math>
abs(X) = {(X, (X >= 0)), (-X, (X < 0)):}
Abs[x] == Piecewise[{{x, x >= 0}, {-x, x < 0}}]
abs(x) = piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x);
piecewise(x >= 0, x, x < 0, -x)
|X| = X (X ≥ 0), |X| = −X (X < 0)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학 계산 도우미입니다. 다음 계산은 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 절댓값이 있는 부등식 |2x − 3| ≤ 5를 풀어 주세요. 다음 내용을 각각 보여 주세요. 1. 기본형으로 고친 부등식(−c ≤ 2x−3 ≤ c의 꼴) 2. 해의 범위(경계는 기약분수 또는 정수로) 3. 경우를 나누어(2x−3 ≥ 0인 경우와 2x−3 < 0인 경우) 푸는 방법으로도 풀고, 각 경우의 해와 그 경우의 조건의 공통부분을 보여 준 뒤 1과 같은 답이 되는 것을 확인 Python에서는 sympy의 solveset(또는 Abs를 쓴 Reduce에 해당하는 것)과 fractions로 정확하게 계산하고, 사용한 코드와 실행 결과를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
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관련 기능
이차부등식 계산기(해의 범위·판별식·그래프)
이차부등식 ax²+bx+c>0의 해를 판별식의 부호에 따른 풀이 과정과 포물선 그래프와 함께 구합니다
일차방정식 계산기(이항 풀이 과정·검산)
절댓값 기호를 없앤 뒤 푸는 것은 일차방정식입니다. ax+b=cx+d를 이항 풀이 과정·검산·그래프와 함께 풉니다
