변환 방향을 고르고 숫자를 입력하세요. ‘직교좌표 → 극좌표’에서는 x좌표와 y좌표를, ‘극좌표 → 직교좌표’에서는 동경 r과 편각 θ(단위도 선택)를 입력합니다.
소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. 직교좌표의 x, y가 빈칸이면 0으로 계산합니다.
계산 결과·도형
왼쪽 입력란에 숫자를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 좌표평면 그림이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 직교좌표 \(P(x,\ y)\)를 극좌표 \(P(r,\ \theta)\)로 바로 변환할 수 있습니다. 동경은 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)처럼 √를 간단히 한 정확한 값으로, 편각은 특수각이면 π의 분수로 나타낸 정확한 값으로 답합니다
- 편각 \(\theta\)는 \(0 \le \theta < 2\pi\) 범위의 값을 기본으로 하고, \(-\pi < \theta \le \pi\) 범위의 값도 함께 보여 줍니다(교과서와 문제집 어느 방식으로든 답을 맞춰 볼 수 있습니다)
- 반대 방향의 변환(극좌표 → 직교좌표)도 할 수 있습니다. 동경 \(r\)과 편각 \(\theta\)(도, π의 분수, 라디안의 소수)를 넣으면 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)를 \(\left(-2,\ 2\sqrt{3}\right)\) 같은 정확한 값으로 보여 줍니다
- \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\)와 점이 있는 사분면으로 편각을 정하는 ‘사분면 보정’ 과정을 풀이 과정에서 한 단계씩 확인할 수 있습니다
- 결과는 좌표평면 그림으로도 확인할 수 있습니다. 동심원(동경의 눈금)과 방사형 선(편각의 눈금)을 옅게 깔아, 동경 \(r\)과 편각 \(\theta\)가 그림의 어디에 해당하는지 한눈에 알 수 있게 했습니다
평면 위의 극좌표를 다룹니다. 직교좌표의 \(x\), \(y\)에 입력할 수 있는 것은 분수와 소수(유리수)이며, √3 같은 무리수는 직접 입력할 수 없습니다. 이때 편각이 π의 분수로 나타낸 정확한 값이 되는 것은 점이 축 위에 있는 경우와 45° 계열의 각인 경우입니다(30°·60° 계열의 각에서는 tanθ가 1/√3 같은 무리수가 되므로 유리수 \(x\), \(y\)에서는 나오지 않습니다). 반대 방향의 ‘극좌표 → 직교좌표’에서는 30°·45°의 배수인 특수각을 모두 정확한 값으로 계산할 수 있습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
항공 관제·선박의 레이더(위치를 거리와 방위로 파악)
공항의 관제 레이더나 배의 레이더는 전파를 보낸 뒤 반사되어 돌아올 때까지의 시간으로 ‘자신으로부터의 거리’를, 안테나의 방향으로 ‘방위’를 잽니다. 즉 측정해서 얻는 것은 처음부터 극좌표의 \(\left(r,\ \theta\right)\)입니다.
한편 관제사가 보는 화면이나 해도에 겹쳐 보여 주는 표시는 가로세로 좌표로 만들어져 있으므로, 기기 내부에서는 잰 거리와 방위를 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)로 직교좌표로 바꿉니다. 거리와 방위로 재는 장치와 가로세로로 그리는 화면을 잇는 것이 이 페이지의 변환입니다.
자율 주행·로봇 청소기의 거리 센서
자율 주행차나 로봇 청소기에 달린 레이저 거리 센서(LiDAR)는 빙 돌면서 ‘이 방향으로 몇 미터 앞에서 반사되었다’는 측정을 아주 많이 반복합니다. 한 번의 측정 결과는 방향(각도)과 거리의 쌍, 즉 극좌표입니다.
모은 점을 지도로 조립할 때는 모든 점을 직교좌표로 바꾼 다음 겹칩니다. 주변 모습을 지도로 만든 뒤 경로를 정하는 자율 주행의 기본 흐름의 입구가 바로 이 좌표 변환입니다.
기상 레이더와 태풍의 진로도
기상 레이더도 안테나를 돌리면서 전파를 보내고, 비나 눈에서 반사된 전파를 ‘방위와 거리’로 받습니다. 뉴스의 일기 예보에서 보는 비구름 영상은 이렇게 얻은 극좌표의 데이터를 지도의 가로세로 좌표로 바꿔서 그린 것입니다.
태풍의 위치를 ‘서귀포 남남서쪽 약 ○○ km 부근 해상’처럼 알리는 것도 극좌표의 생각이며, 지도 위에 점을 찍는 단계에서 직교좌표로의 변환이 이루어집니다.
원운동하는 기계·놀이기구의 설계
대관람차의 곤돌라, 톱니바퀴의 톱니, 선풍기의 날개처럼 중심 둘레를 도는 것은 ‘중심으로부터의 거리는 일정하고 방향만 바뀐다’고 생각하면 설계가 단순해집니다. 극좌표라면 거리 \(r\)을 고정하고 편각 \(\theta\)만 움직이면 되므로, 부품의 위치를 늘어놓는 계산이 아주 간단해집니다.
다만 도면이나 가공 기계(CNC 공작 기계 등)가 받는 것은 가로세로 좌표이므로, 마지막에 모든 위치를 직교좌표로 바꿔서 넘깁니다.
컴퓨터 그래픽스와 게임의 원형 배치·움직임
적 캐릭터를 주인공 둘레에 같은 간격으로 늘어놓기, 총알을 방사형으로 발사하기, 카메라를 대상 둘레로 돌리기. 이런 처리는 ‘중심으로부터의 거리’와 ‘각도’로 생각하는 것이 가장 자연스럽고, 각도를 똑같이 나누기만 하면 배치가 정해집니다.
화면에 그리는 좌표는 가로세로이므로, 실제로 그릴 때는 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)로 매 프레임 직교좌표로 바꿉니다. 원을 그리는 움직임을 자연스럽게 쓸 수 있는 것은 이 변환 덕분입니다.
공식과 그림
극좌표에서 직교좌표로(점의 위치를 나타내는 두 가지 방법)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(x\)
\(=\)
\(r\)
\(\cos\theta\)
\(y\)
\(=\)
\(r\)
\(\sin\theta\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
x좌표
\(=\)
①
동경(\(r\))
②
편각 \(\theta\)의 코사인(\(\cos\theta\))
④
y좌표
\(=\)
동경(\(r\))
편각 \(\theta\)의 사인(\(\sin\theta\))
공식을 말로 읽으면
①
극(원점)으로부터의 거리인
동경(\(r\))
에
②
편각 \(\theta\)의 코사인(\(\cos\theta\))
을 곱하면
③
x좌표
가 되고
④
같은 동경에 사인(\(\sin\theta\))을 곱하면
y좌표
가 됩니다
간단한 예
극좌표 \(P\left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\)(극으로부터의 거리가 2, 시초선에서 60°인 방향)를 직교좌표로 바꾸면
x좌표
\(=\)
동경 \(2\)
\(\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\)
y좌표
\(=\)
동경 \(2\)
\(\sin 60^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(x = 2\cos\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{1}{2} = 1\)
\(y = 2\sin\dfrac{\pi}{3} = 2 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\)
\(P\left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right) \rightarrow P\left(1,\ \sqrt{3}\right)\)
이해의 핵심
같은 한 점의 위치를 두 가지 방법으로 나타낸 것입니다. ‘오른쪽으로 \(x\), 위로 \(y\)만큼 간 곳’이라고 말하는 것이 직교좌표 \((x,\ y)\), ‘기준점에서 거리 \(r\), 기준 방향에서 각 \(\theta\)만큼 돈 곳’이라고 말하는 것이 극좌표 \((r,\ \theta)\)입니다. 약속 장소를 알려 줄 때로 말하면, 직교좌표는 ‘역에서 동쪽으로 300 m, 북쪽으로 400 m’, 극좌표는 ‘역에서 북동쪽 방향으로 500 m’처럼 전하는 방법의 차이입니다.
극좌표의 기준점을 극, 기준 방향(극에서 오른쪽으로 뻗은 반직선)을 시초선이라고 합니다. 좌표평면과 겹칠 때는 극을 원점에, 시초선을 \(x\)축의 양의 부분에 맞추는 것이 약속입니다.
왜 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\)가 되는지는 반지름이 1인 원(단위원)을 떠올리면 알 수 있습니다. 단위원 위에서 각 \(\theta\)의 방향으로 나아간 점의 가로 위치가 \(\cos\theta\), 세로 위치가 \(\sin\theta\)였습니다. 반지름이 \(r\)이 되면 그림 전체가 \(r\)배로 확대되므로, 가로도 세로도 그대로 \(r\)배가 됩니다.
동경 \(r\)(극으로부터의 거리)
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(r\)
\(=\)
\(\sqrt{x^{2} + y^{2}}\)
②
동경(\(r\))
\(=\)
①
x좌표의 제곱과 y좌표의 제곱의 합의 양의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
x좌표의 제곱과 y좌표의 제곱을 더해 양의 제곱근(루트)을 구한 것(\(\sqrt{x^2 + y^2}\))
이
②
동경(\(r\))
이 됩니다
간단한 예
점 \(P\left(3,\ 4\right)\)의 동경은
동경(\(r\))
\(=\)
\(\sqrt{3^2 + 4^2}\)
\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
이해의 핵심
이것은 중학교 2학년에서 배우는 피타고라스 정리 그 자체입니다. 원점, 점 \((x,\ 0)\), 점 \(P\)의 세 점을 이으면 가로 \(x\), 세로 \(y\)를 두 변으로 하는 직각삼각형이 생기고, 원점에서 \(P\)까지의 거리(빗변)가 \(\sqrt{x^2 + y^2}\)이 됩니다.
답의 √는 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)처럼 근호 안의 제곱인 인수를 밖으로 꺼낸 간단한 꼴로 쓰는 것이 관례입니다(이 계산기도 간단한 꼴로 보여 줍니다).
극좌표에서는 동경 \(r\)을 0 이상의 수로 정하기로 약속합니다. 거리에는 음수가 없으므로 변환한 답의 \(r\)이 음수가 되는 일은 없습니다.
편각 \(\theta\)(tanθ와 사분면으로 구하기)
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(\tan\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{y}{x}\)
②
편각 \(\theta\)의 탄젠트(\(\tan\theta\))
\(=\)
①
y좌표를 x좌표로 나눈 것
공식을 말로 읽으면
①
y좌표를 x좌표로 나눈 것
이
②
편각 \(\theta\)의 탄젠트(\(\tan\theta\))
가 됩니다(다만 이 식만으로는 \(\theta\)가 하나로 정해지지 않으므로, 점 \(P\)가 어느 사분면에 있는지로 좁힙니다)
간단한 예
점 \(P\left(-1,\ 1\right)\)의 편각은(\(x\)가 음수, \(y\)가 양수이므로 점은 제2사분면에 있습니다)
탄젠트(\(\tan\theta\))
\(=\)
\(\dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)
\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(x < 0,\ y > 0\right)\)
이해의 핵심
\(\tan\theta = -1\)이 되는 각은 \(0 \le \theta < 2\pi\) 범위에 \(\dfrac{3}{4}\pi\)(135°)와 \(\dfrac{7}{4}\pi\)(315°)의 두 개가 있습니다. 어느 쪽이 정답인지는 점 \(P\)가 있는 사분면으로 정합니다. \(P(-1,\ 1)\)은 \(x\)가 음수, \(y\)가 양수, 즉 제2사분면(왼쪽 위)에 있으므로 \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\)를 고릅니다. 이것이 사분면 보정입니다.
계산기나 스프레드시트의 \(\arctan\)(탄젠트의 역계산)는 \(-\dfrac{\pi}{2}\)에서 \(\dfrac{\pi}{2}\) 사이의 각만 돌려주므로, 제2사분면·제3사분면의 점에서는 그대로는 편각이 되지 않습니다. \(\arctan\)로 구한 예각에 사분면에 따라 \(\pi\)를 더하는 등의 보정이 필요합니다(이 계산기는 풀이 과정에서 이 보정을 보여 줍니다).
또 \(x = 0\)인 점(\(y\)축 위)에서는 \(\dfrac{y}{x}\)를 계산할 수 없습니다. 이때는 그림을 보고 \(\theta = \dfrac{\pi}{2}\) 또는 \(\dfrac{3}{2}\pi\)로 정합니다. 답안에서 어떤 점에도 통하는 꼴로 쓰고 싶을 때는 ‘\(\cos\theta = \dfrac{x}{r}\), \(\sin\theta = \dfrac{y}{r}\)를 동시에 만족하는 \(\theta\)를 고른다’고 쓰면 사분면에 따른 경우 나누기도 필요 없습니다.
같은 점을 나타내는 극좌표는 하나가 아니다
수학 표기
(일반적인 수식)
\(P\left(r,\ \theta\right)\)
\(=\)
\(P\left(r,\ \theta + 2n\pi\right)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
극좌표가 \(\left(r,\ \theta\right)\)인 점 \(P\)
\(=\)
②
편각에 한 바퀴(\(2\pi\))의 \(n\)배를 더한 극좌표의 점
공식을 말로 읽으면
①
극좌표가 \(\left(r,\ \theta\right)\)인 점(\(P\))
과
②
편각에 한 바퀴(\(2\pi\))의 \(n\)배를 더한 극좌표의 점
은 같은 한 점을 가리킵니다(\(n\)은 정수)
간단한 예
극좌표 \(P\left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\)와 같은 점을 나타내는 극좌표를 만들면
\(P\left(2,\ \dfrac{\pi}{3}\right)\)
\(=\)
\(P\left(2,\ \dfrac{7}{3}\pi\right)\)
\(=\)
\(P\left(2,\ -\dfrac{5}{3}\pi\right)\)
\(\dfrac{\pi}{3} + 2\pi = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{6}{3}\pi = \dfrac{7}{3}\pi\)
\(\dfrac{\pi}{3} - 2\pi = \dfrac{\pi}{3} - \dfrac{6}{3}\pi = -\dfrac{5}{3}\pi\)
이해의 핵심
직교좌표는 한 점에 \((x,\ y)\) 한 쌍만 대응하지만, 극좌표는 그렇지 않습니다. 한 바퀴(\(2\pi\) = 360°) 돌면 방향이 원래대로 돌아오므로, 편각에 \(2\pi\)를 몇 번 더하거나 빼도 같은 점을 가리킵니다.
그대로는 답이 하나로 정해지지 않으므로, 답할 때는 범위를 정하기로 약속합니다. 자주 쓰는 것은 \(0 \le \theta < 2\pi\)(0° 이상 360° 미만)와 \(-\pi < \theta \le \pi\)(−180° 초과 180° 이하)의 두 가지이며, 교과서나 문제집에 따라 어느 쪽을 쓰는지가 다릅니다. 이 계산기는 두 답을 함께 보여 줍니다.
극(원점)만은 특별해서, 거리가 0이므로 \(r = 0\)이지만 방향을 정할 수 없기 때문에 편각이 하나로 정해지지 않습니다. 극의 극좌표는 \(\left(0,\ \theta\right)\)(\(\theta\)는 임의의 값)로 나타내고, 보통은 \(\left(0,\ 0\right)\)으로 씁니다.
평면 위의 점은 직교좌표 \(\left(x,\ y\right)\)(가로와 세로의 위치)로도, 극좌표 \(\left(r,\ \theta\right)\)(극으로부터의 거리와 시초선에서의 방향)로도 나타낼 수 있습니다. 극좌표에서 직교좌표로는 \(x = r\cos\theta\), \(y = r\sin\theta\), 반대로는 \(r = \sqrt{x^2 + y^2}\)과 \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\)(+ 점이 있는 사분면으로 편각을 정하는 사분면 보정)로 변환합니다. 편각은 한 바퀴 어긋나도 같은 점을 가리키므로 \(0 \le \theta < 2\pi\)처럼 범위를 정해서 답합니다.
용어·기호 해설
기호
| \(P\) | 피 | 평면 위의 점을 나타낼 때 자주 쓰는 문자입니다. 영어 point(점)의 첫 글자입니다. \(P\left(1,\ 2\right)\)처럼 뒤의 괄호 안에 그 점의 좌표를 씁니다. |
| \(O\) | 오 | 원점(극)을 나타내는 문자입니다. 영어 origin(원점)의 첫 글자입니다. 극좌표에서는 이 점이 거리를 재는 출발점이 됩니다. |
| \(x,\ y\) | 엑스, 와이 | 직교좌표에서 가로(\(x\)축 방향)와 세로(\(y\)축 방향)의 위치입니다. 둘 다 음수가 될 수 있습니다. |
| \(r\) | 알 | 동경(극에서 점까지의 거리)을 나타내는 문자입니다. 영어 radius(반지름)의 첫 글자에서 왔습니다. 극좌표에서는 0 이상의 실수입니다. |
| \(\theta\) | 세타 | 편각을 나타낼 때 쓰는 그리스 문자입니다. 수학에서는 각도를 나타내는 문자로 관례적으로 씁니다. |
| \(\left(r,\ \theta\right)\) | 알, 세타 | 극좌표의 표기입니다. 앞이 거리(동경), 뒤가 방향(편각)입니다. 직교좌표의 \(\left(x,\ y\right)\)와 겉모양이 같으므로, 어느 좌표의 이야기인지 반드시 밝히고 씁니다. |
| \(\cos\theta,\ \sin\theta\) | 코사인 세타, 사인 세타 | 삼각비(삼각함수)입니다. 반지름이 1인 원(단위원) 위에서 각 \(\theta\)의 방향으로 나아간 점의 가로 위치가 \(\cos\theta\), 세로 위치가 \(\sin\theta\)입니다. 극좌표를 직교좌표로 바꿀 때 주인공이 됩니다. |
| \(\tan\theta\) | 탄젠트 세타 | 삼각비의 하나로, \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\)로 정의합니다. 좌표평면에서는 \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\)(세로 ÷ 가로 = 원점과 점을 잇는 직선의 기울기)가 되어, 편각을 구하는 실마리가 됩니다. |
| \(\arctan\) | 아크탄젠트 | 탄젠트의 역계산입니다. ‘\(\tan\theta = k\)가 되는 각 \(\theta\)’를 돌려줍니다. 돌려주는 각은 \(-\dfrac{\pi}{2}\)에서 \(\dfrac{\pi}{2}\) 사이로 한정되므로, 제2·제3사분면의 편각을 구할 때는 사분면 보정이 필요합니다. |
| \(\pi\) | 파이 | 원주율(약 3.14159)입니다. 호도법(라디안)에서는 반 바퀴의 각 \(180^{\circ}\)가 꼭 \(\pi\)가 됩니다. 원주율을 나타내는 그리스 문자 \(\pi\)는 그리스어로 둘레를 뜻하는 말(페리메트로스)의 첫 글자에서 왔다고 합니다. |
| \(n\) | 엔 | 정수를 나타낼 때 자주 쓰는 문자입니다. 영어 number(수)의 첫 글자입니다. 이 페이지에서는 ‘편각을 몇 바퀴 옮기는가’의 횟수로 쓰며, 음의 정수(반대 방향으로 돎)와 0(돌지 않음)도 포함합니다. |
용어
| 직교좌표 | 점의 위치를 ‘가로로 얼마, 세로로 얼마’의 쌍 \(\left(x,\ y\right)\)로 나타내는 방법입니다. 중학교 1학년부터 써 온 가장 보통의 좌표입니다. 데카르트 좌표라고도 합니다. |
| 극좌표 | 점의 위치를 ‘기준점으로부터의 거리 \(r\)’과 ‘기준 방향으로부터의 각 \(\theta\)’의 쌍 \(\left(r,\ \theta\right)\)로 나타내는 방법입니다. 한국의 고등학교 교육과정에서는 거의 다루지 않고, 주로 대학의 미적분학·물리·공학에서 배웁니다. |
| 극 | 극좌표에서 거리를 재는 기준이 되는 점입니다. 좌표평면과 겹칠 때는 원점 \(O\)에 맞춥니다. |
| 시초선 | 극좌표에서 각을 재는 기준이 되는 반직선입니다. 극에서 뻗어 나가며, 좌표평면과 겹칠 때는 \(x\)축의 양의 부분에 맞춥니다. |
| 동경 | 극에서 점 \(P\)까지의 거리 \(r\)을 말합니다. 엄밀하게는 극과 점 \(P\)를 잇는 선분(또는 반직선) 자체를 가리키며, 그 길이를 \(r\)로 나타냅니다. 0 이상의 값을 가집니다. |
| 편각 | 시초선에서 시계 반대 방향으로 잰, 극에서 점 \(P\)로 향하는 방향의 각 \(\theta\)입니다. 한 바퀴(\(2\pi\))를 더해도 같은 방향이므로, 범위를 \(0 \le \theta < 2\pi\)나 \(-\pi < \theta \le \pi\)로 정해서 답하는 것이 관례입니다. |
| 사분면 | 좌표평면을 두 축으로 나눈 네 부분입니다. 오른쪽 위가 제1사분면이고, 거기서부터 시계 반대 방향으로 제2·제3·제4사분면이라고 셉니다. 편각의 값을 하나로 정할 때, 점이 어느 사분면에 있는지가 실마리가 됩니다. |
| 사분면 보정 | \(\tan\theta = \dfrac{y}{x}\)를 만족하는 각은 한 바퀴 안에 두 개 있으므로, 점이 있는 사분면에 맞는 쪽을 고르는(\(\arctan\)로 구한 예각에 \(\pi\)를 더하는 등의) 손질을 말합니다. |
| 단위원 | 원점을 중심으로 하는 반지름이 1인 원입니다. 이 원 위에서 각 \(\theta\)의 방향에 있는 점의 좌표가 \(\left(\cos\theta,\ \sin\theta\right)\)가 되며, 극좌표 변환 공식의 바탕이 됩니다. |
| 호도법(라디안) | 각의 크기를 반지름이 1인 원의 호의 길이로 재는 방법입니다. \(180^{\circ} = \pi\) 라디안입니다. 고등학교 ‘수학 I’의 삼각함수부터는 도보다 이쪽이 표준 단위입니다. |
| 특수각 | \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\)와 그 무리(이 각들에 \(90^{\circ}\)의 배수를 더한 각)입니다. 삼각비의 값을 \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 같은 정확한 값으로 쓸 수 있는 각으로, 교과서와 시험 문제의 대부분이 이 각으로 나옵니다. |
| 극방정식 | 곡선을 \(r\)과 \(\theta\)의 관계식으로 나타낸 것입니다. 예를 들어 \(r = 2\)는 원점을 중심으로 하는 반지름이 2인 원, \(\theta = \dfrac{\pi}{4}\)는 원점을 지나는 기울기가 1인 반직선을 나타냅니다. 원이나 소용돌이처럼 ‘중심으로부터의 거리’로 정해지는 도형은 직교좌표보다 훨씬 간단한 식이 됩니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 좌표평면(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 제곱근과 근호의 계산(중학교 3학년, 14~15세) |
|
| 피타고라스 정리(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 삼각비와 삼각함수(중학교 3학년~고등학교 2학년, 14~17세) |
|
| 호도법(고등학교 2학년, 16~17세) |
|
| 평면 위의 곡선·극좌표(대학 미적분학 등) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘직교좌표 → 극좌표’를 구하는 표
| x좌표 | 3 |
| y좌표 | 4 |
| 동경 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 편각 θ(라디안, 0 ≤ θ < 2π) | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 편각 θ(도) | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
‘극좌표 → 직교좌표’를 구하는 표
| 동경 r | 2 |
| 편각 θ(도) | 60 |
| x좌표 = r cosθ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| y좌표 = r sinθ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
‘같은 점을 나타내는 다른 편각’을 구하는 표
| 편각 θ(도) | 60 |
| 몇 바퀴 옮길지 n(정수, 음수도 가능) | 1 |
| 옮긴 편각(도) | =B1+360*B2 |
붙여 넣으면 위쪽 행이 입력란이 되고, 아래쪽 행이 자동 계산 결과가 됩니다.
첫 번째 표의 ATAN2(x좌표, y좌표)는 사분면 보정까지 마친 편각(−π 초과 π 이하)을 돌려주는 함수입니다. MOD로 2π로 나눈 나머지로 바꾸면 0 이상 2π 미만 범위의 편각이 됩니다. 예의 점 (3, 4)에서는 r = 5, θ ≒ 0.9273(약 53.13도)이 됩니다.
두 번째 표의 RADIANS는 도를 라디안으로 바꾸는 함수입니다. 예의 r = 2, θ = 60도에서는 x = 1, y ≒ 1.7320508(= √3)이 됩니다. Excel의 답은 소수이므로 √3이나 π의 분수 같은 정확한 값으로 답하고 싶을 때는 이 페이지의 계산기를 쓰세요.
세 번째 표는 ‘같은 점을 나타내는 다른 극좌표’를 만드는 표입니다. 예의 60도에 한 바퀴인 360도를 더하면 420도가 됩니다. n을 −1로 하면 −300도가 되며, 모두 같은 점을 가리킵니다.
첫 번째 표의 ATAN2(x좌표, y좌표)는 사분면 보정까지 마친 편각(−π 초과 π 이하)을 돌려주는 함수입니다. MOD로 2π로 나눈 나머지로 바꾸면 0 이상 2π 미만 범위의 편각이 됩니다. 예의 점 (3, 4)에서는 r = 5, θ ≒ 0.9273(약 53.13도)이 됩니다.
두 번째 표의 RADIANS는 도를 라디안으로 바꾸는 함수입니다. 예의 r = 2, θ = 60도에서는 x = 1, y ≒ 1.7320508(= √3)이 됩니다. Excel의 답은 소수이므로 √3이나 π의 분수 같은 정확한 값으로 답하고 싶을 때는 이 페이지의 계산기를 쓰세요.
세 번째 표는 ‘같은 점을 나타내는 다른 극좌표’를 만드는 표입니다. 예의 60도에 한 바퀴인 360도를 더하면 420도가 됩니다. n을 −1로 하면 −300도가 되며, 모두 같은 점을 가리킵니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘직교좌표 → 극좌표’를 구하는 표
| x좌표 | 3 |
| y좌표 | 4 |
| 동경 r | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 편각 θ(라디안, 0 ≤ θ < 2π) | =MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI()) |
| 편각 θ(도) | =DEGREES(MOD(ATAN2(B1,B2),2*PI())) |
‘극좌표 → 직교좌표’를 구하는 표
| 동경 r | 2 |
| 편각 θ(도) | 60 |
| x좌표 = r cosθ | =B1*COS(RADIANS(B2)) |
| y좌표 = r sinθ | =B1*SIN(RADIANS(B2)) |
‘같은 점을 나타내는 다른 편각’을 구하는 표
| 편각 θ(도) | 60 |
| 몇 바퀴 옮길지 n(정수, 음수도 가능) | 1 |
| 옮긴 편각(도) | =B1+360*B2 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다(ATAN2의 인수 순서도 같은 ‘x좌표, y좌표’입니다). 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 숫자를 원하는 값으로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
# 직교좌표 → 극좌표
x_coordinate = 3
y_coordinate = 4
radius = math.sqrt(x_coordinate ** 2 + y_coordinate ** 2)
argument = math.atan2(y_coordinate, x_coordinate) # 사분면 보정 포함(−π < θ ≤ π)
if argument < 0:
argument += 2 * math.pi # 0 ≤ θ < 2π 범위로 바꿈
print(f"동경 r = {radius}")
print(f"편각 θ = {argument} rad({math.degrees(argument)}도)")
# 극좌표 → 직교좌표
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"x좌표 = {r * math.cos(theta)}")
print(f"y좌표 = {r * math.sin(theta)}")
math.atan2(y, x)는 사분면 보정까지 마친 편각을 돌려주는 함수로, arctan과 달리 제2·제3사분면의 점에서도 올바른 방향을 얻을 수 있습니다. 인수의 순서가 ‘y, x’로 직교좌표의 표기와 반대라는 점이 틀리기 쉬운 부분입니다. 이 예의 앞부분은 점 (3, 4)의 변환으로, 실행하면 r = 5.0, θ ≒ 0.9272952180016122(rad, 약 53.13도)가 표시됩니다. 뒷부분은 r = 2, θ = 60°의 역변환으로, x ≒ 1.0000000000000002, y ≒ 1.7320508075688772(= √3)가 됩니다. x가 딱 1이 되지 않는 것은 소수(부동소수점 수)의 반올림 오차 때문이며, 정확한 값이 필요할 때는 이 페이지의 계산기처럼 기호 그대로 계산해야 합니다. 표준 라이브러리의 cmath 모듈을 써서 cmath.polar(complex(3, 4))라고 써도 동경과 편각(−π < θ ≤ π)을 한 번에 구할 수 있습니다.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
극좌표에서 직교좌표로(점의 위치를 나타내는 두 가지 방법)
x = r cosθ, y = r sinθ
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>x</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>cos</mi><mi>θ</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><mi>sin</mi><mi>θ</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</math>
x = r cos theta, y = r sin theta
{x, y} = {r Cos[theta], r Sin[theta]}
x := r*cos(theta); y := r*sin(theta);
[x, y] = pol2cart(theta, r);
x = r cos θ, y = r sin θ
동경 \(r\)(극으로부터의 거리)
r = √(x² + y²)
r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
r = sqrt(x^2 + y^2)
r = Sqrt[x^2 + y^2]
r := sqrt(x^2 + y^2);
r = hypot(x, y);
r = √(x^2 + y^2)
편각 \(\theta\)(tanθ와 사분면으로 구하기)
tanθ = y/x
\tan\theta = \dfrac{y}{x}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>tan</mi><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>y</mi><mi>x</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
tan theta = y/x
theta = ArcTan[x, y]
theta := arctan(y, x);
theta = atan2(y, x);
tan θ = y/x
같은 점을 나타내는 극좌표는 하나가 아니다
(r, θ) = (r, θ + 2nπ)
\left(r,\ \theta\right) = \left(r,\ \theta + 2n\pi\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo><mi>θ</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>r</mi><mo>,</mo>
<mi>θ</mi><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>n</mi><mi>π</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(r, theta) = (r, theta + 2 n pi)
theta + 2 n Pi
theta + 2*n*Pi;
theta2 = theta + 2*n*pi;
(r, θ) = (r, θ + 2nπ)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(평면 위의 극좌표) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 1. 직교좌표의 점 (3, 4)를 극좌표 (r, θ)로 변환하세요. 동경 r과 편각 θ(0 ≤ θ < 2π 범위. 라디안과 도 모두)를 보여 주세요. 2. 극좌표 (2, 60°)인 점을 직교좌표 (x, y)로 바꾸세요. x, y는 소수뿐 아니라, 가능하면 √를 쓴 정확한 값으로도 보여 주세요. Python에서는 math.atan2나 math.sqrt를 쓰고, 계산에 쓴 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
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전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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관련 기능
복소수 극형식 변환 계산기(절댓값·편각·사분면 보정 풀이 과정·복소평면)
같은 ‘거리와 방향’의 계산을 복소수 z=a+bi에 대해 하는 페이지입니다. 이 페이지는 평면 위의 점의 좌표 변환, 저쪽은 복소수의 극형식 r(cosθ+i sinθ)로의 변환입니다
삼각비 계산기(sin·cos·tan의 값과 각도를 단위원 그림으로 계산)
변환에 쓰는 cos θ, sin θ, tan θ의 값 자체를 단위원 그림으로 확인할 수 있습니다
도와 라디안 변환 계산기(π의 분수로 나타낸 정확한 값과 단위원 그림)
편각의 단위를 도와 라디안 사이에서 바꾸고 싶을 때는 여기에서 하세요. 60°와 π/3 같은 대응을 정확한 값으로 계산합니다
