한 번 할 때의 확률과 반복하는 횟수를 입력해 주세요. 사건 A와 사건 B 두 가지를 동시에 계산하고, 조합의 확률도 보여 줍니다.
확률은 0~1의 수(예를 들어 25%는 0.25), 횟수는 1~1000의 정수로 입력해 주세요. 사건 하나만 알아보고 싶을 때도 사건 B에는 임시 값(예를 들어 0.5와 1)을 넣어 주세요.
계산 결과
왼쪽 입력란에 확률과 횟수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- ‘한 번 할 때의 확률’과 ‘반복하는 횟수’만 넣으면 \(n\)번 연속으로 일어날 확률을 바로 알 수 있습니다
- ‘적어도 한 번은 일어날 확률’과 ‘한 번도 일어나지 않을 확률’도 한꺼번에 계산합니다
- 두 사건 A와 B를 동시에 계산하므로 ‘A는 적어도 한 번 일어나고 B는 한 번도 일어나지 않을 확률’ 같은 조합도 구할 수 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel, Google 스프레드시트, Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
‘매번 같은 확률이고, 매번의 결과가 서로 영향을 주지 않는(독립인)’ 경우에만 쓸 수 있습니다. 주사위, 동전, 확률이 공개된 가챠(확률형 아이템) 등은 괜찮지만, ‘뽑은 제비를 되돌려 놓지 않는’ 경우처럼 할 때마다 확률이 바뀌는 경우에는 쓸 수 없습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
게임의 가챠·뽑기 당첨 가능성 어림하기
‘당첨 확률 1%인 가챠를 100번 뽑으면 그래도 한 번은 당첨되겠지.’ 실제로 계산하면 적어도 한 번 당첨될 확률은 \(1 - 0.99^{100} \fallingdotseq 0.634\)(63.4%)로, 3명 중 1명은 100번을 뽑아도 모두 꽝입니다.
‘적어도 한 번’의 공식을 알고 있으면 과금이나 도전 횟수 계획을 감이 아니라 숫자로 세울 수 있습니다.
건강검진의 ‘위양성’에 당황하지 않기 위한 지식(의료)
병이 없는데도 검사에서 ‘양성’이 나오는 것(위양성)은 한 번에 몇 % 정도의 확률로 일어납니다. 한 번에 5%라고 하면, 해마다 검진을 받아 10년이 지났을 때 적어도 한 번 위양성을 겪을 확률은 \(1 - 0.95^{10} \fallingdotseq 0.4\)(40%)나 됩니다.
‘검진에서 이상 소견이 나왔다 = 병이 있다’가 아니라 ‘여러 번 받으면 누구나 한 번은 겪을 수 있는 일’이라는 것을 알아 두면, 재검사 안내를 받아도 침착하게 대응할 수 있습니다. 삶의 큰 불안을 숫자로 정리할 수 있는, 가장 쓸모 있는 응용 예 중 하나입니다.
‘100년 빈도 홍수’가 실제로 뜻하는 것(재난 대비)
하천 설계 등에서 쓰는 ‘100년 빈도 홍수’는 어느 해든 일어날 확률이 1%인 홍수를 말합니다. 30년 동안 그런 홍수가 적어도 한 번 일어날 확률은 \(1 - 0.99^{30} \fallingdotseq 0.26\)(26%)로, 4분의 1이 넘습니다(실제 위험 평가에서는 더 정밀한 모델을 쓰지만 생각의 바탕은 같습니다).
이 공식을 알면 ‘올해 일어나지 않았으니 안전해졌다’는 뜻이 아니라는 것, 기간이 길어질수록 확률이 꾸준히 쌓인다는 것을 실감할 수 있어 보험이나 비상용품 준비 같은 재난 대비 판단에 활용할 수 있습니다.
제품 품질 관리(부품이 모두 이상 없을 확률)
불량률이 0.5%인 부품을 10개 넣은 제품에서 불량 부품이 하나도 들어 있지 않을 확률은 \((1 - 0.005)^{10} \fallingdotseq 0.951\)(95.1%)입니다.
부품 수가 늘어날수록 ‘모두 이상 없음’의 확률은 내려가므로, 제조업에서는 이 공식으로 제품 전체의 합격률을 어림하고 부품마다 허용되는 불량률을 거꾸로 계산합니다.
경품·추첨에 몇 번 응모해야 현실적으로 당첨될지 생각하기
당첨 확률 10%인 추첨에 7번 응모하면 적어도 한 번 당첨될 확률은 \(1 - 0.9^{7} \fallingdotseq 0.52\)(52%)로, 겨우 반반을 넘습니다.
‘몇 번 하면 절반쯤의 가능성이 될까’를 계산할 수 있으면 응모나 도전에 들이는 노력을 어디에 쏟을지 판단하기 쉬워집니다.
공식
\(n\)번 연속으로 일어날 확률
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(P\)
\(=\)
\(p\)
\(n\)
③
\(n\)번 연속으로 일어날 확률 \(P\)
\(=\)
①
한 번에 일어날 확률 \(p\)
②
시행 횟수 \(n\)
공식을 말로 읽으면
①
한 번에 일어날 확률 \(p\)
를
②
시행 횟수 \(n\)
만큼 거듭 곱하면
③
\(n\)번 연속으로 일어날 확률 \(P\)
가 됩니다
간단한 예
동전의 앞면(확률 0.5)이 3번 연속으로 나올 확률은
3번 연속으로 나올 확률 \(P\)
\(=\)
한 번에 나올 확률(0.5)
시행 횟수(3번)
\(0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125\ \ (12.5\%)\)
이해의 핵심
이 공식은 ‘매번 같은 확률이고, 앞의 결과에 영향을 받지 않는(독립인)’ 경우에만 쓸 수 있습니다. 주사위, 동전, 확률이 공개된 가챠 등은 괜찮지만, ‘뽑은 제비를 되돌려 놓지 않는’ 경우처럼 할 때마다 확률이 바뀌는 경우에는 쓸 수 없습니다.
\(n\)번 중 한 번도 일어나지 않을 확률
수학 표기
(일반적인 수식)
\(P\)
\(=\)
\((1-p)\)
\(n\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
한 번도 일어나지 않을 확률 \(P\)
\(=\)
①
한 번에 일어나지 않을 확률 \((1-p)\)
②
시행 횟수 \(n\)
공식을 말로 읽으면
①
한 번에 일어나지 않을 확률 \((1-p)\)
를
②
시행 횟수 \(n\)
만큼 거듭 곱하면
③
한 번도 일어나지 않을 확률 \(P\)
가 됩니다
간단한 예
당첨 확률 0.25인 가챠를 4번 뽑아 4번 모두 꽝일 확률은
4번 모두 꽝일 확률 \(P\)
\(=\)
한 번에 꽝일 확률(0.75)
시행 횟수(4번)
\(0.75 \times 0.75 \times 0.75 \times 0.75 \fallingdotseq 0.316\ \ (31.6\%)\)
이해의 핵심
‘한 번에 일어나지 않을 확률’은 여사건의 생각으로 ‘1 − (한 번에 일어날 확률)’로 구합니다. 당첨이 0.25라면 꽝은 \(1 - 0.25 = 0.75\)입니다.
\(n\)번 중 적어도 한 번은 일어날 확률
수학 표기
(일반적인 수식)
\(P\)
\(=\)
\(1\)
\(-\)
\((1-p)\)
\(n\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
④
적어도 한 번은 일어날 확률 \(P\)
\(=\)
③
전체 확률 \(1\)
\(-\)
①
한 번에 일어나지 않을 확률 \((1-p)\)
②
시행 횟수 \(n\)
공식을 말로 읽으면
①
한 번에 일어나지 않을 확률 \((1-p)\)
를
②
시행 횟수 \(n\)
만큼 거듭 곱해 ‘한 번도 일어나지 않을 확률’을 구한 다음
③
전체 확률 \(1\)
에서 그것을 빼면
④
적어도 한 번은 일어날 확률 \(P\)
가 됩니다
간단한 예
당첨 확률 0.25인 가챠를 4번 뽑아 적어도 한 번 당첨될 확률은
적어도 한 번 당첨될 확률 \(P\)
\(=\)
전체 확률 \(1\)
\(-\)
한 번에 꽝일 확률(0.75)
시행 횟수(4번)
\(0.75 \times 0.75 \times 0.75 \times 0.75 \fallingdotseq 0.316\)
\(1 - 0.316 = 0.684\ \ (68.4\%)\)
이해의 핵심
‘적어도 한 번’을 직접 세려고 하면 ‘정확히 한 번 일어나는 경우’, ‘정확히 두 번 일어나는 경우’… 를 모두 더해야 해서 힘듭니다. 반대쪽(여사건)인 ‘한 번도 일어나지 않는 경우’라면 식 하나로 끝나므로, 전체 확률 1에서 그것을 빼는 것, 이것이 이 공식의 가장 중요한 포인트입니다.
또 횟수를 늘려도 확률은 1(100%)에 가까워질 뿐, 결코 100%가 되지는 않습니다. ‘당첨 확률 1%인 가챠를 100번 뽑아도 적어도 한 번 당첨될 확률은 약 63%’입니다.
반복 시행의 확률은 ‘한 번 할 때의 확률을 횟수만큼 거듭 곱하는 것’이 기본입니다. ‘적어도 한 번’은 여사건인 ‘한 번도 일어나지 않을 확률’을 구해 전체 1에서 빼는 것이 요령입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(p\) | 피 | 한 번의 시행에서 그 사건이 일어날 확률입니다. (예: 가챠의 당첨 확률 0.25) |
| \(n\) | 엔 | 반복하는 횟수입니다. (예: 4번 뽑는다면 \(n = 4\)) |
| \(p^n\) | 피의 엔제곱 | \(p\)를 \(n\)번 거듭 곱한 값입니다. 오른쪽 위의 작은 \(n\)은 ‘\(n\)번 곱한다’는 뜻의 지수입니다. (예: \(0.5^3 = 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125\)) |
| \(1-p\) | 일 빼기 피 | 한 번의 시행에서 그 사건이 ‘일어나지 않을’ 확률(여사건의 확률)입니다. |
| \(P\) | 대문자 피 | 구하려는 확률입니다. 이 페이지에서는 ‘\(n\)번 연속으로 일어날 확률’, ‘적어도 한 번은 일어날 확률’ 등을 나타냅니다. |
용어
| 사건 | ‘주사위에서 6이 나온다’, ‘제비에 당첨된다’처럼 일어나거나 일어나지 않거나가 정해지는 일을 말합니다. 수학에서는 이런 일을 ‘사건’이라고 부릅니다. |
| 시행 | 주사위를 던지거나 제비를 뽑는 것처럼 ‘결과가 확률적으로 정해지는 행동’을 한 번 한 번 하는 것을 말합니다. 이 페이지의 공식은 같은 시행을 \(n\)번 반복하는 상황을 다룹니다. |
| 독립 | 앞의 결과가 다음에 일어날 가능성에 영향을 주지 않는 것을 말합니다. 주사위나 동전은 몇 번을 던져도 매번 같은 확률이므로 독립입니다. |
| 독립시행 | 같은 조건의 시행을 서로 독립이 되도록 여러 번 반복하는 것을 말합니다. 고등학교 ‘확률과 통계’에서 ‘독립시행의 확률’로 배우는, 이 페이지 공식의 정식 이름입니다. |
| 여사건 | 그 일이 ‘일어나지 않는’ 반대쪽 사건입니다. ‘적어도 한 번 일어난다’의 여사건은 ‘한 번도 일어나지 않는다’이며, 이렇게 바꿔 말하는 것이 이 페이지 세 번째 공식의 열쇠입니다. |
| 거듭제곱 | 같은 수를 여러 번 거듭 곱하는 계산입니다. \(0.5^3\)처럼 오른쪽 위에 작게 쓴 수(지수)가 곱하는 횟수를 나타냅니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 확률의 기초(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 거듭제곱과 지수(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 여사건의 생각(중학교 2학년~고등학교) |
|
| 소수의 곱셈(초등학교 5학년, 10~11세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘n번 연속으로 일어날 확률’을 구하는 표
| 한 번에 일어날 확률 p | 0.25 |
| 반복하는 횟수 n | 4 |
| n번 연속으로 일어날 확률 | =B1^B2 |
‘n번 중 한 번도 일어나지 않을 확률’을 구하는 표
| 한 번에 일어날 확률 p | 0.25 |
| 반복하는 횟수 n | 4 |
| 한 번도 일어나지 않을 확률 | =(1-B1)^B2 |
‘적어도 한 번은 일어날 확률’을 구하는 표
| 한 번에 일어날 확률 p | 0.25 |
| 반복하는 횟수 n | 4 |
| 적어도 한 번은 일어날 확률 | =1-(1-B1)^B2 |
붙여 넣으면 B1과 B2가 입력란이 되고, B3이 자동 계산 결과가 됩니다.
‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱할지)의 기호이며, ‘=B1^B2’는 ‘B1의 값을 B2번 거듭 곱한다’는 뜻입니다.
예를 들어 세 번째 표라면 B3에 약 0.684(약 68%)가 표시됩니다. B1과 B2를 자신의 숫자로 바꾸기만 하면 쓸 수 있습니다.
‘^’는 거듭제곱(몇 번 곱할지)의 기호이며, ‘=B1^B2’는 ‘B1의 값을 B2번 거듭 곱한다’는 뜻입니다.
예를 들어 세 번째 표라면 B3에 약 0.684(약 68%)가 표시됩니다. B1과 B2를 자신의 숫자로 바꾸기만 하면 쓸 수 있습니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘n번 연속으로 일어날 확률’을 구하는 표
| 한 번에 일어날 확률 p | 0.25 |
| 반복하는 횟수 n | 4 |
| n번 연속으로 일어날 확률 | =B1^B2 |
‘n번 중 한 번도 일어나지 않을 확률’을 구하는 표
| 한 번에 일어날 확률 p | 0.25 |
| 반복하는 횟수 n | 4 |
| 한 번도 일어나지 않을 확률 | =(1-B1)^B2 |
‘적어도 한 번은 일어날 확률’을 구하는 표
| 한 번에 일어날 확률 p | 0.25 |
| 반복하는 횟수 n | 4 |
| 적어도 한 번은 일어날 확률 | =1-(1-B1)^B2 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, B1과 B2를 자신의 숫자로 바꿔 주세요.
Python으로 계산하는 방법
probability_per_trial = 0.25 # 한 번에 일어날 확률
number_of_trials = 4 # 반복하는 횟수
p_every_time = probability_per_trial ** number_of_trials # n번 연속으로 일어날 확률
p_never = (1 - probability_per_trial) ** number_of_trials # 한 번도 일어나지 않을 확률
p_at_least_once = 1 - p_never # 적어도 한 번은 일어날 확률
print(f"{number_of_trials}번 연속으로 일어날 확률: {p_every_time}")
print(f"한 번도 일어나지 않을 확률: {p_never}")
print(f"적어도 한 번은 일어날 확률: {p_at_least_once}")
표준 라이브러리만으로 실행됩니다. ‘**’가 거듭제곱(n제곱)의 기호입니다. 맨 위의 확률과 횟수를 바꾼 뒤 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
\(n\)번 연속으로 일어날 확률
P = pⁿ
P = p^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
P = p^n
p^n
P := p^n;
P = p^n;
P = p^n
\(n\)번 중 한 번도 일어나지 않을 확률
P = (1 − p)ⁿ
P = (1-p)^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</math>
P = (1 - p)^n
(1 - p)^n
P := (1 - p)^n;
P = (1 - p)^n;
P = (1 - p)^n
\(n\)번 중 적어도 한 번은 일어날 확률
P = 1 − (1 − p)ⁿ
P = 1 - (1-p)^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi>
<mo>=</mo>
<mn>1</mn>
<mo>−</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
</mrow>
</math>
P = 1 - (1 - p)^n
1 - (1 - p)^n
P := 1 - (1 - p)^n;
P = 1 - (1 - p)^n;
P = 1 - (1 - p)^n
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 확률 계산 도우미입니다. 다음 계산은 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 숫자만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 당첨 확률이 0.25인 가챠를 4번 뽑습니다. 매번의 결과는 독립입니다. 다음 값을 각각 구해 주세요. 1. 4번 모두 당첨될 확률 2. 4번 모두 꽝일 확률 3. 적어도 한 번 당첨될 확률 계산에 사용한 공식과 실행 결과의 숫자를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
회원가입 불필요
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관련 기능
두 독립사건의 확률 계산기
두 확률로 ‘둘 다 일어날’ 확률, ‘적어도 하나가 일어날’ 확률 등을 계산합니다
두 사건의 확률 역산 계산기
알고 있는 두 확률로 나머지 확률을 한꺼번에 거꾸로 구합니다
정규분포 확률 계산기
평균과 표준편차로 지정한 범위에 들어갈 확률을 계산합니다
