아래 8개 항목 중 알고 있는 2개에만 숫자를 입력해 주세요. 두 사건이 독립이라고 보고 나머지 확률을 모두 거꾸로 구합니다.
입력하는 것은 2개 항목뿐입니다. 나머지 칸은 비워 두세요. 확률은 0~1의 수로 입력합니다(예를 들어 30%는 0.3).
계산 결과·도형
알고 있는 두 칸에만 숫자를 넣고 ‘계산’을 누르면 나머지 확률이 여기에 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 두 사건에 관한 8가지 확률(각각 일어날 확률·일어나지 않을 확률, 둘 다 일어날 확률 \(P(A \cap B)\), 적어도 하나가 일어날 확률 \(P(A \cup B)\) 등) 중 알고 있는 2개만 넣으면 나머지를 모두 거꾸로 구할 수 있습니다
- ‘적어도 하나가 일어날 확률이 58%, 둘 다 일어날 확률이 12%일 때 각각의 확률은?’처럼 보통 계산기로는 구하기 어려운 ‘거꾸로’ 계산에 강합니다
- 답뿐 아니라 계산 과정(중간 식)도 보여 주므로 숙제 채점이나 검산에도 쓸 수 있습니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel, Google 스프레드시트, Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 정리되어 있습니다
두 사건이 서로 영향을 주지 않는(독립인) 경우에만 쓸 수 있습니다. 주사위와 동전처럼 한쪽 결과가 다른 쪽과 관계없는 경우는 괜찮지만, ‘제비를 되돌려 놓지 않고 두 번 뽑는’ 경우처럼 한쪽 결과에 따라 다른 쪽 확률이 바뀌는 경우에는 쓸 수 없습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
설문 결과에서 각각의 비율 거꾸로 구하기(마케팅)
‘상품 A와 상품 B 중 적어도 하나를 아는 사람은 58%, 둘 다 아는 사람은 12%’라는 조사 결과로 각각의 인지율(30%와 40%)을 거꾸로 구할 수 있습니다(두 상품의 인지를 독립으로 볼 수 있을 때의 모델 계산입니다).
마케팅 현장에서는 이미 집계된 ‘합쳐진 숫자’만 손에 있는 경우가 많은데, 거기서 각각의 숫자를 꺼내고 싶을 때 이 역산이 도움이 됩니다.
기록에 남은 ‘결과’로 원래 확률 어림하기
‘두 설비 중 적어도 하나가 멈춘 날은 1년의 14.5%였고, 둘 다 동시에 멈춘 날은 0.5%였다.’ 이 기록으로 설비별 고장률(5%와 10%)을 거꾸로 구할 수 있습니다.
실제 데이터에는 ‘합쳐진 결과’만 남아 있는 경우가 많아서, 거기서 각각의 확률을 추정하는 방법은 설비 관리나 업무 개선 분석에 널리 쓰입니다.
이중 확인 체계의 실력 거꾸로 구하기(품질 관리·교정)
두 사람이 서류를 확인하는데 ‘적어도 한 사람이 실수를 찾을 확률은 90%, 두 사람 모두 찾을 확률은 40%’라는 실적이 있다면, 각자의 발견율(80%와 50%)을 거꾸로 구할 수 있습니다(두 사람의 발견이 서로 독립이라고 볼 수 있을 때의 모델 계산입니다).
확인 담당자 각자의 실력을 개인별로 시험하지 않아도 실적 데이터로 어림할 수 있으므로, 누구와 누구를 짝지을지, 한 명으로도 충분한지 같은 체계 재검토를 숫자를 근거로 생각할 수 있습니다.
보급률 조사 데이터에서 각각의 비율 읽어 내기
‘스마트폰과 태블릿 중 적어도 하나를 가진 사람이 85%, 둘 다 가진 사람이 35%’라는 조사 결과로 각각의 보급률(70%와 50%)을 거꾸로 구할 수 있습니다(두 기기의 보유가 서로 독립이라고 볼 수 있을 때의 어림값입니다).
공개되는 통계에는 ‘적어도 하나’, ‘둘 다’ 형태로 정리된 숫자만 실려 있는 경우가 있는데, 거기서 알고 싶은 각각의 비율을 꺼내는 데 쓸 수 있습니다.
공식과 그림
독립인 두 사건에서 항상 성립하는 관계식
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B)\)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A)\,P(B)\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
둘 다 일어날 확률 \(P(A \cap B)\)
\(=\)
①
A가 일어날 확률 \(P(A)\)
\(\times\)
②
B가 일어날 확률 \(P(B)\)
④
적어도 하나가 일어날 확률 \(P(A \cup B)\)
\(=\)
A가 일어날 확률 \(P(A)\)
\(+\)
B가 일어날 확률 \(P(B)\)
\(-\)
둘 다 일어날 확률(곱한 값)
공식을 말로 읽으면
①
A가 일어날 확률 \(P(A)\)
에
②
B가 일어날 확률 \(P(B)\)
를 곱하면
③
둘 다 일어날 확률 \(P(A \cap B)\)
가 됩니다(첫 번째 식)
④
두 확률을 더한 값에서 곱한 값(둘 다 일어날 확률)을 빼면
적어도 하나가 일어날 확률 \(P(A \cup B)\)
가 됩니다(두 번째 식)
이 두 관계식은 독립인 두 사건에서 항상 성립합니다. 그래서 8가지 확률 중 어느 2개를 알면, 이 관계를 거꾸로 따라가 나머지를 모두 구할 수 있습니다.
간단한 예
‘둘 다 일어날 확률’이 0.12, ‘적어도 하나가 일어날 확률’이 0.58이라는 것을 알 때, ‘더하면 0.7, 곱하면 0.12가 되는 두 수’를 찾으면 P(A)와 P(B)가 구해집니다
둘 다 일어날 확률(0.12)
\(=\)
A가 일어날 확률 \(P(A)\)(?)
\(\times\)
B가 일어날 확률 \(P(B)\)(?)
\(P(A) + P(B) = 0.58 + 0.12 = 0.7\)
\(P(A) \times P(B) = 0.12\)
\(\Rightarrow\ P(A) = 0.3,\ \ P(B) = 0.4\)
이해의 핵심
왜 두 값만으로 나머지를 모두 알 수 있을까요? 8가지 확률은 모두 \(P(A)\)와 \(P(B)\)의 식으로 쓸 수 있으므로, 구하려는 수(미지수)는 사실상 이 두 개뿐입니다. 미지수가 2개라면 단서(방정식)도 2개만 있으면 풀 수 있습니다. 연립방정식에서 ‘\(x\)와 \(y\)에 관한 식이 2개 있으면 풀 수 있다’는 것과 같은 원리입니다.
다만 ‘둘 다 일어날 확률’과 ‘적어도 하나가 일어날 확률’은 A와 B를 서로 바꿔도 값이 변하지 않기 때문에, 이 두 값으로 거꾸로 구하면 어느 쪽이 A인지 구별할 수 없어 서로 바꾼 두 가지 해가 나올 수 있습니다. 또 ‘둘 다 일어날 확률’이 ‘적어도 하나가 일어날 확률’보다 큰 것처럼 모순된 입력에서는 조건을 만족하는 확률의 쌍이 존재하지 않아 ‘해 없음’이 됩니다.
위 그림 오른쪽의 정사각형은 전체를 넓이 1인 정사각형으로 보고, 가로를 \(P(A)\), 세로를 \(P(B)\)로 잡은 것입니다. 왼쪽 아래 직사각형의 넓이 \(P(A) \times P(B)\)가 ‘둘 다 일어날 확률’이며, 이것이 첫 번째 식이 곱셈인 이유입니다. 왼쪽의 벤 다이어그램은 ‘어느 부분인지’를 보여 주는 그림으로, 두 원을 합친 부분이 ‘적어도 하나가 일어날 확률’에 해당합니다(원의 넓이가 확률의 크기와 대응하지는 않습니다).
8가지 확률은 모두 \(P(A)\)와 \(P(B)\) 두 값만으로 정해집니다. 그래서 거꾸로, 어느 2개를 알면 나머지를 모두 구할 수 있습니다.
용어·기호 해설
기호
| \(P(A)\) | 피 에이 | 사건 A가 일어날 확률입니다. P는 확률을 뜻하는 영어 Probability의 머리글자입니다. |
| \(A^{C}\) | 에이 여사건 | ‘A가 일어나지 않는다’는 사건(여사건)을 나타냅니다. \(P(A^{C}) = 1 - P(A)\)로 구합니다. 책에 따라 \(A^{c}\)나 \(\overline{A}\)로 쓰기도 합니다. |
| \(\cap\) | 캡(교집합) | ‘그리고’를 나타내는 기호입니다. \(A \cap B\)는 ‘A와 B가 둘 다 일어난다’는 사건입니다. 벤 다이어그램에서는 두 원이 겹친 부분에 해당합니다. |
| \(\cup\) | 컵(합집합) | ‘또는’을 나타내는 기호입니다. \(A \cup B\)는 ‘A와 B 중 적어도 하나가 일어난다’는 사건입니다. 벤 다이어그램에서는 두 원을 합친 전체에 해당합니다. |
| \(\Delta\) | 델타(대칭차) | ‘어느 한쪽만’을 나타내는 기호입니다. \(A \Delta B\)는 ‘A와 B 중 어느 한쪽만 일어난다(둘 다 일어나지는 않는다)’는 사건입니다. |
용어
| 사건 | ‘주사위에서 6이 나온다’, ‘내일 비가 온다’처럼 일어나거나 일어나지 않거나가 정해지는 일을 말합니다. 수학에서는 이런 일을 ‘사건’이라고 부르고, A나 B 같은 이름을 붙여 다룹니다. |
| 독립 | 한쪽의 결과가 다른 쪽이 일어날 가능성에 영향을 주지 않는 것을 말합니다. ‘제비를 되돌려 놓지 않고 한 번 더 뽑는’ 경우는 첫 번째 결과에 따라 두 번째 확률이 바뀌므로 독립이 아닙니다. 이 페이지의 역산은 독립인 경우 전용입니다. |
| 여사건 | 그 일이 ‘일어나지 않는’ 반대쪽 사건을 말합니다. 일어날 확률이 0.3이라면 일어나지 않을 확률(여사건의 확률)은 \(1 - 0.3 = 0.7\)입니다. |
| 연립방정식 | 구하려는 수(미지수)가 2개일 때 관계식(방정식) 2개를 묶어 두 값을 모두 구하는 방법입니다. 이 페이지의 역산은 \(P(A)\)와 \(P(B)\)를 미지수로 하는 연립방정식을 푸는 것입니다. |
| 이차방정식 | ‘더하면 \(S\), 곱하면 \(P\)가 되는 두 수’를 구하는 문제는 이차방정식이 됩니다. 이 페이지의 역산은 대부분 마지막에 이 형태에 이릅니다. |
| 근의 공식 | 이차방정식을 기계적으로 푸는 공식 \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)입니다. 이 페이지의 역산에서 마지막에 이르는 이차방정식은 이것으로 풉니다. |
| 판별식 | 근의 공식에서 근호(제곱근) 안의 식 \(b^2 - 4ac\)를 말합니다. 양수이면 해가 2개, 0이면 딱 1개, 음수이면 ‘해당하는 수가 존재하지 않는다(해 없음)’고 판정할 수 있습니다. 이 페이지에서 ‘해 없음’이 표시되는 대표적인 경우가 판별식이 음수가 될 때입니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 확률의 기초(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 두 독립사건의 확률(이 사이트의 자매 페이지) |
|
| 일차방정식(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 이차방정식과 근의 공식(중학교 3학년, 14~15세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘둘 다 일어날 확률’과 ‘적어도 하나가 일어날 확률’로 P(A)와 P(B)를 역산하는 표
| 둘 다 일어날 확률 P(A∩B) | 0.12 |
| 적어도 하나가 일어날 확률 P(A∪B) | 0.58 |
| P(A)(두 해 중 작은 쪽) | =(B1+B2-SQRT((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B)(두 해 중 큰 쪽) | =(B1+B2+SQRT((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
붙여 넣으면 B1과 B2가 입력란이 되고, B3과 B4에 거꾸로 구한 P(A)와 P(B)가 표시됩니다.
P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B), P(A) × P(B) = P(A∩B)라는 관계로 얻은 이차방정식을 근의 공식으로 풉니다.
SQRT는 근호(제곱근)를 계산하는 함수입니다. 근호 안의 값(판별식)이 음수가 되는 입력은 ‘해 없음’이므로 오류(#NUM!)가 표시됩니다.
다른 조합(P(A)와 P(A∪B)를 아는 경우 등)은 이 페이지의 계산기가 보여 주는 ‘계산 과정’을 참고하세요.
P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B), P(A) × P(B) = P(A∩B)라는 관계로 얻은 이차방정식을 근의 공식으로 풉니다.
SQRT는 근호(제곱근)를 계산하는 함수입니다. 근호 안의 값(판별식)이 음수가 되는 입력은 ‘해 없음’이므로 오류(#NUM!)가 표시됩니다.
다른 조합(P(A)와 P(A∪B)를 아는 경우 등)은 이 페이지의 계산기가 보여 주는 ‘계산 과정’을 참고하세요.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
‘둘 다 일어날 확률’과 ‘적어도 하나가 일어날 확률’로 P(A)와 P(B)를 역산하는 표
| 둘 다 일어날 확률 P(A∩B) | 0.12 |
| 적어도 하나가 일어날 확률 P(A∪B) | 0.58 |
| P(A)(두 해 중 작은 쪽) | =(B1+B2-SQRT((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B)(두 해 중 큰 쪽) | =(B1+B2+SQRT((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, B1과 B2의 숫자를 자신의 값으로 바꿔 주세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
p_both = 0.12 # 둘 다 일어날 확률 P(A∩B)
p_at_least_one = 0.58 # 적어도 하나가 일어날 확률 P(A∪B)
sum_of_pa_pb = p_at_least_one + p_both # P(A) + P(B)
product_of_pa_pb = p_both # P(A) × P(B)
discriminant = sum_of_pa_pb ** 2 - 4 * product_of_pa_pb # 이차방정식의 판별식
if discriminant < 0:
print("해 없음(이 조합을 만족하는 확률이 없습니다)")
else:
sqrt_of_discriminant = math.sqrt(discriminant)
p_a = (sum_of_pa_pb - sqrt_of_discriminant) / 2
p_b = (sum_of_pa_pb + sqrt_of_discriminant) / 2
print(f"P(A) = {p_a}, P(B) = {p_b}")
‘둘 다 일어날 확률’과 ‘적어도 하나가 일어날 확률’을 아는 경우의 예입니다. 맨 위의 두 값을 바꾼 뒤 실행해 보세요. 답이 두 가지인 경우에는 P(A)와 P(B)를 서로 바꾼 것이 또 하나의 해입니다.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
독립인 두 사건에서 항상 성립하는 관계식
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)×P(B)
P(A \cap B) = P(A)\,P(B), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) P(B), P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)
Solve[{pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58}, {pa, pb}]
solve({pa*pb = 0.12, pa + pb - pa*pb = 0.58}, {pa, pb});
syms pa pb; sol = solve(pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58, pa, pb);
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)×P(B)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 확률 계산 도우미입니다. 다음 계산은 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 숫자만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 독립인 두 사건 A, B에 대해, 둘 다 일어날 확률 P(A∩B) = 0.12, 적어도 하나가 일어날 확률 P(A∪B) = 0.58이라는 것을 알고 있습니다. P(A)와 P(B)를 구해 주세요. 그리고 각각이 일어나지 않을 확률, 어느 한쪽만 일어날 확률 P(AΔB), 둘 다 일어나지 않을 확률도 구해 주세요. 해가 두 가지라면 둘 다 보여 주세요. 계산에 사용한 공식과 실행 결과를 표로 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
전문 지식 없이도 직관적이고 간단하게 사용
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상업적 이용 허가 연락도 필요 없습니다
관련 기능
두 독립사건의 확률 계산기
두 확률로 ‘둘 다 일어날’ 확률, ‘적어도 하나가 일어날’ 확률 등을 계산합니다
반복 시행의 확률 계산기(n번 연속·적어도 한 번)
n번 연속으로 일어날 확률, n번 중 적어도 한 번 일어날 확률을 계산합니다
