전체 개수 n과 뽑는 개수 r을 입력하세요. 순서를 구별해서 뽑는 순열 nPr과 순서를 구별하지 않고 뽑는 조합 nCr을 동시에 계산합니다. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어서 n, r 부분을 직접 고쳐 써도 계산할 수 있습니다.
n, r은 0 이상의 정수(r은 n 이하)로 입력하세요. n은 10000까지 계산할 수 있고, 답이 수십 자리가 되어도 모든 자리를 정확하게 표시합니다.
계산 결과
왼쪽 입력란에 전체 개수 n과 뽑는 개수 r을 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- ‘전체 개수 \(n\)’과 ‘뽑는 개수 \(r\)’만 넣으면 순열 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)(순서를 구별해서 뽑는 경우의 수)과 조합 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)(순서를 구별하지 않고 뽑는 경우의 수)을 한 번에 알 수 있습니다
- ‘11명인 축구팀에서 주장과 골키퍼를 뽑는 방법은 몇 가지일까?’, ‘공격수 2명을 뽑는 방법은 몇 가지일까?’ 같은 경우의 수 계산을 한 번에 할 수 있습니다
- 답이 수십 자리, 수백 자리가 되는 큰 \(n\)이라도 반올림하지 않고 모든 자리를 정확하게 표시합니다
- 공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
이 페이지에서 다루는 것은 ‘한 번 뽑은 것은 다시 뽑지 않는(중복 없음)’ 경우의 순열과 조합입니다. 주사위의 눈처럼 같은 것을 몇 번이든 뽑을 수 있는 경우(중복순열, 중복조합)는 공식이 다르므로 이 계산기에서는 다루지 않습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
로또의 ‘당첨되기 어려움’을 숫자로 알아보기
로또 6/45는 1부터 45까지 45개의 숫자 중에서 6개를 고르는 복권입니다. 고른 숫자의 순서는 상관없으므로 조합이 되고, 번호를 고르는 방법은 \({}_{45}\mathrm{C}_{6} = 8{,}145{,}060\)가지입니다. 이 중 1등에 당첨되는 조합은 1가지뿐이므로, 1등 확률은 약 814만분의 1입니다.
조합의 공식을 쓰면 복권이나 경품 추첨이 얼마나 당첨되기 어려운지를 막연한 느낌이 아니라 실제 숫자로 확인할 수 있습니다.
반장 선출, 당번 정하기의 경우의 수 세기
30명인 반에서 반장과 부반장을 1명씩 정하는 것은 역할을 구별하므로 순열이 되어 \({}_{30}\mathrm{P}_{2} = 30 \times 29 = 870\)가지입니다. 반면 청소 당번 2명을 뽑기만 한다면 순서와 상관없으므로 조합이 되어 \({}_{30}\mathrm{C}_{2} = 435\)가지입니다.
역할이나 순서를 구별하는지에 따라 경우의 수가 달라진다는 것을 알면, 제비뽑기나 선거에서도 올바르게 셀 수 있습니다.
리그전(풀리그)의 경기 수 구하기
풀리그에서는 모든 팀이 다른 모든 팀과 한 번씩 경기합니다. 경기 하나는 ‘맞붙을 2팀을 뽑는 방법’이므로 \(n\)팀이면 \({}_{n}\mathrm{C}_{2}\)경기가 됩니다. 10팀이라면 \({}_{10}\mathrm{C}_{2} = 45\)경기입니다.
스포츠 대회를 운영하거나 일정을 짤 때 이 계산으로 필요한 경기 수, 일수, 경기장 수를 어림합니다.
비밀번호·번호 자물쇠의 경우의 수(보안)
0부터 9까지 10개의 숫자로 같은 숫자를 두 번 쓰지 않고 4자리 번호를 만들면, 순서가 다르면 다른 번호이므로 \({}_{10}\mathrm{P}_{4} = 5{,}040\)가지입니다. 경우의 수가 많을수록 하나하나 시도해서 푸는 것이 어려워지며, 자릿수를 하나 늘리면 얼마나 안전해지는지도 순열로 알 수 있습니다.
품질 관리의 표본 검사(제조업)
제품 100개 중에서 검사용으로 5개를 뽑을 때, 뽑는 방법은 \({}_{100}\mathrm{C}_{5} = 75{,}287{,}520\)가지입니다.
통계적인 표본 검사(샘플링 검사)의 이론은 이런 경우의 수를 바탕으로 합니다. 검사로 불량품을 찾아낼 확률을 구하는 데 쓰이며, 공장의 품질 보증에서 중요한 역할을 합니다.
공식
계승 \(n!\)(\(n\)개 전체를 나열하는 방법의 수)
수학 표기
(일반적인 수식)
\(n!\)
\(=\)
\(n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
\(n\)개 전체를 나열하는 방법의 수 \(n!\)
\(=\)
①
\(n\)부터 \(1\)까지의 정수의 곱
공식을 말로 읽으면
①
\(n\)부터 \(1\)까지의 정수
를 모두 곱하면
②
\(n\)개 전체를 나열하는 방법의 수(\(n!\))
가 됩니다
간단한 예
4명(A, B, C, D)을 한 줄로 세우는 방법의 수는
4명 전체를 세우는 방법의 수 \(4!\)
\(=\)
4부터 1까지의 곱
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
이해의 핵심
맨 앞에 세울 사람은 \(n\)가지, 그다음은 남은 사람 중에서 \((n-1)\)가지…처럼 고를 수 있는 수가 하나씩 줄어들기 때문에, 이를 모두 곱한 수가 ‘전체를 나열하는 방법의 수’가 됩니다.
또한 \(0! = 1\)로 약속합니다(‘아무것도 나열하지 않는’ 방법이 1가지라고 생각합니다). 이 약속 덕분에 아래의 순열·조합 공식을 \(r = n\)이나 \(r = 0\)일 때도 그대로 쓸 수 있습니다.
순열 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)(순서를 구별해서 뽑기)
수학 표기
(일반적인 수식)
\({}_{n}P_{r}\)
\(=\)
\(n!\)
\(\div\)
\((n-r)!\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
나열하는 방법의 수 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)
\(=\)
①
\(n\)개 전체를 나열하는 방법의 수 \(n!\)
\(\div\)
②
나머지를 나열하는 방법의 수 \((n-r)!\)
공식을 말로 읽으면
①
\(n\)개 전체를 나열하는 방법의 수(\(n!\))
를
②
뽑지 않은 \((n-r)\)개를 나열하는 방법의 수(\((n-r)!\))
로 나누면
③
\(n\)개에서 \(r\)개를 뽑아 나열하는 방법의 수(\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\))
가 됩니다
간단한 예
축구팀 11명 중에서 주장과 골키퍼를 1명씩 뽑는(역할이 다르므로 순서를 구별하는) 방법의 수는
11명에서 2명을 뽑아 나열하기 \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\)
\(=\)
11명 전체를 나열하는 방법의 수(11!)
\(\div\)
나머지 9명을 나열하는 방법의 수(9!)
\({}_{11}P_{2} = \dfrac{11!}{(11-2)!} = \dfrac{11!}{9!} = 11 \times 10 = 110\)
이해의 핵심
\(n\)개 전체를 나열하는 방법의 수 \(n!\) 중에서, 뽑히지 않은 \((n-r)\)개가 어떤 순서로 놓이는지는 상관이 없으므로 그만큼 \((n-r)!\)로 나눕니다. 이것이 이 공식의 의미입니다.
실제로 손으로 계산할 때는 약분하면 ‘큰 수부터 \(r\)개를 곱하기만 하면’ 됩니다. \({}_{11}\mathrm{P}_{2}\)라면 \(11 \times 10 = 110\)입니다. ‘주장 A, 골키퍼 B’와 ‘주장 B, 골키퍼 A’를 서로 다른 방법으로 세는 것이 순열입니다.
조합 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)(순서를 구별하지 않고 뽑기)
수학 표기
(일반적인 수식)
\({}_{n}C_{r}\)
\(=\)
\({}_{n}P_{r}\)
\(\div\)
\(r!\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
뽑는 방법의 수 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)
\(=\)
①
순서를 구별해서 뽑는 방법의 수 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)
\(\div\)
②
뽑은 \(r\)개를 다시 나열하는 방법의 수 \(r!\)
공식을 말로 읽으면
①
순서를 구별해서 뽑는 방법의 수(\({}_{n}\mathrm{P}_{r}\))
를
②
뽑은 \(r\)개를 다시 나열하는 방법의 수(\(r!\))
로 나누어 순서 때문에 겹친 것을 없애면
③
\(n\)개에서 \(r\)개를 뽑는 방법의 수(\({}_{n}\mathrm{C}_{r}\))
가 됩니다
간단한 예
축구팀 11명 중에서 공격수 2명을 뽑는(2명의 순서는 구별하지 않는) 방법의 수는
11명에서 2명 뽑기 \({}_{11}\mathrm{C}_{2}\)
\(=\)
순서를 구별해서 뽑는 방법(110가지)
\(\div\)
2명을 다시 나열하는 방법(2! = 2가지)
\({}_{11}C_{2} = \dfrac{{}_{11}P_{2}}{2!} = \dfrac{110}{2} = 55\)
이해의 핵심
순열의 110가지 안에서는 ‘A와 B’, ‘B와 A’처럼 같은 2명이 순서만 바뀐 채 \(2! = 2\)번씩 세어져 있습니다. 그래서 \(r!\)로 나누면 겹친 것이 사라지고 ‘뽑는 방법만’의 수가 됩니다.
순열의 공식 \({}_{n}\mathrm{P}_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}\)을 대입하면 교과서에서 익숙한 \({}_{n}\mathrm{C}_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}\)의 꼴이 됩니다. \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)은 이항계수라고도 부르며 \(\binom{n}{r}\)로 쓰기도 합니다.
순열 nPr은 ‘순서를 구별해서 뽑는’, 조합 nCr은 ‘순서를 구별하지 않고 뽑는’ 경우의 수입니다. 먼저 순열을 구하고, 순서 때문에 겹친 만큼 \(r!\)로 나누면 조합이 됩니다. 이 관계로 기억하는 것이 요령입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(n\) | 엔 | 뽑는 대상이 되는 전체의 개수입니다. (예: 11명 중에서 뽑는다면 \(n = 11\)) |
| \(r\) | 알 | 전체 중에서 뽑는 개수입니다. (예: 2명을 뽑는다면 \(r = 2\)) |
| \(n!\) | n 팩토리얼 | \(n\)부터 \(1\)까지의 정수를 모두 곱한 수로, \(n\)개 전체를 한 줄로 나열하는 방법의 수를 나타냅니다. 단, \(0! = 1\)로 약속합니다. (예: \(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)) |
| \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\) | n P r | \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑아 순서대로 나열하는 방법의 수(순열)입니다. P는 순열을 뜻하는 영어 permutation의 첫 글자입니다. |
| \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\) | n C r | \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑는 방법의 수(조합)입니다. C는 조합을 뜻하는 영어 combination의 첫 글자입니다. |
| \(\binom{n}{r}\) | n C r(이항계수) | \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)을 다르게 쓰는 방법입니다. 대학 이후의 수학이나 외국 교과서에서는 이 표기를 자주 씁니다. |
용어
| 경우의 수 | 일어날 수 있는 경우가 모두 몇 가지인지 센 수입니다. 순열도 조합도 경우의 수를 세기 위한 도구입니다. |
| 순열 | \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑아 순서를 구별해서 한 줄로 나열하는 방법입니다. ‘반장과 부반장’처럼 역할이나 순위가 다르면 서로 다른 것으로 셉니다. |
| 조합 | \(n\)개에서 \(r\)개를 뽑기만 하고 순서는 구별하지 않는 방법입니다. ‘청소 당번 2명’처럼 뽑힌 사람이 같으면 1가지로 셉니다. |
| 계승 (팩토리얼) | \(n\)부터 \(1\)까지의 정수를 모두 곱하는 계산입니다. 기호는 \(n!\)이고 ‘n 팩토리얼’이라고 읽으며, \(n\)개 전체를 나열하는 방법의 수를 나타냅니다. |
| 이항계수 | \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)의 다른 이름입니다. \((a+b)^n\)을 전개했을 때 각 항의 계수가 정확히 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)이 되기 때문에 이렇게 부릅니다. |
| 수형도 | 경우의 수를 빠짐없이, 중복 없이 세기 위해 나뭇가지 모양의 그림으로 모든 경우를 적어 보는 방법입니다. 순열·조합의 공식은 수형도로 하나하나 세는 일을 계산으로 한 번에 하는 것입니다. |
| 중복순열 | 같은 것을 몇 번이든 뽑을 수 있는 경우의 순열로, \(n^r\)가지가 됩니다. 이 페이지의 계산기는 ‘중복 없음’의 경우만 다룹니다. |
| 중복조합 | 같은 것을 몇 번이든 뽑을 수 있는 경우의 조합입니다. 이 페이지의 계산기는 ‘중복 없음’의 경우만 다룹니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
| 곱셈과 나눗셈(초등학교 3~4학년, 9~10세) |
|
| 경우의 수와 수형도(중학교 2학년, 13~14세) |
|
| 계승의 기호(고등학교 1학년, 15~16세) |
|
| 순열과 조합(고등학교 1학년, 15~16세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
계승 n!을 구하는 표
| 나열하는 개수 n | 4 |
| 전체를 나열하는 방법의 수 n! | =FACT(B1) |
순열 nPr을 구하는 표
| 전체 개수 n | 11 |
| 뽑는 개수 r | 2 |
| 순열 nPr | =PERMUT(B1,B2) |
조합 nCr을 구하는 표
| 전체 개수 n | 11 |
| 뽑는 개수 r | 2 |
| 조합 nCr | =COMBIN(B1,B2) |
붙여 넣으면 B1(과 B2)이 입력란이 되고, 마지막 행이 자동으로 계산된 결과가 됩니다.
FACT는 계승, PERMUT는 순열, COMBIN은 조합을 계산하는 Excel 함수입니다.
예를 들어 두 번째 표라면 B3에 110, 세 번째 표라면 B3에 55가 표시됩니다. B1과 B2를 원하는 숫자로 바꾸기만 하면 됩니다.
참고로 Excel의 숫자는 유효숫자 15자리까지이므로, n이 커서 답이 수십 자리가 되면 끝자리가 반올림됩니다.
FACT는 계승, PERMUT는 순열, COMBIN은 조합을 계산하는 Excel 함수입니다.
예를 들어 두 번째 표라면 B3에 110, 세 번째 표라면 B3에 55가 표시됩니다. B1과 B2를 원하는 숫자로 바꾸기만 하면 됩니다.
참고로 Excel의 숫자는 유효숫자 15자리까지이므로, n이 커서 답이 수십 자리가 되면 끝자리가 반올림됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
계승 n!을 구하는 표
| 나열하는 개수 n | 4 |
| 전체를 나열하는 방법의 수 n! | =FACT(B1) |
순열 nPr을 구하는 표
| 전체 개수 n | 11 |
| 뽑는 개수 r | 2 |
| 순열 nPr | =PERMUT(B1,B2) |
조합 nCr을 구하는 표
| 전체 개수 n | 11 |
| 뽑는 개수 r | 2 |
| 조합 nCr | =COMBIN(B1,B2) |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다(FACT, PERMUT, COMBIN은 Google 스프레드시트에도 같은 이름으로 있습니다).
표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고 B1과 B2를 원하는 숫자로 바꾸세요.
표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고 B1과 B2를 원하는 숫자로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
import math
total_items = 11 # 전체 개수 n
chosen_items = 2 # 뽑는 개수 r
permutations = math.perm(total_items, chosen_items) # 순열 nPr
combinations = math.comb(total_items, chosen_items) # 조합 nCr
print(f"순열 nPr(순서를 구별해서 뽑기): {permutations}")
print(f"조합 nCr(순서를 구별하지 않고 뽑기): {combinations}")
표준 라이브러리 math만으로 동작합니다(math.perm, math.comb는 Python 3.8 이상). Python의 정수에는 자릿수 제한이 없어서 답이 수백 자리가 되어도 정확하게 계산할 수 있습니다. 앞의 두 숫자를 바꾸어 실행하세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
계승 \(n!\)(\(n\)개 전체를 나열하는 방법의 수)
n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1
n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 2 \times 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi><mo>!</mo>
<mo>=</mo>
<mi>n</mi>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<mn>2</mn>
<mo>×</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</math>
n! = n xx (n-1) xx cdots xx 2 xx 1
Factorial[n]
nFactorial := factorial(n);
n_factorial = factorial(n);
n! = n × (n − 1) × ⋯ × 2 × 1
순열 \({}_{n}\mathrm{P}_{r}\)(순서를 구별해서 뽑기)
ₙPᵣ = n! ÷ (n − r)!
{}_{n}P_{r} = \dfrac{n!}{(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>P</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(n, r) = (n!)/((n-r)!)
n!/(n - r)!
nPr := factorial(n)/factorial(n - r);
npr = factorial(n)/factorial(n - r);
P(n,r) = n!/(n − r)!
조합 \({}_{n}\mathrm{C}_{r}\)(순서를 구별하지 않고 뽑기)
ₙCᵣ = n! ÷ (r! × (n − r)!)
{}_{n}C_{r} = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mmultiscripts>
<mi>C</mi>
<mi>r</mi><none/>
<mprescripts/>
<mi>n</mi><none/>
</mmultiscripts>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow>
<mi>r</mi><mo>!</mo>
<mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>r</mi><mo>)</mo><mo>!</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n, r) = (n!)/(r!(n-r)!)
Binomial[n, r]
nCr := binomial(n, r);
ncr = nchoosek(n, r);
C(n,r) = n!/(r!(n − r)!)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 경우의 수(순열·조합) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 숫자만을 근거로 답하세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 축구팀에 선수가 11명 있습니다. 1. 주장과 골키퍼를 1명씩 뽑는 방법은 몇 가지입니까? (역할이 다르므로 순열입니다.) 2. 공격수 2명을 뽑는 방법은 몇 가지입니까? (2명의 순서는 상관없으므로 조합입니다.) 각 질문마다 순열 nPr과 조합 nCr 중 무엇을 썼는지 밝히고, 실행 결과의 숫자를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
간단하고 무료
무료로 횟수 제한 없이 변환
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두 확률로 ‘둘 다 일어날’ 확률, ‘적어도 한쪽이 일어날’ 확률 등을 계산합니다
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평균과 표준편차로 지정한 범위에 들어갈 확률을 계산합니다
