벡터의 외적 계산기(성분·평행사변형의 넓이·법선벡터)

두 벡터 a, b의 성분을 입력하세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어서 세로로 늘어선 숫자 부분을 직접 고쳐도 계산할 수 있습니다. 평면의 벡터를 다룰 때는 z성분 칸을 빈칸(0)으로 두세요.

벡터 a의 x성분 a₁

벡터 a의 y성분 a₂

벡터 a의 z성분 a₃

벡터 b의 x성분 b₁

벡터 b의 y성분 b₂

벡터 b의 z성분 b₃

수는 숫자로 입력하세요. 소수, 음수, 3/4 같은 분수를 쓸 수 있습니다. 빈칸인 성분은 0으로 처리합니다.

계산 결과·도형

왼쪽 입력란에 두 벡터의 성분을 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 3D 그림이 표시됩니다.

이 페이지에서 할 수 있는 것
이 계산은 어디에 쓰일까요?
사용법
공식과 그림
용어·기호 해설
- 기호
- 용어
먼저 알아 두면 좋은 내용
Excel로 계산하는 방법
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
Python으로 계산하는 방법
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
ChatGPT에게 물어서 계산하는 방법
DataChef의 특징
관련 기능
NumberChef 계산기 목록

이 페이지에서 할 수 있는 것

공간벡터 \(\vec{a}\), \(\vec{b}\)의 성분만 넣으면 외적(벡터곱) \(\vec{a}\times\vec{b}\)의 성분을 엇갈려 곱하기의 풀이 과정과 함께 계산할 수 있습니다
외적의 크기 \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)(= 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이)를 \(3\sqrt{6}\) 같은 근호 그대로의 정확한 값과 소수 두 가지로 보여 줍니다. 삼각형의 넓이(그 절반)도 함께 계산합니다
\(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\) 모두에 수직인 단위법선벡터 \(\vec{n}\), 두 벡터가 이루는 각 \(\theta\), 내적이 0이 되는 것(수직의 확인)도 한꺼번에 구할 수 있습니다
계산 결과는 마우스로 돌려 볼 수 있는 3D 그림으로도 표시되어, 외적이 평행사변형에 수직으로 서는 방향(오른손 법칙)을 눈으로 확인할 수 있습니다
성분에는 소수, 음수뿐 아니라 3/4 같은 분수도 입력할 수 있습니다. z성분을 빈칸(0)으로 두면 평면벡터의 계산에도 쓸 수 있습니다
공식의 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python에 복사해 쓸 수 있는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다

외적은 공간(3차원)의 벡터에만 정의되는 계산입니다. 평면의 벡터는 z성분을 0으로 보고 계산하며, 이때 외적은 z성분만 남습니다. 한국의 고등학교 교육과정(기하)에서는 외적을 다루지 않고, 대학의 선형대수·다변수 미적분학·일반물리에서 처음 배웁니다. 이공계나 물리, 3D 그래픽에서는 가장 먼저 익히는 기본 도구입니다.

이 계산은 어디에 쓰일까요?

3D 그래픽·게임의 음영(면이 어느 쪽을 향하는지 구하기)

게임이나 영화의 3D 영상에서는 물체의 표면을 수많은 작은 삼각형으로 나눕니다. 각 삼각형이 어느 쪽을 향하는지 나타내는 법선벡터는 두 변의 벡터의 외적으로 계산합니다. 빛의 방향과 이 법선벡터의 관계에 따라 면이 밝게 보일지 어둡게 보일지가 정해집니다.
곡면이 매끄럽게 빛나 보이는 것도 이 법선벡터로 면마다 음영을 계산하기 때문입니다.

볼트를 조이는 힘·렌치의 효과(토크)

힘이 물체를 돌리는 작용을 토크(돌림힘, 힘의 모멘트)라고 합니다. 회전의 중심에서 힘을 주는 점까지의 벡터와 힘의 벡터의 외적이며, 그 크기 \(|\vec{r}||\vec{F}|\sin\theta\)는 ‘렌치가 길수록 잘 돌아간다’, ‘손잡이에 직각으로 밀 때 가장 효과적이다’라는 경험과 일치합니다.
자동차 정비에서 토크 렌치로 볼트를 정해진 값까지 조이는 것도 이 양을 관리해야 하기 때문입니다.

전동기(모터)가 도는 원리(자기장에서 받는 힘)

자기장 속을 흐르는 전류는 전류와 자기장 모두에 수직인 방향으로 힘을 받습니다. 이 힘의 방향과 크기는 전류의 벡터와 자기장의 벡터의 외적으로 나타냅니다(전자 같은 하나의 전하라면 속도와 자기장의 외적 \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\)). 이 수직인 힘이 모터를 돌리고 스피커의 진동판을 움직입니다.
고등학교 물리에서 손을 이용해 힘의 방향을 찾는 규칙(오른손 법칙 등)은 이 외적의 방향을 손으로 구하는 방법입니다.

측량·토지의 넓이 계산(좌표로 넓이 구하기)

토지의 넓이는 측량한 경계점의 좌표로 계산합니다. 다각형의 꼭짓점을 차례로 돌며 이웃한 두 점마다 \(x_1y_2 - x_2y_1\)을 계산해 모두 더하고, 합계의 절댓값을 반으로 나누면 변의 길이를 재지 않아도 넓이가 나옵니다. 하나씩 절댓값을 취하지 않고 부호 그대로 더하는 것이 요령으로, 그러면 남는 부분이 자동으로 지워져 움푹 들어간(오목한) 토지도 바르게 넓이가 나옵니다. 외적의 \(z\)성분(부호 있는 넓이)을 이용한 것으로 신발끈 공식(좌표법)이라고 합니다.
지적 측량이나 지도(GIS) 소프트웨어에서 필지의 넓이를 구할 때도 같은 생각을 씁니다.

드론·로봇의 자세 제어(회전축 만들기)

드론이나 로봇을 ‘지금 향한 방향’에서 ‘향해야 할 방향’으로 돌리려면 어느 축을 중심으로 몇 도 돌릴지 정해야 합니다. 두 방향 벡터의 외적은 둘 모두에 수직인 벡터, 즉 회전축 그 자체가 됩니다. 각도는 외적의 크기(\(\sin\theta\) 부분)와 내적(\(\cos\theta\) 부분)을 함께 써서 구합니다.
드론의 비행 제어나 3D 애니메이션에서 캐릭터의 고개나 팔을 목표 쪽으로 돌릴 때도 같은 생각을 씁니다.

공식과 그림

외적(벡터곱)의 성분(엇갈려 곱하기)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(\vec{a} \times \vec{b}\) \(=\) \((\) \(a_2 b_3 - a_3 b_2\) \(,\) \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) \(,\) \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) \()\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

④ 외적(\(\vec{a}\times\vec{b}\)) \(=\) \((\) ① \(x\)성분(\(y\)와 \(z\)를 엇갈려 곱한 차) \(,\) ② \(y\)성분(\(z\)와 \(x\)를 엇갈려 곱한 차) \(,\) ③ \(z\)성분(\(x\)와 \(y\)를 엇갈려 곱한 차) \()\)

공식을 말로 읽으면

① \(\vec{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3)\), \(\vec{b} = (b_1,\ b_2,\ b_3)\)이라고 하면, 먼저 \(y\)와 \(z\)를 엇갈려 곱한 차인 \(x\)성분(\(a_2b_3 - a_3b_2\)) 을 만들고,

② \(z\)와 \(x\)를 엇갈려 곱한 차인 \(y\)성분(\(a_3b_1 - a_1b_3\)) 을 만들고,

③ \(x\)와 \(y\)를 엇갈려 곱한 차인 \(z\)성분(\(a_1b_2 - a_2b_1\)) 을 만들어,

④ 이 세 수를 성분으로 늘어놓은 벡터가 외적(\(\vec{a}\times\vec{b}\)) 이 됩니다

간단한 예

\(\vec{a} = (1,\ 2,\ 3)\), \(\vec{b} = (4,\ 5,\ 6)\)의 외적은

외적 \(\vec{a}\times\vec{b}\) \(=\) \((\) \(x\)성분(\(2 \times 6 - 3 \times 5\)) \(,\) \(y\)성분(\(3 \times 4 - 1 \times 6\)) \(,\) \(z\)성분(\(1 \times 5 - 2 \times 4\)) \()\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times 6 - 3 \times 5,\ \ 3 \times 4 - 1 \times 6,\ \ 1 \times 5 - 2 \times 4)\)

\(= (12 - 15,\ \ 12 - 6,\ \ 5 - 8) = (-3,\ 6,\ -3)\)

이해의 핵심

세 성분은 하나하나 외우지 않아도 엇갈려 곱하기로 만들 수 있습니다. \(x \to y \to z \to x \to y \to z\)처럼 고리 모양으로 도는 순서(순환 순서)를 떠올리고, 구하려는 성분의 문자를 가린 뒤 그다음 두 문자를 읽습니다. \(x\)성분이면 \(y,\ z\), \(y\)성분이면 \(z,\ x\), \(z\)성분이면 \(x,\ y\)입니다. \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 그 두 열만 두 줄로 적고 ‘오른쪽 아래로 가는 곱 − 오른쪽 위로 가는 곱’을 계산합니다. 위의 그림이 이 순서를 보여 줍니다. \(y\)성분 \(a_3b_1 - a_1b_3\)만 다른 성분과 반대로 보이는 것은 문자를 \(x,\ z\)가 아니라 \(z,\ x\)의 순서로 읽기 때문입니다. 이 순서를 헷갈리면 \(y\)성분만 부호가 틀립니다. 대학 교재에서는 같은 계산을 첫째 줄에 단위벡터 \(\mathbf{i},\ \mathbf{j},\ \mathbf{k}\), 아래 두 줄에 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)의 성분을 놓은 3×3 행렬식으로 쓰는 경우가 많습니다. 첫째 줄을 따라 전개하면 정확히 이 세 성분이 나옵니다(\(\mathbf{j}\) 앞에 붙는 마이너스 부호가 \(y\)성분이 반대로 보이는 이유입니다). 또 \(\vec{b} \times \vec{a}\)는 \(\vec{a} \times \vec{b}\)와 부호가 반대입니다(\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)). 순서를 바꾸면 답이 달라지므로 내적과 달리 순서가 중요합니다.

외적의 크기(\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\) \(=\) \(\left| \vec{a} \right|\) \(\left| \vec{b} \right|\) \(\sin\theta\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

④ 외적의 크기(\(|\vec{a}\times\vec{b}|\)) \(=\) ① \(\vec{a}\)의 크기(\(|\vec{a}|\)) ② \(\vec{b}\)의 크기(\(|\vec{b}|\)) ③ 이루는 각 \(\theta\)의 사인(\(\sin\theta\))

공식을 말로 읽으면

① \(\vec{a}\)의 크기(\(|\vec{a}|\)) 에

② \(\vec{b}\)의 크기(\(|\vec{b}|\)) 를 곱하고, 다시

③ 두 벡터가 이루는 각 \(\theta\)의 사인(\(\sin\theta\)) 을 곱하면

④ 외적의 크기(\(|\vec{a}\times\vec{b}|\)) 가 됩니다

간단한 예

크기가 4인 벡터와 크기가 3인 벡터가 30°의 각을 이룰 때, 외적의 크기는

외적의 크기 \(=\) \(\vec{a}\)의 크기(4) \(\vec{b}\)의 크기(3) \(\sin 30^\circ\)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = 4 \times 3 \times \sin 30^\circ = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6\)

이해의 핵심

평행사변형의 넓이는 ‘밑변 × 높이’입니다. 밑변을 \(|\vec{a}|\)로 하면 높이는 \(|\vec{b}|\sin\theta\)(위 그림의 점선)이므로, \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)가 바로 평행사변형의 넓이입니다. 이루는 각 \(\theta\)는 0°부터 180°까지의 범위에서 생각합니다. 이 범위에서 \(\sin\theta\)는 음수가 되지 않으므로 \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)도 음수가 되지 않고, 그대로 길이나 넓이로 쓸 수 있습니다(\(\cos\theta\)는 90°를 넘으면 음수가 되므로 내적은 음수가 될 수 있습니다). 내적이 \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)인 데 비해 외적의 크기는 \(\sin\theta\)를 씁니다. 두 벡터의 방향이 같을 때(\(\theta = 0^\circ\))나 반대일 때(\(\theta = 180^\circ\))는 \(\sin\theta = 0\)이 되어 외적은 영벡터가 되고, 직각일 때(\(\theta = 90^\circ\))는 \(\sin\theta = 1\)로 가장 커집니다. ‘평행이면 0, 수직이면 최대’로, 내적과 정반대입니다. 이 식은 각도를 알 때 편리합니다. 성분을 알 때는 엇갈려 곱하기(공식 1)로 성분을 구한 뒤 크기를 구하는 편이 빠르고, 각도의 반올림 오차도 끼어들지 않습니다. 이 계산기도 성분으로 정확하게 계산합니다.

평행사변형의 넓이와 삼각형의 넓이

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(S\) \(=\) \(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

② 평행사변형의 넓이(\(S\)) \(=\) ① 외적의 크기(\(|\vec{a}\times\vec{b}|\))

④ 삼각형의 넓이(\(S_{\triangle}\)) \(=\) ③ 외적의 크기의 절반

공식을 말로 읽으면

① 두 벡터를 두 변으로 하는 평행사변형을 생각하면, 외적의 크기(\(|\vec{a}\times\vec{b}|\)) 가 그대로

② 평행사변형의 넓이(\(S\)) 가 되고,

③ 외적의 크기의 절반 이

④ 두 벡터를 두 변으로 하는 삼각형의 넓이(\(S_{\triangle}\)) 가 됩니다

간단한 예

\(\vec{a} = (1,\ 2,\ 3)\), \(\vec{b} = (4,\ 5,\ 6)\)이 만드는 평행사변형과 삼각형의 넓이는(외적은 공식 1에서 구한 \((-3,\ 6,\ -3)\))

평행사변형의 넓이 \(=\) 외적 \((-3,\ 6,\ -3)\)의 크기

\(S = \sqrt{(-3)^{2} + 6^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \fallingdotseq 7.34846922835\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \fallingdotseq 3.67423461417\)

이해의 핵심

평행사변형은 대각선으로 자르면 합동인 삼각형 2개로 나뉩니다. 그래서 삼각형의 넓이는 평행사변형의 넓이의 정확히 절반입니다. 공간의 세 점 A, B, C가 만드는 삼각형의 넓이도 \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)와 \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\)의 외적을 구해 그 크기를 반으로 나누면 됩니다. 세 변의 길이를 재서 헤론의 공식을 쓰지 않아도, 좌표만 알면 넓이가 나오는 것이 외적의 강점입니다. 크기는 \(\sqrt{54}\)처럼 근호 안이 큰 수로 나오는 경우가 많습니다. \(54 = 9 \times 6\)처럼 제곱수를 찾아 \(3\sqrt{6}\)으로 간단히 합니다(근호 밖으로 꺼낼 수 있는 것은 모두 꺼내는 것이 원칙). 이 계산기는 간단히 한 근호의 꼴과 소수를 함께 보여 줍니다.

단위법선벡터(두 벡터 모두에 수직이고 크기가 1인 벡터)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(\vec{n}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\) \(\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

③ 단위법선벡터(\(\vec{n}\)) \(=\) ② 외적의 크기로 나누기(길이를 1로 맞춤) ① 외적(\(\vec{a}\times\vec{b}\))

공식을 말로 읽으면

① 외적(\(\vec{a}\times\vec{b}\)) 을

② 외적의 크기 \(|\vec{a}\times\vec{b}|\)로 나누면(= 크기의 역수를 곱하면) 방향은 그대로이고 길이만 1이 되어

③ 단위법선벡터(\(\vec{n}\)) 를 얻습니다

간단한 예

외적이 \((-3,\ 6,\ -3)\)이고 그 크기가 \(3\sqrt{6}\)일 때, 단위법선벡터는

단위법선벡터 \(\vec{n}\) \(=\) 크기 \(3\sqrt{6}\)으로 나누기 외적 \((-3,\ 6,\ -3)\)

\(\vec{n} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}(-3,\ 6,\ -3) \fallingdotseq (-0.408248290464,\ 0.816496580928,\ -0.408248290464)\)

\(\vec{a} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = 1 \times (-3) + 2 \times 6 + 3 \times (-3) = 0\)

이해의 핵심

외적은 원래의 두 벡터 모두에 수직입니다. 내적을 계산하면 반드시 \(\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\), \(\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\)이 됩니다(내적이 0이면 수직). 이 계산기는 두 값이 모두 0인 것을 확인해 결과에 보여 줍니다. 평면에 수직인 벡터를 법선벡터라 하고, 그 길이를 1로 맞춘 것이 단위법선벡터입니다. 길이를 버리고 방향만 남긴 것이므로, 3D 그래픽의 음영처럼 ‘면이 어느 쪽을 향하는지’만 중요할 때 씁니다. 고등학교 기하의 ‘평면의 방정식’에서도 법선벡터가 나옵니다. 평면에 수직인 방향은 앞과 뒤 두 가지가 있는데, 어느 쪽인지는 오른손으로 정합니다. 오른손의 네 손가락을 \(\vec{a}\)에서 \(\vec{b}\) 쪽으로 감아쥐면 엄지가 \(\vec{a}\times\vec{b}\)의 방향을 가리킵니다(오른손 법칙). \(\vec{b}\times\vec{a}\)는 반대인 평면의 뒤쪽을 향합니다. 그래서 단위법선벡터는 \(\vec{n}\)과 \(-\vec{n}\) 두 개가 있고, 둘 다 ‘길이가 1이고 평면에 수직’입니다. 어느 쪽이 나오는지는 \(\vec{a}\)와 \(\vec{b}\)를 곱하는 순서로 정해지며, 이 계산기는 \(\vec{a}\times\vec{b}\) 방향의 것을 보여 줍니다. 답을 하나로 정해야 할 때는 ‘\(z\)성분이 양수인 쪽’처럼 스스로 규칙을 정하세요.

평면 벡터의 경우(삼각형의 넓이 공식)

그림

수학 표기 (일반적인 수식)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\Bigl|\) \(x_1 y_2\) \(-\) \(x_2 y_1\) \(\Bigr|\)

말로 쓴 표기 (기호를 말로 바꾼 식)

④ 삼각형 OAB의 넓이(\(S_{\triangle}\)) \(=\) ③ 평행사변형의 절반으로 \(\Bigl|\) ① 점 A의 \(x\)좌표와 점 B의 \(y\)좌표의 곱 \(-\) ② 점 B의 \(x\)좌표와 점 A의 \(y\)좌표의 곱 \(\Bigr|\)

공식을 말로 읽으면

① 평면 위의 세 점 \(\mathrm{O}(0,\ 0)\), \(\mathrm{A}(x_1,\ y_1)\), \(\mathrm{B}(x_2,\ y_2)\)에 대해, 점 A의 \(x\)좌표와 점 B의 \(y\)좌표의 곱(\(x_1y_2\)) 에서

② 점 B의 \(x\)좌표와 점 A의 \(y\)좌표의 곱(\(x_2y_1\)) 을 빼고, 그 절댓값(마이너스가 붙으면 뗌)을

③ 평행사변형의 절반으로(2로 나누기) 하면

④ 삼각형 OAB의 넓이(\(S_{\triangle}\)) 가 됩니다

간단한 예

세 점 \(\mathrm{O}(0,\ 0)\), \(\mathrm{A}(4,\ 1)\), \(\mathrm{B}(1,\ 3)\)이 만드는 삼각형의 넓이는

삼각형의 넓이 \(=\) 평행사변형의 절반 \(\Bigl|\) A의 \(x\)좌표와 B의 \(y\)좌표(\(4 \times 3\)) \(-\) B의 \(x\)좌표와 A의 \(y\)좌표(\(1 \times 1\)) \(\Bigr|\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 4 \times 3 - 1 \times 1 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 12 - 1 \right| = \dfrac{11}{2} = 5.5\)

이해의 핵심

평면 벡터 \(\vec{a} = (x_1,\ y_1)\), \(\vec{b} = (x_2,\ y_2)\)는 \(z\)성분이 0인 공간벡터 \((x_1,\ y_1,\ 0)\), \((x_2,\ y_2,\ 0)\)으로 볼 수 있습니다. 이 두 벡터의 외적을 구하면 \(x\)성분과 \(y\)성분은 0이 되고, \(z\)성분 \(x_1y_2 - x_2y_1\)만 남습니다. 즉 교과서에 나오는 삼각형의 넓이 공식 \(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\)은 외적의 \(z\)성분(의 절댓값)의 절반 그 자체입니다. 이 계산기에서 \(z\)성분 칸을 빈칸(0)으로 두면 직접 확인할 수 있습니다. 절댓값을 떼기 전의 \(x_1y_2 - x_2y_1\)의 부호에도 뜻이 있습니다. 양수이면 \(\vec{a}\)에서 \(\vec{b}\)로 도는 방향이 시계 반대 방향, 음수이면 시계 방향입니다. 이 ‘부호 있는 넓이’는 다각형의 넓이를 좌표에서 한 번에 구할 때 쓰입니다(신발끈 공식, 측량에서는 좌표법이라고도 합니다).

외적 \(\vec{a}\times\vec{b}\)는 두 공간벡터로 새로운 벡터를 만드는 계산입니다. 성분은 엇갈려 곱한 뺄셈 세 개로 만들 수 있고, 방향은 원래의 두 벡터 모두에 수직(오른손 법칙)이며, 크기 \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\)는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같습니다. 삼각형의 넓이는 그 절반이고, 크기로 나누면 단위법선벡터가 됩니다.

용어·기호 해설

기호

\(\vec{a}\)	벡터 에이	‘방향과 크기(길이)를 가진 양’을 나타내는 기호. 문자 위의 화살표가 ‘이것은 벡터입니다’라는 표시입니다. 대학 이후에는 화살표 없이 굵은 글씨(a)로 나타내기도 합니다.
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	에이 일, 에이 이, 에이 삼	벡터 \(\vec{a}\)의 성분. \(x\), \(y\), \(z\) 방향으로 각각 얼마나 가는지를 나타내는 세 수이며, 오른쪽 아래의 작은 수(첨자)가 몇 번째 성분인지를 나타냅니다. \(a_x,\ a_y,\ a_z\)로 쓰는 방식도 있습니다.
\(\vec{a} \times \vec{b}\)	에이 크로스 비	외적(벡터곱). 곱셈 기호 \(\times\)(크로스)를 쓰기 때문에 영어로는 cross product라고 합니다. 답은 수가 아니라 벡터입니다.
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	에이 내적 비	내적(스칼라곱). 가운뎃점(점)을 쓰기 때문에 영어로는 dot product라고 합니다. 답은 수(스칼라)입니다. 이름과 기호가 외적과 비슷하니 헷갈리지 않도록 주의하세요.
\(\left\| \vec{a} \right\|\)	벡터 에이의 크기	벡터의 크기(길이), 즉 화살표의 길이. 성분으로 \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)이며 피타고라스 정리로 구합니다. 절댓값과 같은 세로 막대를 쓰며, 둘 다 원점으로부터의 거리를 나타냅니다.
\(\theta\)	세타	두 벡터가 이루는 각. 각도를 나타내는 데 자주 쓰는 그리스 문자입니다. 외적에서는 0°부터 180°까지의 범위에서 생각합니다.
\(\sin\theta\)	사인 세타	각 \(\theta\)의 사인. 직각삼각형에서 ‘높이 ÷ 빗변’에 해당하는 비이며 줄여서 \(\sin\)으로 씁니다. 0°부터 180°까지에서는 음수가 되지 않습니다. \(\sin 0^\circ = 0\), \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\)입니다.
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)	벡터 에이비	점 A를 시점, 점 B를 종점으로 하는 벡터. 성분은 ‘종점의 좌표 − 시점의 좌표’로 구합니다. 세 점으로 삼각형의 넓이를 구할 때는 먼저 이 꼴로 두 변의 벡터를 만듭니다.
\(S\)	에스	넓이를 나타낼 때 자주 쓰는 문자. Square(정사각형·제곱)나 Surface(면)의 첫 글자에서 왔다고 합니다. 이 페이지에서는 평행사변형의 넓이를 나타냅니다.
\(S_{\triangle}\)	에스 삼각형	삼각형의 넓이. 넓이의 \(S\)에 삼각형 기호를 붙여 평행사변형의 넓이와 구별합니다.
\(\vec{n}\)	벡터 엔	법선벡터. normal(법선·수직)의 첫 글자 \(n\)을 쓰는 관례가 있습니다. 이 페이지에서는 크기를 1로 맞춘 단위법선벡터를 나타냅니다.
\(\vec{0}\)	영벡터	성분이 모두 0인 벡터(영벡터). 크기가 0이고 방향이 없습니다. 두 벡터가 평행할 때 외적은 이 영벡터가 됩니다.
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	루트(제곱근)	제곱근의 기호(근호). \(\sqrt{54}\)는 ‘제곱하면 54가 되는 양수’입니다. 근호 안에 제곱수(\(4,\ 9,\ 16, \dots\))가 숨어 있으면 \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\)처럼 밖으로 꺼내 간단히 합니다.

용어

벡터	방향과 크기를 함께 가진 양. 방향과 길이가 같은 화살표는 어디에 그려도 같은 벡터로 봅니다. 힘·속도·바람처럼 ‘어느 쪽으로, 얼마나’를 나타내는 양이 벡터입니다.
성분	벡터를 \((1,\ 2,\ 3)\)처럼 \(x\), \(y\), \(z\) 방향으로 가는 양의 쌍으로 나타낸 것(벡터의 성분). 세로로 늘어놓아(열벡터) 쓰기도 하며 뜻은 같습니다. 대학 교재에서는 \(\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\)처럼 쓰기도 합니다.
외적	두 공간벡터로 새로운 벡터를 만드는 계산. 벡터곱이라고도 합니다. 새 벡터는 원래의 두 벡터 모두에 수직이고, 그 크기는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이와 같습니다.
내적	두 벡터로 수(스칼라)를 만드는 계산. \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\)와 같으며, 0이면 두 벡터는 수직입니다. 답이 벡터인 외적과는 다른 계산입니다.
크기	벡터의 길이. 성분이 \((a_1,\ a_2,\ a_3)\)이면 \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)으로, 피타고라스 정리를 공간으로 넓힌 것입니다. 노름이라고도 합니다.
이루는 각	두 벡터의 시점을 맞추었을 때 그 사이에 생기는 각. 0°부터 180°까지에서 생각합니다.
평행사변형	마주 보는 두 쌍의 변이 각각 평행한 사각형. 두 벡터를 두 변으로 하면 그 넓이가 외적의 크기가 됩니다.
법선벡터	평면(또는 직선)에 수직인 벡터. 면이 어느 쪽을 향하는지를 나타내며, 평면 위에 있는 두 벡터의 외적으로 쉽게 만들 수 있습니다.
단위벡터	길이가 1인 벡터. 벡터를 자신의 크기로 나누면 방향은 그대로이고 길이가 1이 되어 단위벡터를 얻습니다.
단위법선벡터	법선벡터 가운데 크기를 1로 맞춘 것. 방향의 정보만 꺼내고 싶을 때 씁니다.
엇갈려 곱하기	두 줄로 늘어놓은 네 수를 오른쪽 아래 방향과 오른쪽 위 방향으로 비스듬히 곱해서 빼는 계산 방법. 2×2 행렬식 \(ad - bc\)와 같은 꼴이며, 외적의 각 성분이 이 꼴입니다.
오른손 법칙	외적의 방향을 정하는 규칙. 오른손의 네 손가락을 \(\vec{a}\)에서 \(\vec{b}\) 쪽으로 감아쥐면 엄지가 \(\vec{a}\times\vec{b}\)의 방향을 가리킵니다. 이 규칙을 따르는 좌표계를 오른손 좌표계라고 합니다.
영벡터	성분이 모두 0인 벡터. 크기가 0이고 방향이 없습니다. 두 벡터가 평행할 때 그 외적은 영벡터입니다.
수직	두 벡터가 이루는 각이 90°인 것. 직교라고도 합니다. 내적이 0인 것으로 확인할 수 있습니다.
평행	두 벡터의 방향이 같거나 정반대인 것. 이때 두 벡터는 한 직선 위에 놓일 수 있으므로 평행사변형을 만들 수 없습니다(납작해져 넓이가 0).
부호 있는 넓이	도는 방향에 따라 플러스·마이너스를 붙인 넓이. 평면에서 \(x_1y_2 - x_2y_1\)은 부호 있는 넓이로, 시계 반대 방향이면 양수, 시계 방향이면 음수입니다. 절댓값을 취하면 보통의 넓이가 됩니다.
행렬식	정사각형 모양으로 늘어놓은 수로 정해지는 하나의 수. 2×2 행렬식 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)는 바로 엇갈려 곱하기이며, 외적의 각 성분은 이 2×2 행렬식의 꼴입니다.
순환 순서	\(x \to y \to z \to x\)처럼 순서가 고리 모양으로 돌아 처음으로 돌아오는 것. 외적의 세 성분은 이 순환 순서대로 같은 꼴을 되풀이합니다.

먼저 알아 두면 좋은 내용

이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.

벡터란(고등학교 기하, 주로 2~3학년, 16~18세)	벡터가 ‘방향과 크기를 가진 양’이며 화살표로 나타낼 수 있다는 것을 아는 것(힘이나 속도처럼 ‘어느 쪽으로, 얼마나’를 나타내는 양) 벡터를 \((1,\ 2,\ 3)\) 같은 성분으로 나타낼 수 있는 것(\(x\), \(y\), \(z\) 각 방향으로 얼마나 가는지)
공간의 좌표(중학교 1학년~고등학교 기하, 12~18세)	평면의 좌표 \((x,\ y)\)에 높이 \(z\)를 더한 \((x,\ y,\ z)\)로 공간의 점의 위치가 정해진다는 것을 아는 것 \(x\)축, \(y\)축, \(z\)축이 서로 수직으로 만나는 모습을 떠올릴 수 있는 것
피타고라스 정리와 벡터의 크기(중학교 2학년~고등학교 기하, 13~18세)	직각삼각형에서 \(a^2 + b^2 = c^2\)이 성립한다는 것 공간벡터의 크기를 \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\)으로 구할 수 있다는 것(피타고라스 정리를 두 번 쓴 꼴)
제곱근의 계산(중학교 3학년, 14~15세)	\(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\)처럼 근호 안의 제곱수를 밖으로 꺼내 간단히 할 수 있는 것 \(\sqrt{3} \fallingdotseq 1.732\)처럼 근호의 대략적인 소수를 아는 것
내적(고등학교 기하, 주로 2~3학년, 16~18세)	내적 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\)를 \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\)으로 계산할 수 있고 답이 수가 된다는 것 내적이 0이면 두 벡터가 수직이라는 것을 아는 것(이 페이지에서는 외적이 수직인지 확인하는 데 씁니다)
삼각비(중학교 3학년, 14~15세)	\(\sin\theta\)가 직각삼각형의 ‘높이 ÷ 빗변’의 비라는 것을 아는 것 \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\) 같은 대표적인 값을 기억하는 것
평행사변형과 삼각형의 넓이(초등학교 5학년, 10~11세)	평행사변형의 넓이를 ‘밑변 × 높이’로 구할 수 있다는 것 삼각형의 넓이가 밑변과 높이가 같은 평행사변형의 정확히 절반이라는 것

Excel로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘외적의 성분’을 구하는 표

a의 x성분 a₁	1
a의 y성분 a₂	2
a의 z성분 a₃	3
b의 x성분 b₁	4
b의 y성분 b₂	5
b의 z성분 b₃	6
a×b의 x성분 a₂b₃ − a₃b₂	=B2B6-B3B5
a×b의 y성분 a₃b₁ − a₁b₃	=B3B4-B1B6
a×b의 z성분 a₁b₂ − a₂b₁	=B1B5-B2B4

‘외적의 크기 = |a||b|sinθ’를 확인하는 표

a의 x성분 a₁	1
a의 y성분 a₂	2
a의 z성분 a₃	3
b의 x성분 b₁	4
b의 y성분 b₂	5
b의 z성분 b₃	6
외적의 크기 \|a×b\|(성분으로)	=SQRT((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
a의 크기 \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
b의 크기 \|b\|	=SQRT(B4^2+B5^2+B6^2)
내적 a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
이루는 각 θ(도)	=DEGREES(ACOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(RADIANS(B11))

‘평행사변형의 넓이와 삼각형의 넓이’를 구하는 표

a×b의 x성분	-3
a×b의 y성분	6
a×b의 z성분	-3
평행사변형의 넓이 S(= 크기)	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
삼각형의 넓이(평행사변형의 절반)	=B4/2

‘단위법선벡터’를 구하는 표

a×b의 x성분	-3
a×b의 y성분	6
a×b의 z성분	-3
크기 \|a×b\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
단위법선벡터의 x성분	=B1/B4
단위법선벡터의 y성분	=B2/B4
단위법선벡터의 z성분	=B3/B4

‘평면 위의 삼각형의 넓이’를 구하는 표

점 A의 x좌표 x₁	4
점 A의 y좌표 y₁	1
점 B의 x좌표 x₂	1
점 B의 y좌표 y₂	3
외적의 z성분 x₁y₂ − x₂y₁	=B1B4-B3B2
삼각형 OAB의 넓이	=ABS(B5)/2

붙여 넣으면 위쪽 행(벡터의 성분)이 입력 칸이 되고, 아래쪽 행에 자동 계산 결과가 나옵니다.
‘*’는 곱셈, ‘^’는 거듭제곱, SQRT는 제곱근을 구하는 함수입니다. 첫 번째 표는 a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6)의 예로, 답은 (−3, 6, −3)입니다.
두 번째 표는 ‘성분으로 구한 크기’와 ‘|a||b|sinθ로 구한 값’이 같음을 확인합니다. B7과 B12가 모두 7.348469…가 됩니다(이루는 각은 약 12.93°).
세 번째 표에서는 평행사변형의 넓이가 7.348469…, 삼각형의 넓이가 그 절반인 3.674234…입니다. 네 번째 표에서는 단위법선벡터가 (−0.408248…, 0.816497…, −0.408248…)입니다.
다섯 번째 표는 z성분이 0인 평면 벡터의 경우로, O(0, 0), A(4, 1), B(1, 3)이 만드는 삼각형의 넓이는 5.5입니다.

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.

‘외적의 성분’을 구하는 표

a의 x성분 a₁	1
a의 y성분 a₂	2
a의 z성분 a₃	3
b의 x성분 b₁	4
b의 y성분 b₂	5
b의 z성분 b₃	6
a×b의 x성분 a₂b₃ − a₃b₂	=B2B6-B3B5
a×b의 y성분 a₃b₁ − a₁b₃	=B3B4-B1B6
a×b의 z성분 a₁b₂ − a₂b₁	=B1B5-B2B4

‘외적의 크기 = |a||b|sinθ’를 확인하는 표

a의 x성분 a₁	1
a의 y성분 a₂	2
a의 z성분 a₃	3
b의 x성분 b₁	4
b의 y성분 b₂	5
b의 z성분 b₃	6
외적의 크기 \|a×b\|(성분으로)	=SQRT((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
a의 크기 \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
b의 크기 \|b\|	=SQRT(B4^2+B5^2+B6^2)
내적 a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
이루는 각 θ(도)	=DEGREES(ACOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|sinθ	=B8B9SIN(RADIANS(B11))

‘평행사변형의 넓이와 삼각형의 넓이’를 구하는 표

a×b의 x성분	-3
a×b의 y성분	6
a×b의 z성분	-3
평행사변형의 넓이 S(= 크기)	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
삼각형의 넓이(평행사변형의 절반)	=B4/2

‘단위법선벡터’를 구하는 표

a×b의 x성분	-3
a×b의 y성분	6
a×b의 z성분	-3
크기 \|a×b\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
단위법선벡터의 x성분	=B1/B4
단위법선벡터의 y성분	=B2/B4
단위법선벡터의 z성분	=B3/B4

‘평면 위의 삼각형의 넓이’를 구하는 표

점 A의 x좌표 x₁	4
점 A의 y좌표 y₁	1
점 B의 x좌표 x₂	1
점 B의 y좌표 y₂	3
외적의 z성분 x₁y₂ − x₂y₁	=B1B4-B3B2
삼각형 OAB의 넓이	=ABS(B5)/2

Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다(SQRT, ACOS, DEGREES, RADIANS, ABS는 Google 스프레드시트에도 같은 이름으로 있습니다). 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고 성분을 원하는 값으로 바꾸세요.

Python으로 계산하는 방법

from fractions import Fraction
import math

# 벡터의 성분 (3/4 같은 분수는 Fraction(3, 4)로 쓸 수 있음)
a = (Fraction(1), Fraction(2), Fraction(3))
b = (Fraction(4), Fraction(5), Fraction(6))

def cross(u, v):
    # 외적 (엇갈려 곱하기). x, y, z의 순서로 만듦
    return (u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
            u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
            u[0] * v[1] - u[1] * v[0])

def dot(u, v):
    return u[0] * v[0] + u[1] * v[1] + u[2] * v[2]

c = cross(a, b)
area = math.sqrt(dot(c, c))       # 평행사변형의 넓이 (= 외적의 크기)

print(f"외적 a×b = ({c[0]}, {c[1]}, {c[2]})")
print(f"평행사변형의 넓이: {area}")
print(f"삼각형의 넓이: {area / 2}")
print(f"수직의 확인 (둘 다 0): {dot(a, c)}, {dot(b, c)}")

표준 라이브러리의 fractions 모듈을 쓰면 성분이 분수여도 반올림 오차 없이 정확하게 계산할 수 있습니다. 이 예는 a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6)의 외적입니다. 실행하면 ‘외적 a×b = (-3, 6, -3)’, ‘평행사변형의 넓이: 7.3484692283495345’, ‘삼각형의 넓이: 3.6742346141747673’, ‘수직의 확인 (둘 다 0): 0, 0’이 표시됩니다. 성분을 바꿔서 다시 실행해 보세요.

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

외적(벡터곱)의 성분(엇갈려 곱하기)

a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a xx vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Cross[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]

LinearAlgebra:-CrossProduct(Vector([a1, a2, a3]), Vector([b1, b2, b3]));

c = cross(a, b);

a⃗×b⃗ = (a_2 b_3 − a_3 b_2, a_3 b_1 − a_1 b_3, a_1 b_2 − a_2 b_1)

외적의 크기(\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

|a×b| = |a||b|sinθ

\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
  </mrow>
</math>

|vec a xx vec b| = |vec a| |vec b| sin theta

Norm[Cross[a, b]] == Norm[a] Norm[b] Sin[theta]

LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

m = norm(cross(a, b));

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗| sin⁡θ

평행사변형의 넓이와 삼각형의 넓이

S = |a×b|,  S△ = |a×b| ÷ 2

S = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|,\quad S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S = |vec a xx vec b|, S_triangle = 1/2 |vec a xx vec b|

area = Norm[Cross[a, b]]; triangle = area/2

S := LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

S = norm(cross(a, b)); tri = S / 2;

S = |a⃗×b⃗|,  S_△ = 1/2 |a⃗×b⃗|

단위법선벡터(두 벡터 모두에 수직이고 크기가 1인 벡터)

n = (a×b) ÷ |a×b|

\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

vec n = (vec a xx vec b) / |vec a xx vec b|

n = Normalize[Cross[a, b]]

n := LinearAlgebra:-Normalize(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

n = cross(a, b) / norm(cross(a, b));

n⃗ = (a⃗×b⃗)/|a⃗×b⃗|

평면 벡터의 경우(삼각형의 넓이 공식)

S△ = |x₁y₂ − x₂y₁| ÷ 2

S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S_triangle = 1/2 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Abs[x1*y2 - x2*y1]/2

S := abs(x1*y2 - x2*y1)/2;

S = abs(x1*y2 - x2*y1) / 2;

S_△ = 1/2 |x_1 y_2 − x_2 y_1|

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

당신은 벡터(공간도형) 계산 도우미입니다. 다음 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요).

벡터 a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6)에 대해 다음을 구해 주세요.
1. 외적 a×b의 성분(엇갈려 곱하는 풀이 과정도 보여 줄 것)
2. 크기 |a×b|(근호를 간단히 한 정확한 값과 소수 둘 다)
3. a와 b가 만드는 평행사변형과 삼각형의 넓이
4. a·(a×b)와 b·(a×b)의 값(외적이 두 벡터 모두에 수직인지 확인)

Python에서는 표준 라이브러리의 fractions 모듈로 성분을 정확하게 계산하고, 근호를 간단히 할 때는 sympy를 써도 됩니다. 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.

사용법

1

숫자 입력

계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
2

계산

‘계산’ 버튼을 누릅니다
3

결과 확인

계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다

DataChef의 특징

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벡터의 외적 계산기(성분·평행사변형의 넓이·법선벡터)

목차

이 페이지에서 할 수 있는 것

이 계산은 어디에 쓰일까요?

공식과 그림

용어·기호 해설

기호

용어

먼저 알아 두면 좋은 내용

Excel로 계산하는 방법

Google 스프레드시트로 계산하는 방법

Python으로 계산하는 방법

LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)

ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법

사용법

DataChef의 특징

관련 기능

벡터 계산기(덧셈·뺄셈·실수배·크기·내적·이루는 각)

벡터의 덧셈·뺄셈·실수배·내적·크기·이루는 각은 여기에서 계산하세요. 벡터의 기초도 그 페이지에서 설명합니다

행렬식 계산기(2×2·3×3·4×4)

외적의 엇갈려 곱하기는 행렬식(사루스 법칙)과 같은 계산입니다. 행렬식 자체를 계산하는 페이지입니다

삼각형 넓이 계산기(세 변의 길이로 헤론의 공식 계산)

세 변의 길이를 알 때의 삼각형 넓이는 여기에서 구하세요. 좌표로 구할 때는 외적이 편리합니다

추천

확률과 무작위

평균과 통계

비율과 백분율

속력

밀도와 농도

물리와 전기

단위 변환

정수와 양수·음수

분수·소수와 어림하기

방정식과 부등식

다항식과 전개

제곱근과 거듭제곱근

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