계수 a를 넣고 계산할 내용(모드)을 고르세요. y의 값의 범위와 평균변화율은 x의 범위 p, q를, y의 값은 x의 값을 입력합니다.
소수, 음수, 1/2 같은 분수를 쓸 수 있습니다. 입력란은 모드에 맞춰 자동으로 바뀝니다.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 계수 a와 x의 범위(또는 x의 값)를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 결과와 그래프가 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- 중학교 3학년에서 배우는 이차함수 \(y = ax^{2}\)에서 x의 값의 범위 \(p \le x \le q\)에 대한 y의 값의 범위를 계산합니다. 범위에 0이 들어가는지에 따른 경우 나누기(최솟값이나 최댓값이 꼭짓점의 0이 되는 경우)도 풀이 과정으로 설명합니다
- x의 값이 \(p\)에서 \(q\)까지 증가할 때의 평균변화율을 정의대로의 \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)(y의 증가량 ÷ x의 증가량) 풀이 과정과 공식 \(a(p+q)\) 두 가지로 계산합니다
- x의 값에 대한 y의 값(그래프 위의 점)도 계산할 수 있습니다
- 계수 a에는 정수, 소수뿐 아니라 1/2 같은 분수도 입력할 수 있습니다
- 포물선 그래프를 그려, 값의 범위 모드에서는 해당 부분과 y의 값의 범위를 강조하고, 평균변화율 모드에서는 두 점을 잇는 직선을 표시합니다. 공식의 알기 쉬운 해설과 Excel·Google 스프레드시트·Python용 복사해서 쓰는 수식도 이 페이지에 모아 두었습니다
이 페이지는 원점이 꼭짓점인 \(y = ax^{2}\)(중학교 3학년 범위)만 다룹니다. 일반형 \(y = ax^{2} + bx + c\)의 꼭짓점과 최댓값/최솟값은 관련 페이지의 ‘완전제곱식 계산기’를 이용하세요.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
던진 공이 그리는 길(포물선이라는 이름의 유래)
비스듬히 던진 공이 그리는 곡선은 공기 저항을 무시하면 포물선(\(y = ax^{2}\)의 그래프를 평행이동한 모양)이 됩니다. ‘포물선’이라는 이름 자체가 ‘물건을 던졌을 때 그리는 선’이라는 뜻입니다.
야구의 뜬공, 농구의 슛, 분수의 물줄기도 모두 이 모양이며, 스포츠 시뮬레이션이나 게임에서 공을 움직이는 계산에도 이 함수가 쓰입니다.
떨어지는 물체의 거리는 시간의 제곱에 비례(자유 낙하)
손에서 놓은 물체가 떨어지는 거리는 공기 저항을 무시하면 떨어지기 시작한 뒤의 시간의 제곱에 비례합니다. 거리를 미터, 시간을 초로 나타내면 계수는 약 4.9로, \(y = 4.9x^{2}\)이라는 이차함수가 됩니다.
1초에 약 4.9 m, 2초에 약 19.6 m로, 시간이 2배가 되면 거리는 4배가 됩니다. 갈릴레이가 발견한 이 법칙은 물리에서 운동을 계산하는 출발점입니다.
자동차의 제동 거리는 속력의 제곱에 거의 비례(교통안전)
자동차가 브레이크를 밟은 뒤 멈출 때까지 나아가는 거리(제동 거리)는 속력의 제곱에 거의 비례한다고 알려져 있습니다. 속력이 2배가 되면 멈출 때까지의 거리는 약 4배가 됩니다.
‘과속이 왜 위험한가’의 수학적인 이유가 바로 이 제곱의 비례로, 운전면허 필기시험에서도 다루는, 안전과 바로 이어지는 쓰임새입니다.
파라볼라 안테나와 반사경(전파나 빛을 한 점에 모으기)
포물선을 축을 중심으로 회전시킨 모양(파라볼라)에는 ‘축에 평행하게 들어온 전파나 빛이 모두 한 점(초점)에 모인다’는 성질이 있습니다.
위성 방송의 파라볼라 안테나와 전파 망원경은 이 성질로 약한 전파를 모으고, 손전등이나 자동차 전조등의 반사경은 반대로 이용해 빛을 똑바로 보냅니다.
바람의 힘은 풍속의 제곱에 거의 비례(태풍·건축)
바람이 물체를 미는 힘(풍압)은 풍속의 제곱에 거의 비례합니다. 풍속이 2배가 되면 힘은 약 4배가 됩니다. 태풍의 풍속이 조금만 올라가도 피해가 갑자기 커지는 것은 이 때문입니다.
건물이나 다리를 설계할 때는 이 제곱의 관계를 이용해 예상되는 풍속으로부터 풍압을 어림하고, 구조물에 필요한 강도를 정합니다.
공식과 그래프
이차함수의 식 \(y = ax^{2}\)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(x^{2}\)
③
y의 값(\(y\))
\(=\)
②
계수(\(a\))
\(\times\)
①
x를 제곱한 값(\(x^{2}\))
공식을 말로 읽으면
①
x의 값을 제곱한 것(\(x^{2}\))
에
②
계수(\(a\))
를 곱하면
③
y의 값(\(y\))
이 됩니다
간단한 예
\(y = 2x^{2}\)에서 \(x = 3\)일 때의 y의 값은
y의 값
\(=\)
계수(2)
\(\times\)
3을 제곱한 값(9)
\(y = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18\)
이해의 핵심
\(y = ax^{2}\)은 ‘y가 x의 제곱에 정비례하는’ 함수입니다. 정비례 \(y = ax\)의 \(x\)가 \(x^{2}\)으로 바뀐 꼴로, \(a\)는 \(x^{2}\)의 계수입니다.
그래프는 원점 (0, 0)을 꼭짓점으로 하는 매끄러운 곡선(포물선)입니다. \(a > 0\)이면 아래로 볼록하고, \(a < 0\)이면 위로 볼록합니다. \(a\)의 절댓값이 클수록 포물선의 폭이 좁아집니다(가팔라집니다).
계산할 때는 ‘제곱이 먼저, 곱셈은 나중’이라는 순서에 주의합니다. 음수를 제곱할 때는 \(\left(-3\right)^{2} = 9\)처럼 괄호를 붙입니다.
y의 값의 범위(범위에 \(0\)이 들어 있을 때, \(a > 0\))
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(0\)
\(\le\)
\(y\)
\(\le\)
\(am^{2}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
②
꼭짓점의 y좌표 \(0\)(최솟값)
\(\le\)
③
범위 안의 y의 값(\(y\))
\(\le\)
①
\(0\)에서 먼 쪽의 끝 \(m\)에서의 값 \(am^{2}\)(최댓값)
공식을 말로 읽으면
①
값의 범위의 양 끝 \(p\), \(q\) 중 \(0\)에서 먼 쪽(절댓값이 큰 쪽)을 \(m\)이라 하면, 최댓값은
\(0\)에서 먼 쪽의 끝 \(m\)에서의 값(\(am^{2}\))
이 되고
②
최솟값은 끝의 값이 아니라
꼭짓점의 y좌표(\(0\))
가 되므로
③
범위 안의 y의 값(\(y\))
은 ‘\(0\) 이상 \(am^{2}\) 이하’의 범위가 됩니다
간단한 예
\(y = x^{2}\)에서 x의 값의 범위가 \(-1 \le x \le 2\)일 때(\(0\)에서 먼 쪽의 끝은 \(m = 2\))
꼭짓점의 y좌표(0)
\(\le\)
y의 값
\(\le\)
\(x = 2\)에서의 값(4)
\(x = -1 \Rightarrow y = 1, \quad x = 0 \Rightarrow y = 0, \quad x = 2 \Rightarrow y = 4\)
\(0 \le y \le 4\)
이해의 핵심
y의 값의 범위는 ‘양 끝의 x를 대입한 값’만으로 정하면 안 됩니다. 범위에 해당하는 포물선의 부분(\(p \le x \le q\)인 부분)을 떠올리고, 그 안에서 y가 가장 작은 값과 가장 큰 값을 읽는 것이 올바른 방법입니다.
범위에 \(x = 0\)(꼭짓점)이 들어 있으면 그래프가 꼭짓점 (0, 0)까지 내려갔다가 다시 올라가므로, 최솟값은 끝의 값이 아니라 \(0\)입니다. 예의 범위 \(-1 \le x \le 2\)에서 양 끝의 값 \(1\), \(4\)만 보고 ‘\(1 \le y \le 4\)’라고 답하는 것이 대표적인 실수입니다.
범위에 \(0\)이 들어 있지 않으면 그 구간에서 그래프는 증가하기만 하거나 감소하기만 하므로, 양 끝의 값이 그대로 최솟값과 최댓값이 됩니다.
범위의 양 끝의 절댓값이 같을 때(예: \(-2 \le x \le 2\))는 양 끝에서 \(am^{2}\)이 같으므로, 최댓값은 양 끝 \(x = \pm 2\)에서 나옵니다.
\(a < 0\)(위로 볼록)일 때는 크고 작음이 반대가 되어, 최댓값이 꼭짓점의 \(0\), 최솟값이 \(am^{2}\)이 됩니다.
평균변화율(x의 값이 \(p\)에서 \(q\)까지 증가할 때)
그래프
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(aq^{2} - ap^{2}\)
\(\div\)
\(q - p\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
평균변화율
\(=\)
①
y의 증가량 \(\Delta y\)(나중 y − 처음 y)
\(\div\)
②
x의 증가량 \(\Delta x\)(나중 x − 처음 x)
공식을 말로 읽으면
①
y의 증가량(\(\Delta y\), 변화 후의 y에서 변화 전의 y를 뺀 것)
을
②
x의 증가량(\(\Delta x\), 변화 후의 x에서 변화 전의 x를 뺀 것)
으로 나누면
③
평균변화율
이 됩니다
간단한 예
\(y = 2x^{2}\)에서 x의 값이 \(1\)에서 \(3\)까지 증가할 때(y의 값은 \(2\)에서 \(18\)까지 증가)
평균변화율
\(=\)
y의 증가량(18 − 2 = 16)
\(\div\)
x의 증가량(3 − 1 = 2)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{18 - 2}{3 - 1} = \dfrac{16}{2} = 8\)
이해의 핵심
평균변화율을 구하는 방법(y의 증가량 ÷ x의 증가량)은 일차함수의 변화율과 같습니다. 다만 큰 차이가 하나 있습니다. 일차함수 \(y = ax + b\)의 변화율은 어디에서 재어도 기울기 \(a\)로 일정하지만, \(y = ax^{2}\)의 평균변화율은 일정하지 않고 x의 값이 어디에서 어디까지 증가하는지에 따라 달라집니다.
그래프로 보면 평균변화율은 두 점을 잇는 직선(할선)의 기울기에 해당합니다. 포물선은 곳에 따라 기울어진 정도가 달라지는 곡선이므로, 두 점이 바뀌면 직선의 기울기도 바뀝니다.
\(y = ax^{2}\)의 평균변화율 공식 \(a(p+q)\)
수학 표기
(일반적인 수식)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\((p + q)\)
③
평균변화율
\(=\)
②
계수(\(a\))
\(\times\)
①
변화 전과 변화 후의 x의 합(\(p + q\))
공식을 말로 읽으면
①
변화 전의 x와 변화 후의 x의 합(\(p + q\))
에
②
계수(\(a\))
를 곱하면
③
평균변화율
이 됩니다
간단한 예
\(y = 2x^{2}\)에서 x의 값이 \(1\)에서 \(3\)까지 증가할 때
평균변화율
\(=\)
계수(2)
\(\times\)
1과 3의 합(4)
\(2 \times (1 + 3) = 2 \times 4 = 8\)
이해의 핵심
이 공식은 \(y = ax^{2}\)(원점이 꼭짓점)일 때만 쓸 수 있는 지름길입니다. y의 증가량 \(aq^{2} - ap^{2}\)을 인수분해하면 \(a(q + p)(q - p)\)가 되므로, x의 증가량 \(q - p\)로 나누면 \(a(p + q)\)만 남습니다.
정의(\(\Delta y \div \Delta x\))대로 계산해도 반드시 같은 값이 나옵니다. 먼저 정의로 의미를 익히고, 공식은 검산이나 시간을 줄이는 데 쓰면 좋습니다. 일반형 \(y = ax^{2} + bx + c\)에서는 이 공식이 \(a(p+q)+b\)의 꼴로 바뀝니다.
이차함수 \(y = ax^{2}\)의 그래프는 원점 (0, 0)을 꼭짓점으로 하는 포물선입니다. y의 값의 범위는 양 끝의 값만으로 정하지 말고, 범위에 해당하는 그래프의 부분을 보고 정합니다. 범위에 \(x = 0\)이 들어 있으면 최솟값(\(a < 0\)이면 최댓값)은 꼭짓점의 \(0\)입니다. 일차함수와 달리 평균변화율은 일정하지 않으며, x의 값이 \(p\)에서 \(q\)까지 증가할 때 \(a(p+q)\)가 됩니다.
용어·기호 해설
기호
| \(a\) | 에이 | \(x^{2}\)의 계수입니다. \(x^{2}\)에 곱해진 수로, 그래프가 볼록한 방향(\(a > 0\)이면 아래로 볼록, \(a < 0\)이면 위로 볼록)과 그래프의 폭을 정합니다. ‘정해진 수’를 나타낼 때는 알파벳 앞쪽의 문자 \(a,\ b,\ c\)를 쓰는 관례가 있습니다. |
| \(x,\ y\) | 엑스, 와이 | 변수입니다. 여러 가지 값을 가지는 수를 나타내는 문자로, ‘모르는 수·변하는 수’에는 알파벳 끝쪽의 문자 \(x,\ y,\ z\)를 쓰는 관례가 있습니다. 이 페이지에서는 \(x\)를 정하면 \(y\)가 정해집니다. |
| \(p,\ q\) | 피, 큐 | x의 범위의 양 끝입니다. 값의 범위 모드에서는 범위의 왼쪽 끝과 오른쪽 끝, 평균변화율 모드에서는 변화 전과 변화 후의 x의 값입니다. 이 페이지에서는 항상 \(p < q\)(p가 작은 쪽)로 합니다. |
| \(m\) | 엠 | 이 페이지에서 값의 범위를 설명할 때 쓰는 문자로, 범위의 양 끝 \(p\), \(q\) 중 \(0\)에서 먼 쪽(절댓값이 큰 쪽)입니다. 최댓값(\(a < 0\)이면 최솟값)은 이 끝에서 나옵니다. 양 끝의 절댓값이 같을 때는 어느 끝에서나 같은 값이 됩니다. |
| \(\Delta x,\ \Delta y\) | 델타 엑스, 델타 와이 | x의 증가량과 y의 증가량입니다. \(\Delta\)(델타)는 difference(차)의 첫 글자 D에 해당하는 그리스 문자로, ‘변화 후의 값 − 변화 전의 값’을 나타낼 때 씁니다. |
| \(\le\) | 작거나 같다(이하) | ‘이상·이하’를 나타내는 부등호입니다. \(-1 \le x \le 3\)은 ‘x는 −1 이상 3 이하’라는 뜻으로, −1과 3도 범위에 들어갑니다. 두 줄로 쓴 \(\leqq\)도 같은 뜻입니다. |
| \(x^{2}\) | 엑스 제곱 | \(x\)를 두 번 곱한 것(\(x^{2} = x \times x\))입니다. 오른쪽 위의 작은 2(지수)가 곱하는 횟수를 나타냅니다. 음수의 제곱은 괄호를 붙여 \(\left(-3\right)^{2} = 9\)처럼 계산합니다. |
용어
| 함수 | x의 값을 하나 정하면 그에 따라 y의 값이 오직 하나 정해질 때 ‘y는 x의 함수이다’라고 합니다. \(y = ax^{2}\)도 x를 정하면 y가 하나 정해지는 함수입니다. |
| 이차함수 | y가 x에 대한 이차식으로 나타나는 함수입니다. 중학교 3학년에서는 원점을 꼭짓점으로 하는 \(y = ax^{2}\)의 꼴을 배우고, 이어서 꼭짓점이 원점 밖으로도 움직이는 일반형 \(y = ax^{2} + bx + c\)로 넓혀 갑니다. |
| 계수 | 문자 앞에 곱해진 수로, \(y = ax^{2}\)의 \(a\)는 \(x^{2}\)의 계수입니다. \(y = ax^{2}\)은 ‘y가 x의 제곱에 정비례하는’ 함수이므로, 정비례 \(y = ax\)처럼 이 \(a\)를 비례상수라고 부르기도 합니다. |
| 포물선 | \(y = ax^{2}\)의 그래프가 되는 좌우 대칭의 매끄러운 곡선입니다. 물건을 비스듬히 던졌을 때 그리는 길과 같은 모양이라서 ‘물건을 던질 때의 선’이라는 뜻의 이름이 붙었습니다. |
| 꼭짓점 | 포물선이 꺾여 돌아오는 점입니다. \(y = ax^{2}\)의 꼭짓점은 원점 (0, 0)이고, \(a > 0\)이면 그래프의 가장 낮은 점, \(a < 0\)이면 가장 높은 점이 됩니다. |
| 원점 | 좌표평면의 중심인 좌표 (0, 0)의 점으로, x축과 y축이 만나는 점입니다. origin(출발점)의 첫 글자를 따서 \(O\)로 나타냅니다. |
| 값의 범위 | 변수가 가질 수 있는 값의 범위로, \(-1 \le x \le 3\)처럼 부등호로 나타냅니다. x의 값의 범위에 대해 y가 가지는 값의 범위가 y의 값의 범위입니다. 고등학교에서는 x의 범위를 정의역, y의 범위를 치역이라고 나누어 부릅니다. |
| 평균변화율 | x의 증가량에 대한 y의 증가량의 비율(\(\Delta y \div \Delta x\))입니다. ‘x가 1 증가할 때마다 y가 평균적으로 얼마나 증가하는가’를 나타냅니다. 일차함수에서는 일정하지만(기울기 a), 이차함수에서는 구간에 따라 달라집니다. 일차함수에서는 보통 ‘변화율’이라고 합니다. |
| 증가량 | ‘변화 후의 값 − 변화 전의 값’으로 계산한 변화의 양입니다. 값이 줄어든 경우에는 음수의 증가량으로 다룹니다(예: 18에서 2로 바뀌면 증가량은 −16). |
| 아래로 볼록 | \(a > 0\)일 때 포물선이 골짜기 같은 모양이 되는 것입니다. 그래프가 위쪽으로 열린 모양입니다. |
| 위로 볼록 | \(a < 0\)일 때 포물선이 산 같은 모양이 되는 것입니다. 그래프가 아래쪽으로 열린 모양입니다. |
| 일차함수 | \(y = ax + b\)의 꼴로 나타내는 함수입니다(그래프는 직선). 변화율이 어디에서나 일정하다는 점이 이차함수와의 가장 큰 차이입니다. 중학교 2학년에서 배웁니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘의미를 알고’ 쓸 수 있도록, 먼저 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 정수와 유리수(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 정비례(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 좌표평면과 그래프(중학교 1학년, 12~13세) |
|
| 부등호와 값의 범위(중학교 1~2학년, 12~14세) |
|
| 일차함수와 변화율(중학교 2학년, 13~14세) |
|
Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
x의 값의 범위에 대한 y의 값의 범위를 구하는 표
| 계수 a | 2 |
| 범위의 왼쪽 끝 p | -1 |
| 범위의 오른쪽 끝 q | 3 |
| 왼쪽 끝에서의 y의 값 | =B1*B2^2 |
| 오른쪽 끝에서의 y의 값 | =B1*B3^2 |
| y의 최솟값 | =IF(AND(B2<=0,B3>=0),MIN(0,B4,B5),MIN(B4,B5)) |
| y의 최댓값 | =IF(AND(B2<=0,B3>=0),MAX(0,B4,B5),MAX(B4,B5)) |
평균변화율을 구하는 표
| 계수 a | 2 |
| 변화 전의 x(p) | 1 |
| 변화 후의 x(q) | 3 |
| 변화 전의 y | =B1*B2^2 |
| 변화 후의 y | =B1*B3^2 |
| 평균변화율(Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| 공식 a(p+q)로 검산 | =B1*(B2+B3) |
x의 값에 대한 y의 값을 구하는 표
| 계수 a | 2 |
| x의 값 | 3 |
| y의 값 | =B1*B2^2 |
붙여 넣으면 위쪽 행(계수와 x의 범위)이 입력란이 되고, 아래쪽 행이 자동으로 계산된 결과가 됩니다. ‘^’는 거듭제곱(^2는 제곱), ‘*’는 곱셈입니다.
첫 번째 표는 y = 2x², −1 ≤ x ≤ 3의 예입니다. 왼쪽 끝과 오른쪽 끝의 y의 값 2와 18에서 최솟값 0과 최댓값 18을 구합니다(y의 값의 범위는 0 ≤ y ≤ 18). IF(AND(B2<=0,B3>=0), …) 부분은 범위에 0이 들어 있는지를 판정하며, 들어 있으면 꼭짓점의 0도 최솟값·최댓값의 후보에 넣습니다. a가 음수일 때도 그대로 쓸 수 있습니다.
두 번째 표는 y = 2x²에서 x의 값이 1에서 3까지 증가할 때의 예입니다. 정의대로의 칸(Δy÷Δx)과 공식 a(p+q)의 칸이 모두 8이 됩니다.
세 번째 표는 y = 2x²에 x = 3을 대입한 예로, 18이 됩니다.
첫 번째 표는 y = 2x², −1 ≤ x ≤ 3의 예입니다. 왼쪽 끝과 오른쪽 끝의 y의 값 2와 18에서 최솟값 0과 최댓값 18을 구합니다(y의 값의 범위는 0 ≤ y ≤ 18). IF(AND(B2<=0,B3>=0), …) 부분은 범위에 0이 들어 있는지를 판정하며, 들어 있으면 꼭짓점의 0도 최솟값·최댓값의 후보에 넣습니다. a가 음수일 때도 그대로 쓸 수 있습니다.
두 번째 표는 y = 2x²에서 x의 값이 1에서 3까지 증가할 때의 예입니다. 정의대로의 칸(Δy÷Δx)과 공식 a(p+q)의 칸이 모두 8이 됩니다.
세 번째 표는 y = 2x²에 x = 3을 대입한 예로, 18이 됩니다.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
x의 값의 범위에 대한 y의 값의 범위를 구하는 표
| 계수 a | 2 |
| 범위의 왼쪽 끝 p | -1 |
| 범위의 오른쪽 끝 q | 3 |
| 왼쪽 끝에서의 y의 값 | =B1*B2^2 |
| 오른쪽 끝에서의 y의 값 | =B1*B3^2 |
| y의 최솟값 | =IF(AND(B2<=0,B3>=0),MIN(0,B4,B5),MIN(B4,B5)) |
| y의 최댓값 | =IF(AND(B2<=0,B3>=0),MAX(0,B4,B5),MAX(B4,B5)) |
평균변화율을 구하는 표
| 계수 a | 2 |
| 변화 전의 x(p) | 1 |
| 변화 후의 x(q) | 3 |
| 변화 전의 y | =B1*B2^2 |
| 변화 후의 y | =B1*B3^2 |
| 평균변화율(Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| 공식 a(p+q)로 검산 | =B1*(B2+B3) |
x의 값에 대한 y의 값을 구하는 표
| 계수 a | 2 |
| x의 값 | 3 |
| y의 값 | =B1*B2^2 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 계수와 x의 범위를 원하는 수로 바꾸세요.
Python으로 계산하는 방법
from fractions import Fraction
coefficient_a = Fraction(2) # 계수 a(1/2 같은 분수는 Fraction(1, 2)로 씁니다)
left_end = Fraction(-1) # 범위의 왼쪽 끝 p(평균변화율에서는 변화 전의 x)
right_end = Fraction(3) # 범위의 오른쪽 끝 q(평균변화율에서는 변화 후의 x)
y_left = coefficient_a * left_end ** 2
y_right = coefficient_a * right_end ** 2
# y의 값의 범위: 범위에 0(꼭짓점)이 들어 있는지로 경우를 나눕니다
if left_end <= 0 <= right_end:
candidates = [Fraction(0), y_left, y_right]
else:
candidates = [y_left, y_right]
y_min = min(candidates)
y_max = max(candidates)
print(f"y의 값의 범위: {y_min} <= y <= {y_max}")
# 평균변화율(x가 p에서 q까지 증가할 때)
rate = (y_right - y_left) / (right_end - left_end)
print(f"평균변화율(정의 Δy÷Δx): {rate}")
print(f"평균변화율(공식 a(p+q)): {coefficient_a * (left_end + right_end)}")
표준 라이브러리의 fractions 모듈을 쓰면 소수의 반올림 오차 없이 정확한 분수 그대로 계산할 수 있습니다. 이 예는 y = 2x²에서 x의 값의 범위가 −1 ≤ x ≤ 3인 경우입니다. 실행하면 y의 값의 범위 ‘0 <= y <= 18’과 x가 −1에서 3까지 증가할 때의 평균변화율 ‘4’(정의와 공식 모두 같은 값)가 표시됩니다. 계수와 범위를 바꿔서 다시 실행해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
이차함수의 식 \(y = ax^{2}\)
y = ax²
y = ax^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
y = a x^2
a x^2
y := a*x^2;
y = a*x^2;
y = ax^2
y의 값의 범위(범위에 \(0\)이 들어 있을 때, \(a > 0\))
0 ≤ y ≤ am²
0 \le y \le am^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>≤</mo>
<mi>y</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
0 <= y <= a m^2
{MinValue[{a x^2, p <= x <= q}, x], MaxValue[{a x^2, p <= x <= q}, x]}
minimize(a*x^2, x = p .. q); maximize(a*x^2, x = p .. q);
m = max(abs(p), abs(q)); ymin = 0; ymax = a*m^2;
0 ≤ y ≤ am^2
평균변화율(x의 값이 \(p\)에서 \(q\)까지 증가할 때)
Δy/Δx = (aq² − ap²)/(q − p)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{aq^{2} - ap^{2}}{q - p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = (a q^2 - a p^2)/(q - p)
(a q^2 - a p^2)/(q - p)
rate := (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
rate = (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
Δy/Δx = (aq^2 − ap^2)/(q − p)
\(y = ax^{2}\)의 평균변화율 공식 \(a(p+q)\)
Δy/Δx = a(p + q)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a(p + q)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>(</mo>
<mi>p</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = a(p + q)
a (p + q)
rate := a*(p + q);
rate = a*(p + q);
Δy/Δx = a(p + q)
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(중학교 함수)의 계산 도우미입니다. 다음 계산을 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 이차함수 y = 2x²에 대해 다음 두 가지를 구해 주세요. 1. x의 값의 범위가 −1 ≤ x ≤ 3일 때 y의 값의 범위(범위에 0이 들어 있는지가 왜 중요한지도 설명해 주세요) 2. x의 값이 1에서 3까지 증가할 때의 평균변화율(y의 증가량 ÷ x의 증가량의 풀이 과정을 보이고, 공식 a(p+q)로도 확인해 주세요) Python에서는 표준 라이브러리의 fractions 모듈로 정확하게 계산해 주세요. 사용한 식과 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
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관련 기능
일차함수 계산기(두 점·기울기와 한 점으로 y=ax+b 구하기, 절편과 교점)
일차함수 y=ax+b의 식, 변화율, 교점을 풀이 과정과 그래프로 계산합니다. 변화율이 일정하다는 점이 이차함수와의 차이입니다
완전제곱식 계산기(이차함수의 꼭짓점·축·최댓값/최솟값)
일반형 y=ax²+bx+c를 완전제곱식으로 고쳐 꼭짓점, 축, 최댓값/최솟값을 풀이 과정과 그래프로 계산합니다
