Vul de coëfficiënt a in en kies wat je wilt berekenen (de modus). Voor het bereik van y of de gemiddelde verandering vul je het interval van x in, p en q. Voor de waarde van y vul je een waarde van x in.
Je kunt decimale getallen, negatieve getallen en breuken als 1/2 gebruiken. De velden passen zich automatisch aan de modus aan.
Resultaat en grafiek
Vul links de coëfficiënt a en het interval van x (of een waarde van x) in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en de grafiek verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en grafieken
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Bereken bij de kwadratische functie \(y = ax^{2}\) het bereik van y bij een domein van x, \(p \le x \le q\). De stappen leggen ook de twee gevallen uit: bevat het domein 0 wel of niet (zo ja, dan is het minimum of maximum 0 in de top)
- Bereken de gemiddelde verandering als x van \(p\) tot \(q\) gaat, zowel met de definitie \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (toename van y ÷ toename van x), met de stappen erbij, als met de snelformule \(a(p+q)\)
- Bereken ook de waarde van y bij een waarde van x (een punt op de grafiek)
- De coëfficiënt a mag een geheel getal, een decimaal getal of een breuk als 1/2 zijn
- De parabool wordt getekend. In de modus voor het bereik worden het deel bij het domein en het bereik van y gemarkeerd; in de modus voor de verandering wordt de lijn door de twee punten getekend. Op deze pagina vind je ook een uitleg van de formules in gewone taal en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python
Deze pagina gaat over \(y = ax^{2}\), waarvan de top in de oorsprong ligt. Voor de top en het maximum of minimum van de algemene vorm \(y = ax^{2} + bx + c\) kun je de gerelateerde pagina “Kwadraat afsplitsen” gebruiken.
Waarvoor is deze berekening handig?
De baan van een gegooide bal
Laat je de luchtweerstand buiten beschouwing, dan volgt een bal die schuin omhoog wordt gegooid een parabool (de grafiek van \(y = ax^{2}\), naar een andere plaats verschoven).
Een lange trap in het voetbal, een basketbalschot en het water uit een fontein volgen allemaal deze vorm. Deze functie wordt gebruikt om sport te simuleren en om ballen in videogames te laten bewegen.
De valafstand is evenredig met het kwadraat van de tijd (vrije val)
Laat je de luchtweerstand buiten beschouwing, dan is de afstand die een losgelaten voorwerp valt recht evenredig met het kwadraat van de tijd sinds het loslaten. Met de afstand in meter en de tijd in seconden is de constante ongeveer 4,9, en dat geeft de kwadratische functie \(y = 4{,}9x^{2}\).
Ongeveer 4,9 meter in 1 seconde, ongeveer 19,6 meter in 2 seconden: verdubbel je de tijd, dan wordt de afstand vier keer zo groot. Deze wet, ontdekt door Galilei, is het beginpunt van de bewegingsberekeningen in de natuurkunde.
De remweg van een auto groeit met het kwadraat van de snelheid (verkeersveiligheid)
De afstand die een auto aflegt vanaf het moment dat de rem wordt ingetrapt tot hij stilstaat (de remweg) is bij benadering evenredig met het kwadraat van de snelheid. Verdubbel je de snelheid, dan wordt de remweg ongeveer vier keer zo lang.
Deze kwadratische samenhang is de wiskundige reden waarom te hard rijden gevaarlijk is. Het komt ook aan bod in de rijopleiding en is een toepassing van deze functie die direct met veiligheid te maken heeft.
Schotelantennes en reflectoren (radiogolven of licht in één punt verzamelen)
De vorm die je krijgt door een parabool om zijn as te draaien (een paraboloïde) heeft een bijzondere eigenschap: radiogolven of licht die evenwijdig aan de as binnenkomen, komen allemaal samen in één punt, het brandpunt.
Satellietschotels en radiotelescopen gebruiken dat om zwakke radiogolven op te vangen. Zaklampen en autokoplampen gebruiken het andersom, om licht in een rechte bundel uit te sturen.
De kracht van de wind groeit met het kwadraat van de windsnelheid (storm en bouwen)
De kracht waarmee de wind tegen een voorwerp duwt (winddruk) is bij benadering evenredig met het kwadraat van de windsnelheid. Verdubbelt de windsnelheid, dan wordt de kracht ongeveer vier keer zo groot. Daarom neemt de schade zo snel toe als de wind tijdens een storm maar een beetje harder gaat waaien.
Bij het ontwerpen van gebouwen en bruggen gebruiken ingenieurs deze kwadratische samenhang om uit de te verwachten windsnelheid de winddruk te schatten en te bepalen hoe sterk de constructie moet zijn.
Formules en grafieken
De kwadratische functie \(y = ax^{2}\)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(x^{2}\)
③
waarde van \(y\)
\(=\)
②
\(a\): coëfficiënt
\(\times\)
①
\(x^{2}\): \(x\) in het kwadraat
De formule in woorden
①
Neem
\(x^{2}\): de waarde van \(x\) in het kwadraat
②
vermenigvuldig dat met de
\(a\): coëfficiënt
③
en je krijgt de
waarde van \(y\)
Een eenvoudig voorbeeld
Voor \(y = 2x^{2}\) is de waarde van \(y\) bij \(x = 3\)
waarde van \(y\)
\(=\)
coëfficiënt (2)
\(\times\)
3 in het kwadraat (9)
\(y = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18\)
Het belangrijkste idee
\(y = ax^{2}\) is een functie waarbij “\(y\) recht evenredig is met het kwadraat van \(x\)”. Het is het recht evenredige verband \(y = ax\) met \(x\) vervangen door \(x^{2}\), dus \(a\) heet ook wel de evenredigheidsconstante.
De grafiek is een gladde kromme (een parabool) met de top in de oorsprong (0; 0). Is \(a > 0\), dan is het een dalparabool (hij opent naar boven); is \(a < 0\), dan is het een bergparabool (hij opent naar beneden). Hoe groter de absolute waarde van \(a\), hoe smaller (steiler) de parabool.
Let bij het rekenen op de volgorde: eerst kwadrateren, dan vermenigvuldigen. Zet een negatief getal tussen haakjes als je het kwadrateert, zoals \(\left(-3\right)^{2} = 9\).
Bereik van y (als het domein \(0\) bevat, \(a > 0\))
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(0\)
\(\le\)
\(y\)
\(\le\)
\(am^{2}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(0\): \(y\)-coördinaat van de top (minimum)
\(\le\)
③
\(y\): waarden van \(y\) op het domein
\(\le\)
①
\(am^{2}\): waarde in het randpunt \(m\) dat het verst van \(0\) ligt (maximum)
De formule in woorden
①
Noem \(m\) het randpunt van het domein, \(p\) of \(q\), dat het verst van \(0\) ligt (met de grootste absolute waarde). Het maximum is dan de
\(am^{2}\): waarde in het randpunt \(m\) dat het verst van \(0\) ligt
②
het minimum is niet een randwaarde, maar de
\(0\): \(y\)-coördinaat van de top
③
dus de
\(y\): waarden van \(y\) op het domein
zijn groter dan of gelijk aan \(0\) en kleiner dan of gelijk aan \(am^{2}\)
Een eenvoudig voorbeeld
Voor \(y = x^{2}\) met het domein \(-1 \le x \le 2\) (het randpunt dat het verst van \(0\) ligt, is \(m = 2\))
\(y\)-coördinaat van de top (0)
\(\le\)
waarde van \(y\)
\(\le\)
waarde bij \(x = 2\) (4)
\(x = -1 \Rightarrow y = 1, \quad x = 0 \Rightarrow y = 0, \quad x = 2 \Rightarrow y = 4\)
\(0 \le y \le 4\)
Het belangrijkste idee
Bepaal het bereik van y niet alleen door de randwaarden van x in te vullen. Het goed doen is: stel je het deel van de parabool bij het domein voor (het deel waar \(p \le x \le q\)) en lees de laagste en de hoogste waarde van y af.
Bevat het domein \(x = 0\) (de top), dan daalt de grafiek tot de top (0; 0) en gaat daarna weer omhoog, dus het minimum is \(0\) en niet een randwaarde. Bij het voorbeeld met het domein \(-1 \le x \le 2\) is het een klassieke fout om alleen naar de randwaarden \(1\) en \(4\) te kijken en “\(1 \le y \le 4\)” te antwoorden.
Bevat het domein \(0\) niet, dan is de grafiek op dat interval alleen maar stijgend of alleen maar dalend, dus de randwaarden zijn het minimum en het maximum.
Hebben de twee randpunten van het domein dezelfde absolute waarde (bijvoorbeeld \(-2 \le x \le 2\)), dan is \(am^{2}\) in beide randpunten hetzelfde, dus het maximum wordt in beide randpunten bereikt, bij \(x = \pm 2\).
Is \(a < 0\) (de parabool opent naar beneden, een bergparabool), dan is alles omgekeerd: het maximum is \(0\) in de top en het minimum is \(am^{2}\).
Gemiddelde verandering (als \(x\) van \(p\) tot \(q\) gaat)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(aq^{2} - ap^{2}\)
\(\div\)
\(q - p\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
gemiddelde verandering
\(=\)
①
\(\Delta y\): toename van \(y\) (eind-\(y\) − begin-\(y\))
\(\div\)
②
\(\Delta x\): toename van \(x\) (eind-\(x\) − begin-\(x\))
De formule in woorden
①
Neem de
\(\Delta y\): toename van \(y\) (eind-\(y\) min begin-\(y\))
②
deel die door de
\(\Delta x\): toename van \(x\) (eind-\(x\) min begin-\(x\))
③
en je krijgt de
gemiddelde verandering
Een eenvoudig voorbeeld
Voor \(y = 2x^{2}\) als x van \(1\) tot \(3\) gaat (\(y\) gaat van \(2\) tot \(18\))
gemiddelde verandering
\(=\)
toename van y (18 − 2 = 16)
\(\div\)
toename van x (3 − 1 = 2)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{18 - 2}{3 - 1} = \dfrac{16}{2} = 8\)
Het belangrijkste idee
De gemiddelde verandering bereken je op dezelfde manier als bij een lineaire functie: toename van y ÷ toename van x. Er is wel één groot verschil. De verandering van een lineaire functie \(y = ax + b\) is overal de richtingscoëfficiënt \(a\), maar de gemiddelde verandering van \(y = ax^{2}\) is niet constant: ze hangt af van waar x begint en waar x eindigt.
In de grafiek is de gemiddelde verandering de richtingscoëfficiënt van de rechte lijn door de twee punten (een snijlijn of secant). Een parabool is een kromme waarvan de steilheid van plaats tot plaats verandert; verschuiven de twee punten, dan verandert dus ook de richtingscoëfficiënt van de lijn.
Snelformule voor de gemiddelde verandering van \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\((p + q)\)
③
gemiddelde verandering
\(=\)
②
\(a\): coëfficiënt
\(\times\)
①
\(p + q\): begin-\(x\) + eind-\(x\)
De formule in woorden
①
Neem
\(p + q\): begin-\(x\) plus eind-\(x\)
②
vermenigvuldig dat met de
\(a\): coëfficiënt
③
en je krijgt de
gemiddelde verandering
Een eenvoudig voorbeeld
Voor \(y = 2x^{2}\) als x van \(1\) tot \(3\) gaat
gemiddelde verandering
\(=\)
coëfficiënt (2)
\(\times\)
som van 1 en 3 (4)
\(2 \times (1 + 3) = 2 \times 4 = 8\)
Het belangrijkste idee
Deze formule is een snelle weg die alleen werkt voor \(y = ax^{2}\) (top in de oorsprong). De toename van y, \(aq^{2} - ap^{2}\), is te ontbinden in \(a(q + p)(q - p)\); deel je die door de toename van x, \(q - p\), dan blijft alleen \(a(p + q)\) over.
Rekenen met de definitie (\(\Delta y \div \Delta x\)) geeft altijd dezelfde waarde. Het is verstandig om de betekenis eerst via de definitie te leren en de snelformule te gebruiken om je werk te controleren of tijd te besparen. Bij de algemene vorm \(y = ax^{2} + bx + c\) wordt de snelformule \(a(p+q)+b\).
De grafiek van de kwadratische functie \(y = ax^{2}\) is een parabool met de top in de oorsprong (0; 0). Bepaal het bereik van y niet alleen uit de randwaarden, maar kijk naar het deel van de grafiek bij het domein. Bevat het domein \(x = 0\), dan is het minimum (bij \(a < 0\) het maximum) gelijk aan \(0\) in de top. Anders dan bij een lineaire functie is de gemiddelde verandering niet constant; als \(x\) van \(p\) tot \(q\) gaat, is ze gelijk aan \(a(p+q)\).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(a\) | a | De coëfficiënt: het getal dat met \(x^{2}\) wordt vermenigvuldigd. Het bepaalt naar welke kant de grafiek opent (naar boven als \(a > 0\), naar beneden als \(a < 0\)) en hoe smal hij is. Volgens de afspraak gebruik je letters uit het begin van het alfabet, \(a,\ b,\ c\), voor vaste getallen. |
| \(x,\ y\) | iks, ypsilon | Variabelen: letters voor getallen die veel waarden kunnen aannemen. Volgens de afspraak gebruik je letters uit het eind van het alfabet, \(x,\ y,\ z\), voor onbekende of veranderende getallen. Op deze pagina ligt \(y\) vast zodra je \(x\) kiest. |
| \(p,\ q\) | pee, kuu | De twee randen van het interval van x: in de modus voor het bereik de linker- en de rechterrand van het domein, in de modus voor de verandering de begin- en de eindwaarde van x. Op deze pagina is altijd \(p < q\) (p is de kleinste). |
| \(m\) | em | Een letter die op deze pagina wordt gebruikt om het bereik uit te leggen: het randpunt van het domein, \(p\) of \(q\), dat het verst van \(0\) ligt (met de grootste absolute waarde). Het maximum (bij \(a < 0\) het minimum) wordt in dit randpunt bereikt. Hebben de twee randpunten dezelfde absolute waarde, dan geven ze dezelfde waarde. |
| \(\Delta x,\ \Delta y\) | delta iks, delta ypsilon | De toename van x en de toename van y. \(\Delta\) (delta) is de Griekse letter voor D, de eerste letter van “differentie” (verschil), en staat voor “waarde na de verandering − waarde ervoor”. |
| \(\le\) | kleiner dan of gelijk aan | Een ongelijkheidsteken waarbij de grenswaarde meetelt. \(-1 \le x \le 3\) zegt “x is groter dan of gelijk aan −1 en kleiner dan of gelijk aan 3”, dus −1 en 3 doen allebei mee. |
| \(x^{2}\) | iks in het kwadraat | \(x\) vermenigvuldigd met zichzelf (\(x^{2} = x \times x\)). De kleine 2 rechtsboven (de exponent) geeft aan hoe vaak \(x\) als factor voorkomt. Kwadrateer je een negatief getal, gebruik dan haakjes, zoals \(\left(-3\right)^{2} = 9\). |
Begrippen
| functie | Hoort bij elke waarde van x precies één waarde van y, dan zeg je “y is een functie van x”. Ook \(y = ax^{2}\) is een functie: kies x en precies één y ligt vast. |
| kwadratische functie | Een functie waarbij y wordt gegeven door een tweedegraadsterm in x. De eenvoudigste vorm is \(y = ax^{2}\), met de top in de oorsprong; bij de algemene vorm \(y = ax^{2} + bx + c\) kan de top ook buiten de oorsprong liggen. In Nederland leer je dit in de bovenbouw van havo en vwo en op het vmbo (vanaf klas 3, 14-15 jaar). |
| coëfficiënt | Het getal dat met een variabele wordt vermenigvuldigd, zoals de \(a\) in \(y = ax^{2}\). Omdat \(y = ax^{2}\) zegt dat “y recht evenredig is met het kwadraat van x”, heet deze \(a\) ook wel de evenredigheidsconstante, net als bij het recht evenredige verband \(y = ax\). |
| parabool | De gladde, symmetrische kromme die de grafiek van \(y = ax^{2}\) is. Hij heeft dezelfde vorm als de baan van een voorwerp dat schuin omhoog wordt gegooid. |
| top | Het keerpunt van een parabool. De top van \(y = ax^{2}\) is de oorsprong (0; 0); het is het laagste punt van de grafiek als \(a > 0\) en het hoogste punt als \(a < 0\). |
| oorsprong | Het midden van het assenstelsel, het punt (0; 0), waar de x-as en de y-as elkaar snijden. Het wordt aangeduid met \(O\). |
| domein en bereik | De verzameling waarden die een variabele kan aannemen, opgeschreven met ongelijkheden zoals \(-1 \le x \le 3\). Het domein is de verzameling waarden van x; het bereik is de verzameling waarden die y op dat domein aanneemt. |
| gemiddelde verandering | De toename van y gedeeld door de toename van x (\(\Delta y \div \Delta x\)). Ze zegt hoeveel y gemiddeld toeneemt als x met 1 toeneemt. Bij een lineaire functie is ze constant (de richtingscoëfficiënt a), maar bij een kwadratische functie hangt ze van het interval af. In sommige schoolboeken heet ze het differentiequotiënt. |
| toename | De hoeveelheid verandering, berekend als “waarde na − waarde ervoor”. Gaat de waarde omlaag, dan is de toename negatief (bijvoorbeeld van 18 naar 2 is een toename van −16). |
| dalparabool | Een parabool met \(a > 0\): de vorm van een dal, die naar boven opent. |
| bergparabool | Een parabool met \(a < 0\): de vorm van een berg, die naar beneden opent. |
| lineaire functie | Een functie van de vorm \(y = ax + b\) (de grafiek is een rechte lijn). Het grootste verschil met een kwadratische functie is dat de verandering overal gelijk is. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je de berekening op deze pagina echt te begrijpen en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan is het het snelst om deze onderwerpen eerst te herhalen.
| Positieve en negatieve getallen (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Recht evenredig (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Coördinaten en grafieken (klas 1, 12-13 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om het bereik van y bij een domein van x te vinden
| Coëfficiënt a | 2 |
| Linkerrand van het domein p | -1 |
| Rechterrand van het domein q | 3 |
| y in de linkerrand | =B1*B2^2 |
| y in de rechterrand | =B1*B3^2 |
| Minimum van y | =ALS(EN(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Maximum van y | =ALS(EN(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabel om de gemiddelde verandering te vinden
| Coëfficiënt a | 2 |
| Beginwaarde van x (p) | 1 |
| Eindwaarde van x (q) | 3 |
| Beginwaarde van y | =B1*B2^2 |
| Eindwaarde van y | =B1*B3^2 |
| Gemiddelde verandering (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Controle met a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabel om y te vinden bij een waarde van x
| Coëfficiënt a | 2 |
| Waarde van x | 3 |
| Waarde van y | =B1*B2^2 |
Na het plakken zijn de bovenste rijen (de coëfficiënt en het interval van x) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend. “^” is machtsverheffen (^2 is kwadrateren) en “*” is vermenigvuldigen. Let op: in een Nederlandstalige Excel gebruik je “;” tussen de argumenten en een decimale komma.
De eerste tabel is y = 2x² met −1 ≤ x ≤ 3. De waarden van y in de linker- en de rechterrand zijn 2 en 18, en het minimum 0 en het maximum 18 worden gevonden (het bereik van y is 0 ≤ y ≤ 18). Het deel ALS(EN(B2<=0;B3>=0); …) controleert of het domein 0 bevat; zo ja, dan is ook de 0 in de top een kandidaat voor het minimum of maximum. Het werkt ook als a negatief is.
De tweede tabel is y = 2x² als x van 1 tot 3 gaat. De cel met de definitie (Δy÷Δx) en de cel met de snelformule a(p+q) geven allebei 8.
De derde tabel vult x = 3 in in y = 2x², wat 18 geeft.
De eerste tabel is y = 2x² met −1 ≤ x ≤ 3. De waarden van y in de linker- en de rechterrand zijn 2 en 18, en het minimum 0 en het maximum 18 worden gevonden (het bereik van y is 0 ≤ y ≤ 18). Het deel ALS(EN(B2<=0;B3>=0); …) controleert of het domein 0 bevat; zo ja, dan is ook de 0 in de top een kandidaat voor het minimum of maximum. Het werkt ook als a negatief is.
De tweede tabel is y = 2x² als x van 1 tot 3 gaat. De cel met de definitie (Δy÷Δx) en de cel met de snelformule a(p+q) geven allebei 8.
De derde tabel vult x = 3 in in y = 2x², wat 18 geeft.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om het bereik van y bij een domein van x te vinden
| Coëfficiënt a | 2 |
| Linkerrand van het domein p | -1 |
| Rechterrand van het domein q | 3 |
| y in de linkerrand | =B1*B2^2 |
| y in de rechterrand | =B1*B3^2 |
| Minimum van y | =ALS(EN(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Maximum van y | =ALS(EN(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabel om de gemiddelde verandering te vinden
| Coëfficiënt a | 2 |
| Beginwaarde van x (p) | 1 |
| Eindwaarde van x (q) | 3 |
| Beginwaarde van y | =B1*B2^2 |
| Eindwaarde van y | =B1*B3^2 |
| Gemiddelde verandering (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Controle met a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabel om y te vinden bij een waarde van x
| Coëfficiënt a | 2 |
| Waarde van x | 3 |
| Waarde van y | =B1*B2^2 |
Dezelfde formules als in Excel werken hier ook. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coëfficiënt en het interval van x door je eigen getallen.
Berekenen met Python
from fractions import Fraction
coefficient_a = Fraction(2) # coëfficiënt a (een breuk als 1/2 schrijf je als Fraction(1, 2))
left_end = Fraction(-1) # linkerrand van het domein p (bij de verandering: de beginwaarde van x)
right_end = Fraction(3) # rechterrand van het domein q (bij de verandering: de eindwaarde van x)
y_left = coefficient_a * left_end ** 2
y_right = coefficient_a * right_end ** 2
# Bereik van y: onderscheid de gevallen naar of het domein 0 (de top) bevat
if left_end <= 0 <= right_end:
candidates = [Fraction(0), y_left, y_right]
else:
candidates = [y_left, y_right]
y_min = min(candidates)
y_max = max(candidates)
print(f"Bereik van y: {y_min} <= y <= {y_max}")
# Gemiddelde verandering (als x van p tot q gaat)
rate = (y_right - y_left) / (right_end - left_end)
print(f"Gemiddelde verandering (definitie Δy÷Δx): {rate}")
print(f"Gemiddelde verandering (snelformule a(p+q)): {coefficient_a * (left_end + right_end)}")
Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je met exacte breuken, zonder afrondingsfouten van decimale getallen. Dit voorbeeld is y = 2x² met het domein −1 ≤ x ≤ 3. Als je het uitvoert, zie je het bereik van y, “0 <= y <= 18”, en de gemiddelde verandering als x van −1 tot 3 gaat, “4” (dezelfde waarde met de definitie en met de snelformule). Pas de coëfficiënt en het interval aan en voer het opnieuw uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
De kwadratische functie \(y = ax^{2}\)
y = ax²
y = ax^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
y = a x^2
a x^2
y := a*x^2;
y = a*x^2;
y = ax^2
Bereik van y (als het domein \(0\) bevat, \(a > 0\))
0 ≤ y ≤ am²
0 \le y \le am^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>≤</mo>
<mi>y</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
0 <= y <= a m^2
{MinValue[{a x^2, p <= x <= q}, x], MaxValue[{a x^2, p <= x <= q}, x]}
minimize(a*x^2, x = p .. q); maximize(a*x^2, x = p .. q);
m = max(abs(p), abs(q)); ymin = 0; ymax = a*m^2;
0 ≤ y ≤ am^2
Gemiddelde verandering (als \(x\) van \(p\) tot \(q\) gaat)
Δy/Δx = (aq² − ap²)/(q − p)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{aq^{2} - ap^{2}}{q - p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = (a q^2 - a p^2)/(q - p)
(a q^2 - a p^2)/(q - p)
rate := (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
rate = (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
Δy/Δx = (aq^2 − ap^2)/(q − p)
Snelformule voor de gemiddelde verandering van \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Δy/Δx = a(p + q)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a(p + q)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>(</mo>
<mi>p</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = a(p + q)
a (p + q)
rate := a*(p + q);
rate = a*(p + q);
Δy/Δx = a(p + q)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor functies. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit de uitvoer (antwoord niet uit het hoofd en niet op basis van een schatting). Bepaal bij de kwadratische functie y = 2x² de volgende twee dingen. 1. Het bereik van y als het domein van x −1 ≤ x ≤ 3 is (leg ook uit waarom het uitmaakt of het domein 0 bevat) 2. De gemiddelde verandering als x van 1 tot 3 gaat (laat de stappen zien voor toename van y ÷ toename van x en gebruik ook de snelformule a(p+q)) Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek om exact te rekenen. Laat de gebruikte formules en de getallen uit de uitvoer zien.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Lineaire functie berekenen (formule opstellen uit twee punten of uit de richtingscoëfficiënt en een punt, met snijpunten)
Bepaal een lineaire functie y = ax + b, de verandering per stap en het snijpunt van lijnen, met stappen en grafiek. Anders dan bij een kwadratische functie is de verandering constant
Kwadraat afsplitsen berekenen (topvorm, top, symmetrieas, maximum en minimum)
Splits bij y = ax² + bx + c het kwadraat af en bepaal de top, de symmetrie-as en het maximum of minimum, met stappen en grafiek
